A piac teljessége, az eszközárazás második alaptételealaptétele

<

< ε T +E^Q

T

X

t=2

hS(t)−S(t−1), θ(t)χ(kθ(2)k ≤n)i

!

=

= ε

T +E^Q(hS(2)−S(1), θ(2)χ(kθ(2)k ≤n)i) + +E^Q

T

X

t=3

hS(t)−S(t−1), θ(t)χ(kθ(2)k ≤n)i

!

=

= ε T +E^Q

T

X

t=3

hS(t)−S(t−1), θ(t)χ(kθ(2)k ≤n)i

! . Az eljárást folytatva megmutatható, hogy alkalmasn-re

E^Q h

T

Y

t=1

χ(kθ(t)k ≤n)

!

≤ε.

A monoton konvergencia tétel miatt E^Q(h) ≤ ε, amiből, mivel az ε > 0

tetszőleges,E^Q(h) = 0.

2.2. A piac teljessége, az eszközárazás második alaptétele

A származtatott termékek árazásával kapcsolatos igen fontos fogalom a tel-jesség fogalma. A teltel-jesség fogalma azt jelenti, hogy a jövőbeli követelések kivétel nélkül fedezhetőek :

2.7. Definíció. Azt mondjuk, hogy az S eszközár folyamat által definiált piac a t = 0,1,2, . . . , T időhorizonton teljes, ha tetszőleges HT FT-mérhető valószínűségi változóhoz található olyan

(θ_i(t))^m_i=1, t= 1, . . . , T előrejelezhető stratégia ésλvalós szám, hogy

HT =λ+

T

X

t=1

hS(t)−S(t−1), θ(t)i,

ahol az egyenlőség valószínűségi változók között érvényes, vagyis majdnem minden kimenetelre teljesül.

2.8. Tétel(Az eszközárazás második alaptétele). Tegyük fel, hogy az(S(t)), t = 0,1, . . . , T eszközár folyamat által definiált piacon nincsen arbitrázs. A modell pontosan akkor teljes, ha a martingálmérték az(Ω,FT) téren egyér-telmű.

Bizonyítás. Az állítás bizonyítása két részből áll.

1. Tegyük fel, hogy a piac teljes és legyenekQés Rkét különböző mar-tingálmérték. Mivel a két mérték különböző, ezért van olyanF ∈ FT, hogy Q(F)6=R(F). A feltételezett teljesség miatt van olyan(θ(t))^T_t=1 m-dimen-ziós előrejelezhető stratégia, hogy

χF =λ+

T

X

t=1

hS(t)−S(t−1), θ(t)i. (2.3) A bizonyítás alapgondolata, hogy mind a két oldalon alkalmazzuk aQésR mértékek szerinti várható érték operátorokat. A gondolatmenet kulcsa, hogy tetszőlegesPmartingálmérték esetén

E^P

T

X

t=1

hS(t)−S(t−1), θ(t)i

!

= 0, (2.4)

amiből

Q(F) =λ=R(F)

ami lehetetlen. A (2.4) sor igazolásában ismét gondot jelent, hogy mivel aθ stratégiák nem feltétlenül korlátosak, ezért sem a kiemelési szabályt, sem az integrál additivitását nem tudjuk közvetlenül használni. Vegyük észre azon-ban, hogy az összeg integrálható. Miként korábazon-ban, ha az összeget beszoroz-zuk aχ(kθ(1)k ≤n)kifejezéssel, akkor aθ(1)χ(kθ(1)k ≤n)korlátossága és azS(1)−S(0)integrálhatósága miatt az

hS(1)−S(0), θ(1)iχ(kθ(1)k ≤n) (2.5) integrálható lesz. Ebből következően a

T

X

t=2

hS(t)−S(t−1), θ(t)χ(kθ(1)k ≤n)i$

T

X

t=2

hS(t)−S(t−1), ψ(t)i is integrálható és a ψ változók előrejelezhetőek maradnak. Az S martingál tulajdonsága és aθelőrejelezhetősége miatt az (2.5) várható értéke nulla lesz.

