Pénzügyi matematika

Algoritmuselmélet

Algoritmusok bonyolultsága

Analitikus módszerek a pénzügyben és a közgazdaságtanban Analízis feladatgyűjtemény I

Analízis feladatgyűjtemény II Bevezetés az analízisbe Complexity of Algorithms Differential Geometry

Diszkrét matematikai feladatok Diszkrét optimalizálás

Geometria

Igazságos elosztások

Introductory Course in Analysis Mathematical Analysis – Exercises I

Mathematical Analysis – Problems and Exercises II Mértékelmélet és dinamikus programozás

Numerikus funkcionálanalízis Operációkutatás

Operációkutatási példatár Parciális differenciálegyenletek Példatár az analízishez Pénzügyi matematika Szimmetrikus struktúrák Többváltozós adatelemzés

Variációszámítás és optimális irányítás

PÉNZÜGYI

MATEMATIKA

Budapesti Corvinus Egyetem Typotex

2014

Lektorálta : Dr. Badics Tamás

Creative Commons NonCommercial-NoDerivs 3.0 (CC BY-NC-ND 3.0) A szerző nevének feltüntetése mellett nem kereskedelmi céllal szabadon má- solható, terjeszthető, megjelentethető és előadható, de nem módosítható.

ISBN 978 963 279 255 2

Készült a Typotex Kiadó (http://www.typotex.hu) gondozásában Felelős vezető : Votisky Zsuzsa

Műszaki szerkesztő : Gerner József

Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0045 számú, „Jegyzetek és pél- datárak a matematika egyetemi oktatásához” című projekt keretében.

KULCSSZAVAK : Arbitrázs, arbitrázs lehetetlensége, martingál, lokális mar- tingál, szemimartingál, opciók, opciók árazása, európai opciók, amerikai op- ciók, ázsiai opciók, származtatott termékek, sztochasztikus differenciálegyen- letek, Itô-formula, sztochasztikus analízis, Wiener-folyamat, kvadratikus va- riáció, sztochasztikus integrálás, kamatlábmodellek, Black–Scholes-modell.

ÖSSZEFOGLALÁS : A könyv a pénzügyi matematika legismertebb modell- jeit foglalja össze. Az első rész a diszkrét és véges időhorizonton definiált modelleket tárgyalja, a második rész a folytonos időábrázolás esetén definiált modellek elméletét ismerteti. A közismert európai és barrier opciók mellett bemutatásra kerülnek az amerikai és az ázsiai opciók is. A könyv a mesterszin- tű egyetemi pénzügyimatematika-oktatás számára készült, és a közgazdasági alkalmazások mellett tartalmazza a szükséges matematikai alapokat is.

Előszó . . . 1

1. A várható jelenérték szabálya és martingálmértékek 3 1.1. Bevezetés . . . 4

1.2. Martingálok és a várható jelenérték szabály . . . 8

2. Az eszközárazás alaptétele diszkrét időhorizonton 17 2.1. A Dalang–Morton–Willinger-tétel . . . 18

2.1.1. A tétel kimondása . . . 18

2.1.2. AzL⁰ tér elemi tulajdonságai . . . 20

2.1.3. A Kreps–Yan szeparációs tétel . . . 24

2.1.4. A tétel bizonyítása . . . 26

2.2. A piac teljessége, az eszközárazás második alaptétele . . . 30

2.3. Európai eszközök árazása . . . 35

2.3.1. Nincs diszkontálás . . . 36

2.3.2. Diszkontálás, önfinanszírozó portfóliók . . . 38

2.3.3. Elveszett illúziók . . . 41

2.4. Az amerikai opciók árazása . . . 42

2.4.1. Szuperreplikálás . . . 43

2.4.2. A megállási opciókról szóló tétel . . . 44

2.4.3. Az optimális megállítás problémája . . . 46

2.4.4. Snell-féle burkoló . . . 48

2.4.5. Optimális megállításra vonatkozó példák . . . 54

2.4.6. A Doob–Meyer-felbontás és a szuperhedge létezése . . 59

3. Néhány tétel a sztochasztikus folyamatok elméletéből 63 3.1. Néhány alapfeltevés . . . 64

3.2. Sztochasztikus integrálás folytonos integrandusok esetén . . . 75

3.2.1. A sztochasztikus integrál definíciója . . . 76

3.2.2. Az integrál létezése . . . 78

3.2.3. A Fisk-féle egyértelműségi tétel . . . 89

3.2.4. Az integrál és a határérték felcserélhetősége . . . 90 i

3.2.7. Mikor lesz egy sztochasztikus integrál valódi martingál 104

3.2.8. Sztochasztikus integrálás és arbitrázs . . . 108

3.3. Itô-formula . . . 112

3.4. Girszanov-tétel . . . 124

3.4.1. Lokálisan ekvivalens mértékcsere . . . 125

3.4.2. Mértékcserék konstruálása . . . 133

3.4.3. Egy érdekes ellenpélda . . . 139

3.5. Sztochasztikus differenciálegyenletek . . . 144

3.5.1. A megoldás egyértelműsége . . . 147

3.5.2. Erős megoldás létezése . . . 159

3.5.3. A martingálprobléma . . . 164

3.5.4. Gyenge megoldások létezése, Szkorohod tétele . . . 172

3.5.5. Néhány példa . . . 188

3.5.6. Erős Markov-tulajdonság . . . 192

3.5.7. Infinitezimális generátor és a resolvens operátor . . . . 199

3.6. Az integrálás kiterjesztése előrejelezhető integrandusokra . . . 206

3.6.1. Előrejelezhető folyamatok és kiterjesztés Itô-izometriával206 3.6.2. A kiterjesztett integrál tulajdonságai . . . 210

3.6.3. Az integrál további kiterjesztése . . . 215

3.6.4. Folytonos szemimartingálok szerinti integrálás . . . 218

3.6.5. Sztochasztikus integrálás és mértékcsere . . . 221

3.7. Az integrálreprezentációs tétel . . . 224

3.7.1. Lokális martingálokkal való integrálreprezentációs tétel 224 3.7.2. Négyzetesen integrálható martingálokkal való integrál- reprezentációs tétel . . . 231

3.7.3. Lokális martingálok reprezentálása . . . 239

4. Az eszközárazás diffúziós modellje 243 4.1. Önfinanszírozó portfóliók és az ármérce . . . 245

4.2. Ekvivalens lokális martingálmérték és arbitrázs . . . 249

4.3. Új ármércére való áttérés . . . 251

4.4. Az eszközárazás diffúziós modellje . . . 256

4.5. A kockázat piaci ára . . . 260

4.6. Lokális martingálmérték létezése, Girszanov-formula . . . 261

4.7. A lokális martingálmérték egyértelmű . . . 263

4.8. Integrálreprezentációs tétel és mértékcsere . . . 264

4.9. A piac teljessége . . . 266

4.10. Árazási képlet és arbitrázs . . . 267

4.11. A Black–Scholes-differenciálegyenlet . . . 270 ii

5.1.1. Határidős termékek árazása . . . 274

5.1.2. Vanilia call opciók árazása, Black–Scholes-formula ki- számolása Bayes-formulával . . . 275

5.1.3. Néhány további egyszerű opció . . . 277

5.1.4. Összetett opciók árazása . . . 281

5.1.5. Csere opciók . . . 285

5.1.6. Quanto termékek . . . 287

5.2. Útfüggő opciók . . . 290

5.2.1. A tükrözési elv és a maximumfolyamatok eloszlása . . 290

5.2.2. Barrier opciók . . . 298

5.2.3. Dupla barrier opciók . . . 303

5.2.4. Visszatekintő opciók . . . 310

5.2.5. Ázsiai opciók . . . 318

6. Amerikai opciók folytonos időhorizonton 339 6.1. Az optimális megállítás problémája . . . 341

6.1.1. A megállási opciókról szóló tétel nem negatív szuper- martingálokra . . . 343

6.1.2. A Snell-burkoló konstruálása . . . 344

6.1.3. Az optimalitási kritérium . . . 353

6.1.4. Az optimális megállítási idő létezése . . . 355

6.1.5. Az optimális megállási idő és a találati idő . . . 361

6.2. Homogén Itô-diffúziók és az erős Markov-tulajdonság . . . 362

6.2.1. Az optimális megállítás problémája Itô-diffúziókra . . 365

6.2.2. Szuperharmonikus függvények . . . 365

6.2.3. Szuperharmonikus burkoló és az értékfüggvény . . . . 369

6.2.4. A kilépési idő mint legkisebb optimális megállítás . . . 374

6.2.5. Az optimális megállítás létezése . . . 375

6.3. Amerikai put opciók árazása és a Doob–Meyer-dekompozíció 378 6.3.1. Amerikai call opciók árazása . . . 381

6.3.2. Az amerikai put opció árazó függvényének tulajdonságai 382 7. Kamatlábmodellek 403 7.1. Forward ráták és hozamgörbék . . . 404

7.2. Azonnali rövid kamatlábmodellek . . . 405

7.3. A HJM nincsen arbitrázs feltétel . . . 415

7.3.1. A HJM-feltétel levezetése . . . 415

7.3.2. Markov-tulajdonság . . . 423

7.4. Sztochasztikus diszkontfaktor modellek . . . 424

7.4.1. A feltételes várható értékre vonatkozó Fubini-tétel . . 426 iii

7.5.1. A LIBOR-modell . . . 434 7.5.2. A LIBOR-modell konzisztenciája . . . 436

Tárgymutató 438

iv

Az alábbi jegyzet a korábbi ötéves gazdaságmatematikai képzés keretében a Corvinus egyetemen tartott matematikai előadásaim kibővített verziója.

