Az örvényességi egyenlet
Abban az egyszerű esetben, amikor a cirkulációt síkgörbe mentén vizsgáljuk, és felületként a görbe által körülzárt síkfelületet tekintjük, akkor a cirkuláció egyúttal a sebességmező rotációjának a felület normális irányába eső komponenséről is tájékoztat. Ha a vizsgált görbe és a közrezárt felület a Descartes-féle koordináta-rendszer síkjába esik akkor az felület határgörbéje körüli cirkulációból, illetve cirkuláció és a felület megváltozásából az örvényességre, és annak teljes időbeli megváltozására következtethetünk:
, pontosabban , .
A meteorológiai gyakorlatban legtöbbször, például előrejelzés készítésekor vagy időjárás-analízisnél az Euler-féle szemléletmódot használjuk, ezért a gyakorló meteorológust a lokális időbeli változások érdeklik. Ez az oka annak, hogy a cirkuláció időbeli megváltozására felírt egyenlet helyett (ami kimondatlanul is egy zárt görbe helyzetének és cirkulációjának időbeli teljes megváltozását adja meg, tehát a Lagrange-szemléletmód szerint értelmezhető könnyebben) az örvényesség, illetve a rotáció – mint pontbeli tulajdonság – lokális változását tanulmányozzuk.
Az örvényességi egyenlet levezetésekor a Descartes-rendszerben felírt horizontális mozgásegyenletekből indulunk ki. Az -irányú mozgásegyenletet szerint, az -irányú mozgásegyenletet pedig szerint deriváljuk, majd az utóbbi egyenletből kivonjuk az előbbit, hiszen . Számítások után az abszolút örvényesség időbeli változására kapott egyenlet:
.
Az I. tag az abszolút örvényesség teljes időbeli változása, ami négy tag összegeként áll elő: a lokális változásból (Ia) az advekcióból (Ib + Ic) és a konvekcióból (Id). A jobb oldal első tagja a divergencia és az abszolút örvényesség hatását adja meg (II). A következő (III) a nyírási-csavarási tag, majd ezt követi (IV) a szolenoidális hatás és a súrlódás (V) ( a súrlódási erőxésykomponense.)
A divergencia-egyenlet
A légrészek mozgásuk során változtatják térfogatukat. A sebességmező divergenciája definíció szerint lokálisan adja meg az adott pontban a légrész relatív térfogatának változási sebességét. Fontos tudni, hogy hol számíthatunk összeáramlásra, illetve szétáramlásra, ismernünk kell a divergencia-mező fejlődését, időbeli változásait. Nagyskálájú folyamatokban a horizontális divergencia változása az örvényesség változásához képest másodlagos, így az időbeli változást leíró egyenletet a nagyságrendi analízis módszerével különböző bonyolultságú diagnosztikai egyenletekké egyszerűsíthetjük.
A horizontális divergencia időbeli változását leíró egyenletet az örvényességi egyenlet mintájára vezethetjük le. Itt is a Descartes-rendszerben felírt horizontális mozgásegyenletekből kell kiindulni, ahol elhanyagoljuk a Coriolis-erő vertikális sebességtől függő részét. Azx-irányú mozgásegyenletet , az -irányú mozgásegyenletet szerint deriváljuk, majd a két egyenlet összeadjuk. A tagok rendezése után:
.
Az egyenlet bal oldala (I) megadja a horizontális divergencia teljes időbeli megváltozását, ami a lokális változásból (Ia), a horizontális divergencia advekciójából (Ib és Ic), valamint a konvekciós tagból (Id) áll. A jobb oldal első tagja (II) a Coriolis-paraméter szélességi körök szerinti megváltozásának ( ) hatását adja meg. A következő tag (III) a horizontális divergencia, valamint a relatív és a planetáris örvényesség hatását mutatja be a divergencia mező fejlődésében. Ezt követi (IV) a forgatási-csavarási tag, ami a vertikális szélnyírástól (a termikus szél hatása) és a vertikális sebességi mező horizontális inhomogenitásától függ; ezek skaláris szorzata. Megtalálható a szolenoidális tag (V), amit itt egy skaláris szorzat alakjában tudunk felírni. A VI. tag a súrlódási erő hatását mutatja.