Az eljárást az előző alpontban már bemutatott módon folytatva megmutat-ható, hogy tetszőlegesε >0esetén van olyann, hogy

Mivel az összeg integrálható, ezért han% ∞,akkor a majorált konvergencia tétele alapján

Mivelεtetszőleges, ezért az (2.4) sor teljesül.

2. Tegyük fel, hogy a piac nem teljes. A feltétel szerint a piacon nincsen arbitrázs, így van olyanQ mérték, amely mellett azS folyamat minden ko-ordinátája martingál. Definíció szerint legyen

L$

ahol θ tetszőleges előrejelezhető portfólió és λtetszőleges valós szám. Mivel a piac nem teljes, ezértL 6=L⁰(Ω,F_T,Q). LegyenH_T egy olyan követelés, amely nem állítható elő. Mivel aH_T-val együtt is csak véges sok valószínűsé-gi változó szerepel a modellben aPvalószínűségi mérték ismét kicserélhető úgy, hogy a modellben szereplő összes változó integrálható legyen. Emlékez-tetünk, hogy az első alaptételben az arbitrázs hiánya miatt létező martin-gálmérték Radon–Nikodym-deriváltja korlátos. Így feltehető, hogy nem csak az(S(t))^T_t=1, hanem aHT is integrálható aQmartingálmérték alatt. Megmu-tatjuk, hogy azL zárt azL¹(Ω,FT,Q)térben. Alább egy külön lemmában

azL⁰egy zárt altere. A Markov-egyenlőtlenség miatt azL¹-ben való konver-genciából következik a sztochasztikus konvergencia, így azR∩L¹ zárt altér azL¹-ben. Valószínűségi mértékekről lévén szó1∈L¹,így ha az egyszerűség kedvéért továbbra is L jelöli az L és az L¹ metszetét, akkor az L felírható mint egy zárt R altér és egy egy-dimenziós altér összege. Ha 1 ∈R, akkor

készen vagyunk ugyanis ilyenkorL=R és azL=R zárt. Ha 1∈/ R, akkor mindenl∈Lfelírható l=λ1 +ralakban. Haln →l_∞ azLaltérben, akkor egyedül az okozza a problémát, hogy nem tudjuk, hogy az (ln)-hez tartozó (λn)sorozat korlátos, vagy sem. LegyendazRés az1távolsága. Mivel azR amiből felhasználva, hogyd >0

c

d≥ |λn|,

vagyis a(λ_n)sorozat korlátos. Ezért a (λ_n)számsorozatnak van konvergens részsorozata. Erre áttérve feltehető hogy a(λ_n1)sorozat konvergens. Mivel az összeg konvergens, ezért az(r_n)sorozat is konvergens. Mivel azR zárt ezért az (r_n) határértéke az R-ben van, és így a (λ_n1 +r_n) egy részsorozatának határértéke azL-ben van. Következésképpen a (λ_n1 +r_n) határértéke is L-ben van.

Mivel aHT ∈/Lis integrálható, ezért van olyan eleme azL¹térnek, amely nincsen benne azLzárt altérben. A Hahn–Banach-tétel miatt van olyanz∈

∈L^∞(Ω,FT,Q), amely elválasztja az Lalteret és a HT változót. Mivel az Laltér, ezért az elválasztó síkot megadóz∈L^∞függvényre

hz, li$ Z

Ω

z·l dQ=E^Q(z·l) = 0, l∈L. (2.6) Mivel aϕ(t) = 0ésλ= 1egy lehetséges előrejelezhető stratégia, ezért

hz,1i$

mértéket. Ag=dR/dQ felülről korlátos és nagyobb vagy egyenlő mint egy pozitív szám, így a két mérték alatt az integrálható változók megegyeznek.

Világos, hogyg >0, és

R(Ω) =E^Q(1) + E^Q(z) 2kzk_∞ = 1,

tehát azR egy ekvivalens valószínűségi mérték. Mivel tetszőlegesθ előreje-lezhető folyamatra aλ= 0mellett

T

X

t=1

hS(t)−S(t−1), θ(t)i ∈L, ezért ha aθ korlátos, akkor a (2.6) sor felhasználásával

E^R

T

X

t=1

hS(t)−S(t−1), θ(t)i

!