A könyv lényegében két részből áll. Az egyik rész, amely egyetlen fejezet- ből a harmadik fejezetből áll, a sztochasztikus integrálás és a sztochasztikus differenciálegyenletek elméletét tartalmazza. Ez utóbbi nem szerepelt az elő- adásokon, így csak a teljesség kedvéért került az anyagba. A másik rész a többi fejezetből áll, amelyek a matematikai pénzügyek klasszikus, mondhat- nám standard elméletét mutatják be. Némiképpen ezt a részt is kibővítet- tem, ugyanis hozzácsaptam az anyaghoz néhány speciális származtatott ter- mék részletes tárgyalását. Így többek között részletesen bemutatom az ázsiai opciókat vagy a különböző barrier opciókat. Ezektől eltekintve a tananyag megegyezik a korábbi előadások anyagával.

Egy ilyen jellegű tankönyv megírásakor a szerző fő problémája az, hogy milyen típusú előismeretekre építsen. Kár tagadni, a jelen tankönyv önmagá- ban nem igazán követhető, ugyanis a sztochasztikus folyamatok elméletének aktív ismeretét tételezem fel. Először arra gondoltam, hogy a lábjegyzetekben visszautalok korábbi könyveimre, vagy az irodalomban fellelhető egyéb forrá- sokra, de aztán ezek elhagyása mellett döntöttem, ugyanis ezek az utalások csak elbizonytalanítanák az olvasót és az előképzettséggel nem rendelkező olvasónak amúgy sem segítenének. Általában a jegyzet nem tartalmaz iro- dalomjegyzéket. Mielőtt ezt valaki a szememre hányná megjegyzem, hogy a pénzügyi matematika irodalma olyan nagy, hogy áttekintése számomra elkép- zelhetetlenül nehéz lenne, idegen tollakkal, vagyis mások irodalomjegyzéké- nek az átvételével meg nem akartam ékeskedni. Ha valaki a könyv elolvasása után a területen akar kutatni, akkor számos olyan könyvet találhat, amelyek részletesen bemutatják az irodalmat és megfelelő utalásokat tartalmaznak. A legkimerítőbb talán Monique Jeanblanc, Marc Yor és Marc Chesney kiváló monográfiája, amelynek címe Mathematical Methods for Financial Markets, és a Springer kiadó gondozásában jelent meg 2009-ben. Én ezt a könyvet és számos más hasonló művet részletesen áttanulmányozva próbáltam az anya- got összeállítani.

Végezetül kellemes kötelezettségemnek szeretnék eleget tenni. Őszinte há- lával tartozom egy sor embernek, akik segítettek a könyv megírásakor. Ezek közül is kiemelkedik Badics Tamás, aki a könyvet átnézte és az abban találha- tó számtalan hibát kijavította. Természetesen csak reménykedhetek abban, hogy a megmaradt hibák nem teszik a könyvet használhatatlanná.

Medvegyev Péter 1

A várható jelenérték szabálya és

martingálmértékek

Ebben a bevezető fejezetben a legegyszerűbb kérdést feszegetjük : Hogyan kell az árakat meghatározni véletlen jövőbeli kifizetések esetén. A tárgyalás szük- ségszerűen igen absztrakt, de a funkcionálanalízis néhány közismert tételén kívül semmilyen más mélyebb matematikai területre nem kell hivatkozni. A fejezet legfontosabb kérdése, hogy miként indokolható a várható jelenérték szabálya, vagyis hogy minden jövőbeli kifizetés jelen időpontban érvényes ára a jövőbeli kifizetés diszkontált várható értéke. A dologban az egyetlen csavar az, hogy a várható értékhez tartozó valószínűségi mértékről nem tudunk sem- mit. Csak annyit tudunk, hogy létezik a matematikai pénzügyek legtöbbet hivatkozott fogalma, a misztikusQmérték. A fejezet megírásának legfonto- sabb indoka az volt, hogy megpróbáltam kiiktatni a megengedett portfólió fogalmát a származtatott termékek árazásának elméletéből. Miként látni fog- juk a könyv hátralevő részében a származtatott termékek árazásának elmé- lete a fedezés fogalmára épül. De milyen módon lehet fedezni ? Diszkrét és véges időhorizonton, amelyet a második fejezetben fogunk tárgyalni a fedező portfóliónak egyedül önfinanszírozónak kell lenni. Az önfinanszírozás ilyenkor megadott, definíciója igen egyszerű és meggyőző. Jóval nagyobb problémát jelent azonban a folytonos időhorizont esete, amellyel a könyv többi fejezete foglalkozik Ha el is tekintünk attól, hogy lehetetlen a fedező portfólióban a súlyokat folytonosan változtatni két további probléma marad : Egyrészt az önfinaszírozás definíciójában diszkrét időhorizonton szereplő késleltetés, ne- vezetesen atés at+ 1időpontok explicit szerepeltetése folytonos időhorizon-

3

ton matematikailag nem értelmezhető, másrészt, és ez a fontosabb, a végtelen számú időpont megjelenése miatt lehetségesé váló duplázási stratégia követ- keztében létező arbitrázslehetőség kiiktatására be kell vezetni a megengedett portfóliók fogalmát, amely fogalomra a véges időpontot tartalmazó modellek esetén nincsen szükség. Az első probléma megkerülését avval szokás indo- kolni, vagy inkább szőnyeg alá söpörni, hogy a harmadik fejezetben tárgyalt Itô-kalkulus integrálfogalma valamiképpen tartalmazza az önfinanszírozás- ban szereplő időpontkésleltetést. Hogy ez mennyire helyes, vagy helytelen nem érdemes feszegetni, ugyanis jóval nagyobb gondot jelent a megengedett portfóliók bevezetése. Az irodalomban két megközelítés létezik : Az elsőben feltesszük, hogy a megengedett portfólió alulról korlátos. Ennek kétségtelen előnye, hogy viszonylag egyszerűen interpretálható, illetve emlékeztett a tény- leges pénzügyi gyakorlatra : Adott valamilyen kezdőösszeg, vagy limit, amiből gazdálkodni kell, és amikor ez a kezdőlimit elfogy, akkor a portfóliót le kell zárni. Ugyanakkor evvel azt érjük el, hogy az eladás, illetve a vétel nem lesz azonosan megengedett, vagyis a fedező portfóliók halmaza nem lesz lineáris tér, hanem kúp lesz, így a származtatott termékek árazásában kulcs szere- pet játszó heurisztikus gondolat, miszerint a vevők és az eladók egyszerre vannak jelen elvész, és a vételi és az eladási oldalon más és más gondolat- menetet kell az ár indoklásakor alkalmazni. A másik megoldás szerint pedig a megengedett porfóliók azok a portfóliók, amelyekre a portfólió értéke a kockázatsemleges árrendszer esetén martingál lesz. A kérdés jogos : Miért is ? Nem éppen a martingálmértéket akarjuk bevezetni ? Mi van akkor, ha több martingálmérték van ? Akkor melyik szerint kell a fedező portfóliónak martin- gálnak lenni ? Erre mintha nem lenne válasz. Kétségtelen, hogy a megengedett portfólió ezen definíciója helyreállítja a fedező portfóliók azon véges számú pontból álló időhorizonton esetén fenálló tulajdonságát hogy a vevők és az eladók szempontjából a helyzetet azonosan kell kezeli, de a korrekció durván technikai jellegű és némiképpen kilóg a nevezetes lóláb.

