Weidinger Tamás Baranka Györgyi
VIII.4. Az Ekman-spirál
illetve
, .
(A száraz levegő állandó nyomáson vett fajhőjével számoljunk.) VIII.3.9.Vezessük le a Penman-formulát az
,
ellenállás módszerrel adott alakjából kiindulva, felhasználva a Bowen-arány definícióját és a felszíni energia egyenletet!
Mit jelent és mekkora az értéke az és a paraméternek, ha , , és a relatív nedvesség a) 50%, b) 75%, c) 100%?
Adjuk meg és a paraméter értékét, ha , , és a relatív nedvesség 50%! Hogy függ és a értéke a hőmérséklettől? Mennyire „érzékeny” a nyomás változására?
VIII.3.10.A sugárzási egyenleg egy meleg nyári nap kora délutánján 560 W m-2. A talajba jutó hőáram – a gyakran használt parametrizációs eljárás szerint a sugárzási egyenleg 10%-a. A növényzettel borított felszín hőmérséklete 20 °C. A 10 m-es szintre (kiszorítási réteg felett) extrapolált szélsebesség 4 m s–1, a relatív nedvesség 74%, míg a hőmérséklet 18,8 °C.
A nyomás 990 hPa. Becsüljük meg a szenzibilis és a latens hőáramot a Penman-módszer alapján! Hasonlítsuk össze a formulában szereplő két tag nagyságát is! Az ellenállási paraméter legyen !
VIII.3.11.Milyen esetekben nem lehet megbízhatóan alkalmazni a Bowen-arány módszert? Mi történik, ha ? A 0,5–2 m-es rétegben a hőmérséklet különbség –1,5 °C, a gőznyomás különbség –0,8 hPa a hőmérséklet mérés bizonytalansága , a specifikus nedvességé . Adjuk meg a Bowen-arány mérés bizonytalanságát!
VIII.4. Az Ekman-spirál
Stacionárius esetben egy horizontálisan homogén vízszintes aljzat fölött indifferens rétegződést feltételezve és elhanyagolva a horizontális szélnyírást az északi féltekén a szélsebességekre vonatkozó egyenleteket a következő alakban írhatjuk fel:
aholugésvgazxésyirányú geosztrofikus szélkomponens:
,
.
Feltételezve azt, hogy a turbulens diffúziós együttható (Km) értéke nem változik a magassággal, levezethetjük a légkörben kialakuló, úgynevezett alsó Ekman-spirál egyenletét. A második mozgásegyenletet az imaginárius egységgel (i) szorozva és összeadva az elsőegyenlettel a következőt kapjuk:
A fenti differenciálegyenlet megoldása:
,
aholAésBállandók, és a határréteg vastagsága . Az alsó határfeltételek ( ,, , ) és felső peremfeltételek ( , , ) segítségével azt kapjuk, hogy és , vagyis:
. A reális és imaginárius részek szétválasztásával arra az eredményre jutunk, hogy:
,
.
A fenti egyenletek alapján egyértelmű, hogy a geosztrofikustól való eltérés jelentős és iránybeli változásban is kifejeződik. Nyugati geosztrofikus áramlás esetén ( ) az Ekman-spirál gyakran használt alakját kapjuk:
A fenti egyenletek a magassággal felfelé haladva erősödő szélmezőt mutatnak. A szélirány pedig jobbra fordul.
Az Ekman-spirál szemléltetésére a hodográfot használják (VIII.4.1. ábra), amelyen a szélkomponenseket egymás függvényében ábrázolják. A hodográfon ábrázolt függvény minden pontja egy adott magasságban mérhető értéknek felel meg. A VIII.4.1. ábránlátható, hogy a felszínen a szélsebesség nulla, a magasban pedig megegyezik a geosztrofikus széllel. A kettő közötti átmenet során a szélnek a geosztrofikus szélre merőleges komponense is van, azaz egy spirálisan forduló ageosztrofikus szélmezőt kapunk (VIII.4.2–3. ábra).
VIII.4.1. ábra. az Ekman-spirál hodográfja relatív egységekben (a geosztrofikus szél x irányba mutat és egységnyi nagyságú).
VIII.4.2. ábra. A szélkomponensek változása a magassággal az Ekman-rétegben (a geosztrofikus szél egységnyi erősségű, és x irányba fúj).
A határrétegben jelentős a geosztrofikustól eltérő anyagtranszport, ezt hívjuk transzportnak. Az Ekman-traszport értékét a következő egyenletek alapján számolhatjuk ki, ahol az integrál felső határát kényelmi okokból vesszük végtelennek:
.
Az Ekman-traszport következtében a kétdimenziós divergencia nem egyenlő nullával. Ennek köszönhetően fel-vagy leáramlás, úgynevezett Ekman-pumpálás jön létre. A kontinuitási egyenletből kiindulva és kihasználva a
és peremfeltételeket, a következőt kapjuk:
A feláramláshoz ( ) ciklonális, a leáramláshoz ( ) anticiklonális áramlásra van szükség.
Nézzük a folyadékáramlást! Vízszintes folyadékszint felett fújó, a folyadékra nyírófeszültséggel ható szél következtében alakul ki az úgynevezett felső határréteg. Ebben a határrétegben kialakuló Ekman-spirál egyenletét a nyírási peremfeltétel ( , , ), valamint annak tudatában vezetjük le, hogy a folyadék belsejében a geosztrófikus áramlást kell visszakapnunk ( , , ).