A jobb oldal utolsó két tagja – aminek nincs analógiája az örvényességi egyenletben – a geosztrófikus örvényesség (VII) és a horizontális szélnyírás (VIII) hatását tükrözi.
A potenciális örvényesség
A (PV – potential vorticity) potenciális örvényesség integrált dinamikus meteorológiai paraméter, olyan skalár, ami magába foglalja a kontinuitási egyenlet (egy adott légrészt vizsgálunk) az abszolút rendszerbeli rotáció ( ) időbeli változására felírt egyenlet (hogyan forog a légrész) és valamilyen skalármennyiségre ( ) vonatkozó megmaradási egyenlet (milyen felületek kötött halad a légrész) hatását. Általános alakja:
.
Ha megmaradó skalárváltozóként a potenciális hőmérsékletet ( ) választjuk, (pl. száraz adiabatikus folyamatokat vizsgálunk, ahol nincs fázisátalakulás), akkor a vizsgált légrész két rögzített potenciális hőmérsékleti
felület között halad. Ilyenkor a folyamatok potenciális hőmérsékleti koordináta-rendszer alkalmazásával egyszerűen leírhatók. Ha egy elmozduló nagyskálájú örvénytestet vizsgálunk, akkor első közelítésként alkalmazhatjuk az abszolút örvényesség megmaradási tételét, vagyis az elmozduló légtest abszolút örvényességének az állandóságával számolhatunk . A potenciális örvényesség három megmaradó mennyiséget (potenciális örvényesség, potenciális hőmérséklet, tömeg) ötvöz egyetlen skalárinvariánssá. Ez a -rendszerbeli Ertel-féle potenciális örvényesség
.
Egysége a PVU (Potential Vorticity Unit) . (Hans Ertel, 1904-1971, német meteorológus, aki 1942-ben publikálta a potenciális örvényesség meghatározásáról szóló cikkét. A témakörrel Carl-Gustav Rossby, Ertel barátja is foglalkozott.)
Nagyskálájú folyamatok során az izentróp potenciális örvényesség általában megmaradó mennyiség és így a légkör folyamatai megfelelő egyensúlyi feltételek (balance equations) és peremfeltételek mellett egyetlen skalár egyenlettel írhatók le, amelyből a többi mezőváltozó visszanyerhető. A potenciális örvényesség egyebek mellett jó segédeszköz a ciklonok keletkezésének és fejlődésének megértéséhez, illetve az óceáni áramlatok vizsgálatához. A tapasztalat szerint például a sztratoszférikus nagy potenciális örvényességű levegő betüremkedése a troposzférába ciklogenezisre, a troposzférikus levegő behatolása a sztratoszférába, anticiklon keletkezésére utal (Tasnádi, 2012).
IV.2.1.Adjuk meg a derivált értékét! Milyen kapcsolatban van ez a mennyiség az örvényesség teljes időbeli megváltozásával ?
IV.2.2.Vezessük le az örvényességi egyenletet nyomási rendszerben! Miért nincs szolenoidális tag az egyenletben?
A nyomási rendszer analógiájára adjuk meg az örvényességi egyenlet általános alakját potenciális hőmérsékleti rendszerben is!
IV.2.3.A Descartes-rendszerben vektoriális alakban a felírt mozgásegyenletből,
kiindulva, a nabla-operátor tulajdonságainak felhasználásával vezessük le a rotáció teljes időbeli változására vonatkozó egyenletet!
IV.2.4.Írjuk fel az előző (IV.2.3 feladat) mintájára a divergencia teljes időbeli változására vonatkozó egyenletet!
IV.2.5. Adjuk meg nagyskálájú folyamatok esetén a divergencia-egyenletből levezethető balansz-egyenletet, amikor is elhanyagoljuk a -vel megegyező (10–11s–2) nagyságrendű tagokat! Írjuk fel a diagnosztikai egyenlet alakját akkor is, ha a 10–10s–2nagyságrendű tagokat is elhagyjuk! Ez milyen közelítés?
IV.2.6.A nyomási gradiens és a sűrűségi gradiens egymással 60°-os szöget zár be aIV.2.1. ábraszerint.
IV.2.1. ábra. A horizontális nyomási és sűrűségi gradiens egymáshoz viszonyított helyzete.
