E fejezetben elsősorban a nagyskálájú folyamatok leírásában használt kétdimenziós horizontális áramlási mező sajátosságait vizsgáljuk, de foglalkozunk a skalármezők deriváltjaival is. Descartes-féle, illetve természetes koordináta-rendszerben dolgozunk.
A kétdimenziós lineáris áramlási mező négy invariáns mennyiség segítségével írható le. Ezek a transzláció (egy állandó vektormező), a divergencia, a örvényesség (a rotáció vektor felületre merőleges összetevője) és a deformáció, ami két tag ( és ) négyzetösszege (lásd a II.5. fejezetet is). Gyakran használjuk ezeket az invariánsokat természetes koordináta-rendszerben (II.6.1. ábra). Itt a két egymásra merőleges egységvektor az adott pontbeli sebesség érintője ( ), illetve az arra merőleges irány ( ). Körmozgás esetén az érintő irányú egységvektort gyakran -rel jelöljük. Azt hogy jobb, vagy balsodrású koordináta-rendszert használunk (kinek mi a „természetes”?) az adott feladat dönti el.
II.6.1. ábra. Áramvonalon mozgó elemi folyadékrész. (Lajos Tamás 2004-ben kiadott Áramlástan alapjai című könyvéből.)
Az invariánsok alakja a Descartes–féle koordináta-rendszerben (lásd aII.5. fejezetis):
, ,
, ,
és természetes koordináta-rendszerben:
, ,
, ,
ahol a szélsebesség nagysága ( ), Az irány az áramvonal érintője. az áramvonalakra merőleges ív szögváltozása az irányú elmozdulás esetén, míg az áramvonalak által bezárt szög változása
az áramvonalakra merőleges irányú elmozdulás esetén. A fenti felírás jobbsodrású ( ) koordináta-rendszer esetén teljesül. A számításnál figyelni kell az egyes deriváltak (szögváltozások) előjelére. Megjegyezzük, hogy
és egyenlők, mert merőleges szárú szögek.
Ciklon örvényessége pozitív, anticikloné negatív. Az egyszerűség kedvéért tekintsünk kör alakú izobárokat, olyan ( ) koordináta-rendszert, ahol a szélsebesség ciklonális esetben pozitív ( ), anticikonális esetben pedig negatív ( ), a sugárirányú változás, pozitív, ha a középponttól távolodunk (II.6.2. ábra). Itt az örvényesség alakja:
.
II.6.2. ábra. Az örvényesség meghatározása ciklonban. Figyeljük meg a görbületi hatást és a szélnyírást leíró tagot!
Mind a Descartes-féle, mind a természetes koordináta-rendszerben értelmezhetjük az skalár gradiensét is:
, .
A dinamikus és szinoptikus meteorológiai feladatokban általában szabályos, vagy szabálytalan rácshálózaton végezzük a számításokat, a deriváltak meghatározását. A deriváltak kiszámítására használatos – talán legelterjedtebb, de mindenképpen a legszemléletesebb módszer – a véges különbségek alkalmazása.
Tekintsük a térbeli deriváltakat az ( ) pontban. Ez legyen a koordináta-rendszer középpontja a deriválásra vonatkozó véges különbséges munkaformulák kidolgozásánál ( ). Tengelyesen szimmetrikus rácshálózatot és centrális – a számítási terület közepén levő ( ) pontra vonatkozó – véges különbséges sémát alkalmazva az első deriváltakra teljesül, hogy:
, ,
ahol ( ) a vizsgált rácspontok száma az adott területen, a -dik rácspontban határozzuk meg a derivált értékét, ezért használunk további rácspontot; a vizsgált függvény, aminek az adott térbeli deriváltját keressük, míg a függvény -edik rácspontbeli értéke. A fenti formula analógiájára adhatjuk meg a vegyes második deriváltak alakját:
, de a fenti formula mintájára előállíthatjuk a második deriváltakat is.
Abban az esetben, ha az és irányú rácstávolság nem egyezik meg, a második deriváltak előállítása bonyolultabbá
válik. Ekkor az rácspontbeli interpolált érték, valamint az és az deriváltak együttes meghatározására a következő egyenletrendszert kell megoldani:
,
,
.
Az előrejelzési tartomány szélén már nem alkalmazhatók a centrális sémák, gyakran használnak első rendben pontos féloldalas sémákat. Legyen a két rácspont távolsága . Ekkor az első rendben pontos féloldalas séma:
.
II.6.1.A horizontális divergencia természetes koordináta-rendszerbeli integrál előállítása
alapján mutassuk meg, hogy a divergencia itteni alakja:
,
ahol az nyílt felületet körülfogó zárt görbe, a görbe menti elmozduláshoz tartozó norválvektor.
II.6.2.Az örvényesség természetes koordináta-rendszerbeli integrál előállítása
.
Az integrál előállításának alapján mutassuk meg, hogy az örvényesség itteni alakja:
,
ahol az nyílt felületet körülfogó zárt görbe, a görbe érintő vektora!
II.6.3.A kör alakú izobárokkal jellemzett ciklon középpontjától 800 km-re a szélsebesség 10 m s–1, 900 km-re 12 m s–1. Adjuk meg az örvényességet a középponttól 850 km-re!
II.6.4.Az anticiklon centrumától 1000 km-re a szélsebesség 5 m s–1. Mekkora és milyen irányú a szélsebesség gradiens, ha a vizsgált állomás felett nulla az örvényesség?
II.6.5.Határozzuk meg a divergenciát párhuzamosan futó áramvonalak esetén, ha a szélsebesség növekedése az áramvonalak mentén 500 km-en 3 m s–1.
II.6.6.Határozzuk meg a divergenciát, az örvényességet és a deformációt aII.6.3. ábránbemutatottr= 300 km-es felbontású ekvidisztáns rács középpontjában!
