Határozatlan integrál, primitív függvény

Határozatlan integrál, primitív függvény

Alapintegrálok

Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályai- nak megfordításából adódó primitív függvényeket.

• Z

xⁿdx= xⁿ⁺¹

n+ 1 +c, han6=−1; mert xⁿ⁺¹

n+ 1+c ′

=xⁿ

• Z 1

xdx= ln|x|+c; mert(ln +c)^′= 1 x

• Z

sinx dx=−cosx+c; mert(−cosx+c)^′= sinx

• Z

cosx dx= sinx+c; mert(sinx+c)^′= cosx

• Z 1

cos²xdx= tanx+c; mert(tanx+c)^′= 1 cos²x

• Z 1

sin²x dx=−cotx+c; mert(−cotx+c)^′= 1 sin²x

•

Z 1

√1−x² dx= arcsinx+c; mert(arcsinx+c)^′= 1

√1−x²

•

Z 1

√1−x² dx=−arccosx+c; mert(−arccosx+c)^′= 1

√1−x²

• Z 1

1 +x² dx= arctanx+c; mert(arctanx+c)^′= 1 1 +x²

• Z 1

1 +x² dx=−arccotx+c; mert(−arccotx+c)^′= 1 1 +x²

• Z

coshx dx= sinhx+c; mert(sinhx+c)^′= coshx

• Z

sinhx dx= coshx+c; mert(coshx+c)^′= sinhx

•

Z 1

cosh²x dx= tanhx+c; mert(tanhx+c)^′= 1 cosh²x

• Z 1

sinh²xdx=−cothx+c; mert(−cothx+c)^′= 1 sinh²x

• Z

e^xdx= e^x+c; mert(e^x+c)^′= e^x

• Z

a^xdx= a^x

lna+c; mert a^x

lna+c ′

=a^x

•

Z 1

√x²+ 1 dx= ar sinhx+c; mert(ar sinhx+c)^′= 1

√x²+ 1

•

Z 1

√x²−1 dx= ar coshx+c; mert(ar coshx+c)^′= 1

√x²−1

• Z 1

1−x² dx= ar tanhx+c, ha|x|<1; mert(ar tanhx+c)^′ = 1 1−x²

• Z 1

1−x² dx= ar cothx+c, ha|x|>1; mert(ar cothx+c)^′= 1 1−x²

Az integrálás alapképleteinek és -szabályainak alkalmazása

Példák :

(A/1) Z dx

x² = Z

x⁻²dx=x⁻¹

−1 =−1 x+c (A/2)

Z dx

√3

x = Z

x⁻¹³ dx= x²³

2 3

=3 2

√3

x²+c (A/3)

Z

x²(x²−1)dx= Z

(x⁴−x²)dx= Z

x⁴dx− Z

x²dx= x⁵ 5 −x³

3 +c (A/4)

Z

(x²−1)²dx= Z

(x⁴−2x²+ 1)dx= Z

x⁴dx−2 Z

x²dx+ Z

1dx=

=x⁵ 5 −2x³

3 +x+c (A/5)

Z √

x−x+x⁴ x² dx=

Z

(x⁻³² −1

x+x²)dx=− 2

√x−ln|x|+x³ 3 +c (A/6)

Z (x+ 1)²

√x dx= Z

(x³² + 2x¹² +x⁻¹²)dx= 2 5

√x⁵+4 3

√x²+ 2√ x+c (A/7)

Z x²−4x+ 7 x−2 dx =

Z (x−2)²+ 3 x−2 dx =

Z

(x−2)dx+ Z 3

x−2 dx =

=x²

2 −2x+ 3 ln|x−2|+c (A/8)

Z 1 + 2x² x²(1 +x²)dx=

Z 1 +x²

x²(1 +x²)+ x² x²(1 +x²)

dx= Z 1

x² + 1 1 +x²

dx=−1

x+ arctanx+c

(A/9)

Z 6

5 + 5x² dx=6 5

Z 1

1 +x² dx= 6

5arctanx+c (A/10)

