Weidinger Tamás Tasnádi Péter
II.2. A légkör skalár- és vektormezői, valamint deriváltjaik és integráljaikderiváltjaik és integráljaikderiváltjaik és integráljaikderiváltjaik és integráljaik
A légkört jellemző állapotjelzők a tér és az idő skalár- és vektorértékű függvényei. Ebből következik, hogy a tér-és időbeli változásaikat leíró egyenletek a vektoranalízis eszközeit felhasználva állíthatók elő. A következőkben összefoglaljuk a legfontosabb vektoranalízisbeli összefüggéseket. A függvényeket, legyenek azok skalár- vagy vektorfüggvények, normál (times new roman) betűkkel jelöljük, míg a skalár változókat dőlt betűkkel a vektorokat pedig félkövér dőlt betűkkel adjuk meg. A mátrixok leírására a félkövér Ariel betűtípus szolgál. A skalár, a vektor és a diadikus szorzás jelét ( kiírjuk, míg a skalárok közötti szorzást külön nem jelöljük.
Divergencia, gradiens, rotáció
Nézzük a divergencia, a gradiensés a rotáció invariáns definícióját! Legyen az pont környezetében folytonos és magán e helyen differenciálható függvény. A vektortér adott pontbeli divergenciáján a vektortér e pont körüli kis felületen ( ) vett fluxusa és a körülzárt térrész köbtartalma ( ) hányadosának határértékét értjük, miközben e térrész az adott pontra zsugorodik.
.
Tekintsünk az pont környezetében folytonos és e helyen differenciálható skalár-vektor függvényt! A skalártér adott pontbeli gradiensén a skalártér e pont körüli kis felületen vett integrálja és a körülzárt térrész térfogatának a hányadosát értjük, miközben a térrész az adott pontra zsugorodik.
.
A gradiens tétel szerint a vektor ΔVtérrészre vonatkozó integrálja megegyezik a skalárnak a (kifele irányított) határfelületen vett integráljával.
.
Az áramlási tér fontos jellemzője a forgás, az örvénylés intenzitása. Ezt adja meg a sebességi mezőrotációja. A vektortér adott pontbeli rotációján a vektortér e pont körüli kis felületen vett alakú integrálja és a körbezárt térfogat hányadosának a határértékét értjük.
.
A felírásból következik, hogy a vektor ΔVtérfogatra vonatkozó integrálja egyenlő a (kifele irányított) normálvektor ( ) és a sebességvektor vektoriális szorzatának zárt felületen vett integráljával:
.
A következő lépésként nézzük meg a szorzatokra vonatkozó deriválási szabályokat, amelyek a következők:
A.1. ,
A másodrendű deriváltakra vonatkozó azonosságok: a másodrendű deriváltak előállítása mindig visszavezethető az elsőrendű deriváltak meghatározására aII.2.1. táblázatbanközölt szabályok alapján:
II.2.1. táblázat. A másodrendű deriváltak értelmezése.
értelmezhető
nem értelmezhető, mert skalár, a pedig vektorra hat
B.6.
értelmezhető B.7.
nem értelmezhető, mert skalár, a pedig vektorra hat
B.8.
nem értelmezhető, mert vektor, a pedig skalárra hat.
B.9.
Elsősorban az összetettebb kifejezések kiszámításához célszerű bevezetni a szimbólummal jelölt nabla- (vagy másképpen Hamilton-operátort, amelyet a következőképpen értelmezhetünk a Descartes-féle koordináta-rendszerben:
,
ahol a Descartes-féle koordináta-rendszer egységvektorai rendre: . A operátor segítségével a differenciális kifejezések a következőképpen adhatók meg:
C1. .
C.2. .
C.3. .
C.4. .
A fenti formulákban a az ún. Laplace-operátort jelöli, amely skalároperátor, s a Descartes-féle koordináta-rendszerben a következőképpen írható:
.
A nabla-operátor alkalmazása esetén nem szabad megfeledkezni arról, hogy matematikailag kettős természetű:
egyrészt vektor, másrészt differenciáloperátor. Ebből adódnak a következő számítási szabályok:
i) a operátor lineáris, azaz lineáris kombináció-tartó:
,
ahol és állandók, míg és tetszőleges skalár-, vagy vektorértékű függvények.
ii) A operátort minden egyes mögötte álló mennyiségre alkalmazni kell. Ez azt jelenti, hogy alakú kifejezést formálisan úgy számítjuk ki, mintha a operátor két tagból állna
, ahol a
mint differenciáloperátor csupán az mennyiségre, míg a csupán az mennyiségre hat.
iii) Az előző szabály következménye, hogy a alakú mennyiség meghatározását két lépcsőben végezhetjük el. Először a alakú kifejezést a vektoralgebra szabályai szerint úgy alakítjuk át, hogy a
mögött csupán az mennyiség álljon. Ezután
-szel már úgy számolunk, mint egy közönséges differenciáloperátorral.
iv) A fenti szabályok mindig érvényesek, függetlenül attól, hogy az és , valamint a és között milyen típusú szorzat áll.
v) Az iii) pontban említett vektoralgebrai szabályok közül a leggyakrabban a kifejtési- és a felcserélési tételt szokták alkalmazni:
, vagy ,
valamint
,
hiszen .
