Weidinger Tamás Tasnádi Péter
II.1. A meteorológiai állapothatározók interpolációjainterpolációjainterpolációjainterpolációja
A folytonosan változó meteorológiai állapotjelzők mezőit térben és időben leíró függvényeket nem ismerjük. A megfigyeléseket térben és időbendiszkrét pontokban (illetveadott térrészben) végezzük, ami a mérés jellegéből fakadóanáltalában valamilyen átlagolást jelent. Numerikus modellszámítások során a meteorológiai mezők értékeit egy rácshálózat pontjaiban adjuk meg, s abból számoljuk ki az adott pontra az előrejelzett értékeket.
Maga a meteorológiai mérőhálózat (felszíni, rádiószondás stb.) nem szabályos rácson helyezkedik el. A keresett értékeket adott irányban (egy dimenzió 1D), adott felületen (2D) vagy adott térrészben (3D), valamint a meteorológiai mezők időbeli fejlődését figyelembe véve (4D) kell meghatározni. Célunk, hogy megadjuk a változók értékeit olyan pontokban is, ahol nincsenek adatok.
Sorfejtéses módszerek esetén konvergens végtelen sor csonkításával kapjuk meg a keresett értéket. Approximációs eljárások esetén a megfigyelési és a modellezett adatok nem esnek egybe szükségszerűen, míg az interpolációs eljárásokban alkalmazott függvények átmennek az alappontokon (megfigyelések). E fejezetben ez utóbbi módszerekkel foglalkozunk.
Az interpoláció célja, hogy adott pontsorozathoz ( , ( , …, ( előállítsuk azt a (folytonos) függvényt ( ) amely meghatározott függvényosztályba tartozik és minden megfigyelési ponton átmegy, azaz
.
A megadott függvény típusa határozza meg az interpolációt. Ha pl. a keresett polinom, akkor polinom-interpolációról van szó. Az interpolációs eljárásoknak gazdag irodalma van (Stoyan et al., 2002; Bozsik és Krebsz, 2010; Mészáros, 2011; Barabás, 2012).
A leggyakrabban használt interpolációs technikák a polinom, a Hermite-, és a spline interpoláció. Az interpolációs módszerek osztályozásáról, a térinformatikai alkalmazásokról Márkus (2010) elektronikus jegyzetéből tájékozódhatnak.
A legegyszerűbb, meteorológiai gyakorlatban is alkalmazott módszer a lineáris interpoláció, míg 2D-s esetben a bilineáris interpoláció (II.1.1. ábra).
II.1.1. ábra. A bilineáris interpoláció szemléletes képe.
Ha ismert az állapothatározók értéke az pontokban, akkor könnyen megadható az interpolált érték a pontban. Az egyszerűség kedvéért ekvidisztáns rácstávolsággal számolva ( , az interpoláció súlytényezői fordítva arányosak a pont és a rács és irányú távolságával. Kétszer elvégezve a lineáris interpolációt (először az egyik, majd a másik koordináta-irány szerint, az
munkaformulát kapjuk.
Az interpolációs eljárás súlytényezőit sokféleképpen megválaszthatjuk. A meteorológiai gyakorlatban elterjedten alkalmazzák pl. a távolság reciprokával arányos súlyozást, ami a közelebbi állomások szerepét hangsúlyozza, pl.
a csapadékmező számításakor.
Egy-egy rácsnégyzeten belül magasabb fokszámú polinommal is dolgozhatunk. Ehhez a távolabbi rácspontokat is figyelembe kell venni. Ez a Lagrange-interpoláció, amit egydimenziós esetben szemléltetünk egy harmadfokú polinom alkalmazásával (II.1.2. ábra). Ennél nagyobb fokszámú polinommal a nagy távolság (vagy a feladat számításigénye) miatt általában nem érdemes foglalkozni.
II.1.2. ábra. Egydimenziós köbös Lagrange-interpoláció vázlatos képe.
Legyen ismert az ekvidisztáns rácson az , , és függvényérték.
Határozzuk meg az intervallumban levő pontban az függvény értékét! Az egyszerűség kedvéért legyen
, , …, .
A harmadfokú polinom egyenlete:
. Az együtthatókat az
, lineáris egyenletrendszer adja meg, ami a jelen példánkban:
.
Az egyenletrendszert nem kell megoldanunk. Az együtthatók közvetlenül adódnak a ún. Lagrange-féle formulából (lásd pl. Mészáros, 2011).
Gyakran alkalmazzák az ún. Hermite-interpolációt is. Ennek lényege, hogy -ed rendű polinomot használunk, úgy, hogy ismerjük a függvény és az első derivált értékeit a kiválasztott egymás melletti
rácspontban. Az interpolációt a leggyakrabban alkalmazott harmadrendű polinomra ( mutatjuk be egydimenziós esetben (lásd pl. Mészáros, 2011).