Z ln 2

√2 + 2x² dx= ln 2

√2

Z 1

√1 +x² dx= ln 2

√2 ar sinhx+c

(A/11) Z

tan²x dx=

Z sin²x cos²xdx=

Z 1−cos²x cos²x dx= Z 1

cos²x−1

dx= tanx−x+c (A/12)

Z cos 2x

cosx−sinx dx=

Z cos²x−sin²x cosx−sinx dx= Z

(cosx+ sinx)dx= sinx−cosx+c (A/13)

Z x⁴

1−xdx=−

Z x⁴−1 x−1 + 1

x−1

dx=

− Z

x³+x²+x+ 1 + 1 1−x

dx=

− x⁴

4 +x³ 3 +x²

2 +x+ ln|x−1|

+c Feladatok :

(a/1) Z

(√

x+ 1)(x−√

x+ 1)dx (a/2)

Z √³ x²−√⁴

√ x

x dx

Integrálás helyettesítéssel

Z

f(x)dx= Z

f(ϕ(t))ϕ^′(t)dt; helyettesítés: x=ϕ(t)

Példák :

(B/1) Z

cos (4x−5)dx=1 4

Z

cost dt= 1

4sint+c=1

4sin (4x−5) +c helyettesítés: t= 4x−5 =⇒ dt

dx = 4 =⇒dx= 1 4dt

(B/2) Z √

8−2x dx=−1 2

Z √

t dt= 1 2

2

3 t³² +c=−1 3

p(8−2x)³+c

helyettesítés: t= 8−2x=⇒ dt

dx =−2 =⇒dx=−1 2 dt (B/3)

Z

e^−xdx=− Z

e^tdt=−e^u+c=−e−x+c helyettesítés: t=−x=⇒ dt

dx =−1 =⇒dx=−dt (B/4)

Z

10^xe^xdx= e^{ln 10}e^x= Z

e^{x(ln 10+1)}dx= 1

ln 10 + 1e^t+c= e^{x(ln 10+1)} ln 10 + 1 +c helyettesítés: t=x(ln 10 + 1) =⇒ dt

dx = ln 10 + 1 =⇒dx= 1 ln 10 + 1dt (B/5)

Z 1

5 +x² dx= 1 5

Z 1

1 + x

√5

2 dx=1 5

√5 arctan x

√5 +c

helyettesítés: t= x

√5 =⇒ dt dx = 1

√5 =⇒dx=√ 5dt (B/6)

Z 1

(2x−3)⁵ dx= Z

(2x−3)⁻⁵dx=1 2

Z

t⁻⁵dt= 1

2 t⁻⁴

−4 +c=−1 8

1

(2x−3)⁴ +c helyettesítés: t= 2x−3 =⇒ dt

dx = 2 =⇒dx= 1 2dt (B/7)

Z x²p³

x³+ 8dx= 1 3 Z

3x²p³

x³+ 8dx= 1 3

Z 3√³

t dt

= 1 3

3

4 t⁴³ +c=1 4

p3

(x³+ 8)⁴+c helyettesítés: t=x³+ 8 =⇒ dt

dx = 3x²=⇒dt= 3x²dx (B/8)

Z

xsin (x²+ 2)dx= 1 2

Z

2xsin (x²+ 2)dx= 1 2 Z

sint dt=

−1

2cost+c=−1

2cos (x²+ 2) +c helyettesítés: t=x²+ 2 =⇒ dt

dx = 2x=⇒dt= 2x dx (B/9)

Z √³ tanx cos²x dx=

Z

√3

t dt= 3

4t⁴³ +c= 3 4

p3

tan⁴x+c

helyettesítés: t= tanx=⇒ dt dx = 1

cos²x=⇒dt= 1 cos²xdx (B/10)

Z x

x⁴+ 1 dx=1 2

Z 1

t²+ 1 dt= 1

2arctant+c=1

2arctanx²+c helyettesítés: t=x²=⇒ dt

dx = 2x=⇒dt= 2x dx (B/11)

