Snell-féle burkoló

.

AzSaQalatt martingál. Ha feltesszük, hogy az1/S_n⁰ diszkonttényező csök-ken, akkor a−K/S_n⁰ kifejezés várható értéke nő, vagyis az

Sn

S_n⁰ − K S_n⁰

folyamat növeli a feltételes várható értéket, vagyis szubmartingál. Szubmar-tingálok konvex és monoton növekedő függvénye szintén szubmartingál. A szubmartingálokra vonatkozó megállási opciókról szóló tétel miatt tetszőleges τ megállási idő esetén

E^Q Hτ

S_τ⁰

≤E^Q HT

S_T⁰

.

Így az elmondottak miatt a call opció ára, ha azx-ből kiindulva felépíthe-tő önfinanszírozó, szuperreplikáló portfólió, π(H) = E^Q HT/S⁰_T

, amely azonos az európai call opció árával.

A put opciók eseténHn$(K−Sn)⁺.A K

S_n⁰ −S_n S_n⁰

kifejezés azonban szupermartingál. Szupermartingálok monoton növő konkáv és nem konvex függvénye lesz szupermartingál, így a bemutatott

gondolat-menet a put opció esetén nem alkalmazható.

2.4.4. Snell-féle burkoló

A keresettxértéket visszafelé való indukcióval tudjuk kiszámolni. Jelölje∆n

azn≤τ ≤T egyenlőtlenséget kielégítő megállási idők halmazát.Speciálisan

∆0 az összes megállási idők halmaza.

2.21. Definíció. Az

Xn$ max

τ∈∆n

E(H(τ)| Fn) sorozatot aH Snell-féle burkolójának szokás mondani.

Ha feltesszük, hogy F0 = {∅,Ω}, akkor az X0 éppen az optimális meg-állítás feladatának megoldása. Érdemes megjegyezni, hogy általában a ∆n

halmaz nem véges számú elemből áll, és ilyenkor a maximum helyébe lénye-ges szuprémumot kell írni. Az amerikai opciók árazásakor fel kell tételeznünk a teljességet és az arbitrázsmentességet, vagyis ilyenkor az alapul vett me-ző véges számú atomból áll, így a megállási idők száma véges, és a techni-kai problémák elkerülése céljából az a lényeges szuprémummal kapcsolatos nehézségektől most eltekintünk. A gondolatmenet kiterjesztését és az álta-lános eset tárgyalását az olvasó a folytonos esetben bemutatott eszközökkel könnyen elvégezheti²¹.

2.22. Tétel. HaH ≥0, akkor a Snell-burkoló elemei kiszámolhatóak a kö-vetkező hátrafelé haladó indukcióval :

XT =HT,

Xn= max (Hn,E(Xn+1| Fn)).

Bizonyítás. Jelölje Xb_n az állításban szereplő, hátrafelé haladó indukciós el-járás eredményét. AzXT =HT =XbT egyenlőség nyilvánvaló, ugyanis ∆T =

={T} és a H adaptált, így aHT nyilvánFT-mérhető. Azn konstans meg-állási idő,n∈∆n,aH adaptált, így nyilván

X_n = max

τ∈∆n

E(H_τ | F_n)^m.m.≥ E(H_n| F_n)^m.m.= H_n.

Mivel a mező véges, ezért a∆nhalmazok végesek, így a Snell-burkoló definí-ciójában maximum van így alkalmasτn+1∈∆n+1⊆∆n megállási időre :

E(Xn+1| Fn) =E E Hτ_n+1| Fn+1

| Fn

=E Hτ_n+1| Fn

≤

≤ max

τ∈∆n

E(H_τ| Fn) =X_n, Ebből

X_n^m.m.≥ max (H_n,E(X_n+1| F_n))$Xb_n.

Most térjünk rá a másik irány igazolására. Tetszőlegesτ ∈∆n eseténτ≥n, így

H(τ) =Hnχ(τ =n) +H_τ∨(n+1)χ(τ > n),

Fontos hangsúlyozni, hogyτ∨(n+ 1)∈∆_n+1,így azX_n+1definíciója szerint E H_τ∨(n+1)| Fn+1

≤ max

σ∈∆n+1

E(Hσ| Fn+1)$Xn+1. A két oldalonFn szerint feltételes várható értéket véve

E E H_τ∨(n+1)| Fn+1

| Fn

=E H_τ∨(n+1)| Fn

≤E(Xn+1| Fn).

21V.ö. : 344. oldal, 6.10. lemma, 348. oldal.