1.1. Bevezetés

A pénzügyi elmélet legfontosabb, sőt talán egyedüli eszköze a várható jelen- érték szabály. E rendkívül praktikus és látszólag igen egyszerű szabály szerint egy jövőben esedékes kifizetéskor két tényezőt kell figyelembe venni : Az időtá- vot, illetve a kifizetés bizonytalanságát. Az időhorizonttól való függést a disz- konttényezővel szokás figyelembe venni. A jövőben biztosan kifizetett összeg értéke a jelenben kevesebb, vagy legalábbis nem több, mint a jövőben kapott érték. Hogy mennyivel kevesebb, az a piaci szereplők idővel kapcsolatos pre- ferenciáinak a függvénye. A jelen és a jövő közötti transzformációt megadó szorzószám közönséges árként viselkedik, és elvileg semmiben nem különbözik két egyszerre megvásárolható termék cserearányától. A kifizetés bizonytalan-

sága hasonlóan működik. A módosító érték a bizonytalansággal kapcsolatos preferenciák által meghatározott kereslet és kínálat eredője. Talán az egyetlen eltérés az, hogy a bizonytalanság fogalma nehezebben ragadható meg.

Ebben a bevezető fejezetben vizsgált kérdés a következő : Haπ(ξ) jelöli a ξ jövőbeli véletlen kifizetés jelen időpontban érvényes árát, akkor milyen tulajdonságokkal, illetve reprezentációval rendelkezik aπfüggvény ? Az árazó függvény alapvető tulajdonsága a linearitás. Bár ez nem teljességgel nyilván- való, mégis a pénzügyi modellekben mindig evvel a hallgatólagos feltétellel élünk. További kézenfekvő tulajdonságnak tűnik aπnem negativitása, vagyis haξ≥0, akkorπ(ξ)≥0. Azonban ez a két feltétel egyszerre minden további megkötés nélkül általában nem teljesülhet.

1.1. Példa. A valószínűségi változók L⁰ terén általában nincs a triviálistól különböző nem negatív lineáris funkcionál.

JelöljeL⁰ a [0,1]szakaszon mérhető függvények Lebesgue-mérték szerinti ekvivalenciaosztályait. AzL⁰téren a topológiát a sztochasztikus konvergenci- ával szokás definiálni, ugyanakkor vegyük észre, hogy a lineáris funkcionálok- tól a folytonosságot nem követeljük meg. Megjegyezzük, hogy aK${ξ≥0}

függvények olyan kúpot alkotnak, amely zárt a sztochasztikus konvergen- ciában, de a kúpnak a sztochasztikus konvergencia által generált topoló- giában nincsen belső pontja, így a végtelen dimenziós szeparációs tétel, a Hahn–Banach-tétel, nem alkalmazható. Tegyük fel, hogy egy alkalmasΛ li- neáris funkcionálra Λ (ξ)≥0, ha ξ ≥0, és egy alkalmas ξ₀ ≥0 függvényre α$Λ (ξ₀)>0. Nyilvánvalóan aΛmonoton, vagyis ha ξ≤η, akkorΛ (ξ)≤

≤ Λ (η), ugyanis Λ (η)−Λ (ξ) = Λ (η−ξ) ≥ 0. Ekkor a ξ0χ[0,1/2] és a ξ0χ(1/2,1]függvények összegeξ0, amiből a kettő közül az egyikre aΛértéke

≥α/2. Jelöljeξ1az így kapott függvény négyszeresét. Világos, hogy ξ1≥0, ésΛ (ξ1)≥2α. Felezzük meg az intervallumot és ismételjük meg az eljárást a ξ1-re, stb. Az így kapott(ξn)sorozatra azη $sup_nξn ∈L⁰ függvény véges, ugyanis legfeljebb egyetlen olyan pont van, amelyre nem teljesül, hogy a(ξn) sorozat tagjai egy indextől már nullák. Mivelξn≤η, ezért aΛmonotonitása miatt 2ⁿα ≤ Λ (ξn) ≤ Λ (η), amiből Λ (η) = ∞, ami lehetetlen, ugyanis a lineáris funkcionálok értéke definíció szerint véges.

2 1.2. Példa. A valószínűségi változókL⁰terén nincsen folytonos lineáris funk- cionál.

Az előző példa egyszerű módosításával azonnal látható, hogy tetszőleges olyanξ₀ esetén, amelyre Λ (ξ₀) $α >0, ξ_n →^p 0, ésΛ (ξ_n)→ ∞, amiből a Λnem lehet folytonos a sztochasztikus konvergenciában, vagyis az L⁰ téren nem adható megΛ 6= 0 a sztochasztikus konvergenciában folytonos lineáris

funkcionál. 2

AzL⁰tér a sztochasztikus konvergenciával egy teljes metrizálható lineáris tér. A metrikát az kξk₀ $ E(|ξ| ∧1) képlettel definiálhatjuk. Nyilvánvaló- ankξ+ηk₀ ≤ kξk₀+kηk₀. A két példát a következő egyszerű észrevétellel kapcsolhatjuk össze :

1.3. Állítás. Legyen L⊆L⁰ egy lineáris tér, és tegyük fel, hogy ha ξ∈L, akkor|ξ| ∈L. Tegyük fel, hogy az L-en adott egykξk függvény, amelyre

1. kξk ≥0 éskξk= 0pontosan akkor, haξ= 0.

2. kξk=k−ξk.

3. kξ+ηk ≤ kξk+kηk.

Ha ad(ξ, η) =kξ−ηk távolságra nézve az Lteljes metrikus tér, akkor az L téren értelmezett minden nem negatív lineáris funkcionál folytonos.

Bizonyítás. LegyenΛazLtéren értelmezett nem negatív lineáris funkcionál, és legyen(ξ_n)egy nullához konvergáló sorozat. Ez definíció szerint azt jelenti, hogy kξ_nk → 0. A linearitás és a nem negativitás miatt |Λ(ξ_n)| ≤ Λ(|ξ_n|).

Elegendő tehát belátni, hogy Λ(|ξ_n|) → 0. Feltehető tehát, hogy a ξ_n nem negatív. Elegendő belátni, hogy minden(ξn)sorozatnak van egy(ξn_k)részso- rozata, amelyreΛ(ξn_k)→0. Hakξn_kk ≤2^−k, akkor a P∞

k=1ξn_k sor szeletei Cauchy-sorozatot alkotnak, ugyanis haM > N,akkor

M

X

k=1

ξn_k−

N

X

k=1

ξn_k

=

M

X

k=N+1

ξn_k

≤

M

X

k=N+1

kξn_kk=

M

X

k=N+1

2^−k →0.

AzLfeltételezett teljessége miatt a sor konvergens. Legyen a sor összegeξ_∞. Mivel aΛ nem negatív ésξn_k ≥0,ezért

N

X

k=1

Λ (ξn_k)≤Λ (ξ_∞)<∞.

Mivel ez mindenN-re igaz, ezért aP∞

k=1Λ (ξn_k)sor is konvergens, követke- zésképpenΛ (ξ_nk)→0.

Az idáig tett megfontolásokból evidens, hogy ahhoz, hogy egy értelmes pénzügyi elméletet tudjunk felépíteni, meg kell követelni, hogy a π értel- mezési tartománya elég szűk legyen. A legegyszerűbben akkor járunk el, ha feltesszük, hogy a πárazó függvény L értelmezési tartománya egy alkalmas 1≤p <∞ kitevővel egyL^p(Ω,A,P)tér¹. Egy megjegyzés erejéig érdemes

1Általábanp= 2,de időnként a p= 1esettel is találkozhatunk.

utalni azonban arra, hogy bár a feltétel igen egyszerű, mégsem probléma- mentes, mert aL^p tér nem invariáns a matematikai pénzügyekben alapvető szerepet játszó mértékcserére. Ugyanakkor a két kézenfekvő alternatíva, az L⁰és azL^∞terek, bár invariánsak az ekvivalens mértékcserére, egyikük sem megfelelő, ugyanis miként láttuk az L⁰ térben nincsenek folytonos lineáris funkcionálok, az L^∞ térben pedig bizonyos értelemben túl sok is van be- lőlük, mivel miként ismert azL^∞ terekben vannak olyan folytonos lineáris funkcionálok is, amelyek mértékkel nem reprezentálhatóak. További probléma forrása, hogy azL=L^p,1≤p <∞feltétel hallgatólagosan megköveteli egy Pvalószínűségi mérték létét². Ennek szokásos interpretációja, hogy adott egy statisztikai valószínűségi mező, és feltételezzük, hogy az árfolyamok alakulása a klasszikus valószínűségszámítási modelleknek megfelelően alakul, ami azon- ban csak részben tekinthető helyes feltételnek, ugyanis a pénzügyek elvileg, vagy inkább remélhetőleg nem egy szerencsejáték.

