Tasnádi Péter
IX.1. Felületi és térbeli hullámok, a kis perturbációk módszereperturbációk módszereperturbációk módszereperturbációk módszere
A légkörben, a tengerekben illetve a víz felszínén és a légköri határfelületeken bonyolult, hullámszerű zavarok terjedhetnek. Az összetett hullámformák azonban Fourier-sorok, illetve Fourier-integrálok segítségével harmonikus hullámok összegeként adhatók meg. Ezért többnyire elegendő az egyszerű harmonikus hullámokkal foglalkozni.
A vonal mentén terjedő egyetlen harmonikus hullám az
összefüggéssel adható meg. Ez a hullám a pozitív tengely irányában sebességgel terjed. A formulában a hullám amplitúdója a hullám körfrekvenciája pedig a hullámszám, ahol a periódusidő pedig a hullámhossz (IX.1.1. ábra).
E fejezetben a folyadékdinamikában szokásos módon a kétdimenziós folyadékban az y irány jelenti a folyadék magasságát. Ha hullámmegoldást nézünk, akkor – a fenti egyenletben körül végez hullámmozgást a folyadék
amplitúdóval, vagyis a folyadék magassága a referencia szinthez képest és között változik.
IX.1.1. ábra. Hullám sematikus képe az (x, y) síkon.
Az irányban terjedő tetszőleges zavar az
Fourier-integrálállal (hullámcsomag) adható meg. A zavart természetesen az integrál valós része reprezentálja, a komplex írásmódot a számítások egyszerűsítésére használjuk. A tapasztalat azt mutatja, hogy az összetevő hullámok körfrekvenciája a hullámszám függvénye lehet. Az összefüggést diszperziós relációnak nevezzük.
Amennyiben a hullámcsomag a hullámszám köré csoportosul és a hullámszám környezetétől eltekintve elhanyagolhatóan kicsiny, akkor a diszperziós reláció a hely környezetében sorba fejthető:
.
AIX.1.2. ábraa feltételezett amplitúdó eloszlást mutatja. A hullámcsomag ekkor az
alakban írható fel.
IX.1.2. ábra. Az amplitúdó eloszlása a hullámszám körül.
Látható, hogy a formula két tényezőre esik szét, az első tényező a hullámszámú klasszikus hullám, a második csak az kifejezéstől függ. Ez mutatja, hogy a hullámcsomag burkolója, azaz a hullámcsomag, mint egész a
sebességgel mozog. Ezt a sebességetcsoportsebességnek nevezzük. A csoportsebesség általában különbözik a csomagot alkotó hullámok fázissebességétől, ezért a hullámcsomag az idő múlásával „szétfolyik”.
A hullámszám vektor és a hullám terjedési iránya
Egydimenziós hullámok esetén a hullámterjedés a terjedés vonala mentén pozitív, vagy negatív irányban történhet.
A hullámszám vektort is ennek megfelelően látjuk el előjellel. Síkbeli, illetve térbeli terjedés esetén a hullámszám vektort a hullámterjedés irányába mutató vektornak tekintjük.
Síkban terjedő egyenes hullámok esetén (a hullámfrontok, azaz az azonos fázisú pontok egyenesek) a hullámszám nagysága aIX.1.3. ábrajelöléseivel a hullámhossz segítségével a szokásos formulával adható meg. A
hullámszám vektor pedig a terjedési sebesség irányába mutat
IX.1.3. ábra. Síkban terjedő egyenes hullámok, (a hullámfrontok, azaz az azonos fázisú pontok egyenesek) és a hullámszám nagysága.
Ha nem a terjedés irányába eső egyenes mentén haladunk, akkor az azonos fázisú pontokat hosszabb úton érjük el. Ennek megfelelően bejelöltük az ábrán az és irányba eső és hullámhosszakat. AIX.1.3. ábráról leolvasható az is, hogy a terjedés irányának az tengelytől mért szögével kifejezve
és .
