sztochasztikus folyamatok elméletéből
3.5. Sztochasztikus differenciálegyenletek
3.5.1. A megoldás egyértelműsége
Minden differenciálegyenlet esetén az alapvető kérdés az egyenlet megoldha-tósága, illetve a megoldás egyértelműsége. Első lépésben az egyértelműség kérdését tisztázzuk. Először az erős megoldások egyértelműségét tárgyaljuk.
A tárgyalás során szükségünk lesz a közismert Gronwall-egyenlőtlenségre.
3.90. Lemma. Ha valamely folytonosf függvény esetén mindent≥0esetén 0≤f(t)≤α(t) +
Z t 0
β(s)f(s)ds, aholαintegrálható,β ≥0és folytonos, akkor
f(t)≤α(t) + Z t
0
α(s) exp (β(t−s))ds mindent≥0 esetén. Speciálisan, ha mindent≥0esetén
0≤f(t)≤ Z t
0
β(s)f(s)ds, akkorf = 0.
3.91. Tétel(Egyértelműség). Legyenek ab(t, x)és aσ(t, x)folytonos, valós értékű függvények29. Ha az egyenletb ésσegyütthatói azxváltozó szerint lo-kálisan kielégítik a Lipschitz-feltételt, vagyis mindenN esetén található olyan
29Emlékeztetünk, hogy az egyszerűbb jelölés céljából csak az egydimenziós esettel foglalkozunk, de az állítás vektor értékű egyenletekre is teljesül.
KN konstans, amelyre
|b(t, x)−b(t, y)| ≤KN|x−y|,
|σ(t, x)−σ(t, y)| ≤KN|x−y|
valahányszor t,|x|,|y| ≤N, akkor, adott kezdeti feltétel esetén, az egyenlet megoldása erős értelemben egyértelmű, vagyis az egyenlet bármely két megol-dásának trajektóriái csak egy nullmértékű halmazban térhetnek el.
Bizonyítás. Legyenek X1 és X2 az egyenlet megoldásai. Legyen τ1 az első olyan időpont, ahol az |X1| és τ2 ahol az |X2| átlépi az N szintet. Legyen továbbá τ $ τ1∧τ2∧N. A folytonosság miatt világos, hogy |X1τ| ≤ N és
|X2τ| ≤N.Vegyük észre, hogy ha N % ∞, akkor a megállási idők sorozata egy nullmértékű halmaztól eltekintve a végtelenbe tart, mert ha nem így lenne, akkor egy pozitív mértékű halmazon az X1 vagy az X2 egy véges időtartományon korlátlan lenne, ami ellentmond annak, hogy a megoldások trajektóriái a teljes számegyenesen biztosan folytonosak. E miatt elegendő megmutatni, hogyX1τ =X2τ.
A két megoldást egymásból kivonva, felhasználva, hogy a kezdeti érték közös
X1τ(t)−X2τ(t) = Z t∧τ
0
b(u, X1(u))−b(u, X2(u))du+ +
Z t∧τ 0
σ(u, X1(u))−σ(u, X2(u))dw(u).
Tetszőlegesuésv számokra
(u+v)2=u2+ 2uv+v2≤2 u2+v2 . Ezt felhasználva
E
(X1τ(t)−X2τ(t))2
≤2·E
Z t∧τ 0
b(u, X1(u))−b(u, X2(u))du 2!
+
+ 2·E
Z t∧τ 0
σ(u, X1(u))−σ(u, X2(u))dw 2!
.