AzL^pterekben minden folytonos lineáris funkcionál integrálként reprezen- tálható, így azL=L^p feltétel legfőbb oka/következménye az alábbi egyszerű észrevétel :

1.4. Lemma. Létezik, mégpedig egyetlen olyan a P-mértékre abszolút foly- tonosµmérték, amelyre π(ξ) =R

Ωξdµ.

Mivel aπ nem negatív, ezért aµ valódi mérték. Amikor a π értelmezé- si tartományáról azL-ről megköveteltük, hogy lineáris teret alkosson, akkor hallgatólagosan megköveteltük, hogy azLelemei már eleve diszkontálva van- nak, ugyanis ellenkező esetben nem lehetne, őket pénzügyileg értelmes módon összeadni. Egy további triviális megkötés/feltétel, hogy elvárjuk, hogy az 1 konstans kifizetés eleme legyen a lehetséges kifizetésekLalterének és

1 =π(1) = Z

Ω

1dµ,

vagyis aµ valószínűségi mérték. A matematikai pénzügyek szokásos jelölé- sét használva a µ reprezentáló mértéketQ-val fogjuk jelölni. Érdemes nyo- matékosan hangsúlyozni, hogy az L^p(Ω,A,P) és azL^p(Ω,A,Q) terek nem azonosak³. Aπértelmezési tartománya továbbra is azL^p(Ω,A,P)tér. Hang- súlyozni kell, hogy nem állítjuk, hogy aPés aQekvivalensek, vagyis hogy a Pés aQalatti nullmértékű halmazok egybeesnek. Ennek megköveteléséhez szükségünk lenne arra, hogy aπszigorúan monoton növekedő legyen, vagyis hogy mindenPszerint nem nulla, nem negatív változó ára pozitív legyen. Ezt

2AzL⁰ és azL^∞terek definiálásához elég megadni a nullmértékű halmazokat, ami a valószínűségszámítás interpretációja alapján azonosítható a logikailag lehetséges, de amúgy lehetetlennek tekintett eseményekkel.

3Ap= 2esetnek, amikor azLegy Hilbert-tér kétségtelen előnye, hogy ilyenkor aP és aQalatt négyzetesen integrálható változók halmaza egybeesik.

azonban nem követeljük meg⁴. Mivel aπárfüggvényt reprezentáló mértékek a P-re nézve abszolút folytonosak, ezt ebben a fejezetben hallgatólagosan, minden további említés nélkül, mindig meg fogjuk követelni.

A megadott matematikai és közgazdasági megkötések együttesét a követ- kező állításban foglalhatjuk össze :

1.5. Tétel (Várható jelenérték szabály). A megadott feltételek esetén ér- vényes a várható jelenérték szabálya, vagyis tetszőleges H jövőbeli kifizetés jelenbeliπ(H)árára érvényes a

π(H) =E^Q H

reprezentáció, aholH aH diszkontált értéke ésE^Q aQvalószínűségi mérték szerint vett várható érték operátora.

Érdemes felhívni a figyelmet arra, hogy a tétel meglehetősen semmitmon- dó, ugyanis nem tartalmaz semmilyen útmutatást arra, hogy hogyan kell a Qmértéket egy modellben felírni, vagy a modell paraméterei alapján meg- határozni.

1.2. Martingálok és a várható jelenérték szabály

A várható jelenérték szabálynak van egy távolról sem triviális következménye.

JelöljeQazt a mértéket, amelyet a várható jelenérték szabályban használni kell. A várható jelenérték szabály pontosan azt állítja, hogy ilyenQmérték létezik. Legyen S valamilyen kereskedett termék árfolyamát megadó szto- chasztikus folyamat. Kézenfekvő kérdés, hogy azS milyen típusú folyamatot alkot aQmérték alatt ?

Természetesen különbözőtidőpontokban azS folyamat értéke különböző termék. Kézenfekvő megkövetelni, hogy nem csak fix időpontokban számol- hatjuk ki az S értékét. Ha a τ időpont véletlen, akkor jelölje S(τ) azt a változót, amely éppen azS értékét adja meg aτ (véletlen) időpontban. Haτ egy véges értékeket felvevő megállási idő, akkor azS(τ)természetesen szintén egy önálló pénzügyi termék. Az S termék kereskedett, ami definíció szerint azt jelenti, hogy a t = 0 időpontban bármely fix, vagy az aktuális kimene- teltől függőτ időpontban esedékes értéke eladható, vagy megvehető. Jelölje R a diszkontálásra használt folyamatot és jelölje S $S/Ra diszkontált fo- lyamatot. Emlékeztetünk, hogy aπértelmezési tartománya a diszkontált ki- fizetéseket tartalmazza. Tekintsünk két időpontot : legyenek ezekt₁ést₂. Az S(t1)és azS(t2)két különböző határidős termék, amelyekπára a várható jelenérték szabály miatt at= 0időpontban

π S(t1)

=E^Q S(t1)

, π S(t2)

=E^Q S(t2) ,

4Bár nem tűnik különösen erős megkötésnek.

ahol aQfelső index a várható érték során használt mértékre utal. Mi a kap- csolat a két ár között ? Megmutatjuk, hogy π S(t1)

= π S(t2)

. Ehhez elegendő megmutatni, hogy a közös érték éppen a kereskedett termékS0-lal jelölt t = 0 időpontban érvényes aktuális ára. Ennek oka nagyon egyszerű.

A pénzügyi termékek, szemben a hagyományos termékekkel, költségmentesen tárolhatóak, ugyanis az időből származó értékvesztést már a diszkontáláskor figyelembe vettük. Atk időpontban esedékes határidős kifizetéshez az ingye- nes tárolás feltétele miatt két eltérő módon is hozzájuthatunk. Vagy at= 0 időpontbanS0-ért megvesszük a terméket és kivárjuk atk időpontot, vagy a t= 0időpontbanπ S(t_k)

-ért megvesszük at_k időpontban való „hozzáférés”

jogát. Mivel mind a két esetben at_kidőpontban azonos értékünk lesz, ezért a kifizetett vételáraknak at= 0időpontban is meg kell egyezniük. Például ha S₀< π S(t_k)

, akkor a határidős terméket eladva, majd a kapott összegből a terméket magát megvéve, majd költségmentesen tartva at_kidőpontig at= 0 időpontban biztos profithoz juthatunk, annak ellenére, hogy a portfólió értéke atk időpontban nulla. Ugyanis atk időpontban egyrészt a kezünkben lesz a termék, másrészt azonban kötelesek vagyunk a határidős szerződés alapján a terméket leszállítani. A két pozíció azonban pontosan ellentétes, így az együt- tes értékük éppen nulla. Mivel ezt bármilyen nagyságrendben megtehetjük, végtelen profitra tehetünk szert, amit definíció szerint kizárunk⁵. Némikép- pen másképpen fogalmazva, ha feltesszük, hogy a bármely jövőben esedékes nulla kifizetés jelenbeli ára is nulla, valamint megköveteljük, hogy aπárazó függvény lineáris legyen, akkor a különböző időpontokra vonatkozó határidős termékek jelenben esedékes ára meg kell hogy egyezzen. Következésképpen,

E^Q S(t₁)

=π S(t₁)

=S₀=π S(t₂)

=E^Q S(t₂) .

Mivel at₁, t₂időpontok lehetnek megállási idők is, ezért a megállási opciókról szóló tétel alapján igaz a következő állítás :

1.6. Tétel (Kereskedett termékek martingálmértéke). Ha az S termék ke- reskedett és a Q mérték esetén érvényes a várható jelenérték szabály, akkor a diszkontált árfolyamokból állóS folyamat martingál aQ mérték alatt.

Vegyük észre, hogy a bizonyításhoz a várható jelenérték szabályon kívül csak azt használtuk, hogy egy kereskedett termék bármely jövőbeli időpontra vonatkozó határidős kifizetésének jelenlegi ára független attól, hogy melyik jövőbeli időpontról van szó. Ennek oka az, hogy a modell feltételezése szerint minden pénzügyi termék költségmentesen tárolható, illetve, ugyancsak defi- níció szerint, a biztos végtelen profitot kizárjuk. Érdemes felfigyelni azonban arra is, hogy hallgatólagosan feltettük, hogy a piac igen fejlett : Tetszőleges

5Vegyük észre, hogy a gondolatmenet a matematikai pénzügyekben központi szerepet játszó nincsen arbitrázs feltétel egy igen enyhe verziója.

megállási idő esetén a megállási időben lehívható határidős terméknek van piaca, következésképpen van ára.

1.7. Definíció. AQmértéket azSkereskedett termék martingálmértékének mondjuk, ha azS diszkontált folyamat martingál aQalatt.

