Weidinger Tamás Tasnádi Péter
II.5. Koordináta-rendszer forgatások, a lineáris skalár- és vektormezők felbontásaskalár- és vektormezők felbontásaskalár- és vektormezők felbontásaskalár- és vektormezők felbontása
aholkadott állandó. Milyen szöget zárnak be az izobárok az izotermákkal? Adjuk meg a baroklinitási vektort és annak nagyságát! Milyen szöget zár be a baroklinitási vektor az északi iránnyal?
II.4.6.A légkör adott területén a hőmérséklet északkelet felé és a magassággal is lineárisan csökken.
,
aholT0,A,CésDismert állandók. Tegyük fel, hogy a légkör hidrosztatikai egyensúlyban van, azaz az egységnyi magasságra eső légnyomásváltozást a következő egyenlet írja le:
.
Milyen szöget zárnak be az izobárok az izotermákkal? Írjuk fel a baroklinitási vektort! Milyen szöget zár be a baroklinitási vektor az északi iránnyal?
II.4.7.Adjuk meg a hidrosztatikus egyensúlyban lévő légkörben a nedves adiabatikusan emelkedő légrész piezotropitási együtthatóját, ha adott a nedves adiabatikus hőmérsékleti gradiens:
!
II.4.8.Adjuk meg ismert piezotropitási együttható mellett az emelkedő légrész hőmérsékletváltozását hidrosztatikus légkörben ( )!
II.5. Koordináta-rendszer forgatások, a lineáris skalár- és vektormezők felbontása
Adott pont közelében természetes feltételezés a lineárisan változó skalár-, vagy vektormező, ami a Taylor-sorfejtés nulladik és első tagjaként állítható elő. A lineáris vektormező felírható négy invariáns mennyiség, a transzláció, a divergencia, a rotáció és a deformáció segítségével.
Fontos a meteorológiai feladatok megoldásában a megfelelő rendszer alkalmazása, pl. a koordináta-rendszer beforgatása az átlagos sebesség (2 vagy 3 dimenziós) irányába. Háromdimenziós forgatásoknál kihasználjuk azt a lineáris algebrai tételt, miszerint a 3 dimenziós koordináta-rendszer forgatás felírható kétdimenziós forgatások összegeként (lásd pl. Rózsa, 1976.)
Nézzük a kétdimenziós esetet! Legyen az átlagos szélsebesség , a szélvektor tengellyel bezárt szöge aII.5.1. ábraszerint . Jelölje a Descartes-féle koordináta-rendszer tengelyeit és , az elforgatott rendszerét pedig és . Legyen adott az helyvektor az eredeti koordináta-rendszerben! Ennek az új rendszerbeli alakja: :
, .
Fordított irányban is megadhatjuk az áttérést:
, .
II.5.1. ábra. Az ( ) és az elforgatott ( ) koordináta-rendszer.
Általános esetben a transzformációk: , illetve , ahol a koordináta-rendszer transzformáció mátrixa, illetve annak inverze rendre:
, illetve .
Megjegyezzük, hogy nem minden esetben teszik ki a mátrix ás a vektor szorzás során a pontot. Egyaránt használatos
pl. az és az írásmód.
Lineáris sebességi mező
Tekintsük a sebességmezőt az ponttól távolságra. Itt a Taylor-sorfejtés szerint a lineáris sebességi mező alakja:
,
.
Kihasználva az invariáns mennyiségek előállítását, vagyis a divergencia, a örvényesség, illetve a deformáció
( ) felírását:
, ,
, , teljesül, hogy:
, , , .
A lineáris sebességi mező alakja az invariánsokkal kifejezve:
,
.
Megjegyezzük, hogy mindig találhatunk olyan elforgatott koordináta-rendszert, ahol a deformáció egyik tagja nulla ( ), továbbá . Az ilyen irányítottságú koordináta-tengelyeket nevezzük főtengelyeknek.