Aτ definíciója miatt az integrációs tartományon|X1(u)|,|X2(u)| ≤N, így az első várható értékre a Cauchy-egyenlőtlenség szerint
E
A másik integrálban a Burkholder–Davis–Gundy-egyenlőtlenség (3.14) sor-ban szereplő legegyszerűbb verziója alapján
E
akkor tetszőleges, de rögzítettT esetén a[0, T]szakaszon a Fubini-tétel alap-ján a Gronwall-egyenlőtlenség alapjánf = 0.Így minden t-re majdnem minden kimenetelre X1τ(t) = X2τ(t). Mivel a trajektóriák folytonosak, a racionális időpontokban való egyenlőségből következik a trajektóriák egyenlősége, így a racionális időpontokhoz tartozó nulla mértékű halmazokat egyesítve kapjuk, hogy azX1τés azX2τtrajektóriái egy nulla valószínűségű halmaztól eltekintve azonosak.
3.92. Példa. Lineáris differenciálegyenletek megoldása.
Tekintsük a Black–Scholes-modellben szereplő dS=µSdt+σSdw, S(0) =S0
egyenletet. Az Itô-formula segítségével könnyen igazolható, hogy az S(t) =S0exp
µ−1
2σ2
t+σw(t)
kielégíti az egyenletet. Világos, hogy az egyértelműségi tétel feltételei telje-sülnek, és így az S(t) az egyenlet egyetlen megoldása. Vegyük észre, hogy ugyanakkor a Bessel-folyamatot definiáló
dR= n−1
2R dt+dB
egyenletben az együtthatók nem teljesítik a tétel feltételeit.
Bár az egyértelműségi tétel igen elegáns, valójában túl gyenge, ugyanis nem alkalmazható például a Bessel-folyamatok négyzetét megadó
dρ=δdt+ 2√
ρdw, ρ(0) =x
alakú egyenletekre, vagy a pénzügyi matematikában fontos szerepet játszó dr=θ(µ−r) +σ√
rdw CIR modellre30, vagy a
dS=µSdt+σSγdw
úgynevezett CEV modellre31. Ha az egyenlet egydimenziós, akkor az egyér-telműségi tétel élesíthető :
3.93. Tétel (Yamada–Watanabe). Tegyük fel, hogy a vizsgált (3.27) szto-chasztikus differenciálegyenlet egydimenziós és ab(t, x)kielégíti a lokális Lip-schitz-feltételt, vagyis mindenN-re
|b(t, x)−b(t, y)| ≤KN · |x−y|, t,|x|,|y| ≤N továbbá
|σ(t, x)−σ(t, y)| ≤k(|x−y|),
30Cox–Ingersoll–Ross modell.
31Constant Elasticity of Variance modell.
aholKN minden N-re egy pozitív konstans és k:R+ →R+ egy olyan szigo-rúan monoton növekedő függvény, amelyre mindenε >0esetén
Z ε 0
1
k2(u)du=∞.
Ilyenkor a megoldás, amennyiben létezik, egyértelmű.
Bizonyítás. Akfüggvényre tett feltételek szerint van olyan an&0sorozat, amelyre
1. Legyenek (ρn) olyan kompakt tartójú, folytonos függvények, amelyek tartója része az(0, an−1)nyílt intervallumnak,Ran−1
0 ρn(u)du= 1, valamint 0≤ρn(x)≤ 2
n·k2(x). (3.32)
A(ρn)függvények konstruálásához legyenek(δn)a (−an/2,0)intervallumra támaszkodó folytonosan deriválható nem negatív függvények amelyek integ-rálja egy. Legyen továbbá
ρn(x)$
A pn tekinthető két sűrűségfüggvény konvolúciójának, így nem negatív, az integrálja egy és a tartója az(an/2, an−1)szakasz.
Mivel a δn folytonosan deriválható, ezért a konvolúció képletéből látható, hogy a parametrikus integrál is deriválható így aρn függvény eleget tesz a feltételeknek.
2. Definiáljuk a
ψn(x)$ Z |x|
0
Z y 0
ρn(u)dudy
függvényeket. Mivel a ρn folytonos, ezért a ψn(x) kétszer folytonosan deri-válható, és mivel aρn integrálja egy, ezért|ψ0n(x)| ≤1minden xesetén. Ha X1 ésX2két azonos kezdeti értékhez tartozó megoldás, akkor
X1(t)−X2(t) = Z t
0
b(s, X1(s))−b(s, X2(s))ds+ +
Z t 0
σ(s, X1(s))−σ(s, X2(s))dw(s).