Itt a momentum áramxésyirányú összetevője, míg az impulzus szállításra vonatkozó turbulens diffúziós együttható.
A folyadékokban kialakuló Ekman-spirál(gondoljunk a nagy tavak, tengerek, óceánok áramlási képére) leírására a következő egyenleteket kapjuk:
ahol a határréteg karakterisztikus vastagsága. A kapott egyenletek azt mutatják, hogy a geosztrófikustól eltérő áramlás a nyírásnak köszönhető. A folyadék áramlási sebessége 45º-os szöget zár be a nyírási feszültséggel, úgy, hogy az északi féltekén a nyírási feszültségtől jobbra mutat.
VIII.4.3. ábra. Az „ageosztrófikus folyadékáramlás” az Ekman-rétegben hodográfon (balra), illetve komponensenként jelölve (jobbra)
A geosztrófikustól eltérő tömegtranszport alakja:
Az Ekman-transzport merőleges a szélnyírási vektorra, az északi féltekén a szélnyíráshoz viszonyítva jobbra mutat.
Az Ekman-pumpálásra a felső határrétegben azt kapjuk, hogy:
.
VIII.4.1.Bizonyítsuk be, hogy a határréteg alján ( ) azxésyirányú szélsebességek megközelítőleg egyenlők és értékük !
VIII.4.2.Bizonyítsuk be, hogy a modellbeli neutrális határréteg alján a szélsebesség a geosztrofikushoz képest 45º-os szöget zár be!
VIII.4.3.Az Ekman-spirál egyenlete alapján bizonyítsuk be, hogy azxirányú szélsebesség a magasságon a legnagyobb és értéke !
VIII.4.4.Bizonyítsuk be, hogy a légkörben az Ekman-transzport értéke és !
VIII.4.5.Határozzuk meg a vertikális sebességet a határréteg felső határán, amennyiben a geosztrofikus örvényesség értéke , a Coriolis-féle paraméter és a diffúziós állandó . Feltételezzük, hogy azyirányú geosztrófikus sebesség nullával egyenlő.
VIII.4.6.Bizonyítsuk be, hogy a geosztrófikustól eltérő tömegtranszport, vagyis az ageosztrofikus komponensek felső határrétegre vonatkozó integrálja:
és !
VIII.4.7.Viharhullámnak a part felé irányuló áramlás miatt kialakult vízszintemelkedést nevezzük. A viharhullám kialakulásának az a feltétele, hogy erős szelek fújjanak a partvonal mentén huzamosabb ideig úgy, hogy az Ekman-transzport a part felé irányuljon (VIII.4.4.). Az északi félgömbön ez akkor következik be, amikor a partvonal a széltől jobbra, a déli félgömbön a széltől balra található. A jelenség egyszerűen leírható a szélnyírással gerjesztett sekélyfolyadék egyenletetekkel. Az áramlási sebességek kicsik, így a nemlineáris tagok elhanyagolhatóak. Az egyszerűség kedvéért a viharhullámot egy végtelen kiterjedésű mélységű medencében modellezzük, a partvonal azy– tengellyel párhuzamos. A kormányzó egyenletek:
,
és
,
ahol a konstans nyírási feszültség,fa Coriolis-paraméter, a szintemekledés.
Az egyszerűség kedvéért a viharhullámokat egy végtelen kiterjedésű mélységű kádban modellezzük! A partvonal mentén az aktuális mélység . a folyadékxés yirányú sebesség összetevői. A partvonal az y-tengellyel párhuzamos.
Hogy változik a viharhullám sebessége és a vízoszlop magassága az időben? Adjuk meg a Rossby-sugarat is!
A viharhullám kialakulását és a szintemelkedés változását aVIII.4.1. videón is követhetjük. Azt feltételezzük, hogy a partfal (x = 0) magassága elegendően nagy, vagyis nem csap át rajta a hullám, nem folyik ki a víz a „medencéből”
)
VIII.4.4. ábra. A Viharhullám keletkezése.
VIII.4.5. ábra. A parttól távolodó Ekman-transzport feláramlást generál, például Dél-Amerika partjainál.
Amikor a partvonal mentén olyan szél fúj, hogy az Ekman-transzport a partvonalra merőlegesen kifelé mutat, akkor part menti feláramlás indul meg (VIII.4.5. ábra). A kontinuitási egyenlet értelmében a part mellett a hiányzó víztömeget a mélyről jövő feláramlás pótolja.
VIII.4.1. videó. Az Ekman-transzport jelensége Dél-Amerika partjainál.
VIII.4.2. interaktív videó. A Viharhullám keletkezése
VIII.4.8.Feltételezve, hogy a levegő sűrűsége állandó, határozzuk meg, időben hogyan csökken az örvényesség a határréteg fölötti rétegben. Mennyi időre van szükség, hogy az örvényesség a kezdeti értéke-ad részére csökkenjen, ha a légoszlop magassága , a turbulens diffúziós együttható értéke és a Coriolis-paraméter
?
Legyen a kiindulási egyenletünk az örvényesség időbeli megváltozását leíró
egyenlet, ahol csak a horizontális divergencia hatását modellezzük. Az egyenlet felírásánál kihasználtuk az összenyomhatatlan közegre vonatkozó kontinuitási egyenletet is.