Z x³

√x⁸−1 dx= 1 4

Z 1

√t²−1 dt= 1

4ar cosht+c= 1

4ar coshx⁴+c helyettesítés: t=x⁴=⇒ dt

dx = 4x³=⇒dt= 4x³dx Feladatok :

(b/1) Z

sin (π

3 −3x)dx (b/2)

Z 3

√3x²−2 dx (b/3)

Z p5

(8−3x)⁶dx (b/4)

Z xp

1−x²dx (b/5)

Z x

√x²+ 1 dx (b/6)

Z cosx

√sinx dx

(b/7) Z √

lnx x dx (b/8)

Z cosx p1 + sin²x

dx

Integrálás az

Z f

(x)

f (x) dx = ln | f ( x ) | + c szabállyal

Példák :

(C/1) Z x

4 +x² dx=1 2

Z 2x

4 +x² dx= ln (4 +x²) +c (lehet t= 4 +x⁴ helyettesítéssel is)

(C/2) Z 1

xlnx dx= Z 1

x

lnxdx= ln lnx+c (lehet t= lnxhelyettesítéssel is) (C/3)

Z x+ 2 2x−1 dx=

Z x−¹2

2x−1 +

5 2

2x−1

dx= Z 1

2 +5 4

2 2x−1

dx= x 2 +5

4ln|2x−1|+c (lehet t= 2x−1 helyettesítéssel is)

(C/4)

Z 3x−1 x²+ 9 dx=

Z 3x x²+ 9 dx−

Z 1

x²+ 9 dx= 3

2

Z 2x

x²+ 9 dx−1 9

Z 1

1 +x 3

2 dx =^∗ 3

2ln (x²+ 9)− 1 3

Z 1

1 +t² dx =

= 3

2ln (x²+ 9)−1

3arctant+c= 3

2ln (x²+ 9)−1

3arctanx 3 +c

∗ helyettesítés a második integrálban:t=x

3 =⇒ dt dx = 1

3 =⇒dt=1 3 dx

Parciális integrálás

Z

u(x)v^′(x)dx=u(x)v(x)− Z

u^′(x)v(x)dx

Példák :

(D/1) Z

xcosx dx=xsinx− Z

sinx dx=xsinx+ cosx+c u=x u^′= 1

v^′ = cosx v= sinx (D/2)

Z

(x²−1) sin 3x dx⁽¹⁾= −1

3(x²−1) cos 3x+2 3

Z

xcos 3x dx⁽²⁾=

(1) u=x²−1 u^′= 2x (2) u=x u^′ = 1 v^′ = sin 3x v=−1

3cos 3x v^′= cos 3x v=1 3sin 3x

−1

3(x²−1) cos 3x+2 3

1

3xsin 3x−1 3 Z

sin 3x dx

=

−1

3(x²−1) cos 3x+2

9xsin 3x+ 2

27cos 3x+c (D/3)

Z sin√

x dx⁽¹⁾= 2 Z

tsint dt⁽²⁾=

(1) helyettesítés: x=t²=⇒dx= 2t dt (2) u=t u^′= 1

v^′ = sint v=−cost

−2tcost+ 2 Z

cost dt=−2tcost+ 2 sint=−2√ xcos√

x+ 2 sin√ x+c (D/4)

Z

xsinxcosx dx=1 2

Z

xsin 2x dx=

u=x u^′= 1

v^′ = sin 2x v=−¹₂cos 2x

−¹₄xcos 2x+¹₄ Z

cos 2x dx=−x

4cos 2x+1

8sin 2x+c (D/5)

Z

xarctanx dx=

u= arctanx u^′= 1 1 +x² v^′ =x v=x²

2 x²

2 arctanx − 1 2

Z x²

1 +x² dx = x²

2 arctanx− 1 2

Z 1 +x²−1

1 +x² dx =

= x²

2 arctanx−1 2

Z dx+1

2 Z 1

1 +x² dx= x²

2 arctanx−x 2+1

2arctanx+c (D/6)