A martingálmértékekkel kapcsolatos legfontosabb kérdés továbbra is a kö- vetkező : Ha adott azSfolyamat, miként, és milyenξdiszkontált kifizetésekre határozhatjuk meg aπfüggvényt ? Természetesen ha egyetlen olyanQmér- ték van, amely esetén azSmartingál és aξkifizetésre érvényes a diszkontált jelenérték szabály, akkor aπfüggvény értelemszerűen aπ(ξ) =E^Q(ξ)alakot ölti. Ha azonban több martingálmérték is van, akkor nyilvánvalóan csak az

inf

Q∈M(^S)

E^Q(ξ)≤π(ξ)≤ sup

Q∈M(^S) E^Q(ξ)

egyenlőtlenség írható fel, ahol azM S

az S diszkontált árfolyam martin- gálmértékeinek halmaza, ahol értelemszerűen martingálmértéken az olyan mértékeket értjük, amely alatt az S martingál. Vagyis a diszkontált jelen- érték szabállyal kapcsolatos további fontos kérdés a következő : Mikor létezik egyetlen martingálmérték ? Az ezt biztosító feltételekre később mint teljességi feltételre fogunk hivatkozni. Hangsúlyozni kell, hogy a teljesség problémája abból ered, hogy aπértelmezési tartományát megadóL=L^ptérnek azS(τ) alakú megállított változók által generált lineáris tér esetlegesen csak az L=

=L^pegy valódi altere, így bár aπfüggvényt reprezentálóQezen az altéren adott, de több olyan mérték is létezhet, amely leszűkítése erre az altérre a Q,így az altérre való leszűkítésből aπnem rekonstruálható.

1.8. Példa. A Black–Scholes-modell martingálmértéke.

A matematikai pénzügyek kedvenc modellje az úgynevezett Black–Scholes- modell. Erről később sokat fogunk beszélni, egyenlőre elegendő annyit megje- gyezni, hogy a modellben két eszköz van, a diszkontálásra használt kötvény, amely árfolyamának alakulását aB(t) =B₀exp (rt) folyamat írja le, illetve az S(t) = S₀exp µ−σ²/2

t+σw(t)

árfolyammal rendelkező részvény.

A modellben azr, µ, σ, B₀ és az S₀ előre adott konstansok és a részvény ár- folyamát megadó folyamat képletében a w egy Wiener-folyamatot jelöl. A diszkontált folyamat értelemszerűen

S(t) = S(t) B(t) = S0

B₀exp

µ−r−σ² 2

t+σw(t)

.

Mivel a képletben szerepel egy Wiener-folyamat, ezért létezik az S(t) ala- kulását megadó valamilyen (Ω,A,P) valószínűségi mező. Az S(t)eloszlása

lognormális, és a lognormális valószínűségi változók várható értékére vonat- kozó képlet alapján

E^P S(t)

= S₀ B0

E^P

exp

N

µ−r−σ² 2

t, σ√

t

= S₀ B0

exp ((µ−r)t). Ha µ 6= r, akkor a diszkontált részvényárfolyam várható értéke nem kons- tans, így azS nem martingál, következésképpen a w Wiener-folyamat mö- götti valószínűségi mezőhöz tartozóPvalószínűségi mérték aπárfunkcionál szempontjából nem releváns.

A Black–Scholes-modellel kapcsolatos legfontosabb matematikai kérdés a következő : Létezik-e, mégpedig egyetlen olyan Q mérték, amely esetén az S martingál ? A létezéssel kapcsolatos kérdésre a választ a később részlete- sen tárgyalt úgynevezett Girszanov-formula tartalmazza, de a legfontosabb gondolatok a Girszanov-formula nélkül is megérthetőek : Egyrészt megmu- tatható, hogy nincs olyan Q mérték, amely alatt a diszkontált árfolyam a teljes [0,∞) időtartományon martingál lesz. Éppen ezért a Black–Scholes- modellben fel kell tenni, hogy az időhorizont egy véges[0, T]időintervallum.

Vezessük be a

θ$ µ−r σ jelölést és legyen

dQ dP $exp

−θw(T)−1 2θ²T

.

Ismételten a lognormális eloszlás várható értékének képlete alapján E

dQ dP

= exp

−1

2θ²T+1 2θ²T

= 1,

vagyis a Q szintén valószínűségi mérték. Mivel a w független növekményű, ezért

Λ (t)$E dQ

dP | Ft

=

= exp

−θw(t)−1 2θ²T

E(exp (−θ(w(T)−w(t)))| Ft) =

= exp

−θw(t)−1 2θ²T

E(exp (−θ(w(T)−w(t)))) =

= exp

−θw(t)−1 2θ²T

exp

1

2θ²(T−t)

=

= exp

−θw(t)−1 2θ²t

,

vagyis a

Λ (t)$exp

−θw(t)−1 2θ²t

folyamat martingál. Ez másképpen a feltételes várható érték definíciója alap- ján azt jelenti, hogy az Ft σ-algebrán a dQ/dP Radon–Nikodym-derivált éppen aΛ (t), ugyanis haF ∈ Ft, akkor

Q(F) = Z

F

dQ dPdP=

Z

F

E dQ

dP | Ft

dP=

Z

F

Λ (t)dP.

Hat≤T, akkor minden F ∈ Ftesetén Z

F

S(T)dQ= Z

F

S(T) Λ (T)dP= Z

F

E^P S(T) Λ (T)| Ft dP=

= Z

F

E^P S(T) Λ (T)| Ft

Λ⁻¹(t)dQ.

Ez a reláció éppen a később bevezetett Bayes-formula speciális esete. Ebből következően

E^Q S(T)| Ft

=E^P S(T) Λ (T)| Ft

Λ⁻¹(t) =

=S(t)Λ (t) Λ (t)E^P

S(T) S(t)

Λ (T) Λ (t) | Ft

=

=S(t)E^P

S(T) S(t)

Λ (T) Λ (t) | Ft

=S(t),

ugyanis azSés aΛexponenciális alapjából evidens, hogy a feltételes várható érték mögötti kifejezések a w(T)−w(t) függvénye és mivel aw független növekményű, ezért a feltételes várható kiszámolásakor a feltétel elhagyható, és has$T−t,akkor aθdefiníciója alapján

E^P

exp

µ−r−σ²+θ² 2

s+ (σ−θ)w(s)

=

= exp

µ−r−σ²+θ² 2

s+1

2(σ−θ)²s

=

= exp

(µ−r)s−1

22σµ−r σ s

= 1.

Ebből következően azS martingál aQalatt.

Miként megjegyeztük, a Q martingálmérték megtalálása csak fél siker, mert nem tudjuk, hogy a martingálmérték egyértelmű-e vagy sem. Általá- ban a matematikai pénzügyek irodalmában a martingálmérték létezése ma- tematikailag egyszerűbb és kézenfekvőbb feltételnek tűnik. Sokkal kevesebbet

tudunk a teljességről, vagyis arról, hogy mikor lesz a martingálmérték egy- értelmű. Tegyük fel, hogy sikerült találnunk egy martingálmértéket. Milyen termékeket tudunk segítségével beárazni ? Tegyük fel, hogy azS0érték ismert.

Ekkor a martingálmérték tulajdonság miatt az S(τ) változók ára vagyis az S(τ) jövőben esedékes kifizetés jelen időpontban érvényes határidős ára is ismert és miként megjegyeztük π S(τ)

= π S(0)

=S(0). Mivel a π li- neáris funkcionál, ezért az összes ξ $ c₀+X

k

c_k S(τ_k)−S(τ_k−1) alakú kifejezés ára is ismert, nevezetesen a kifejezés ára éppenπ(ξ) =c₀, ugyanis a második összeg ára aπlinearitása miatt nulla. Éppen a martingáltulajdonság miatt, haτ_k> τ_k−1 és ac_k nem konstans, hanem egyθ_kF_τk−1 mérhető, kor- látos valószínűségi változó, akkor a martingáltulajdonság miatt, tetszőleges martingálmérték esetén

π θk S(τk)−S(τk−1)

=E^Q θk S(τk)−S(τk−1)

=

=E^Q E^Q θ_k S(τ_k)−S(τ_k−1)

| Fτk−1

=

=E^Q θkE^Q S(τk)−S(τ_k−1)

| Fτ_k−1

=E^Q(θk·0) = 0.

A sztochasztikus analízis irodalmában az ilyen alakú kifejezéseket egyszerű in- tegrandusoknak szokás mondani. Ebből következően az egyszerű integrandus- ként előálló valószínűségi változók mindegyikére aπárfüggvény értéke nulla.