Meg kell mutatni, hogyX1−X2= 0,amihez nyilván elegendő belátni, hogy a másik oldal nulla. Ennek igazolásához lokalizálhatjuk az egyenlőséget, és fel-tehetjük, hogy|X1| ≤N és|X2| ≤N,illetve hogy a lokalizált sztochasztikus integrál négyzetesen integrálható. Aψnkétszer folytonosan deriválható függ-vényt azX1−X2folyamatra alkalmazva az Itô-formula szerint, felhasználva, hogyψn(0) = 0,
ψn(X1(t)−X2(t)) = Z t
0
ψn0 (X1(s)−X2(s))d(X1(s)−X2(s)) + +1
2 Z t
0
ψn00(X1(s)−X2(s))d[X1(s)−X2(s)].
Mivel a ψ0n korlátos, így a sztochasztikus integrálok feltételezett martingál tulajdonsága miatt adw-s tag várható értéke nulla, így
E(ψn(X1(t)−X2(t))) =
=E Z t
0
ψn0 (X1(s)−X2(s)) (b(s, X1(s))−b(s, X2(s)))ds
+ +1
2E Z t
0
ψ00n(X1(s)−X2(s)) (σ(s, X1(s))−σ(s, X2(s)))2ds
,
ahol kihasználtuk a polaritási és az asszociativitási szabályt, valamint hogy egy szemimartingál kvadratikus variációja éppen a lokális martingál rész kvadratikus variációja. Az együtthatók növekedésére tett feltételeket,
illet-ve a|ψn0| ≤1 becslést kihasználva (3.32) sor alapján a második integrálra
Z t
Han→ ∞, akkor a Fatou-lemma alapján E aρn integrálja a(0, an−1)intervallumon egy ezért a Fatou-lemma alapján
n→∞lim ψn(x)$ lim
A Gronwall-egyenlőtlenség alapjánE(|X1(t)−X2(t)|) = 0, következéskép-pen azX1(t) =X2(t)majdnem minden kimenetelre. AzX1és azX2 folyto-nossága miatt, a nullmértékű halmazokat a racionális időpontokban egyesítve kapjuk, hogy azX1és azX2 ekvivalens.
3.94. Példa. A tételbenk(x) =xα,ahol α≥1/2 megfelelő. Ha aµés aσ konstansok, akkor
dS=µSdt+σp
|S|dw
egyenletnek, ha létezik megoldása, akkor a megoldás egyértelmű.
Haα= 1/2,akkor a
p|x| −p
|y|
≤p
|x−y|
egyenlőtlenség miatt használható a feltétel. Hasonlóan ha0< α≤1, akkor
||x|p− |y|p| ≤ |x−y|p, így ha1/2≤α≤1és a
dS=µSdt+σ|S|αdw
egyenletnek, ha létezik megoldása, akkor a megoldás egyértelmű.
Yamada–Watanabe tétele némiképpen általánosítható. Ezt az általánosí-tást szokás összehasonlítási tételnek mondani.
3.95. Tétel(Összehasonlítási tétel). Tegyük fel, hogy a(b1, σ)és a(b2, σ) fel-adatok esetén teljesülnek a Yamada–Watanabe-tétel feltételei. Tegyük továbbá fel, hogy az egyenleteknek léteznek azX1 és X2 módon jelölt megoldásai. Ha X1(0)≤X2(0) ésb1(t, x)≤b2(t, x),akkor egy nullmértékű halmaztól elte-kintveX1(t)≤X2(t).