Z

e^3xcos 2x dx⁽¹⁾= 1

2e^3xsin 2x−3 2

Z

e^3xsin 2x dx (∗)

(1) u= e^3x u^′= 3e^3x v^′ = cos 2x v=1

2sin 2x Másrészt:

Z

e^3xcos 2x dx⁽²⁾= 1

3e^3xcos 2x+2 3

Z

e^3xsin 2x dx (∗∗) (2) u= cos 2x u^′=−2 sin 2x

v^′ = e^3x v= 1 3e^3x

A (*) egyenletet 4-gyel, a (**) egyenletet 9-cel szorozva és össze- adva a

Z

e^3xsin 2x dxtag kiesik, így kapjuk:

13 Z

e^3xcos 2x dx= 2e^3xsin 2x+ 3e^3xcos 2x Tehát:

Z

e^3xcos 2x dx=2e^3xsin 2x+ 3e^3xcos 2x

13 +c

(D/7) Z

e^arcsinxdx=^∗ Z

e^tcost dt=?

∗ helyettesítés:t= arcsinx=⇒x= sint=⇒dx= costdt

Z

e^tcost dt⁽¹⁾= e^tsint− Z

e^tsint dt (1) u= e^t u^′= e^t

v^′ = cost v= sint Másrészt:

Z

e^tcost dt⁽²⁾= e^tcost+ Z

e^tsint dt (2) u= cost u^′ =−sint

v^′ = e^t v= e^t A két egyenletetet összadva az

Z

e^tsint dttag kiesik, így:

2 Z

e^tcost dt= e^tsint+ e^tcost= e^t(sint+ cost)

Tehát:

Z

e^arcsinxdx=e^arcsinx 2 (

x

z }| { sin arcsinx+

√1−x²

z }| { cos arcsinx) = e^arcsinx

2 (x+p

1−x²) +c Feladatok :

(d/1)

Z x+ 2 e^x

2

dx (d/2)

Z

x²a^xdx (d/3)

Z

x³e^−x2 dx (d/4)

Z

arctan√ x dx (d/5)

Z

ln³x dx(segítség: u= ln³x, v^′ = 1; majd további két ehhez hasonló parc. int.)

(d/6) Z

xe^xdx (d/7)

Z

(8x²−11x+ 5)e^xdx (d/8)

Z

xarcsinxdx (d/9)

Z

x³3^xdx (d/10)

Z sin√

xdx (d/11)

Z

xarctgxdx (d/12)

Z

x²cos 2xdx (d/13)

Z

xsinxcosxdx

(d/14) Z

lnxdx (d/15)

Z

ln²xdx (d/16)

Z

ln³xdx (d/17)

Z

(arcsinx)²dx (d/18)

Z

e^xcosxdx (d/19)

Z

2^xsinxdx (d/20)

Z

e^arcsinxdx (d/21)

Z

e^3xcos 2xdx (d/22)

Z x+ 2 e^x

2

dx (d/23)

Z

xlnxdx

Racionális törtfüggvények integrálása

Példák :

(E/1)

Z x−2

x²−7x+ 12 dx=?

Az integrandust parciális törtekre bontjuk:

x−2

x²−7x+ 12 = x−2

(x−3)(x−4) = A

x−3 + B x−4 =

= A(x−4) +B(x−3)

(x−3)(x−4) = x(A+B)−4A−3B (x−3)(x−4)

Összehasonlítva a számlálóban az együtthatókat a jobb és bal oldalon, a következő egyenletrendszert kapjuk:

A+B= 1

−4A−3B=−2 melynek megoldása:A=−1,B= 2. Tehát:

Z x−2

x²−7x+ 12 dx= Z

− 1

x−3+ 2 x−4

dx=− Z 1

x−3 dx+ 2 Z 1

x−4 dx=

=−ln|x−3|+ 2 ln|x−4|+c= lnc(x−4)²

|x−3| (E/2)

Z x

x⁴−3x²+ 2 dx=^∗ 1 2

Z 1

t²−3t+ 2 dt=?

