ahol a geopotenciál az izentróp felület adott pontjában!p0jelöli az 1000 hPa-os standard nyomási szintet.
Megjegyezzük, hogy a potenciális hőmérsékleti rendszerben vagy stabilis, vagy teljesen labilis légkört (ez utóbbi nem bír gyakorlati jelentőséggel) modellezhetünk, hiszen teljesülnie kell a magasság és a potenciális hőmérséklet közötti bijekciónak. Itt is sztatikus légkör feltételezésével élünk.
I.3.10.Adjuk meg az Exner-függvény , mint vertikális koordináta segítségével a mozgásegyenletek, a kontinuitási egyenlet és termodinamikai egyenlet alakját! Ezt a koordináta-rendszert elterjedten alkalmazzák a mezoskálájú modellezésben mind hidrosztatikus, mind nem-hidrosztatikus modellekben.
Az Exner-függvény önmagában is fontos a klasszikus dinamikus meteorológiában. Adiabatikus feltételezés mellett leegyszerűsíti azrendszerben felírt légköri hidrotermodinamikai egyenletrendszert.
I.3.11.Írjuk fel a légköri dinamikai és termodinamikai egyenleteket módosított izentróp koordináta-rendszerben,
!
I.3.12.Adjuk meg a potenciális hőmérsékletet ha a 850, 700, 500 és a 300 hPa-os főizobár szinten a hőmérséklet
rendre , , és !
I.3.13.Adjuk meg a Montgomery-potenciál értékét a 300 K izentróp felületen, ha ennek nyomása 500hPa, a geopotenciál értéke 504 geopotenciális dekaméter! A geopotenciál számításánál normáló tényezővel számolunk.
I.3.14.Mennyivel különbözik a Montgomery-potenciál értéke a geopotenciáltól a 310 K izentróp felületen, ha itt a hőmérséklet ?
I.3.15.Határozzuk meg az izentróp felület hajlásszögét, ha az térképen -os hőmérséklet különbséghez – a legnagyobb változás irányába 0,5 ces távolság tartozik! A potenciális hőmérséklet a magassággal 100 m-enként -ot emelkedik.
I.3.16.Becsüljük meg az izentróp koordináta-rendszerben a vertikális sebességet, ha éjszaka a kisugárzási folyamatok során a légtest hőmérséklete 6 óra alatt -kal csökkent. Feltesszük, hogy és .
I.3.17.Becsüljük meg az izentróp koordináta-rendszerben a vertikális sebességet, ha 4 óra alatt 3 g kg–1felhőlevegő kondenzálódik! Most is feltesszük, hogy és .
I.3.18.Egy légrész emelkedési sebessége 0,4 m s–1. A légnyomás 8,5 m-enként csökken 1 hPa-t. Adjuk meg a vertikális sebességet nyomási rendszerben!
I.4. A légköri folyamatok nagyságrendi analízise
A meteorológiai állapothatározók és deriváltjaik értéke különböző skálájú folyamatok esetén más és más lehet (I.4.1. táblázat).
I.4.1. táblázat. Meteorológiai állapothatározók és változásainak karakterisztikus értékei különböző méretskálákon 107–10–2m mérettartományban. (Orlanski, 1975; Práger, 1982; Stull, 1988 és Czelnai, 1995 alapján).
Méretskála Jelölés,
Karakterisztikus értékek
mértékegység Mezo- Mezo- ,- Mikro
Szinoptikus
Horizontális ( ) és lokális ( )* változások Horizontális sebesség
A karakterisztikus Euler-féle időbeli változás a hányados alapján becsülhető.
A skálaválasztásától függ, hogy a kormányzó egyenletekben mely tagok válnak fontossá, illetve melyeket hanyagolhatunk el. A dinamikus meteorológiában meghatározó szerepe van a nagyskálájú (szinoptikus, vagy mezo- skálájú) mozgásrendszereknek (I.4.1. táblázat). A légköri hidrotermodinamikai egyenletrendszer általános érvényű, az áramló közeg bármely pontjában, bármely időpontban teljesül. A meteorológiai mérések, és az időjárási előrejelzések térben és időben átlagolt mennyiségekre vonatkoznak. Amikor meteorológiai rácshálózaton számolunk szintén tér- és időbeli átlagokkal foglalkozunk. A turbulenciát az átlagos mozgástól, pontosabban a várható értéktől vett eltéréssel értelmezhetjük.
Nézzük a legegyszerűbb ún. Reynolds (1895) átlagolást! Legyen és állapotjelző a tér és az idő folytonos, többszörösen deriválható függvénye. Az átlagolást matematikai operációnak (az adott térrészre és az adott átlagolási időszakra vonatkozó tér- és időbeli integrálásnak) tekintve az alábbi posztulátumokat tehetjük:
, , ,
ahol és állandók, adott tér-, vagy idő-koordináta . Az állapotjelző tetszőleges
pontban és időpillanatban két mennyiség az átlagérték ( ) és az ettől vett eltérés az ún. fluktuáció ( ) összegeként írható fel:
.