Így mindenτ∈∆n esetén

E(Hτ| Fn) =E Hnχ(τ=n) +H_τ∨(n+1)χ(τ > n)| Fn

=

=Hnχ(τ =n) +E H_τ∨(n+1)| Fn

χ(τ > n)≤

≤H_nχ(τ =n) +E(X_n+1| Fn)χ(τ > n)≤

≤max (Hn,E(Xn+1| Fn)) =Xbn. Következésképpen

Xn$ max

τ∈∆n

E(Hτ | Fn)≤Xbn. A két egyenlőtlenséget összevetve :X =X.b

2.23. Tétel. Ha H ≥0, akkor az X Snell-burkoló a legkisebb olyan(Fn )-szupermartingál, amely dominálja aH folyamatot.

Bizonyítás. Az indukciós algoritmus szerintXn ≥Hn ≥ 0, valamint Xn ≥

≥E(X_n+1| Fn),következésképpen azX dominálja aH folyamatot és azX nem negatív szupermartingál. Legyen Y egy másik olyan szupermartingál, amely dominálja aH folyamatot. EkkorY_T ≥H_T $X_T. AzY szupermar-tingál, így

Y_T−1≥E(Y_T | F_T−1)≥E(H_T | F_T−1) =E(X_T | F_T−1), így

YT−1≥max (H_T−1,E(XT | F_T−1)) =XT−1.

Általában visszafelé haladó indukcióval, felhasználva, hogy azY szupermar-tingál

Y_n−1≥E(Y_n| F_n−1)≥E(X_n| F_n−1). Felhasználva, hogy azY dominálja aH folyamatot

Yn−1≥max (Hn−1,E(Xn| Fn−1)) =Xn−1. 2.24. Tétel. HaH ≥0, akkor a

τ^∗= min{n≥0|Hn=Xn}

változó megállási idő,τ^∗≤T és aτ^∗ optimális megállási idő.

Bizonyítás. Aτ^∗ megállási idő, ugyanis {τ^∗= 0}={H0=X0} ∈ F0, {τ^∗=n}={H_n=X_n} ∩

n−1

\

k=0

{H_k< X_k}

!

∈ F_n,

ugyanis azX és aHadaptáltak. (Aτ^∗éppen aH−Xtalálati ideje aB${0}

halmaz esetén.) A Snell-burkoló definíciója alapjánXT =HT,így biztosan 0≤τ^∗≤T.

Megmutatjuk, hogy azX_n^τ∗$X_n∧τ^∗megállított folyamat martingál. Legyen ϕn $χ(τ^∗≥n).

Aτ^∗ megállási idő, így

{ϕn = 1}={τ^∗≥n}={τ^∗≤n−1}^c∈ F_n−1, következésképpen aϕfolyamat előrejelezhető. Nyilván

X_n^τ∗−X_n−1^τ∗ =X(τ^∗∧n)−X(τ^∗∧(n−1)) =

=χ(τ^∗≥n) (X_n−X_n−1) =

=ϕn(Xn−X_n−1).

Mivel a τ^∗ az első olyan n, amelyre H_n = X_n, így a {τ^∗≥n} halmazon X_n−1> H_n−1.Mivel az indukciós formula szerint

X_n−1= max (H_n−1,E(Xn| F_n−1)), ezért a{τ^∗≥n} halmazon az első tag nem lehet „éles”, így

X_n−1=E(Xn| F_n−1). Következésképpen

χ{τ^∗≥n}(E(Xn| F_n−1)−X_n−1) = 0.

Így felhasználva, hogy aϕn változóFn−1-mérhető E

X_n^τ∗−X_n−1^τ∗ | Fn−1

=E(ϕ_n(X_n−X_n−1)| Fn−1) =

=ϕ_nE(X_n−X_n−1| F_n−1) =

=χ{τ^∗≥n}(E(Xn| Fn−1)−Xn−1) = 0, következésképpen azX^τ∗ martingál. AzX₀konstans, ugyanis a modell defi-níciója szerintF₀={∅,Ω},így azX^τ∗ martingál tulajdonsága szerint

X₀=X₀^τ∗=E X_T^τ∗

=E(X(τ^∗∧T)) =E(X_τ^∗) =E(H_τ^∗), ahol az utolsó egyenlőség aτ^∗ definíciója miatt teljesülő X_τ^∗ =H_τ^∗ követ-kezménye. MivelX₀éppen az optimális megállítás problémájának megoldása aτ^∗ valóban egy optimális megállási idő.