∗helyettesítés: t=x²=⇒dt= 2xdx Az integrandust parciális törtekre bontjuk:

1

t²−3t+ 2 = 1

(t−1)(t−2) = A

t−1 + B t−2 =

=A(t−2) +B(t−1)

(t−1)(t−2) = t(A+B)−2A−B (t−1)(t−2)

Összehasonlítva a számlálóban az együtthatókat, a következő egyenlet- rendszert kapjuk:

A+B= 0

−2A−B= 1 melynek megoldása:A=−1,B= 1. Tehát:

1 2

Z 1

t²−3t+ 2 dx= 1 2

Z

− 1

t−1 + 1 t−2

dx=

=−1 2

Z 1

t−1 dx+1 2

Z 1 t−2 dx=

=−1

2ln|t−1|+1

2ln|t−2|+1 2lnc=

= 1

2lnc|t−2|

|t−1| = 1

2lnc|x²−2|

|x²−1|

(E/3)

Z 3x−2

x²+ 4x+ 8 dx=?

Itt a nevező nem bontható fel lineáris tényezők szorzatára, ezért az integrandust két olyan tört összegére bontjuk, amelyek egyikében a a számláló a nevező deriváltjának konstansszorosa, a másik számlálója pedig konstans:

3x−2

x²+ 4x+ 8 = α(2x+ 4)

x²+ 4x+ 8+ β

x²+ 4x+ 8 = 2αx+ 4α+β x²+ 4x+ 8

Összehasonlítva a számlálóban az együtthatókat, a következő egyenlet- rendszert kapjuk:

2α= 3 4α+β=−2 melynek megoldása:α= 3

2,β =−8. Tehát:

Z 3x−2

x²+ 4x+ 8 dx=3 2

Z 2x+ 4

x²+ 4x+ 8 dx−8

Z 1

x²+ 4x+ 8 dx=

=3

2ln (x²+ 4x+ 8)−8 Z 1

4 1

(^x+2₂ )²+ 1 dx=

=3

2ln (x²+ 4x+ 8)−4 arctanx+ 2 2 +c (E/4)

Z x³−2x²+ 4 x³(x−2)² dx=?

Az integrandust parciális törtekre bontjuk:

x³−2x²+ 4 x³(x−2)² =A

x + B x² + C

x² + D

(x−2)+ E (x−2)² =

=A[x²(x−2)²] +B[x(x−2)²] +C[(x−2)²] +D[x³(x−2)] +E[x³] x³(x−2)²

Összehasonlítva a számlálóban az együtthatókat, a következő egyenlet-

rendszert kapjuk:

A+D= 0

−4A+B−2D+E= 1 4A−4B+C=−2

4B−4C= 0 4C= 4 melynek megoldása:A= 1

4,B= 1,C= 1,D=−1

4,E= 1

2. Tehát:

Z x³−2x²+ 4 x³(x−2)² dx=

Z 1 4x+ 1

x² + 1

x² − 1

4(x−2)+ 1 2(x−2)²

dx==

= 1 4ln x

x−2− 1 x− 1

2x²− 1 2(x−1) +c (E/5)

Z 1

x⁶+x⁴ dx=

Z 1

x⁴(x²+ 1) dx=?

Az integrandust parciális törtekre bontjuk:

1

x⁴(x²+ 1) = A x + B

x²+ C x³ +D

x⁴ +Ex+F x²+ 1 =

= A(x⁵+x³) +B(x⁴+x²) +C(x³+x) +D(x²+ 1) +Ex⁵+F x⁴ x⁴(x²+ 1)

Összehasonlítva a számlálóban az együtthatókat, a következő egyenlet- rendszert kapjuk:

A+E= 0 B+F = 0 A+C= 0 B+D= 0 C= 0 D= 1

melynek megoldása: A = 0, B = −1, C = 0, D = 1, E = 0, F = 1.