Mivel aπfolytonos azL^p(Ω,A,P)tér normájában, ezért az egyszerű integ- randusok összegeként előálló valószínűségi változók L^p(Ω,A,P) normában vett határértékeinek ára is nulla. Az egyszerű integrandusok összegeként elő- álló valószínűségi változók sztochasztikus konvergenciában vett határértékeit szokás sztochasztikus integrálnak mondani. Mivel a Csebisev-egyenlőtlenség miatt azL^p-konvergenciából következik a sztochasztikus konvergencia, ezért azt mondhatjuk, hogy azRT

0 θ(s)dSalakú sztochasztikus integrálként előálló valószínűségi változók egy részhalmazának πára nulla. A harmadik fejezet- ben szereplő sztochasztikus analízisben részletesen tárgyalásra kerül, hogy milyen alakú folyamatok esetén biztosítható a sztochasztikus integrál létezé- se, ugyanakkor jóval kevesebbet tudunk arról, hogy milyen további megkö- tésekkel biztosítható, hogy ne csak sztochasztikus konvergenciában, hanem erősebb értelemben is, vagyis például azL^p(Ω,A,P)térben is konvergáljon az integrál. Az ezt biztosító alkalmas feltételek esetén érvényes a következő tétel :

1.9. Tétel(Derivatív árazás alaptétele). Ha valamely aT időszakban esedé- kesH_T kifizetésH_T diszkontált értéke előáll

HT =λ+ Z T

0

θ(s)dS (1.1)

alakban, ahol az integrál aπfolytonosságát biztosítóL^p(Ω,A,P)térben kon- vergens, akkor⁶

π(HT)$π HT

=π(λ·1) +π Z T

0

θ(s)dS

!

=λπ(1) + 0 =λ.

Miként később látni fogjuk, a tételben szereplő (1.1) összefüggés szokásos közgazdasági megfogalmazása az, hogy aHT kifizetést sikerült önfinanszíro- zó módon lefedezni. A tétel szerint az önfinanszírozó módon fedezett pénz- ügyi tranzakciók jelen pillanatban érvényes ára éppen az induló befektetés költségével azonos. A matematikai pénzügyek nem elhanyagolható technikai problémái részben abból erednek, hogy miközben a sztochasztikus integrálás természetes matematikai élettere azL⁰tér, addig aπárazó függvények termé- szetes élettere azL^ptér. Az ebből eredő konfliktus számos nehéz órát okozott és valószínűleg fog is még okozni a területen tevékenykedő kutatóknak.

További kérdés lehet, hogy miként lehet a λ értéket kifejezni a H_T és a Q segítségével, ahol Q az S egy tetszőleges martingálmértéke. Ehhez ele- gendő lenne azt biztosítani, hogy a sztochasztikus integrál egy tetszőlegesQ martingálmérték szerinti várható értéke nulla legyen, vagyis hogy az integ- rál martingál legyen a Q alatt. Ez a sztochasztikus integrálás másik nehéz technikai jellegű kérdésével függ össze, amely szerint egy martingál szerint vett sztochasztikus integrál általában csak lokális martingál és nem valódi martingál. Ha azonban a martingálmérték egyértelmű, és a sztochasztikus integrál az L^p(Ω,A,P) térben is konvergens, akkor ez a probléma nem lép fel, ugyanis ilyenkor

π Z T

0

θ(s)dS

!

=E^Q Z T

0

θ(s)dS

!

= 0, következésképpen a nevezetesπ(HT) =E^Q HT

árazó képlet, vagyis a disz- kontált jelenérték szabály ilyenkor teljesül. Ha azonban a martingálmérték nem egyértelmű, akkor mivel nincsen semmilyen garancia arra, hogy a szto- chasztikus integrál aQalatt nem valódi lokális martingál, az integrál várható értéke aQalatt nem feltétlenül lesz nulla.

De ezzel nincsen vége a technikai jellegű problémáknak. Miként dönthe- tő el egy aT időszakban esedékes H_T kifizetéshez tartozóH_T előállítható-e megadott (1.1) alakban ? Elegendő-e ehhez az, hogy aH_T mérhető legyen a S folyamat által generált filtráció valamelyσ-algebrájára nézve ? Az ezt ga- rantáló tételeket szokás integrálreprezentációs tételnek mondani. Általában

6Vegyük észre, hogy formálisan nézve aπ(HT)kifejezés matematikailag értelmetlen, ugyanis egyT időszakban érvényes kifizetésre értelmeztük, aπ árfüggvény pedig a diszkontált kifizetéseket tartalmazóLaltéren definiált. Vegyük észre, hogy legalább- is jelölés szintjén, hallgatólagosan kiterjesztettük aπértelmezési tartományát.

viszonylag enyhe feltételek mellett biztosítható, hogy valamely HT rendel- kezzen a kívánt (1.1) előállítással. Ugyanakkor a sztochasztikus integrálok konvergenciája csak sztochasztikus konvergenciában teljesül, és mikor bizto- sítható az integrálokL^pnormában való konvergenciája ?

1.10. Példa. Európai call opciók árazása a Black–Scholes-modellben.

A matematikai pénzügyek felvirágozása nagyrészt a következő problémá- ból származik : Legyen adva egy S részvény. Mi lesz aT időpontban esedé- kes HT $(S(T)−K)⁺ kifizetést = 0 időpontban érvényes ára ? Tegyük, fel, hogy az S alakulását a Black–Scholes-modell írja le, és a fejezet alap- feltevésének megfelelően tegyük fel, hogy létezik a π árazó függvény. Ter- mészetesen meg kell mondani, hogy mi lesz a π árazó függvény L értelme- zési tartománya. A Black–Scholes-modellben hallgatólagosan azt tételezzük fel, hogy az(Ω,A,P) mező éppen az S definíciójában szereplő w Wiener- folyamatT időpontig bezárólag való megfigyeléséből származik, vagyis A=

=σ{w(t)|t≤T}. Megmutatjuk, hogy ezen az elegendően szűk(Ω,A)mér- hető téren a martingálmérték egyértelmű. A martingálmérték egyértelműsé- gét a már említett integrálreprezentációs tétellel lehet megmutatni. E szerint a tétel szerint, ha egyξmérhető azA=σ{w(t)|t≤T} σ-algebrára nézve, és négyzetesen integrálható, akkor előállítható sztochasztikus integrálként.

ξ=λ+ Z T

0

Xdw,

mégpedig oly módon, hogy a sztochasztikus integrál martingál⁷. Ugyanak- kor ez sajnos nekünk nem elegendő, ugyanis nem aw, hanem az S szerint vett integrálként való előállításra van szükségünk, ezért a fenti előállítás, bár létezik, közvetlenül használhatatlan. Ahhoz, hogy az előállítást az S szerint is meg tudjuk tenni, meg kell mutatni, hogy alkalmas (Ω,A,Q) martingál- mérték alatt egy a másikwemódon jelöltQmérték alatti Wiener-folyamattal dS=σSdw,e amely némiképpen tömör jelölés tartalma később, a sztochaszti- kus integrálás tárgyalásakor, világossá fog válni. Érdemes hangsúlyozni, hogy a w-ra való áttéréskor ugyancsak biztosítani kell, hogy ae we által generált σ-algebra azonos legyen awáltal generáltσ-algebrával. Az integrálreprezen- tációs tételt awe szerint használva, a sztochasztikus integrálokra vonatkozó asszociativitási szabály alapján⁸, minden aQmérték szerint négyzetesen in- tegrálhatóξváltozóra, felhasználva, hogyS >0

ξ=λ+ Z T

0

Xdwe=λ+ Z T

0

X

σSσSdwe=λ+ Z T

0

X

σSdS$λ+ Z T

0

θdS.

7Miként látni fogjuk több különböző integrálreprezentációs tétel is igazolható. A gondolatmenet lényege, hogy az előállításban szereplő sztochasztikus integrál valódi martingál, nem csak lokális martingál.

8Egyenlőre használjuk formálisan, a pontos tartalom később részletesen kifejtésre fog kerülni.

Mivel a ξ négyzetesen integrálható a Qalatt, ezért az integrálreprezentáci- ós tétel biztosítja, hogy a sztochasztikus integrál martingál. Speciálisan ha most aξ korlátos, akkor azE^Q(ξ| Ft) martingál korlátos, így azRt

0θdS =

=E^Q RT

0 θdS| Ft

folyamat szintén korlátos. Ha mostRegy másik martin- gálmérték, ésχ_A egy tetszőlegesA ∈ A halmaz karakterisztikus függvénye, akkor az integrál előállításban szereplő integrál olyan lokális martingál azR alatt, amely korlátos, ezért azRszerint is martingál. Az, hogy a sztochaszti- kus integrál azRalatt lokális martingál, az abból következik, hogy egyrészt a mértékcsere során a sztochasztikus integrálok nem változnak, másrészt az S, a feltétel szerint, az R alatt is martingál, és a martingálok szerint vett sztochasztikus integrálok lokális martingálok. Ebből

Q(A) =E^Q λ+ Z T

0

θdS

!