Teljesül továbbá, hogy
, ha ,
, ha .
Ha , akkor vektorok jobbsodrású rendszert alkotnak (mint a jobb kézen a hüvelyk-, a mutató- és a középső ujj).
Fontos megjegyezni, hogy a és a operátort nemcsak Descartes-féle koordináta-rendszerben értelmezhetjük.
Ezek alakja a meteorológiai gyakorlatban legtöbbet alkalmazott szférikus koordináta-rendszerben:
,
,
ahol a szférikus koordináta-rendszer független változói az sugár, illetve a szélességi és a hosszúsági kör.
A szférikus rendszerbeli egységvektorok rendre: , ,
Megjegyezzük, hogy a dinamikus meteorológiában gyakran célszerű az egyenletek vektoriális alakjával számolni.
Az így kapott általános egyenletek tartalmazzák a és a operátorokat, amelyeket az utolsó lépésben kell csak az alkalmazott koordináta-rendszernek megfelelő alakban felírni.
Megadható a differenciál-operátor integrál előállítása is. Definíció szerint: a nabla ( ) differenciál-operátor adott pontbeli vektorán a pont körüli zárt felület vektora és a körülzárt térfogat hányadosának határértékét értjük, miközben e térrész az adott pontra zsugorodik. A nabla szimbolikus vektor csak valamilyen skalár-, vagy vektormennyiséggel szorozva bír értelemmel
,
ahol térfogatú felületű légrészt vizsgálunk. Az elemi felület vektora . A vektorok integrálására vonatkozó szabályok
A Gauss–Osztrogradszkij-tétel:
,
ahol tetszőleges vektorértékű függvény, pedig az zárt felület minden egyes pontjában a felület normális vektorát jelöli ( ). A divergencia tehát a tér „forrásosságát” jellemzi. Ha , akkor a tér/térrész forrásmentes.
Következmény: abban az esetben, ha a vizsgált térfogatnak nincsenek határai, vagy a határokon keresztül nincs áramlás, akkor
.
Ez az eset áll fenn akkor, amikor a mennyiségre vonatkozó parciális differenciál-egyenletben a peremfeltételek ciklikusak, vagy a peremeket áthatolhatatlan falnak tekintjük. A dinamikus meteorológiában az előbbi helyzet akkor lép fel, amikor a légköri mozgásokat a teljes földfelszín felett elhelyezkedő, s a légkör „felső határáig”
terjedő tartományban vizsgáljuk. Ez röviden azt jelenti, hogy globális problémák esetén bármely vektormező divergenciájára vonatkozó térfogati integrál nulla.
A Stokes-tétel:
,
ahol a tetszőleges zárt görbén kifeszített nyílt felület. A rotáció tehát a tér „forgásosságát”, kétdimenziós esetben az örvényességét jellemzi. Ha , akkor nincs forgás (örvényesség).
Következmény: A mennyiség nem más, mint a mennyiség irányú komponense, ha (Descartes-féle koordináta-rendszerben). Ezért, ha vertikális ( -irányú) komponense állandó, akkor a vektormező
integrállal értelmezett cirkulációja is állandó.
Értelmezhetjük a légköri folyamatokat leíró skalár- és vektor változók tér- és időbeli parciális megváltozását, illetve a teljes időbeli változásukat. Tekintsük a sebességmezőt (vektor-vektor függvényt). Ennek teljes időbeli megváltozása:
. A skalármező (pl. a hőmérséklet) teljes időbeli változása:
.
.
A skalár- és a vektorterek leírásában – a feladat jellegétől függően – gyakran alkalmazzák az ún. tenzor jelölést is. Az , , ,... tetszőleges latin betűs indexek az 1, 2, 3 értékeket vehetik fel a háromdimenziós térben (három lineárisan független egységvektor), melyek rendre megfelelnek a vektorok, illetve a tenzorok egyes koordináta-tengelyek irányába eső összetevőinek. A számítások során nagyon hasznosnak bizonyul két kifejezés a két indexes összegzéseknél használt Kronecker-delta szimbólum (lásd részletesebben aII.3. fejezetet):
,
illetve a három indexes összegzéseknél alkalmazott Levi–Civitta-szimbólum
.