Bizonyítás. A tétel bizonyítása csak annyiban más, hogy aψn függvény he-lyett aψnχ([0,∞))függvényeket kell venni, amelyek azx+ függvényhez fog-nak tartani, illetve értelemszerűen módosítani kell ab1−b2 becslését :
b1(s, X1(s))−b2(s, X2(s)) =b1(s, X1(s))−b1(s, X2(s)) + +b1(s, X2(s))−b2(s, X2(s))≤
≤b1(s, X1(s))−b1(s, X2(s))≤K|X1(s)−X2(s)|, ugyanis a feltétel miattb1≤b2. HaX1(s)< X2(s), akkorψ0n(X1(s)−X2(s)) =
= 0, így
ψ0n(X1(s)−X2(s)) (b1(s, X1(s))−b2(s, X2(s)))≤
≤K· |X1(s)−X2(s)|χ(X1(s)≥X2(s)) =K(X1(s)−X2(s))+. Így a bizonyítás végén az E
(X1(t)−X2(t))+
= 0 egyenlőséget kapjuk, amiből a majdnem mindenhol fennálló X1(t) ≤ X2(t) becsléshez jutunk.
A nullmértékű halmazok összevonásával a már bemutatott módon kapjuk a tételt.
Felmerülhet a kérdés, hogy ha két különböző téren oldjuk meg az egyenle-tet, vagyis a valószínűségi mezőt nem rögzítjük előre, akkor mit lehet mondani a megoldás egyértelműségéről. A válasz nem túl meglepő, de mindenképpen igazolandó : Az eloszlások azonosak lesznek.
Emlékeztetünk, hogy egyX sztochasztikus folyamat eloszlásán az összes lehetséges (t1, t2, . . . , tk) véges időpont sorozatokhoz tartozó (X(t1), X(t2), . . ., X(tk)) változók eloszlásainak halmazát értjük. Természetesen ha adott egy sztochasztikus folyamat, akkor a folyamat tekinthető egy függvénytér értékű valószínűségi változónak is. Ha a trajektóriák függvényterén adott va-lamiféle topológia, akkor a trajektóriák terén értelmezettek a Borel-halmazok, és eloszláson a Borel-halmazokon értelmezett P(B) = P X−1(B)
mérté-ket is érthetjük. Külön gondot kell fordítani arra, hogy a két definíció azo-nos eloszlásfogalmat definiáljon. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy az X a teljes R+ időtengelyen értelmezve van. Ha az X folytonos, akkor az említett eloszlások tekinthetőek azR+ félegyenesen értelmezett folytonos függvények terének cilinderhalmazain értelmezett kompatibilis mértékcsalád-nak32. A kompakt időtartományokon való egyenletes konvergenciára nézve a folytonos függvények tere egy teljes szeparábilis metrikus tér33, amely Borel-halmazainakσ-algebrája megegyezik a koordinátaleképezések által generált σ-algebrával. Ennek igazolása viszonylag egyszerű : Egy oldalról elég meg-gondolni, hogy a koordinátaleképezések mindegyike folytonos a kompakt hal-mazokon egyenletes konvergencia topológiára nézve, így mérhető a Borel-halmazokσ-algebrájára, következésképpen a koordinátaleképezések által ge-neráltσ-algebra része a Borel-halmazokσ-algebrájának. Más oldalról, ha két folytonos függvény egy intervallum racionális időpontjaiban közel van, ak-kor a teljes intervallumon egyenletesen is közel van, így minden nyílt halmaz mérhető a koordinátaleképezések által generált σ-algebrára nézve, vagyis a Borel-halmazok mindegyike eleme a koordinátaleképezések által generált σ-algebrának. Ebből következően belátható, hogy a cilinderhalmazokon értel-mezett valószínűségi mértékek tetszőleges kompatibilis családja kiterjeszthető a folytonos függvények Borel-halmazaira34. Az így kapott mértéket szintén szokás a folytonos trajektóriákkal rendelkezőX folyamat eloszlásának mon-dani, vagyis a két definíció folytonos trajektóriák esetén azonos eredményre vezet35.