=λ=E^R λ+ Z T

0

θdS

!

=R(A) mindenA ∈ A esetén. Így tehát a martingálmérték azA σ-algebrán egyér- telmű. Egyúttal persze azt is igazoltuk, hogy nincs aQmértéken kívül olyan másik mérték, amely alatt aS esetleg lokális martingál lesz, vagyis a Black–

Scholes-modellben az alapul vett Wiener-folyamat által generáltσ-algebrán nem csak a martingálmérték, hanem a lokális martingálmérték is egyértelmű.

2 1.11. Példa. Amerikai opciók árazása.

Emlékeztetünk, hogy amerikai opción olyan terméket értünk, amely kifi- zetésének időpontját a termék birtokosa határozza meg. Például az amerikai put opciók esetén az opció birtokosa által megválaszthatóτidőpontban a ter- mék értéke(K−S(τ))⁺, így az opció birtokosa ezt az összeget kapja meg.

Mivel a lehívás időpontja utólag nem határozható meg a τ megállási idő.

Amerikai opciók esetén tehát nem egy valószínűségi változó a kifizetés, így közvetlenül a π függvény nem alkalmazható. Amerikai opciók árának meg- határozásakor abból szokás kiindulni, hogy az eladó a H(τ)alakú változók közötti választás lehetőségét adja el, ahol H egy folyamat. Mivel a vevő a H(τ)változók közül bármelyiket választhatja, így kézenfekvő, ha árként az eladó aπ(H(τ))lehetséges árak szuprémumát jelöli meg. Ha van Qegyér- telmű martingál mérték, akkor az ársup_τπ(H(τ)) = sup_τE^Q H(τ)

. Ha van olyanτ^∗optimális lehívási időpont, amelyre

sup

τ

π(H(τ)) = sup

τ

E^Q H(τ)

= max

τ E^Q H(τ)

=E^Q H(τ^∗) , akkor a π(H(τ^∗))a vevő által is elfogadható, ugyanis nem fog szisztemati-

kusan veszíteni.

Az eszközárazás alaptétele diszkrét időhorizonton

A matematikai pénzügyekkel való ismerkedés folytatását érdemes a véges, diszkrét időhorizonton definiált modellekkel folytatni. A folytonos időhori- zontú elmélet számos olyan technikai bonyodalmat tartalmaz, amely a diszk- rét idejű modellekben nem jelentkezik, így a matematikai háttér a tárgyalása során nem vonja el a figyelmet a terület tényleges közgazdasági mondaniva- lójától. Ez nem jelenti azt, hogy a modellek matematikai szempontból nem izgalmasak, sőt. A terület matematikailag is rendkívül elegáns és lényegében a dualitáselmélet és a konvex analízis egy szellemes fejezetének tekinthető.

A pénzügyeket forradalmasító alapvető feltétel az arbitrázs hiányának meg- követelése. A fejezetben szereplő dualitási tételek éppen ennek a feltételnek a meglétét karakterizálják a szeparációs tétel segítségével. A „nincsen arbit- rázs” feltétel szokásos, köznapi megfogalmazása a kockázat nélkül nincsen üzlet, vagy ráfordítás nélkül nincsen eredmény közmondásos bölcsessége. A modern pénzügyi elmélet alapvető gondolata, hogy ez az elv elegendő alapot szolgáltat a Q mérték létezéshez és a származtatott termékek árazásához.

Az elmélet szerint a piacon megjelenő termékek között nagyfokú redundan- cia van. A redundancia miatt az egyes termékek árai szorosan összefüggnek.

Mivel a termékek lényegében költségek és korlátozás nélkül egymásba transz- formálhatók, ezért az egyetlen korlát, ami az árakat alakítja, hogy veszteség lehetősége nélkül ne lehessen eredményt elérni. Vagyis a nincsen arbitrázs elv.

A fejezet legfontosabb állítása annak igazolása, hogy véges számú időpontból álló időtartomány esetén ha a modell arbitrázsmentes és teljes, akkor a le- hetséges kimenetelek száma véges. Vagyis „izgalmas” matematikai modellek megfogalmazásához vagy a teljesség feltételét kell elhagyni, vagy az időho- rizont végességétől kell eltekinteni. A nem teljes modellek esetén előtérbe

17

kerülnek a hasznossági függvények, vagyis ilyenkor a modellekben explicit módon nem megfigyelhető elemeket is be kell vezetni. Az időhorizont nem véges volta esetén a modellekben fel kell használni a sztochasztikus analízis eszköztárát.

2.1. A Dalang–Morton–Willinger-tétel

A matematikai pénzügyek talán legszebb állítása, a Dalang–Morton–Willin- ger-tétel szerint véges és diszkrét időhorizont esetén a nincs arbitrázs tulaj- donság szükséges és elegendő feltétele annak, hogy létezzen ekvivalens martin- gálmérték¹. A tétel több szempontból is figyelmre méltó : egyrészt rendkívül elegáns, másrészt végső soron a legáltalánosabb ilyen irányú állítás, ugyanis a tételben szereplő egyetlen lényegi megkötés, a lehetséges időpontok végessé- gének megkötése, nem ejthető el. A Dalang–Morton–Willinger-tétel majdnem azonos a jóval egyszerűbb, Harrison–Pliska-tételnek is mondott elemi állítás- sal. Az egyetlen eltérés, hogy ez utóbbi állításban a lehetséges kimenetelek tere véges, vagyis azΩalaptér véges számú atomból áll. A két állítás igazo- lása közötti eltérés nagyrészt a tételben szereplő feltételekből ered, ugyanis a Dalang–Morton–Willinger-tétel indoklásában, az állítás természetéből ere- dően, néhány elemi mértékelméleti megfontolás nem kerülhető el.

2.1.1. A tétel kimondása

Az előző fejezetben azLaltér tulajdonságait nem különösebben specifikáltuk.

Most azL lineáris teret jóval konkrétabban megadjuk : Most az időhorizont nem egyetlen egy időpontból, hanemT <∞számú diszkrét időpontból áll.

Így aT nem csak egy időpontra, hanem az időpontok számára is utal, a le- hetséges időpontok halmaza pedig at= 0,1, . . . , T halmaz. Legyen(Ω,A,P) egy általános valószínűségi mező. Miként látni fogjuk aPszerepe másodlagos, ugyanis alább azL⁰(Ω,A,P) tér, vagyis az ekvivalencia osztályok halmaza játsza a főszerepet, és az L⁰ megadásához elegendő megadni a nullmértékű halmazokN családját. Minden egyestidőponthoz rendeljük hozzá, az addig az időpontig megfigyelhető eseményekFthalmazát. Vagyis(Ω,Ft,P)jelöli at időpontig bezárólag bekövetkezett eseményeket megadó valószínűségi mezőt.

NyilvánFt⊆ Ft+1. A sztochasztikus folyamatok elméletében bevett termino- lógiát használva azF$(Ft)^T_t=0tehát egy véges időhorizontú, de minden más szempontból tetszőleges filtráció. Legyen(S(t))^T_t=0 tetszőleges m-dimenziós F-adaptált folyamat. Miként közismert, az adaptáltság csak annyit jelent, hogy mindent-re azS(t)vektor értékű valószínűségi változó mérhető azF_t σ-algebrára nézve. Az S(t) vektorokat mint at = 0,1, . . . , T időpontokban

1A pontos definíciókra még egy kicsit várni kell, de már nem sokat.

megfigyelhetőmdarab kereskedett pénzügyi eszköz diszkontált árának időso- rát interpretáljuk. A jelen állapotot reprezentálót= 0időponttól eltekintve azS(t)vektorok valószínűségi változók, ugyanis az eszközök későbbi értékét nem ismerjük. A pénzügyekben szokásos módon az eszközökből portfóliókat készíthetünk. Az egyes eszközök portfólióban levő nagyságát, vagyis a portfó- lió súlyokat a(θ(t))^T_t=1sorozat adja meg. Érdemes felfigyelni arra, hogy aθ(t) indexe nem 0-tól, hanem 1-től indul. Ennek oka, hogy a portfólió súlyokat mindig előre meg kell adni. Aθ(t)értékét at−1 időpontban mondjuk meg, így a θ(t) nem Ft, hanem Ft−1-mérhető. A θ sorozat ezen tulajdonságára mint aθ előrejelezhetőségére szokás hivatkozni². Vezessük be az