II.1.3. ábra. A harmadrendű Hermite-interpoláció.
Nézzük aII.1.3. ábrát! Az szakaszon belüli pontban vagyunk kíváncsiak az interpolált értékre.
A feladat megoldható, ha ismerjük a függvényértékeket , és az első deriváltakat: , az és az pontban, például a rácsponti adatokból számított véges különbséges módszer alapján.
A harmadfokú polinom egyenlete:
,
a megoldásra váró lineáris egyenletrendszer, amelyből a polinom együtthatóit kapjuk :
.
A Hermite-interpolációnál nem csak a függvényértékek, hanem az első deriváltak illeszkedését is elvártuk.
A spline interpoláció lényege, hogy a csatlakozási helyeken (rácspontokban) a függvényértékek mellett valamilyen rendig a deriváltak illeszkedését is kiköti. Sima átmenetet feltételezünk az egyes szakaszok határpontjaiban: -ed fokú és -ad rendű rendű (azaz, a fokszám a szakaszonként illesztett polinomok fokszáma, a ad rend pedig a k-adik derivált illeszkedésére vonatkozik). Megjegyezzük, hogy a lineáris interpoláció egy elsőfokú nulladrendű spline interpoláció (II.1.4. ábra).
II.1.4. ábra. Lineáris nulladrendű (baloldal) és köbös elsőrendű spline interpoláció (jobboldal).
A meteorológiában általában szakaszonként harmadfokú, s így másodrendű spline interpolációt használnak. Ez már „elég sima” mezőt ad a meteorológiai alkalmazásokhoz, s még egyszerűen (azaz mérsékelt számításigénnyel) megvalósítható.
II.1.1.Adjuk meg a bilineáris interpoláció munkaformuláját, ha !
II.1.2. Adjuk meg a hőmérséklet értékét a pontban aII.1.5. ábraszerinti háromdimenziós rácson háromdimenziós lineáris interpoláció segítségével!
II.1.5. ábra. A hőmérséklet értékei a háromdimenziós rács rácspontjaiban. A pont helyzete a rács kezdőpontjához
( ) viszonyítva: , , .
II.1.3. Becsüljük meg a csapadék értékét a pontban a három szomszédos csapadékmérő állomás (II.1.6. ábra) adataiból a) a távolsággal ( ) fordítottan arányos b) a távolság reciprokával arányos, c) a távolság négyzetével fordítottan arányos, d) a távolság négyzetének reciprokával arányos súlytényezők alkalmazásával! Az eredményeket mm-re kerekítve adjuk meg!
II.1.6. ábra. A három közeli csapadékmérő adatai és távolsága ( , , ) a kiválasztott ponttól.
II.1.4. Határozzuk meg a 200 m-es szint specifikus nedvességét harmadfokú Lagrange-féle interpoláció alkalmazásával. A specifikus nedvesség magasságszerinti változását aII.1.1. táblázatszemlélteti.
II.1.1. táblázat. A specifikus nedvesség magasságszerinti változása stabil határréteg esetén.
300
A számításhoz használjuk fel a Lagrange-féle interpoláció munkaformuláját!
A Lagrange-féle interpoláció polinomja menjen át az pontokon, ahol értéke . Az interpolációhoz célszerű kiválasztani a 100 m, 150 m, 250 m és a 300 m-es szintet. A harmadfokú polinom helyett a Lagrange-féle interpoláció polinomját használjuk, melynek alakja (Mészáros, 2011; Barabás, 2012):
, .
A képletben a Lagrange-féle -edik alap-polinom, amely az pontokon nulla értéket vesz fel, kivéve az helyet, ahol értéke 1.
. Előállítása
, ahol
, illetve
.
II.1.5.Illesszünk interpolációs polinomot az síkon a , és a pontokra!
II.1.6.Illesszünk interpolációs polinomot az , , és pontokra!
II.1.7.Vezessük le a szakaszonként harmadfokú másodrendű természetes spline együtthatóinak megoldását! ! (A spline interpolációk esetén a természetes elnevezés arra utal, hogy a második derivált értéke a spline két végpontjában nulla.) Az egyszerűség kedvéért ekvidisztáns, egységnyi távolságokkal dolgozzunk (II.1.7. ábra).
II.1.7. ábra. Természetes köbös spline ekvidisztáns távolságokkal ( ).
Az egyes szakaszokban az interpolációs polinom alakja:
.
II.1.8. Illesszünk köbös másodrendű természetes spline-t a II.1.2. táblázatban megadott pontokhoz (a két részintervallumra)!
II.1.2. táblázat. A spline töréspontjai, s az ottani függvényértékek.
1 0
–1
1 0
1