A fenti felírásból következik a Reynolds-féle átlagolás negyedik posztulátuma:
, vagyis a fluktuációk átlaga nulla.
Hasonlósági kritériumok
Ha egy fizikai rendszert darab mennyiség jellemez, akkor a rendszert leíró összefüggések mindig darab dimenziómentes változó közti összefüggésre redukálhatóak. A redukcióra érvényes a összefüggés, ahol a rendszert jellemző azon fizikai mennyiségek maximális száma, amelyekből még nem képezhető dimenziómentes szorzat. Ez aBuckingham-tétel. Az egyszerűség kedvéért tekintsük a metrikus gyorsulások elhanyagolásával vektori alakban felírt Navier–Stokes-egyenleteket. Jelöljük a molekuláris ( ) és a turbulens diffúziós folyamatok
hatására kialakuló súrlódási erőt.
.
Az egyes tagok nagyságrendi becslésénél a horizontális nyomás perturbáció (nagyságrendje 10 hPa), a kinematikai viszkozitási együttható, az impulzusszállításra vonatkozó turbulens diffúziós együttható, s emlékeztetőül a Coriolis-paraméter alakja, .
Molekuláris viszkozitási erő legfeljebb az alsó néhány cm-es rétegben jelentős ( ). A turbulens súrlódási erővel a határrétegben számolhatunk, melynek karakterisztikus vastagságát -val jelöljük: az éjszakai stabil rétegződés esetén 100 m-es, míg nappal a konvekció eredményeként km-es nagyságrendű.
Az impulzusszállításra vonatkozó turbulens diffúziós együttható ( ) hozzávetőlegesen a határréteg harmadánál éri el a maximális értékét, határrétegbeli karakterisztikus értéke: 10–50 m2s–1. A szabad légkörben , nincs turbulens keveredés, és súrlódási erő sem. Természetesen ez alól kivételt képeznek az erős szélnyírással rendelkező területek (konvektív rendszerek, vagy a futóáramlások).
A mozgásegyenletekben 6 tag szerepel (gyorsulás, nyomási gradiens-erő, Coriolis-erő, gravitációs erő, molekuláris és turbulens viszkozitásból származó súrlódási erő). A gyorsulás dimenziójában két mértékegység – a hosszúság és az idő – van, így aBuckingham-tételben szereplő értéke 1. Ez azt jelenti, hogy jól megválasztott dimenziónélküli számmal pl. az erők eredőjeként létrejövő gyorsulás ( ) és valamelyik másik erő hányadosával jellemezhetjük az áramlást. Itt kihasználjuk, hogy a vertikális gyorsulás ( ) legalább egy nagyságrenddel kisebb mint a horizontális, illetve tudjuk, hogy a nyomási gradiens erő függőleges komponense és a nehézségi gyorsulás azonos nagyságrendű (10 m s–2). Nézzük ezeket az egymástól független dimenziótlan számokat!
i) Az Euler-szám ( ) a horizontális nyomási gradiens erő és a gyorsulás hányadosa:
.
ii) A Rossby-szám ( ) (nevezik Kibel-számnak is) a horizontális gyorsulás és a Coriolis-erő közötti arányt fejezi ki:
.
iii) A gyorsulás és a nehézségi erő hányadosa a Froude-szám, horizontális áramlás esetén ( ):
.
A meteorológiai gyakorlatban a vertikális instabilitások vizsgálatánál használják.
iv) A turbulens viszkozitási erő és a Coriolis-erő hányadosa az Ekman-szám ( ):
.
Az Ekman-szám arányos a határréteg, illetve az óceáni súrlódási réteg vastagságával, mivel a forgó közegben a súrlódási erőt elsősorban a Coriolis-hatás tartja egyensúlyban, a nyomási gradiens erő nem lényeges ebből a szempontból.
Gyakran a fenti kifejezés négyzetgyökét adják meg Ekman-számként ( ):
.
A turbulens súrlódási erő és a gyorsulás arányát nem használják a meteorológiában. A határréteg elméletben általában kvázistacionárius sebességi mező feltételezésével dolgozunk. a határréteg karakterisztikus mérete:
nappal 1–2 km, éjszaka néhány száz méter.
v) A gyorsulás és a molekuláris viszkozitási erő hányadosa a Reynolds-szám ( ).
.
Jó indikátora a lamináris és a turbulens áramlás szétválasztásának. Kritikus értéke 103nagyságrendű, függ a felszín érdességétől, de attól is hogy „milyen irányba haladunk”: a turbulens áramlás válik laminárissá, vagy fordítva.