II.6.3. ábra. Szélsebesség értékek ekvidisztáns rácspontokban, r = 300 km.
II.6.7.Határozzuk meg a divergenciát, az abszolút örvényességet (a relatív és a planetáris örvényesség összege) aII.6.4. ábránbemutatott r = 250 km-es felbontású ekvidisztáns rács középpontjában a 45° szélességi körön!
II.6.4. ábra. Szélsebesség értékek ekvidisztáns rácspontokban, r =250 km.
II.6.8. a) Adjuk meg a szélsebesség értékét az 1. rácspontban, ha tudjuk, hogy mind a divergencia mind az örvényesség becsült értéke nulla a II.6.5a. ábrán bemutatott r = 300 km-es felbontású ekvidisztáns rács középpontjában. b) Oldjuk meg a feladatot aII.6.5b. ábraadataival is. Mekkora lesz a sebesség a 3. rácspontban?
Számítsuk ki mindkét esetben a defomációt is!
II.6.5. ábra. Szélsebesség értékek ekvidisztáns rácspontokban, r = 300 km. A rácshálózat középpontjában nincs sem örvényesség, sem divergencia.
II.6.9.Adjuk meg aII.6.6a-b. ábránlátható, két-két áramvonal futása alapján kijelölt területre jellemző divergencia, a relatív és abszolút örvényesség, valamint a deformáció értékét! A 60° szélességi kör térségében dolgozzunk!
II.6.6. ábra. Szélsebességi értékek az áramvonalak mentén.
II.6.10. Számítsuk ki a divergencia és az örvényesség értékét aII.6.6. ábrán bemutatott áramlási mezőben az invariáns definíciójuk (integrál alak) segítségével! (Lásd aII.6.1.ésII.6.2. feladatotis!)
II.6.11.Adjuk meg aII.6.7. ábránlátható, két tengelyszimmetrikusan futó áramvonal alapján kijelölt területre jellemző divergencia, örvényesség és deformáció értékét!
II.6.7. ábra. Szélsebességi értékek két szimmetrikus áramvonal mentén.
II.6.12.Hány százalékkal és hogyan kell változnia a szélsebességnek az áramvonal mentén 600 km-es távolságban, ha az áramvonalak 20°-os szögben tartanak szét és a mező divergenciamentes? A két áramvonal közötti átlagos távolság 400 km volt.
II.6.13.Adjunk számítási formulát az örvényesség, a divergencia és a deformáció meghatározására, ha egyrsugarú körön nyolc egymástól azonos távolságban levő pontban ismerjük a sebességi mezőt! A rácspontok elhelyezkedését aII.6.8. ábraszemlélteti.
II.6.8. ábra. Egy r sugarú körön elhelyezkedő 8 ekvidisztáns távolságra levő rácspont.
II.6.14. Számítsuk ki a hőmérsékleti gradiens nagyságát az sugarú körön elhelyezkedő 8 pontos egymástól ekvidisztáns távolságra lévő rácsponti adatok ismeretébenII.6.1. táblázatés aII.6.8. ábra! (Egy klasszikus feladat 60 évvel ezelőttről.)
II.6.1. táblázat. A nyolc pontos séma hőmérsékleti adatai.
Íjuk fel a hőmérsékleti gradienst aII.6.9. ábránbemutatott 8 pontos négyzetrács alkalmazásával, ami az 5, 6, 7, 8 pont kivételével egybeesik azrsugarú 8 pontos sémával.
II.6.9. ábra. 8 pontos ekvidisztáns négyzetes rács.
II.6.15.Mutassuk meg, hogy aII.6.10. ábraszerinti
centrális séma másodrendben pontos, míg a
féloldalas séma első rendben pontos.
II.6.10. ábra. Az x-irányú rács.
II.6.16. Adjuk meg négy gyakran használt klasszikus rácshálózaton az elsőrendű parciális derivált alakját (II.6.11. ábra).
II.6.11. ábra. Különböző típusú (a–d) horizontális rácsok a deriváltak véges különbséges meghatározásához.
II.6.17.Mi az elemi feltétele annak, hogy három mérési pont segítségével meghatározzuk a horizontális divergencia, örvényesség és a deformáció értékét?
II.6.18.Adjuk meg a második deriváltak és a Laplace-operátor véges különbséges alakját a) centrált másodrendű séma (II.6.12. ábra), b) hatpontos háromszög rácsra, amely 45°-os szögben elforgatott négyzetekből van felépítve, c.) Szabályos hatszög rácsra (lásd aII.6.16. feladatc és d részét is).
II.6.12. ábra. A legáltalánosabb centrált véges különbséges séma rácspontjai (a négyzetes rácshálózat).
II.6.19. Adjuk meg az 500 hPa-os szinten a geosztrófikus örvényességet négyzetes rácshálózat (II.6.12. ábra) segítségével a 45° szélességi körön, ha a geopotenciál értékek gpm egységben megadva ( , ahol H a geopotenciális magasság, a nehézségi gyorsulás referencia értéke): ,
, , , ! Az ekvidisztáns rácstávolság
.
II.6.20.Becsüljük meg a nyomás Laplace operátorát, ha a szinoptikus térképen egy négyzetes rácshálózat (II.6.12
ábra) pontjaiban a következő értékeket olvashatjuk le: , , , ,
! Az ekvidisztáns rácstávolság 500 km.
II.6.21. Becsüljük meg a ciklon geosztrófikus örvényességét a 40° szélességi körön, ha kör alakú izobárokkal rendelkezik, s a középpontjától (980 hPa) 350 km-re távolodva a tengerszintre redukált légnyomás átlagosan 5 hPa-t emelkedik. . A levegő sűrűsége legyen 1,2 kg m–3.