$

$E^Q

T

X

t=1

hS(t)−S(t−1), θ(t)i

1 + z 2kzk_∞

!

=

=E^Q

T

X

t=1

hS(t)−S(t−1), θ(t)i

! .

Mivel az S martingál a Q alatt, és a θ előrejelezhető, ezért a jobb oldali kifejezés, tetszőleges korlátosθesetén nulla, ezért a bal oldal is nulla. Ha aθ azonosan nulla kivéve at−1időpontban, ahol az értékeχF,aholF ∈ F_t−1, akkor

E^R((S(t)−S(t−1))χF) = 0, ami nem más mint

Z

F

S(t)dR= Z

F

S(t−1)dR, vagyis a feltételes várható érték definíciója alapján

E^R(S(t)| Ft−1) =S(t−1).

Tehát azSfolyamat azR6=Qmérték esetén is martingál, következésképpen a martingálmérték nem egyértelmű.

2.9. Lemma. A bizonyításban szereplőR halmaz zárt a sztochasztikus kon-vergencia topológiában¹¹.

11Az állításhoz nincsen szükség a nincsen arbitrázs feltételre.

Bizonyítás. A bizonyítás a T időperiódus szerinti indukcióra épül. Ha T =

= 1, akkor a fenti 2.3. lemma szerint az R halmaz zárt. Ha T > 1, akkor R = Σ^T_t=1R(t), ahol mindegyik R(t) egy-egy zárt altér¹². Legyen an ∈ R ésan →a_∞. Meg kell mutatni, hogya∈R.Mivel minden sztochasztikusan konvergens sorozatnak van majdnem mindenhol konvergens részsorozata, fel-tehető, hogy az an → a konvergencia majdnem mindenhol értelemben is teljesül. Természetesen an = Σ^T_t=1an(t), ahol an(t) ∈ R(t). A bizonyítás problémája az, hogy nem tudjuk az egyes(an(t))sorozatok, külön-külön va-ló konvergenciáját, illetve nem tudjuk azan(t)-hez tartozó(θn(t))sorozatok konvergenciáját. Tegyük fel, hogy at = 2,3, . . . , T indexekhez tartozóR(t) halmazokT−1tagból álló összegéről már tudjuk hogy zárt. Ezen indukciós feltevés miatt elegendő belátni, hogy az(a_n(1))sorozatnak van a_nk(ω)(1) konvergens részsorozata, ahol az n_k(ω) függvények F₀-mérhetőek. Ilyenkor mivel a teljesTtagú összeg konvergens aT−1tagú maradék is konvergens és a határértéke az indukciós feltétel miatt eleme aT−1tagú halmazösszegnek, amiból következően azR zárt. Első lépésben azΩalapteret két F0-mérhető része bontjukΩ = Ω1∪Ω2. Az egyiken az Ω1 halmazon a (θn(1))korlátos, a másikon az Ω2 halmazon a sorozat korlátlan. Az első részen F0-mérhető módon részsorozatra áttérve a (θn(1)) konvergenciája ezen a részhalmazon biztosítható. A másikon a (θn(1)) sorozat korlátlan, normájával végigoszt-va, majd konvergens részsorozatra áttérve az indukciós feltételt felhasználva belátható, hogy alkalmasθ^∗ előrejelezhető folyamatra

hS(1)−S(0), θ^∗(1)i+

T

X

t=2

hS(t)−S(t−1), θ^∗(t)i= 0.

Az összeg azért nulla, mert egy konvergens sorozatot egy végtelenbe tar-tó sorozattal végigosztva nullához tartar-tó sorozatot kapunk. Az Ω₂ halmazon minden kimenetelre nyilvánθ^∗(1)6= 0,ugyanis egy egy normájú sorozat ha-tárértéke. Ezért azS(1)−S(0)valamelyik koordinátája kifejezhető a többi lineáris kombinációjaként. Az előállítás során az együtthatók előrejelezhetőek lesznek. Azan(t)előállításába visszahelyettesítve azS(1)−S(0)koordinátái közül valamelyik nulla. Az eljárást folytatva, végés lépésben elérhető, hogy mindenω kimenetelre az(θn(1))korlátos legyen.

In document Pénzügyi matematika (Pldal 38-43)