Megemlítjük még a Strouhal-számot ( ) is, ami a gyorsulást jellemzi: az advekció és a lokális sebességváltozás hányadosa.
I.4.1. Mutassuk meg, hogy szinoptikus skálán külön kezelhetjük a horizontális áramlást és a légkör vertikális szerkezetét leíró sztatika alapegyenletét!
I.4.2.Milyen kapcsolatban van a nyomás ( ) és a sűrűség ( ) perturbáció hidrosztatikus légkörben
?
I.4.3. Mutassuk meg, hogy az átlagértékekre is fennáll az állapotegyenlet ! A fluktuációkra felírt állapotegyenlet segítségével a nagyságrendi analízis módszerére támaszkodva bizonyítsuk be, hogy . I.4.4.Becsüljük meg a nyomás perturbációkat a fluktuációkra vonatkozó sztatika alapegyenletéből szinoptikus skálán!
I.4.5.A Descartes-rendszerbeli kontinuitási egyenlet alapján mutassuk meg, hogy szinoptikus skálájú folyamatok esetén a divergencia 10–6 s–1 nagyságrendű! Mit mondhatunk a divergencia- és az örvénymentes sebességkomponensek arányáról?
I.4.6. Adjuk meg a szférikus koordináta-rendszerben felírt mozgásegyenletek nagyságrendi analízisét mezo- ,- skálán a 45. szélességi körön!
I.4.7.Végezzük el a -rendszerben felírt nyomás-tendencia egyenlet nagyságrendi analízisét!
I.4.8.Adjuk meg a Rossby-szám értékét a szinoptikus skálájú folyamatokban, illetve a mezo- , és mezo- skálán!
I.4.9. Adjuk meg a Rossby-számot egy tipikus a) hurrikánban a szélességi körön, ahol , és b) közép-nyugati tornádóban (USA), ahol , !
I.4.10.Elemezzük a
horizontális mozgásegyenlet által leírt mozgásformákat a Rossby-szám különböző értékei esetén
( , , , )!
I.4.11.Adjunk becslést aI.4.1. ábránlátható négy pontban a geosztrofikus szél értékére$ A 60oszélességi körön
vagyunk, .
I.4.1. ábra. Nyomási kép a szinoptikus térképen.
I.4.12. Adjuk meg a Brunt-Vaisala frekvencia nagyságrendi becslését. Hogy függ az alkalmazott skálától (szinoptikus, mezo, vagy mikro)?
I.4.13. Adjuk meg a) a dinamikus meteorológiában gyakran használt dimenziónélküli horizontális skálaparamétert, mint a metrikus és az inerciális gyorsulás hányadosát,
b) a vertikális skálaparamétert, mint a karakterisztikus vertikális méret ( ) és a homogén, vagy a feladattól függően a politróp légkör magasságának ( ) hányadosát,
c) a vertikális rétegződés skálaparaméterét az Brunt-Vaisala (vagy Väisälä) frekvencia felhasználásával, d) a dinamikus időskálát, ami a karakterisztikus idő és a horizontális gyorsulás becsléséből származó – sebességváltozásra jellemző – lokális időskála ( ) idő hányadosa.
I.4.14.Tekintsünk egy szinoptikus skálájú (pl. ciklon) egy mezoskálájú (pl. tengeri parti szél, mint zárt cirkuláció) és egy mikroskálájú folyamatot (cumulus konvekció)! Az állapothatározók és azok változásainak karakterisztikus értékeit az I.4.2. táblázattartalmazza. A légkör vastagsága legyen , míg a Brunt-Vaisala frekvencia karakterisztikus értéke mindenskálán (I.4.11. feladat).
I.4.2. táblázat. Meteorológiai állapothatározók és változásainak karakterisztikus értékei három különböző jelenségben (három különböző skálán). (Horiz. – horizontális)
Nyomás vált.
Adjuk meg azI.4.3. táblázatbana dimenziónélküli mennyiségek nagyságrendjét! Hol vannak 1 körüli ( ), 1-nél kisebb vagy nagyobb, illetve egynél lényegesen kisebb (<< 1) vagy nagyobb (>> 1) értékek?
I.4.3. táblázat. Dimenzió nélküli mennyiségek karakterisztikus értékei három különböző jelenségben (három különböző skálán). (Horiz. – horizontális)
Dimenziónélküli mennyiség Skála
Ciklon Szinoptikus Parti szél Mezo Cumulis Mikro
I.4.15.Adjuk meg azI.4.2. táblázatbanbemutatott 3 folyamatosztályra az Euler-szám, a Rossby-szám a Froude-szám, az Ekman-Froude-szám, a Reynolds-szám értékét.