A Levi–Civitta-szimbólum egy három indexes, teljesen antiszimmetrikus mátrix, vagyis bármely indexét rögzítve a másik két index felcserélésekor a mátrix elemei előjelet váltanak.
Legyen az és vektor alakja:
, ,
ahol jelöli az egységvektorokat. A fenti szimbólumok alkalmazásával egyszerűen felírható pl. két vektor skaláris és vektoriális szorzata:
, . Két vektor diadikus szorzata tenzor, melynek alakja:
, ahol a tenzor jele, míg a jelölés a tenzor elemeire utal.
A vektorokat (s természetesen az egységvektorokat is) vastag betűkkel, míg a vektorkomponenseket (a számértékeket) vastagítás nélküli betűkkel jelöljük. Hasonló módon járunk el tenzorok és vektorok bármilyen szorzatának képzésekor is. Adott kifejezésben valamennyi ismétlődő latin indexre 1-től 3-ig összegzünk. Több összegző indexszel számolva, természetesen minden indexpár bármely két, azonos betűvel jelölhető. Az összeg értéke a jelöléstől független, minthogy az indexek mindhárom lehetséges értéket felveszik. (E jelölésmódot használják pl. a turbulencia leírásánál a dinamikus meteorológiában.)
Mind a fizikában, mind a dinamikus meteorológiában nagy jelentőséggel bírnak az invariánsok. Ezek olyan mennyiségek, amelyek függetlenek a koordináta-rendszer választásától. A koordináta-rendszertől való függetlenséget e mennyiségek integrál előállítása biztosítja. Folytonos és differenciálható vektortérben az integrál előállítás miatt végtelen számú és különböző rendű (különböző hatványkitevős) integrál invariánst értelmezhetünk, melynek segítségével leírhatjuk az adott vektormező változásait. Mi a legfontosabb, szemléletes fizikai tartalommal rendelkezőket vizsgáljuk, amelyek jól köthetők egy elmozduló légrész alakváltozásához. Lineáris sebességi (vektor-) mezőt feltételezve ilyen invariáns mennyiség a transzláció (eltolás(vektor-), a divergencia, a rotáció és a deformáció.
Ismétlő feladatok a vektorszámítás témaköréből
II.2.1.Adjuk meg az és a vektorok skaláris, vektoriális és diadikus szorzatát (ha mást nem mondunk, akkor a derékszögű Descartes-féle koordináta-rendszerben dolgozunk). Megjegyezzük, hogy a sor- és oszlopvektorokat – hacsak nem bír meghatározott jelentéssel – nem jelöljük külön.
II.2.2.Számítsuk ki az , a és a mátrix determinánsát, a transzponált-,
az adjungált- és az inverz mátrixát!
II.2.3.Oldjuk meg -re az
egyenletet, ahol és vektorok adottak.
II.2.4.Oldjuk meg a következő vektoregyenleteket
a) ,
b) és , ahol egy előre megadott állandó, c) és , ahol egy előre megadott állandó!
II.2.5. Számítsuk ki a következő ún. Vandermonde-determináns értékét, ami pl. a magasabbrendű differenciálegyenletek megoldásánál szerepelhet. (Vandermonde Alexandre Theophile (1735–1796) francia matematikus volt, aki a determinánsok önálló területének első elemzője volt, bár „nem is hallott a róla elnevezett determinánsról”.)
.
II.2.6.Számítsuk ki két, alakú mátrix összegét és szorzatát! (Megjegyezzük, hogy ugyanilyen típusú műveleti szabályok érvényesek az alakú komplex számokra is.)
II.2.7.Oldjuk meg a következő egyenletrendszert!
.
II.2.8.Milyen mellett van az egyenletrendszernek triviálistól különböző megoldása?
.
II.2.9.Mely pontban metszik egymást a következő egyenletekkel jellemzett síkok?
.
II.2.10.Adjuk meg a sajátértékeit és a sajátvektorait a következő -as mátrixnak! Oldjuk meg az sajátérték-sajátvektor feladatot!
. II.2.11.Határozzuk meg az
-es mátrix sajátértékeit! Vezessük be a számításnál a jelölést, s ennek segítségével írjuk fel a főátlóban levő elemeket. A szögfüggvényekre vonatkozó összefüggéseket használjuk!
Megjegyezzük, hogy a fentihez hasonló alakú mátrixokkal találkozunk, amikor a másodrendű parciális deriváltak centrális, másodrendben pontos véges különbséges alakjával dolgozunk.
Vektoranalízis
II.2.12.Számítsuk ki az alábbi skalármezők gradiensét! Oldjuk meg a feladatot a nabla operátor alkalmazásával, illetve az úgynevezett indexes jelölés használatával is! Itt és a továbbiakban a helyvektor, míg egy vektorállandó.