Általában az optimális megállási idő nem egyértelmű. Érvényes a következő karakterizáció :

2.25. Tétel. Ha H ≥ 0, akkor valamely τ megállási idő pontosan akkor optimális aH kifizetés esetén, ha

1. H(τ)^m.m.= X(τ)

2. azX^τ megállított folyamat martingál, ahol X aH Snell-burkolója.

Bizonyítás. Az egyik irány az előző állítás bizonyításának vége alapján vilá-gos : Ha az1.és 2. feltételek teljesülnek, akkor a τ optimális. Csak azt kell belátni, hogy ha aτoptimális, akkor érvények az1.és a2. feltételek. Mivel az Xdominálja aHkifizetést, vagyis mivelH ≤X,ezért tetszőlegesρmegállási idő esetén

H(ρ)≤X(ρ).

Ha aτoptimális megállási idő, akkor a megállási opciókról szóló tétel alapján, felhasználva, hogy azX integrálható szupermartingál

X(0) =E(H(τ))≤E(X(τ))≤E(X(0)) =X(0),

ami csak úgy teljesülhet, ha mindenhol egyenlőség van, következésképpen teljesül az első feltétel, vagyisH(τ) =X(τ).

Be akarjuk látni a második feltételt. AzX integrálható szupermartingál, így a megállási opciókról szóló tétel szerint aτ∧n≤τ miatt

X(0)≥E(X(τ∧n))≥E(X(τ)) =E(H(τ)) =X(0),

ahol az utolsó lépésben felhasználtuk, hogy a már belátott első feltétel, illetve aτ optimalitása miatt

E(X(τ)) =E(H(τ)) =X(0).

Tehát a becslésből következő egyenlőség és a torony szabály felhasználásával E(X(τ∧n)) =E(X(τ)) =E(E(X(τ)| Fn)). (2.13) Az alábbi lemma alapján egy megállított szupermartingál szintén szuper-martingál, így azX^τ szupermartingál. Ezt felhasználva

X(τ∧n) =X^τ(n)≥E(X^τ(T)| Fn) =

=E(X(τ∧T)| F_n) =E(X(τ)| F_n).

A várható értékre vonatkozó (2.13) sor miatt az előző sorban valójában csak egyenlőség lehet, így

X_n^τ=E(X(τ)| Fn),

következésképpen azX^τ az X(τ)fix változó (Fn)szerinti feltételes várható értékeiből áll, így valóban martingál.

2.26. Következmény. A korábban definiáltτ^∗ megállási idő a legkisebb op-timális megállási idő.

Bizonyítás. Aτ^∗ a legkisebb olyan megállási időpont, amelyre az első opti-malitási kritérium teljesül.

2.27. Lemma. HaXegy integrálható szubmartingál ésτegy tetszőleges meg-állítási idő, akkor az X^τ megállított folyamat szintén integrálható szubmar-tingál.

Bizonyítás. Először megmutatjuk, hogy azX^τ integrálható. Szubmartingá-lok konvex, növekedő függvénye szubmartingál. Így ha azX szubmartingál, akkor azX⁺is szubmartingál. Mivel a szubmartingálok pozitív része definíció szerint integrálható ezért az X⁺ egy tetszőleges szubmartingál esetén egy integrálható szubmartingál. A megállási opciókról szóló tétel miatt

E

(X^τ)⁺(t)

=E X⁺(τ∧t)

≤E X⁺(t)

<∞,

vagyis azX^τ(t)pozitív része integrálható. AzX(0)integrálható, így a meg-állási opciókról szóló tétel miatt a várható érték monotonitása alapján

E(X^τ(t)) =E(X(τ∧t))≥E(X(0))>−∞

így azX^τ(t)negatív része is integrálható, vagyis azX^τ(t)integrálható. Most mutassuk meg, hogy azX^τ szubmartingál. Vegyük azs < tidőpontokat. Ha F ∈ Fs és

σ(ω)$

s, ha ω /∈F t, ha ω∈F , akkor a megállási opciókról szóló tétel és azs≤σmiatt

E(X(τ∧σ)) = Z

F^c

X(τ∧s)dP+

Z

F

X(τ∧t)dP≥E(X(τ∧s)). Vagy ami ugyanaz

Z

F

X(τ∧t)dP≥ Z

F

X(τ∧s)dP.

Vagyis

E(X^τ(t)| Fs)≥X^τ(s), ami éppen a kívánt egyenlőtlenség.

In document Pénzügyi matematika (Pldal 56-62)