Ily módon
. Bevezetve a
és jelölést, a hullámszám vektor:
és .
A hullám fázissebessége a fázisvonalak állására merőleges irányba mutat, és nagysága
, vektoriálisan pedig:
.
Vegyük észre, hogy a fázissebesség komponensei nem egyeznek meg a megfelelő tengelyek mentén mért fázissebességgel.
A csoportsebességet a
egyenlettel definiáljuk. Itt a jelölés azt jelenti, hogy a deriválást ak-térben kell elvégezni.
Vízfelületi hullámok
Belátható, hogy a végtelen mélynek tekinthető víz felületén terjedő hullámszámú hullámcsomag diszperziós relációja
,
ahol a folyadék felületi feszültsége, a sűrűsége, a nehézségi gyorsulás.
A hanghullámok terjedési sebessége a levegőben
, ahol ,
a levegő állandó nyomáson és térfogaton vett fajhőjének hányadosa.
A folyadékok határfelületén terjedő hullámok
Két különböző, rendre és sűrűségű folyadék határfelületén terjedő hullám diszperziós relációja, ha mindkét közeg végtelen mély és a felületi feszültség elhanyagolható:
.
A határfelületen terjedő hullámok tárgyalásakor a hullám következő tulajdonságait használjuk fel. Feltételezzük, hogy a folyadék összenyomhatatlan és súrlódásmentes. A hullám sebességmezeje kétdimenziós
és feltételezzük, hogy a mozgás rotációmentes, azaz
.
(A feltétel biztosan teljesül, ha a folyadék eredetileg nyugalomban volt, mert ez azt jelenti, hogy -ban a feltétel teljesült, a kétdimenziós súrlódásmentes örvényességi egyenlet pedig biztosítja az örvényesség megmaradását.) Az örvénymentesség miatt létezik sebességpotenciál, azaz
, .
Az összenyomhatatlanság miatt , azaz a sebességpotenciálra teljesül a Laplace egyenlet:
.
Megjegyezzük, hogy a sebességpotenciálra itt alkalmazott – az elméleti hidrodinamikában elterjedten használt jelölés – eltér a meteorológiai gyakorlatban megszokottól. Ismét hangsúlyozzuk, hogy a kétdimenziós folyadékáramlásban az (x, y) síkban dolgozunk, a sebesség-komponensek , s az y tengely a helyi függőleges irányába mutat. E jelöléssel a folyadékáramlás kétdimenziósságát hangsúlyozzuk.
A folyadék mozgása a határfelület perturbációjából származik. A fenti feltételek mellett a Laplace egyenlet megoldásával meghatározhatjuk a sebességpotenciált és abból a sebességmezőt. A megoldás viszonylag egyszerűen adódik, ha a felszín kicsiny deformációjára korlátozódunk, azaz a másodrendű kicsiny tagok elhanyagolásával az egyenleteket linearizáljuk.
A Laplace egyenlet megoldásai közül olyat kell kiválasztanunk, amely eleget tesz a következőknek:
a)kinematikai feltétela felszínen, vagyis a felszíni folyadékrészek a mozgás során mindig a felszínen maradnak;
b.)dinamikai feltétel, vagyis érvényes a Bernoulli-egyenlet nem stacionárius alakja:
, ahol tetszőleges, csak az időtől függő függvény, és .
(Emlékeztetünk, hogy y-tengely irányába mérjük a folyadék vastagságát, így egy referencia szinthez ( ) képest a tömegegységnyi folyadékelem potenciális energiája: .)
c.)nyomási feltétel a felszínen, vagyis a folyadék felszínén a nyomásnak meg kell egyeznie a külső nyomással.
A hullámok leírása komplex függvényekkel
A hullámok kezelése gyakran egyszerűbbé, válik, ha az
függvény helyett az
komplex függvényt használjuk. Az komplex függvénynek az valós része az Moivre-formula szerint
megegyezik a hullámok leírására használt harmonikus függvénnyel. Ennek megfelelően a hullámegyenletek megoldásait kereshetjük komplex alakban, majd a számítások elvégzése után a megoldás valós része adja a fizikai probléma megoldását.