Adjuk meg a divergencia és az örvényesség generálódásának az arányát! Melyik a nagyobb?
IV.2.7. Hogyan hat a nyírási csavarási tag az örvényességi és a divergencia egyenletben? Milyen helyzetű a vertikális sebesség horizontális gradiense és a horizontális sebesség vertikális változását (szélnyírást) leíró vektor egymáshoz képest, ha a) a divergencia, b) az örvényesség generálódása maximális, c) az örvényesség és a divergencia generálódása megegyezik?
IV.2.8.A divergencia pozitív, az örvényesség negatív értékű. Mit mondhatunk az örvényesség és a divergencia generálódásáról?
IV.2.9.Hogy működik a -hatást leíró tag? Jellemezzük az örvényesség és a divergencia változását nyugatias és északias áramlás esetén!
IV.2.10.A súrlódási erő nyugatias irányú és észak felé haladva csökken a nagysága. Mit mondhatunk az örvényesség és a divergencia keletkezéséről?
IV.2.11. Írjuk fel az örvényességi egyenletet az(x, z) síkban! Az egyszerűség kedvéért hanyagoljuk el a súrlódási erőt és a Coriolis-erő vertikális komponensét! Adjuk meg az egyenlet kvázi-geosztrófikus közelítését is!
IV.2.12.Vezessük le a potenciális örvényesség időbeli változását leíró általános egyenletet! A 3 kiindulási egyenlet:
i) a rotáció időbeli változása (lásd aIV.2.3. feladatot), ii) a kontinuitási egyenlet és iii) a skalár megmaradását leíró összefüggés, ahol a vizsgált mennyiségre vonatkozó forrás- és nyelő tagok összege. E három egyenletből kombináljunk össze egy skalárinvariánst!
IV.2.13.Milyen egyszerűsítések után kapjuk a potenciális örvényesség időbeli megváltozását leíró egyenlet általános alakjából (lásd aIV.2.12. feladatmegoldását is)
a potenciális örvényesség, mint konzervatív tulajdonság megmaradási tételét ? IV.2.14.Hogyan értelmezzük aIV.2.2. ábráta potenciális örvényesség megmaradása alapján?
IV.2.2. ábra. Egy légtest mozgása két koordináta-felület között.
IV.2.15.Milyen kapcsolat van a statikus stabilitás és az abszolút örvényesség között, ha a légtest száraz adiabatikusan (két izentróp felület között) mozog (IV.2.3. ábra)?
IV.2.3. ábra. Száraz adiabatikusan elmozduló légtest két izentróp felület között.
IV.2.16.Adiabatikus sekély víz közegben forgó örvénytestre vonatkozóan a potenciális örvényesség megmaradási tétele:
,
ahol és a folyadék teteje és alja egy adott referencia szinttől számolva.
IV.2.4. ábra. A kezdetben nyugalomban levő örvénytest a 30°szélességi körön. Az elmozdulás során sugara kétszeresére nő.
a) A 30° szélességi körön levő 100 km-es sugarú vastagságú örvénytest sugara kétszeresére nő. Hogy változik a légtest sebessége, ha kezdetben nem végzett forgó mozgást? Mi a helyzet a déli féltekén?
b) A felszín és a 10 km-es tropopauza közötti légtest az északi félteke 60°-os szélességi körén mozog. Kezdetben nincs relatív örvényessége ( ). A zonálisan mozgó légtest egy 2,5 km-es platón kel át (IV.2.5. ábra). Hogy változik a relatív örvényessége?
IV.2.5. ábra. Egy plató felé mozgó légtest a 60° szélességi körön.
c) A kezdetben a 60° szélességi körön levő légtest dél felé mozog, s a 45° szélességig jut el. Az egyszerűség kedvéért ne változzék a vastagsága. Mit mondhatunk a relatív örvényességéről? Tekintsünk el a sűrűség változásától!
IV.2.17.
a) A Kárpát-medence térségébe kelet felől hideg levegőtömeg hatol be. A hegykoszorún áthaladva milyen irányba térül el? Ciklonális vagy anticiklonális görbületre számíthatunk?
b) A déli féltekén az Andokon átkelő nyugatias áramlással mozgó ciklonális örvény milyen irányban térül ki?
Ciklonális, vagy anticiklonáris fejlődést tapasztalunk?