Tehát:

Z 1

x⁶+x⁴ dx= Z

−1 x² + 1

x⁴ + 1 x²+ 1

dx= 1 x− 1

3x²+ arctanx+c

Feladatok :

(e/1)

Z 2x²−5 x⁴−5x²+ 6 dx (e/2)

Z 1 x⁴−x² dx (e/3)

Z x x³−1 dx (e/4)

Z x² 1−x⁴ dx (e/5)

Z 1

(x+ 1)²(x²+ 1) dx (e/6)

Z 2 5x−1dx (e/7)

Z π x+ 2dx (e/8)

Z 2x+ 1 3x−4dx (e/9)

Z 7x−2 4x+ 11dx (e/10)

Z x²+ 1 x+ 1 dx (e/11)

Z x²−2x+ 3 5x+ 7 dx (e/12) R ₃x³+2x²+x

10x−1 dx (e/13)

Z 17dx (3x+ 14)² (e/14)

Z 33dx (x+ 19)³ (e/15)

Z x+ 7 (x+ 2)²dx (e/16)

Z x²−x+ 8 (x−3)³ dx (e/17)

Z x³+x²−x+ 1 (x−1)⁴ dx

(e/18)

Z x⁴+ 1 (x−2)³dx (e/19)

Z x⁷ (1 +x)⁶dx (e/20)

Z dx

3x²+ 4x+ 5 (e/21)

Z dx

5x²−4x+ 3 (e/22)

Z dx

x²−6x−10 (e/23)

Z x−4 x²+ 4dx (e/24)

Z 7x−6 x²−8 (e/25)

Z 3x⁴+ 4x³−x+ 13 x²+ 3x−4 dx (e/26)

Z x⁶−x⁵ x²−5x−6dx (e/27)

Z x⁴+x²+ 1 x³+ 3x²+ 3x+ 1dx (e/28)

Z x+ 3 x³+ 4x²+ 4xdx (e/29)

Z (x²+ 1)dx

(x²−10x+ 21)(x²+ 2x+ 1) (e/30)

Z x⁴+x²+ 1 (x+ 1)²(x−1)²dx (e/31)

Z dx (x²+ 1)² (e/32)

Z dx (x²+ 1)³ (e/33)

Z 3x−4 (x²+ 4)³ (e/34)

Z x+ 1 x⁴+ 4x²+ 3dx

(e/35)

Z x³+x+ 2 (x²+x+ 1)(x−2)dx (e/36)

Z x³+ 2 x⁴−4x²+ 3dx (e/37)

Z xdx x⁴−2x²−3 (e/38)

Z xdx x⁴−3x²+ 2

Trigonometrikus és hiperbolikus függvények integrálása

Páratlan kitevő esetén : leválasztás + helyettesítés.

Páros kitevő esetén : linearizálás.

Linearizálási formulák:

cos²x+ sin²x= 1; cos 2x= cos²x−sin²x; sin 2x= 2 sinxcosx;

cos²x= 1−sin²x; sin²x= 1−cos²x;

cos²x= 1 + cos 2x

2 ; sin²x=1−cos 2x

2 ;

cosh²x−sinh²x= 1; cosh 2x= cosh²x+ sinh²x; sinh 2x= 2 sinhxcoshx;

cosh²x= 1 + sinh²x; sinh²x= cosh²x−1;

cosh²x= cosh 2x+ 1

2 ; sinh²x=cosh 2x−1 2 Példák :

(F/1) Z

cos⁵x dx= Z

cos⁴xcosx dx= Z

(cos²x)²cosx dx= Z

(1−sin²x)²cosx dx=^∗ Z

(1−t²)²dt= Z

(1−2t²+t⁴)dt= t−2t³

3 +t⁵

5 +c= sinx−2

3sin³x+1

5sin⁵x+c (∗ helyettesítés:t= sinx=⇒dt= cosxdx)

