Előrejelzési légkörmodellek

Időjárási előrejelzés készítésére a tragikus sorsú Robert FitzRoy admirális, a brit meteorológiai szolgálat (mai nevén UK MetOffice) alapítója vállalkozott először 1854-ben, empirikus módszerekkel. A modellezés gondolatát a geofizikai folyadékdinamika, azazaz elméleti meteorológia atyja, a norvég Vilhelm Bjerknes fogalmazta meg 1904-ben:

„A légköri folyamatok egyszerre mechanikai és fizikai természetűek. A mechanika ésa fizika alapelvei segítségével minden egyes folyamat leírható egy vagy több matematikai egyenlet felhasználásával ... A légkör állapota akkor nevezhető ismertnek egy tetszőleges időpontban, ha ebben az időpontban minden pontra ki tudjuk számolni a sebesség, a sűrűség, a nyomás, a hőmérséklet és a nedvesség értékét. A sebességvektort három skaláris mennyiség, a három sebességkomponens segítségével adjuk meg, ezért a számítások során 7 ismeretlen mennyiség értékét kell meghatározni ... A felsorolt mennyiségek kiszámításához a következő egyenleteket írhatjuk fel:

1. A három hidrodinamikai mozgásegyenlet.

2. A kontinuitási egyenlet, ami a tömegmegmaradás elvét fejezi ki a mozgás során.

3. A légkör állapotegyenlete, ami egy tetszőleges légtömeg sűrűsége, nyomása,hőmérséklete és nedvessége közötti kapcsolatot leíró egyenlet.

4. A mechanikus hőelmélet két főtétele, amelyek segítségével megadhatjuk, hogyanváltozik egy tetszőleges légtömeg energiája és entrópiája az esetlegesállapotváltozások során.”

Bjerknes professzor megállapításai mind a mai napig érvényesek, valamennyi időjárási előrejelző modell a Bjerknes-féle alapelveken nyugszik. A Lipcsei Egyetem Meteorológiai Tanszékének alapítójaként 1913-ban elmondott székfoglaló beszédének szavait ma is sokszor emlegetjük:

„Feladatunk a jövendő időjárás kiszámítása ... A számítások elvégzéséhez rengeteg időre van szükség. Tudósok megfelelő körülmények között nagyjából három hónap alatt számolják ki az időjárás háromórányi változását ... Határtalanul boldog lennék, ha munkánk nyomán sikerülne megadni a másnapi időjárás kiszámításának módszerét ... Ezzel válhatna a meteorológia egzakt tudománnyá, és válhatna a légkör fizikájává ... Évekbe telhet, amíg alagutat fúrunk a hegyen át.

Egyes munkatársaink nem fogják megérni az áttörés napját. Ez viszont senkit nem gátol munkájában, mert az alagúton majd gyorsvonati sebességgel utazhatunk.”

Bjerknes 1904-es gondolatainak gyakorlati megvalósítására Lewis Richardson brit meteorológus vállalkozott először 1910 és 1914 között. Addigi munkássága predesztinálta a feladatra, mivel olyan differenciálegyenletek megoldására dolgozott ki véges különbséges sémákat, amelyeknek bizonyíthatóan létezik egyértelmű megoldása (matematikai szakkifejezéssel élve bizonyítottak az egzisztencia- és unicitás-tételek), de a megoldás nem írható fel zárt alakban az elemi függvények segítségével. Hivatali munkája mellett Richardson évekig számolta a Bjerknes által leírt hét egyenlet megoldását, de számításai sem matematikai, sem fizikai szempontból nem vezettek sikerre.

Sir William Napier Shaw, a UK MetOffice akkori igazgatójának ösztönzésére 1922-ben könyv formájában számolt be munkájáról (Richadson, 1922). Gyakran idézzük Richardson következő gondolatát:

„Egyszer, talán, a távoli ködös jövőben képesek leszünk gyorsabban számolni, mint amilyen gyorsan az időjárás változik, és az emberiség által befektetett költségeknél magasabb lesz az a haszon, amit a kapott információkból nyerünk. De ez csak álom.”