R$ (

H |H =

T

X

t=1

hS(t)−S(t−1), θ(t)i )

halmazt, ahol θ az előrejelezhető stratégiákon fut keresztül, vagyis miként jeleztük a θ(t) minden t-re F_t−1-mérhető. Az R az S(t) árfolyamok meg- változásából származó lehetséges kumulált árfolyamnyereségek halmaza. Az analízisben megszokott módonL⁰₊ jelölje a nem negatív valószínűségi válto- zók halmazát. Vezessük be az A $ R−L⁰₊, valamint a cl (A) halmazokat, ahol a lezárás a sztochasztikus konvergenciában értendő, és az A definíció- jában a kivonás jel komplexus kivonást jelent. Diszkrét, véges időhorizont esetén az úgynevezett eszközárazás első alaptételének legáltalánosabb alakja a következő :

2.1. Tétel (Dalang–Morton–Willinger). A modellben a következő állítások ekvivalensek :

1. A∩L⁰₊={0}.

2. Megadható olyanQvalószínűség, amely ekvivalens az eredetiPvalószí- nűségi mértékkel, amelyre adQ/dP Radon–Nikodym-derivált korlátos, és amely mellett azS m-dimenziós martingál.

Érdemes hangsúlyozni, hogy a tételben szereplő első állítás azt jelenti, hogy nincsen olyan(θ(t))^T_t=1 előrejelezhető stratégia, amelyre

T

X

t=1

hS(t)−S(t−1), θ(t)i ≥0

2Bárki felvetheti, hogy az előrejelezhetőség definíciója némiképpen furcsa. Talán első ránézésre logikusabb lenne, ha mindenhol aθ(t)helyettθ(t−1)-et írnánk és aθ folyamatot szintén adaptáltnak mondanánk. A θelőrejelezhetőségének ily módon való bevezetésére a folytonos időhorizonttal való „kompatibiltás” miatt van szükség.

és egy pozitív mértékű halmazon az egyenlőtlenség szigorú, vagyis nem lehet pozitív valószínűséggel nyerni anélkül, hogy pozitív valószínűséggel veszte- nénk is. Ez közgazdaságilag éppen az előző fejezetben is említett nincsen arbitrázs feltétel. Másképpen fogalmazva az első állítás szerint a modellben nincsen arbitrázs.

2.1.2. Az L

tér elemi tulajdonságai

Emlékeztetünk, hogy az L⁰(Ω,F,P) téren az F σ-algebrára mérhető való- színűségi változók halmazát értjük. A továbbiakban az(Ω,F,P)paramétert elhagyjuk, és a valamivel egyszerűbbL⁰ jelölést fogjuk használni. A valószí- nűségi változókat a szokásos módon a P valószínűségi mérték szerint ekvi- valencia osztályokba soroljuk. AzL⁰ téren a konvergenciát a sztochasztikus konvergencia definiálja. Emlékeztetünk, hogy a sztochasztikus konvergencia metrizálható³, így az L⁰ részhalmazainak zártságát elegendő szekvenciális okoskodással igazolni, vagyis egy Z ⊆ L⁰ halmaz pontosan akkor zárt, ha minden aZhalmazból vett konvergens sorozat határértéke is aZ halmazban van. A sztochasztikus konvergencia alapvetően fontos tulajdonsága, amely a későbbi gondolatmenet alapjául szolgál, hogy minden sztochasztikusan kon- vergens sorozat tartalmaz egy majdnem mindenhol konvergens részsorozatot, illetve, hogy a majdnem mindenhol való konvergenciából következik a szto- chasztikus konvergencia. Ennek megfelelően egyZ⊆L⁰halmaz pontosan ak- kor zárt, ha aZ-ből vett minden majdnem mindenhol konvergens sorozatnak a határértéke is Z-be esik. Másképpen fogalmazva az L⁰ térben a zártságot szekvenciális gondolatmenettel tudjuk igazolni, miközben az egyébként nem metrizálható majdnem mindenhol való konvergenciát⁴ használjuk. AzL⁰ tér számunkra kulcs tulajdonságát a következő kompaktsági lemma tartalmazza : 2.2. Lemma. Legyen(η_n)R^mértékű mérhető függvények egy sorozata és te- gyük fel, hogy a sorozat minden kimenetelre korlátos. Ekkor megadható olyan (σk)egész értékű, szigorúan monoton növő, mérhető függvényekből álló soro- zat, amelyre az(ησ_k)sorozat minden kimenetelre konvergens. Másrészről, ha sup_nkηnk =∞, akkor van olyan (σk) egész értékű, szigorúan monoton nö- vő, mérhető függvényekből álló sorozat, amelyrelim_k→∞kησ_kk=∞ minden kimenetelre.

Bizonyítás. Vegyük észre, hogy a Bolzano–Weierstrass tétel miatt a kimene- telenkénti korlátosság miatt mindenω kimenetel esetén triviálisan található olyan(σk(ω))szigorúan monoton növekedő sorozat, amelyre az η_σk(ω)(ω) sorozat konvergens. A lényeges észrevétel, hogy aσk indexsorozat mérhető- nek választható. Legyen először(ηn)skalár értékű sorozat. A feltétel szerint

3Könnyen belátható, hogy ad(ξ, η)$E(|ξ−η| ∧1)egy alkalmas metrika.

4Érdemes megjegyezni, bár ennek nincsen jelentősége, hogy a majdnem mindenhol való konvergencia nem is topologizálható.

azη_∞$lim infnηnminden kimenetelre létezik és véges. Az(ηn)mérhetősége miatt azη_∞is mérhető. Legyen σ0$0,és vezessük be a

σk $inf

n > σk−1| |ηn−η∞| ≤ 1 k

függvényeket. Elemi megfontolásokkal azonnal belátható, hogy aσk minden k-ra mérhető, illetveησ_k→η∞. Következésképpen a lemma állítása ilyenkor teljesül. Többdimenziós esetben először az első koordinátához készítsük el a részsorozatot, majd a már megritkított sorozat második koordinátájához ke- ressük meg a konvergenciát biztosító indexsorozatot. Az eljárást egymás után az összes koordinátákra megismételve a(σ_k) indexsorozatot egyszerű, véges lépésből álló iterációval megkaphatjuk. Az állítás második felének indoklásá- hoz elegendő a

σk$inf{n > σ_k−1| kηnk ≥k}

sorozatot venni.

A lemma közvetlen következménye, hogy a véges számú elem által generált úgynevezett véges kúpok zártságára vonatkozó közismert tétel átvihető véges dimenziós terekből azL⁰(F,P)térbe.

2.3. Lemma. Legyenekf1, f2, . . . , fmvalamely Aσ-algebra szerint mérhető tetszőleges függvények. Tegyük fel, hogyF ⊆ Aés tekintsük az

L$ (

f |f =

m

X

i=1

f_iϕ_i, ϕ_i∈L⁰(F,P) )

lineáris teret. AzL azL⁰(A,P) zárt altere.

Bizonyítás. Vegyünk egy ln ∈ L sorozatot, és tegyük fel, hogy ln → l_∞, ahol a konvergencián a majdnem mindenhol való konvergenciát értjük. Az ln ∈ L feltételből meg kell mutatnunk, hogy l_∞ ∈ L. Vektor jelölésre át- térve az L definíciója szerint ln $ hg, yni, ahol g $ (f1, f2, . . . , fm) és y_n$

ϕ⁽ⁿ⁾₁ , ϕ⁽ⁿ⁾₂ , . . . , ϕ⁽ⁿ⁾m

,valamint mindenn-re azy_n F-mérhető. Vegyük észre, hogy a bizonyítás nehézsége pusztán abból áll, hogy az(ln)konvergen- ciájából nem következik az (yn) konvergenciája⁵. Ugyancsak vegyük észre, hogy elegendő belátni, hogy az(y_n) sorozatnak van az első lemma értelmé- ben konvergens részsorozata, ugyanis ha alkalmas részsorozatra y_σk → y_∞, akkor azy_∞F-mérhető, ugyanis a lemma által biztosított(y_σk)részsorozat tagjaiF-mérhetőek, és

hg, y_σki → hg, y_∞i=l_∞.

5Érdemes hangsúlyozni, hogy pontosan ez a probléma lép fel akkor, amikor a véges dimenziós terekben azt kell igazolni, hogy minden véges kúp, vagy egy altér zárt. Az alábbi bizonyítás ezen az igen fontos állítás bizonyításának közismert ötletére épül.