A deriválttenzor
Legyen differenciálható vektor-vektor függvény. tetszőleges elmozduláshoz tartozó megváltozása előállítható
, .
alakban, ami egyértelműen meghatározza a sebességmező deriváltját, hiszen az operátor determinánsa nullához tart, ha . Kis növekmény mellett
,
tehát a változások közötti kapcsolat lineárisnak és homogénnek tekinthető. Elhanyagoljuk a magasabb rendű tagokat és a hozzájuk köthető invariáns mennyiségeket. A fenti egyenlőség alapján felírható a vektor-vektor függvény deriváltja, az ún. deriválttenzor, .
.
A deriválttenzor mátrixát a vektor komponenseinek térváltozók szerinti parciális deriváltjaival adhatjuk meg.
E megváltozásokat a mátrix egyes sorai tartalmazzák. Descartes-féle koordináta-rendszerben:
.
A kifejezéssel megadott homogén lineáris függvényrendszer kettős értelmezésre ad módot. Egyrészt koordináta-transzformációnak tekinthető, másrészt tér-transzformációnak, más néven mozgásnak foghatjuk fel.
A deriválttenzor a leképezés során megadja az hely tetszőleges kis környezetében bekövetkező, lokális hossz-, értelem- (tükrözés) és szögváltozásokat, illetve a különböző dimenziójú lokális mértéktorzulásokat.
(Természetesen ezek a megváltozások nem egymástól függetlenek, mert pl. egy lokális hosszváltozás egyben mértéktorzulás is.)
A deriválttenzor, ahogy bármely más tenzor is felírható egy szimmetrikus és egy antiszimmetrikus tenzor összegeként (Lásd aII.3. fejzetetis).
.
A főtengely tétel szerint (Lásd aII.3. fejzetetis) minden szimmetrikus tenzor létesítette affin (összeg és aránytartó) leképezésnél (a 3 dimenziós térben) legalább 3 egymásra merőleges sajátvektor megtartja az irányát és csupán nyújtást-zsugorítást és tükrözést szenvedhet a sajátérték mértékében
.
Nézzük az antiszimmetrikus tenzorokat! Az tenzor vektor invariánsán – megállapodás szerint – antiszimmetrikus részének, az
,
alakját értjük, ahol az tenzor transzponáltja, míg az egység tenzor. Az
vektorinvariáns alakja:
. A vektorinvariáns jelentése szerint:
.
E felírásból következik, hogy a vektorinvariáns az adott vektortól függetlenül állítható elő.
Megjegyzés: A meteorológiában kiemelkedő fontosságú a sebességmező deriválttenzora. A fenti összefoglalóban a definíciókat lényegében a sebességmező deriválttenzorára vonatkozóan adtuk meg. Természetesen tetszőleges vektormezőnek létezik deriválttenzora.
A következőkben, ha külön nem jelöljük, akkor deriválttenzoron mindig a sebességmező deriválttenzorát értjük.
II.5.1.Határozzuk meg a mátrix sajátértékeit és a hozzájuk tartozó sajátvektorokat (a saját-alterek egy-egy bázisát)!
II.5.2.Adjuk meg vektor reprezentánsát olyan koordináta-rendszerben, amit a) az óramutató járásával ellentétesen -kal ( ),
b) az óramutató járásával megegyezően -kal ( ) elforgattunk. (Lásd aII.5.1. ábrátis!)
II.5.3.Adjuk meg a forgatás mátrixát, ha az új koordináta-rendszer tengelye az koordináta-rendszert az origójába rajzolt kocka átlójának az irányába mutat aII.5.2. ábraszerint.
II.5.2. ábra. Az új elforgatott koordináta-rendszer tengelye az origóból induló kocka átlója.
II.5.4.Miért nem cserélhető fel az előző feladatban szereplő
és két kétdimenziós forgatás sorrendje?
II.5.5.Adjuk meg az elforgatott koordináta-rendszer egységvektorainak a reprezentációját az eredeti koordináta-rendszerben, ha az új koordináta-rendszer tengelyei a
tenzor sajátvektorainak az irányába esnek. Ez ortogonális koordináta-rendszer lesz? Adjuk meg annak a forgatásnak a mátrixát is, ami az új koordináta-rendszerből forgat vissza az eredetibe!