A komplex számításmódnak több előnye is van.
a) A fázisállandók a komplex amplitúdók részeként kezelhetők, hiszen ,
ahol .
b) A komplex hullámszám és komplex körfrekvencia bevezetésével a hullámfüggvény
alakra hozható. Az és faktorok valós függvények, amelyek az amplitúdót térben illetve időben exponenciálisan változtatják. A hullámszám és a körfrekvencia összetevőjének megfelelő választásával ily módon a hullámok csillapodása, vagy instabilitása is jellemezhetővé válik.
c) A hullámfüggvény deriváltjai egyszerű szorzásokkal fejezhetők ki:
. Feladatok
IX.1.1.Vezessük le aBernoulli-egyenlet
nem stacionárius alakját.
IX.1.2.Bizonyítsuk be, hogy a gravitációs felületi hullámok (a felületi feszültség elhanyagolható) diszperziós relációja
. Határozzuk meg, a csoportsebességet!
IX.1.3. Bizonyítsuk be, hogy a szabad vízfelszínen keltett gravitációs hullámokban a részecskék körpályán mozognak!
IX.1.4.Bizonyítsuk be, hogy a felületi hullámok diszperziós relációja
,
ha a felületi feszültséget is figyelembe vesszük. Határozzuk meg a csoportsebességet!
IX.1.5.Határozzuk meg a felületi hullámok diszperziós relációját, ha a folyadék véges mélységű!
IX.1.6. Bizonyítsuk be, hogy két végtelen mély, a felső térfélben , az alsóban sűrűségű közeg határán ( ) keltett gravitációs hullámok diszperziós relációja
!
IX.1.7.A sztatikus légkörben egy eredetileg egyensúlyi helyzetben lévő légrészt kissé kimozdítunk a helyéről és magára hagyjuk. Tegyük fel, hogy a kimozdított légrész mind sűrűségét, mind térfogatát megőrzi! Írjuk fel a légrész mozgásegyenletét és adjuk meg mozgását!
IX.1.8.A homogén gravitációs mezőben nyugvó végtelen kiterjedésű közegben a sűrűség a magassággal ismert módon csökken. Nyugalmi állapotban a folyadék nyomását a hidrosztatika alapegyenlete szabja meg.
A közegben kicsiny zavart keltünk, a mozgás azonban kétdimenziósnak tekinthető, azaz horizontálisan csak az koordinátától függ. A zavar hatására létrejövő mozgásban minden részecske megőrzi tömegét is és térfogatát (összenyomhatatlanság) is.
Írjuk fel a mozgásegyenleteket!
IX.1.9.Az előzőIX.1.8. feladatban a folyadék perturbált állapotáról tételezzük fel, hogy
, ,
valamint
.
Az 1 indexek a kicsiny perturbációkat jelölik. Linearizáljuk a mozgásegyenleteket és oldjuk meg őket, feltételezve, hogy a kicsiny perturbációkat harmonikus függvények írják le, s a mozgásegyenletek változói
alakban vehetők fel. Tételezzük fel továbbá, hogy nyugalmi állapotban a sűrűség a magassággal a
függvény szerint csökken! Határozzuk meg a diszperziós relációt!
IX.1.10.Határozzuk meg aIX.1.9. feladatban keresett perturbációk fázis és csoportsebességét!
IX.1.11.AIX.1.10. feladatban a sűrűségeloszlást meghatározó magasság általában nagy érték, ezért az tag elhanyagolható a légköri hullámok hullámszámának négyzetéhez képest. Ekkor a csoportsebesség és a fázissebesség kifejezése is egyszerűsödik. Mutassuk meg, hogy ebben a közelítésben a IX.1.9. és a IX.1.10. feladatban tárgyalt zavar fázissebessége merőleges a csoportsebességre, valamint hogy a részecskék mozgási sebessége a hullámfrontba esik!