32Miként ismert, egy mértékcsaládot kompatibilisnek mondunk, ha a halmaz mértéke nem függ attól, hogy miként reprezentáltuk a halmazt, és melyik mérték szerint vettük a mértékét, amennyiben persze az adott halmaznak több mérték szerint is vehetjük a mértékét.
33A távolságot ad(f, g) =X
n
1 2n sup
0≤x≤n
|f(x)−g(x)|formulával definiálhatjuk.
34V.ö. : 3.4.3. pont, 139. oldal.
35Érdemes megjegyezni, hogy nem folytonos trajektóriák esetében a helyzet nem ilyen egyszerű, és ezért ha a trajektóriák tere nem a folytonos függvények tere, akkor az
3.96. Tétel (Eloszlásban való egyértelműség). Ha valamely sztochasztikus differenciálegyenlet megoldása bármely hordozó mező esetén egyértelmű, ak-kor a megoldások eloszlása is egyértelmű, feltéve persze, hogy a kezdeti értékek eloszlása azonos.
Bizonyítás. A bizonyítás igen egyszerű, és a sztochasztikus folyamatok elosz-lásának fogalmára épül. Az igazolást több apróbb részre bontjuk.
1. JelöljeC(R+)a t = 0 pontban nulla értéket felvevő folytonos függvé-nyek halmazát. Legyen w egy tetszőleges Wiener-folyamat. Mivel a trajek-tóriák folytonosak, aw tekinthető egyω 7→w(·, ω)∈ C(R+) leképezésnek, amely nyilván mérhető az f 7→ f(t) alakú koordinátaleképezések által ge-nerált σ-algebrára nézve. A Wiener-folyamat definíciójából evidens, hogy a (w(t1), w(t2), . . . , w(tn))alakú vektorok eloszlása egyértelmű. A mértékek egyértelmű kiterjesztéséről szóló tételből evidens, hogy aweloszlása nem függ aw Wiener-folyamattól. Az így kapott aC(R+)téren értelmezett egyértel-műen definiált mértéket szokás Wiener-mértéknek nevezni. Vagyis miközben rengeteg Wiener-folyamat van, a Wiener-mérték egyértelmű.
2. Tegyük fel, hogy az(X, wX)pár megoldása az egyenletnek awX Wiener-folyamatot hordozó valamilyen mező felett. Ekkor az(X(0), X−X(0), wX) hármas eloszlása egy valószínűségi mérték azΩ$R×C(R+)×C(R+)tér Borel-halmazain. Az Xb(t, ω) módon jelölt (t, ω) $ (t, u, x, w) 7→ x(t) +u hozzárendelés egy sztochasztikus folyamat, ugyanis azΩelemeihez az idő egy függvényét rendeli. A folyamat eloszlása éppen azonos lesz azX eloszlásával.
AWc(t, ω)módon jelölt (t, ω)$(t, u, x, w)7→w(t)folyamat eloszlása pedig azonos lesz a wX Wiener-folyamat eloszlásával. Megmutatjuk, hogy az Xb folyamat az Ω felett megoldása a differenciálegyenletnek, természetesen a cW Wiener-folyamat és az Xb(0, ω) = u kezdeti feltétel mellett. Ehhez az szükséges, hogy azXb(t)−Xb(0)változó értéke éppen megegyezzen a megfelelő két sztochasztikus integrál összegével. Ez pontosan azt jelenti, hogy azXb(t)−
−Xb(0)az Zbn$X
k
b
s(n)k−1,Xb s(n)k−1
∆s(n)k +X
k
σ
s(n)k−1,Xb s(n)k−1
∆cW s(n)k közelítő összegek sztochasztikus konvergenciában vett határértéke. Mivel az (X, wX)pár megoldása az egyenletnek, ezért azX(t)−X(0)éppen a
Zn$X
k
b
s(n)k−1, X s(n)k−1
∆s(n)k +X
k
σ
s(n)k−1, X s(n)k−1
∆wX
s(n)k
egyenletes konvergencia toplógia helyett egy másik speciális topológiát, az úgyneve-zett Szkorohod-topológiát, kell a trajektóriák terén bevezetni.
sztochasztikus konvergenciában vett határértéke. A konstrukció miatt a kala-pos és a kalap nélküli változók eloszlása azonos. A sztochasztikus konvergen-cia definíciójában szereplőP(|ξn−ξ|> ε)egyenlőtlenség csak az eloszlástól függ, ezért a kalap nélküli változók sztochasztikus konvergenciája implikálja a kalapos változók sztochasztikus konvergenciáját.