Az elmúlt évtizedekben többen elemezték, vajon mi vezetett Richarson sziszifuszi munkájának sikertelenségéhez.

A válasz ma már világos: hiányoztak olyan ismeretek, amiket a matematika, a fizika és az elméleti meteorológia az 1920-as, ’30-as és ’40-es években mutatott fel és hiányzott egy olyan eszköz is, ami a numerikus számításokat sokkal gyorsabban képes elvégezni, mint az ember, azaz hiányzott az elektronikus számítógép.

A matematikusok 1928-ban ismerték fel, hogy a folytonos differenciálegyenletekre kimondott egzisztencia- és unicitás-tételek nem alkalmazhatók változatlan formában a véges különbséges egyenletekre. A Richard Courant, Kurt Friedrichs és Hans Lewy által publikált eredményeket azóta is a három szerző nevének rövidítésével CFL-kritériumként emlegetika légkörmodellezéssel foglalkozók. A kritérium szerint a légkörmodell rácsfelbontásának rácstávolsága (∆s) és az alkalmazott időlépcső (∆t) hányadosa nem lehet kisebb, minta modellben leírt légköri hullámok terjedési sebességének maximuma (v). Matematikai formulákkal:(∆s/∆t) > v. A szerzők tiszteletére bevezetett Courant-szám alkalmazásávalC= (v∆t/∆s) < 1.

Az elméleti meteorológia legfontosabb eredménye ebből a korból az volt, hogy a svéd Carl-Gustav Rossby és az amerikai Jule Charney a Reynolds-féle hasonlósági elmélet és a kis perturbációk módszerének alkalmazásával linearizálta a légköri mozgások kormányzó egyenletrendszerét, és megadta az egyenletrendszer egyszerűsítésének módszertanát.

Az elméleti eredmények első gyakorlati alkalmazására akkor került sor, amikor Neumann János 1946-ban javaslatot tett az akkor megépített első elektronikus számítógép, az ENIAC (Electronic Numerical Integrator and Computer) meteorológiai alkalmazására. A Jule Charney, a norvég Ragnar Fjørtoft és Neumann János vezetésével megalakult 40 fős kutatócsoport 1950-ben publikálta eredményeit, azaz ekkor valósult meg Richardson álma, és láthatóvá vált – az akkor 88 éves – Bjerknes számára, hogyan lehet„gyorsvonati sebességgel utazni” a tudósok által évtizedek munkájával készített alagúton át. Charney, Fjørtoft és Neumann munkája nem egyszerűen azért mérföldkő a meteorológia történetében, mert az ő vezetésükkel készült az első sikeres számítógépes meteorológiai előrejelzés, hanem azért is, mert verifikálták munkájukat, és ezzel kijelölték a numerikus időjárás-előrejelzés további fejlődésének útját, amit napjainkban is követnek a modellezők. A kutatócsoport a számítógépes kapacitások szűkössége miatt a lehető legegyszerűbb mozgásegyenlettel, a barotróp örvényességi egyenlettel dolgozott, és vertikális integrálátlagok bevezetésével ekvivalenciát hozott létre a légkör háromdimenziós áramlása, és a kvázi-nemdivergens légköri középszint, azaz az 500 hPa-os főizobárszint síkáramlása között. Az utókor ezért emlegeti modelljüketekvivalens barotróp modellnéven. Verifikációjuk eredménye és a javításra tett javaslatuk négy pontban foglalható össze:

1. a barotróp közelítés hibája (javítási lehetőség: baroklin modellek alkalmazása, majd a hidrosztatikai közelítés helyett nem-hidrosztatikus modellek használata);

2. az egyenlet véges különbséges közelítésének pontossága (javítási lehetőség: magasabbrendű numerikus sémákat, vagy más közelítő módszereket, például az úgynevezett Galjorkin-módszereket kell alkalmazni;

3. a rács felbontásának korlátozó tényezője (javítási lehetőség: a rácstávolság, azaz ∆sértékének csökkentése;

4. a közepes szint és az integrálátlagok inkonzisztenciája (javítási lehetőség: többszintes légkörmodelleket kell építeni.