(F/2) Z

sin⁶x dx= Z

(sin²x)³dx=

Z 1−cos 2x 2

3

dx=

= 1 8

Z

1−3 cos 2x+ 3 cos²2x−cos³2x dx=

= 1 8

Z

1−3 cos 2x+ 31 + cos 4x

2 −cos³2x

dx=

=· · ·(az utolsó tagra a páratlan kitevő módszerét alkalmazva)· · ·=

= 1 8

5 2x−3

2sin 2x+3

8sin 4x−1

2sin 2x+1 6sin³2x

+c

(F/3) Z

sinh²xcosh³x dx= Z

sinh²x(1+sinh²x)

dt

z }| { coshx dx=

Z

t²(1+t²)dt=

= t³ 3 +t⁵

5 = sinh³x

3 +sinh⁵x 5 +c (F/4)

Z sinh³x

√coshx dx=

Z (cosh²x−1) sinhx

√coshx dx=

Z t²−1

√t dt=2 5t⁵²−2

3t³² =

= 2 5

pcosh⁵x−2 3

pcosh³x+c

Feladatok :

(f/1)

Z sin⁴x cos²x dx (f/2)

Z

sin⁶xcos³x dx (f/3)

Z sin³x cos⁴x dx (f/4)

Z 1

sinhxcoshxdx (f/5)

Z

cos 3xdx (f/6)

Z

xsinx²dx (f/7)

Z

(sin²x−cos²x)dx (f/8)

Z

sinxcosxdx

(f/9) Z

sin²xcos²xdx (f/10)

Z

sin³xcosxdx (f/11)

Z

sin²xcos³xdx (f/12)

Z

sin⁵xdx (f/13)

Z

cos⁵xdx (f/14)

Z

cos³xdx (f/15)

Z

sin⁵xcos²xdx (f/16)

Z sinxdx 1 + cos²x (f/17)

Z cosxdx 1 + cos 2x (f/18)

Z sin³xdx 1 + sin²x (f/19)

Z √

1 + cosxdx (f/20)

Z √

1−cosxdx (f/21)

Z dx sinx+ cosx (f/22)

Z dx cos³x (f/23)

Z dx 5−3 cosx (f/24)

Z sinx−cosx sinx+ cosxdx (f/25)

Z

tg⁵xdx (f/26)

Z dx sin⁴xcos⁴x

Az R(e

) alakú függvények integrálása

Számítsuk ki a következő integrálokat:

(g/1) Z

sinh²xdx (g/2)

Z

cosh³xdx (g/3)

Z dx shx (g/4)

Z

sinh²xch³dx (g/5)

Z sinh³xdx

√coshx (g/6)

Z e^2xdx e^x+ 1 (g/7)

Z 6dx e^x−3 (g/8)

Z

e^xsinh 3xdx

Irracionális függvények integrálása

Számítsuk ki a következő integrálokat:

(h/1)

Z xdx

√3x+ 5 (h/2)

Z

(x²−3x+ 2)√

2x−1dx (h/3)

Z dx

√e^x+ 1

(h/4)

Z √³ x²dx

√9x²−6x+ 5 (h/5)

Z sinhxdx

√coshx (h/6)

Z xdx

√x²+ 1 (h/7)

Z x³dx

√x⁸−1

További feladatok

Számítsuk ki a következő integrálokat:

a)

Z cos 2xdx cosx−sinx b)

Z e^−xdx c)

Z

cos(4x−5)dx d)

Z √

8−2xdx e)

Z

10^xe^xdx f)

Z 5 +x² 5−x²dx g)

Z 3dx

√3x²−2

h)

Z x³dx (2x−4)⁵ i)

Z p5

(8−3x)⁶dx j)

Z xp

1−x²dx k)

Z cosxdx

√sinx l)

Z

xsin(x²+ 1)dx m)

Z dx xlnx n)

Z √ lnx x dx o)

Z cosxdx p1 + sin²x