II.5.6.A szonikus anemométerrel a három dimenziós szélmező és a hőmérséklet ( ) pillanatnyi érékeit mérjük, általában 10 Hz-es frekvenciával. Ebből számítjuk ki a kovariancia mátrixot,
,
ami általában félórás átlagolási időre vonatkozik. Ismert félórás átlagos szélsebesség és az átlagos hőmérséklet is. A vesszős tagok a fluktuációs mennyiségek, a felülvonás az átlagolást jelöli a kovariancia számításnál.
A mikrometeorológiában az elforgatott koordináta-rendszer tengelyét az átlagos szélsebesség irányában vesszük fel, vagyis
, , .
a) Írjuk fel a forgatás mátrixát!
b) Adjuk meg a vertikális impulzusáram értékét az elforgatott rendszerben!
c) Adjuk meg a vertikális hőmérsékleti áram értékét az új rendszerben!
d) Változik-e a transzformáció során a hőmérséklet szórásnégyzete?
e) Adjuk meg a sebességkomponensek varianciáját az elforgatott koordináta-rendszerben!
II.5.7.Írjuk fel a lineáris sebességmező alakját, örvényességét és horizontális divergenciáját a szélirányba fordított horizontális koordináta-rendszerben ! Hogyan transzformálódnak az egyes deriváltak? Az elforgatás szöge legyen .
II.5.8.A sebességváltozás alakja:
, .
Adjuk meg a lineáris sebességi mező divergenciáját örvényességét és deformációját!
II.5.9.Adjuk meg a lineáris sebességi mező alakját, ha a szélsebesség értéke , a divergencia értéke , az örvényesség . A mezőben a deformáció értékét elhanyagoljuk!
II.5.10.Adjuk meg a deriválttenzor szimmetrikus és antiszimmetrikus tenzorra való felbontását. Használjuk fel a transzponált tenzor tulajdonságait. (Lásd aII.3. fejezetetis.)
II.5.11. Adjuk meg a deriválttenzor alakját, szimmetrikus és antiszimmetrikus tenzorra történő felbontását a Descartes-rendszerben, ha
,
ahola,b,cállandók. Adjuk meg a három mátrix értékét a pontban.
II.5.12. Tengelyszimmetrikus feladatok esetén hasznos a henger koordináta-rendszer . Itt a három egységvektor: . Az egységvektorok koordináta-irányok szerinti megváltozásai közül kettő különbözik nullától:
, .
Tekintsük a alakú vektormezőt. Adjuk meg a deriválttenzor alakját, szimmetrikus és antiszimmetrikus részét!
II.5.13.Mutassuk meg, hogy a tiszta alakváltozás ellipszoiddá torzítja az elemi gömböt!
II.5.14.Adott a deriváltmátrix a Descartes-féle koordináta-rendszer pontjában:
. a) Adjuk meg a deriválttenzor skalár invariánsait!
b) Írjuk fel a karakterisztikus egyenletet!
c) Számítsuk ki a főfeszültségek (a főtengelyek irányába eső nyújtás és zsugorítás) értékeit, vagy más szavakkal a három sajátértéket!
d) Írjuk fel a szimmetrikus és az antiszimmetrikus tenzor mátrixát!
e) Adjuk meg a deriválttenzor vektor invariánsát is!
f) Adjuk meg az izotróp dilatációt és a tiszta alakváltozás tenzorát is!
II.5.15.Adott a deriváltmátrix a Descartes-féle koordináta-rendszer pontjában:
. a) Adjuk meg a deriválttenzor skalár invariánsait!
b) Írjuk fel a karakterisztikus egyenletet!
c) Számítsuk ki a főfeszültségek (a főtengelyek irányába eső nyújtás és zsugorítás) értékeit és a főtengelyek egységvektorait!