A következő években sorra alakultak Svédországban, az Egyesült Államokbanés Japánban operatív számítógépes előrejelzéssel foglalkozó részlegek a nemzeti meteorológiai szolgálatoknál. A Svéd Meteorológiai és Hidrológiai Intézet 1954 decembere, az amerikai központ 1955 májusa, a japán szolgálat 1959 óta ad ki napi rendszerességgel számítógépes előrejelzéseket. A modellek fejlődése pontosan a Charney, Fjørtoft és Neumann által 1950-ben kijelölt úton történt. Az egyszerű barotróp modelleket követték a baroklin modellek, majd az örvényességi egyenlet helyett áttértek a teljes (alapvető, angolul primitive) egyenletrendszeren nyugvó modellezésre. A számítógépes kapacitás növekedtével folyamatosan fejlődtek az alkalmazott matematikai módszerek és paraméterezési eljárások, míg végül eljutottunk a nem-hidrosztatikus operatív modellekig.

Egyes tudománytörténészek szerint a XX. században három nagy felfedezés történt a fizika területén: a relativitáselmélet Einstein munkássága nyomán, a kvantumfizika Heisenbergnek és Schrödingernek köszönhetően, és a káoszelmélet. Edward Lorenz, a Massachusetts-i Műszaki Egyetem (MIT) Meteorológiai Tanszékének matematikus és fizikus végzettségű professzora 1963-ban publikálta gondolatait és számítási eredményeit egy determinisztikus nem-periodikus áramlással kapcsolatban (Lorenz, 1963). Később egy újságíró a következő néven emlegette Lorenz eredményeit: káoszelmélet. Ez vezetett a napjainkban oly népszerű sokasági előrejelzési rendszerek (angolul: ensemble prediction system, EPS) kifejlődéséhez.

FELADATOK

V.3.1.Vezesse le az örvényességi egyenletet (az áramlás horizontális és a súrlódás elhanyagolható)!

V.3.2.Mutasson rá az örvényességi egyenlet barotróp és baroklin légállapotot leíró tagjaira!

V.3.3.Írja fel a divergenciamentes síkáramlás barotróp örvényességi egyenletét!

V.3.4.Milyen lépései vannak a számítógépes időjárás-előrejelzésnek?

V.3.5.Mutassa be a számítógépes időjárás-előrejelzés szakaszait az ekvivalens barotróp modell példáján!

V.3.6. Mekkora időlépcsőt engedélyez a CFL-kritérium az ekvivalens barotróp modellben,ha a mérési adatok 750 km-es felbontású rácson állnak rendelkezésre?

V.3.7. A Taylor-sor alkalmazásával dolgozzon ki elsőrendben pontos véges különbséges közelítő sémát egy tetszőlegesf(x) függvény deriváltjának meghatározására azx₀helyen!

V.3.8.Mi a különbség a hidrosztatikus és a nem-hidrosztatikus légkörmodellek között?

V.3.9.Differenciálegyenletek megoldására Borisz Galjorkin orosz matematikus 1915-ben azt javasolta, hogy a megoldást függvénysor formájában keressük. Véges elem módszerről beszélünk, ha a függvénysor alapfüggvényei (bázisfüggvényei) a trianguláris függvényekből állnak. Amennyiben az alapfüggvény-rendszert periodikus függvényekből áll, spektrális módszerről beszélünk. Ha az alapfüggvény-rendszert a megoldandó differenciálegyenletben szereplő operátor sajátfüggvényei képezik, akkor a feladat a függvényegyütthatók meghatározása. A spektrális függvénysorok trianguláris csonkítása során a globális, azaz a teljes földi légkörre kiterjedő modellben a hullámszám mind észak-déli, mind kelet-nyugati iránybanM. Mekkora leszMértéke, ha a modell rácsfelbontása ∆s= 10 km?

V.3.10.Soroljon fel minél többet az EPS rendszer megjelenítési lehetőségei közül!