3. Legyen(Y, wY)egy másik megoldás. Tekintsük az
Ω =R×R×C(R+)×C(R+)×C(R+)×C(R+) téren az
(X(0), Y (0), X−X(0), Y −Y(0), wX, wY)
eloszlását. Jelölje g(B|x) az X(0) kezdeti értékhez, vagyis az Ω szorzat első komponenséhez tartozó regresszív feltételes valószínűséget. A feltételes valószínűség definíciója alapján a szorzattér mindenBBorel-halmazára és az X(0)képterének mindenC Borel-halmazára
P(B∩ {X(0)∈C}) = Z
C
g(B |x)dF(x) = Z
R
χCg(B |x)dF(x) =
=E(χC(X(0))g(B |X(0))),
ahol F(x) a kezdeti érték eloszlásfüggvénye ésP az Ω téren bevezetett el-oszlás. A transzformált valószínűségi változók várható értékének képletéből – felhasználva, hogy azX(0)és azY(0)eloszlása megegyezik – evidens, hogy
E(χC(X(0))g(B|X(0))) = Z
C
g(B|x)dF(x) =E(χC(Y(0))g(B|Y(0))).
Ha mostBvalamilyen azX−X(0), Y−Y(0)komponensekhez tartozó Borel-mérhető halmaz, akkor aP(B|X(0) =x) és aP(B|Y (0) =y)regresszív feltételes valószínűségek nullmértékű halmaztól eltekintve azonosak. Hasonló gondolatmenet érvényes az utolsó két komponens, vagyis awX és awY esetén is.
4. Végezetül vezessük be az ismételten Ω-val jelölt Ω $ R×C(R+)×
×C(R+)×C(R+)szorzatot és tekintsük rajta az (X(0), X−X(0), Y −Y (0), wX)
eloszlását. Vegyük észre, hogy az első és az utolsó komponensek esetén azX eloszlását használtuk, amely csak azért nem jelent problémát mert az előző pontban beláttuk, hogy a szorzaton generált mérték azonos az
(Y(0), X−X(0), Y −Y (0), wY)
eloszlásával. AzX és azY megoldásokhoz hozzárendeljük azXb$u+xés az Yb $u+yfolyamatokat, amelyek a kezdeti feltételek eloszlásának azonossága miatt a közösumelletti megoldásai a sztochasztikus differenciálegyenletnek.
Az erős megoldás egyértelműsége miatt majdnem minden kimenetelre Xb =
=Yb. De az Xb eloszlása megegyezik az X eloszlásával azYb eloszlása pedig megegyezik azY eloszlásával. Következésképpen azX és azY eloszlása azo-nos.
A tétel bizonyításában követett gondolatmenet átvezet a megoldás létezé-sének vizsgálatához. Gyakran szokás hivatkozni a következő észrevételre : 3.97. Következmény (Egyértelmű trajektóriák és gyenge megoldás). Ha valamely sztochasztikus differenciálegyenletnek van gyenge megoldása és tel-jesül az erős megoldás egyértelműségének feltétele, akkor az egyenlet erős ér-telemben is megoldható.
