sztochasztikus folyamatok elméletéből
3.2. Sztochasztikus integrálás folytonos integran- integran-dusok eseténintegran-dusok esetén
3.2.8. Sztochasztikus integrálás és arbitrázs
A sztochasztikus integrálás és a matematikai pénzügyek kapcsolatának meg-értése céljából érdemes néhány, bizonyos szempontból korai példát tárgyalni.
3.50. Példa. AzI(t)$Rt 0
1
T−sdw(s)„összenyomott” Wiener-folyamat mar-tingál a[0, T)időtartományon.
Legyenw egy Wiener-folyamat és legyen I(t)$
Z t 0
1
T−sdw(s).
A [0, T) szakaszon az integrandus folytonos és az I sztochasztikus integrál értelmes és egy lokális martingált definiál. A[0, T)tartományon
E
vagyis azIvalódi martingál.
3.51. Példa. Folytonos időhorizonton a sztochasztikus integrál, amely alul-ról nem korlátos nem használható az árazási elméletben ugyanis „arbitrázst”
tartalmaz.
Természetesen a[0, T]szakaszon az I(t)$
Z t 0
1
T−sdw(s) integrál nem létezik. Az
[I] (t) =
triviálisan egy szigorúan monoton növő, folytonos és determinisztikus függ-vény. Az inverzét jelölje
f(x)$ xT2 1 +T x.
Azf szintén egy szigorúan monoton növő folytonos függvény és azf a[0,∞) félegyenest képezi a[0, T)szakaszra. AzI(f(s))kifejezés folytonos martingál a[0,∞)félegyenesen, amely kvadratikus variációja[I(f(s))] = [I] (f(s)) =
=s.Az alább tárgyalt Lévy-féle karakterizációs tétel miatt azs7→I((f(s))) egy Wiener-folyamat. Érdemes megjegyezni, hogy ebben az egyszerű esetben a karakterizációs tételre nincsen igazán szükség, ugyanis az integrandus de-terminisztikus, így közvetlen számolással könnyen látható, hogy az integrál eloszlása normális és az integrálfolyamat független növekményű. Tetszőleges t-re az I(t) eloszlása N
0,p [I] (t)
. Ebből már az állítás egyszerűen iga-zolható. Mivel awb(s)$I(f(s))egy Wiener-folyamat, ezért
I(t) =w fb −1(t)
=wb 1
T−t− 1 T
.
A Wiener-folyamatokra a limesz szuperior és a limesz inferior végtelenbe tart, így
lim sup
s→∞ wb(s) = lim sup
s→∞
I((f(s))) = lim sup
t→T
I(t) =∞, lim inf
s→∞ wb(s) = lim inf
s→∞ I((f(s))) = lim inf
t→T I(t) =−∞.
Ebből következően a
τa $inf{t≤T |I(t) =a}
kifejezés majdnem minden kimenetelre véges és majdnem mindenholτa< T.
Tekintsük az
X(t)$ 1
T −tχ(t≤τa)
balról reguláris stratégiát. Tegyük fel, hogy az árak alakulását a[0, T] szaka-szon egywWiener-folyamat írja le. Az X stratégiából származó nyereség a sztochasztikus integrálokra vonatkozó asszociativitási, illetve megállási sza-bály miatt
(X•w) (s)$ Z s
0
1
T−tχ(t≤τa)dw(t) = 1
T−tχ(t≤τa)•w
(s) =
=
χ(t≤τa)• 1
T−t•w
(s) =
= (χ(t≤τa)•I) (s) =Iτa(s) =I(τa∧s). Ebből következően
s→Tlim(X•w) (s) = (X•w) (T) =a,
vagyis ha az árakat egywWiener-folyamat írja le, akkor egy tetszőleges[0, T] szakaszon tetszőleges nyereség realizálható. Vagyis folytonos időhorizonton, még a lehető legegyszerűbb esetben is mindenképpen van „arbitrázs”. Az idé-zőjelet az indokolja, hogy az arbitrázst csak megengedett stratégiák halma-zának rögzítése esetén értelmezhetjük és a gondolatmenet lényege, hogy az
X stratégia nem „megengedett".
3.52. Definíció.Az előző példában awb(t)$I((f(t)))egy Wiener-folyamat.
Ez indokolja, hogy az I(t)$
Z t 0
1
T−sdw(s) =w fb −1(t)
=wb 1
T−t − 1 T
folyamatot a[0, T)szakaszra „összenyomott” Wiener-folyamatnak hívjuk.