A helyvektor, illetve a vektorállandó nagysága rendre és . Descartes-féle koordináta-rendszerben dolgozzunk!
a) ,
b) ,
c) ,
d) ,
e) ,
f) ,
g) .
II.2.13.Számítsuk ki az alábbi vektormezők divergenciáját és rotációját!
a) ,
b) ,
c) ,
d) ,
e) ,
f) ,
g) ,
h) ,
i) ,
j) .
Itt is a helyvektor, pedig vektorállandó. Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerben dolgozzunk!
II.2.14.Melyik kifejezés lesz nulla?
a) ,
b) ,
c) ,
ahol vektor-vektor függvény, a helyvektor.
II.2.15. Mi legyen a vektor harmadik komponense, ha a sebességmező divergenciamentes?
?
II.2.16.Számítsuk ki az indexes jelölés alkalmazásával az szögsebességgel forgó merev test rotációját!
II.2.17. Legyen a Föld szögsebesség vektora, a légrész helyvektora, a vizsgált légrésznek a Föld forgástengelyétől vett távolság vektora. Mutassuk meg, hogy teljesül a centrifugális-erő számításakor használt
összefüggés!
II.2.18.A felszínközeli réteg szélprofiljait gyakran
a) logaritmikus: ,
b) hatványkitevős: , illetve
c) logaritmikus-lineáris alakban adjuk meg.
Erősen stabilis rétegződés esetén
d) lineáris profilközelítést használunk: .
A horizontális sebesség értéke a szinten (a felszínközeli rétegben eltekintünk a szélirány magasság szerinti változásától). Adjuk meg az ilyen – horizontálisan homogén áramlás feltételezésével kapott – áramlási mezők rotációját! A koordináta-rendszerxtengelye az áramlás irányába mutat,a,b,ca szélprofil megadásához szükséges állandók (II.2.1. ábra).
II.2.1. ábra. Felszínközeli réteg szélprofiljai Az állandókat úgy állítottuk be, hogy , , továbbá -es hatványkitevős profilt használunk, illetve a logaritmikus-lineáris
profilközelítésnél feltétellel éltünk .
II.2.19.Az erősen felmelegedett pusztán, vagy akár a Mars légkörében is megfigyelhető „táncoló porördögöket”
az ún. Rankine-örvények segítségével írhatjuk le (II.2.2. ábra).(William John Macquorn Rankine(1820-1872), híres angol fizikus, aki az áramlástan mellett termodinamikával is foglalkozott.)
II.2.2. ábra. A Rankine-örvény sebességeloszlása a középponttól való távolság és az örvény sugarának aránya függvényében (rcaz örvény sugara
Határozzuk meg az sugarú, szögsebességű „porördög” középpontjától távolságra a rotációt, ha az érintő irányú sebességi mező alakja, a „porördög” középpontjától ( ) számolva:
.
Hengerkoordináta-rendszerben dolgozzunk! az érintő irányú sebességet jelöli, ami a porördög belsejében a középponttól távolodva lineárisan nő, míg az örvényen kívül a távolsággal fordított arányban csökken.
II.2.20.Egy hajó a ciklon elől „menekül” a maximális nyomásemelkedés irányába (II.2.3. ábra). A hajón a barométer 0,5 hPa-t süllyed egy óra alatt. A nyomási gradiens nagysága 1 hPa / 200 km. A hajó haladási sebessége 15 csomó.
Becsüljük meg a hajóhoz közeli szigeten a nyomási tendencia értékét!
II.2.3. ábra. A teljes és a parciális deriváltak szemléltetése. A hajó mozgása „a vihar elől”.M – magas nyomás.
II.2.21.Egy légrész adiabatikusan mozog. Kiindulási helyéről három óra alatt északkeleti irányba 150 km-es utat tett meg, miközben a kiindulási szinttől 1000 m-rel magasabbra sodródik. A horizontális hőmérsékleti gradiens észak-déli irányú. A hőmérséklet a magassággal 0,5 °C-ot csökken 100 m-enként. A lokális hőmérsékletváltozás +1 °C / óra. Becsüljük meg a hőmérsékleti gradiens értékét!
II.2.22.A hegyen átkelő légrész sebessége 8 m s–1, s 26 perc alatt éri el a hegygerincet. A légpálya 4 fokos szöget zár be a vízszintessel. A szabad légkör hőmérsékleti gradiense 0,5 °C/100 m. Adjuk meg a lokális hőmérsékletváltozást a hegycsúcson! A légrész száraz adiabatikusan emelkedik. (Feltételezzük, hogy „az emelőmozgás” beindulása előtt a légkör nyugalomban volt.)