Bizonyítás. A gyenge megoldás létezése és az erős megoldás egyértelműsége miatt az
Ω$R×C(R+)×C(R+),
A$B(R)× B(C(R+))× B(C(R+)) =B(R×C(R+)×C(R+)) mérhető téren definiálható a sztochasztikus differenciegyenletP-vel jelölt egy-értelmű eloszlása. Mivel azΩegy teljes szeparábilis metrikus tér, ezért aP -nek van a harmadik komponens szerint vett reguláris feltétles valószínűsége, vagyis mindenw∈C(R+)esetén definiálható a
P(A|W =w)$P(A, w), A∈ A
mérték, amely éppen a harmadik komponens, a Wiener-folyamat, által defini-áltσ-algebra szerinti feltételes valószínűség regressziós függvénye. Az egysze-rűbb jelölés céljából, ha aC(R+)egy részhalmazára hivatkozunk, akkor azt azonosítjuk az általa generált cilinderhalmazzal. Az előző tétel bizonyítása alapján ha tekintjük a
(P(f ∈A, w)×P(g∈B, w))·dW $Q((f, g)∈A×B|W =w)·dW szorzatmértéket, aholA, B∈ B(C(R+)),akkor definálhatunk két megoldást és az erős megoldás egyértelműsége miatt aQmérték a
∆$R× {f ×f |f ∈C(R+)} ×C(R+) halmazra koncentrálódik. Rögzítsünk egywértéket.
P(A, w) =P(A, w)·P(C(R+), w) =Q(A×C(R+), w) =
=Q(A×C(R+)∩∆, w) =Q(A×A, w) =P2(A, w),
amiből P(A, w) tetszőleges A esetén vagy nulla, vagy egy. Mivel a C(R+) egy szeparábilis metrikus tér a C(R+) felírható megszámlálható, diszjunkt zárt gömb egyesítéseként. A C(R+) tetszőleges zárt gömbökből álló partí-ciójában pontosan egy gömb valószínűsége lehet nulla, így ha a partíciókat minden határon túl finomítjuk, akkor, felhasználva, hogy a C(R+) teljes, az egy valószínűségű gömbök egyetlenf(w)-vel jelölt pontra húzódnak. Az így kapottw7→f(w)leképezés a C(R+) teret aC(R+)térre képező Borel mérhető leképezés ugyanis tetszőlegesB ∈ B(C(R+))halmaz esetén
{w|f(w)∈B}=P(B, w) = 1,
amely a w Borel-mérhető függvénye. P({f(w)}, w) = 1, következésképpen az
X(t, ω) =X(t,(λ, f, w)) =λ+f(w) (t)
megoldása az egyenletnek ugyanis a konstrukció miatt az egyenlet megoldása a(λ, f, w)7→λ+f projekció és ez egy valószínűséggel megegyezik aλ+f(w) leképezéssel.
Legyen mostweegy tetszőleges Wiener-folyamat és legyen Xe(t, ω)$f(we(ω)) (t),
aholwe(ω)azω kimenetelhez tartozó trajektóriája aw-nak. Aze Xe egy össze-tett leképezés, amely során a belső függvény a Wiener-folyamat által megva-lósítottw: Ω→ C(R+) leképezés a külső függvény pedig azf :C(R+)→ C(R+) Borel-mérhető leképezés. Az adaptált folyamatok által generált σ-algebrára nézve azXe mérhető marad, ezért azXe adaptált marad. Legyen
Zen $X
k
b
s(n)k−1,Xe s(n)k−1
∆s(n)k +X
k
σ
s(n)k−1,Xe s(n)k−1
∆we s(n)k
=
=X
k
b
s(n)k−1, f(w)e s(n)k−1
∆s(n)k +X
k
σ
s(n)k−1, f(w)e s(n)k−1
∆we s(n)k
.
AZen eloszlása megegyezik a Zn$X
k
b
s(n)k−1, f(w) s(n)k−1
∆s(n)k +X
k
σ
s(n)k−1, f(w) s(n)k−1
∆w
s(n)k
eloszlásával, így Xe az egyenlet w-hoz tartozó megoldása, ugyanis aze X −
−X(0) =f(w)megoldása az egyenletnek.