A folytonos időhorizont kézenfekvő módon végtelen számú időpontból áll, és ezért tetszőleges véges szakaszon lehet „duplázni”. Az előző példa éppen azt mutatja be, hogy miként. Valójában tetszőlegesa esetén, ha τa az első időpont, amikor egy w Wiener-folyamat eléri az a időpontot, akkor τa <
<∞ és w(τa) = a, vagyis végtelen időhorizonton egy egyszerű megállítási stratégiával triviálisan lehet „arbitrálni”. A példa csak azt mutatja meg, hogy ha megengedjük a sztochasztikus integrált mint „kereskedési stratégiát”, akkor már korlátos időhorizonton is el lehet érni azaértéket. Valójában a megállási opciókról szóló tételben a megállási idők korlátossága azt biztosítja, hogy ne lehessen a végtelen számosságú időhorizontot kihasználva „duplázni”. A megengedett stratégiák alulról való korlátosságának megkövetelése hasonló célt szolgál : Korlátot kívánunk szabni a „kockázat” növekedésének.
3.53. Definíció. Megengedett stratégián olyanθ stratégiákat értünk, ame-lyekre egy alkalmasakonstanssal aθ•S alulról egyenletesen korlátos.
3.54. Lemma. Egy alulról15 korlátos lokális martingál mindig szupermar-tingál, így nem tartalmazhat „arbitrázst”.
Bizonyítás. Az állítás minden trivialitása ellenére igen fontos, így szerepét nem lehet eléggé kiemelni. LegyenL egy lokális martingál és legyen (τn) a lokalizációs sorozata. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy L ≥ 0. A Fatou-lemma miatt hat > s,
E(L(t)| Fs) =E
n→∞lim L(t∧τn)| Fs
≤
≤lim inf
n→∞E(L(t∧τn)| Fs) = lim inf
n→∞L(s∧τn) =L(s),
15Emlékeztetünk, hogy a korlátos lokális martingálok valódi martingálok, ugyanis ilyenkor a Fatou-lemma helyett a majorált konvergencia tétele használható.
vagyis azL valóban szupermartingál. Ha egy rögzített számmal alulról kor-látos nyereségfolyamatokra szorítkozunk, akkor nem lehetséges az arbitrázs, ugyanis az alulról való korlátosság miatt valamely lokális martingál szerinti sztochasztikus integrál szupermartingál, vagyis veszíti a várható értékét. Ha tehát(X•w) (T) =HT ≥0,akkor
0 =E((X•w) (0))≥E((X•w) (T)) =E(HT)≥0.
következésképpenE(HT) = 0, vagyisHT m.m.= 0.
3.55. Példa. Követelések replikálásában a konstans még véges időhorizonton sem egyértelmű.
Tekintsük az előző példában szereplőI„összenyomott” Wiener-folyamatot ésτ−a jelölje az Ifolyamat−aértékhez tartozó találati idejét. Ha
Xa(t)$ 1
T −tχ(t≤τ−a),
ésa ≥0, akkor Va $a+Xa•w= a+Iτ−a ≥0, így az Xa megengedett, hiszen alulról korlátos, ugyanakkor minden a-ra Va(T) = a+I(τ−a) = 0.
Ennek megfelelően a HT $ 0 értéket replikáló a konstans nem egyértelmű, ugyanis az értéke tetszőlegesa≥0szám lehet. Vegyük észre, hogy szemben a véges időhorizont esetével ez nem mond ellent a nincsen arbitrázs feltételnek, ugyanis azX $Xa1−Xa2portfólió nem lesz feltétlenül megengedett, ugyanis a hozzá tartozó értékfolyamat nem lesz alulról korlátos, hiszen a −Xa2 •w alulról nem korlátos, ugyanis azXa2•wcsak alulról, de nem felülről korlátos.
A probléma a megengedett portfólió fogalmának bevezetésében gyökerezik.
A lényeges gondolat az, hogy mivel a végtelen számosságú időhorizont miatt az arbitrázs lehetőségét kizárandó a lehetséges stratégiák nem egy lineáris al-teret, hanem egy kúpot alkotnak, ezért a replikáló konstans egyértelműsége, szemben a diszkrét és véges időhorizonttal, már nem következik a modell köz-gazdasági feltételeiből. Mivel a sztochasztikus integrál nem feltétlenül valódi martingál, ezért a matematikai modell nem garantálja a replikáló portfólióban az induló konstans egyértelműségét.
Ha valamelyHT integrálható változóra HT =a+ (X•L) (T),
ahol azLegy folytonos lokális martingál és azX megengedett, akkor E(HT) =a+E((X•L) (T))≤a+E((X•L) (0)) =a
ugyanis azX•Lalulról korlátos lokális martingál, így szupermartingál, tehát veszíti a várható értéket. Vagyis a reprezentáló konstans nem lehet kisebb, mint a várható érték, de semmi sem garantálja, hogy a reprezentáló konstans
éppen a várható érték.