Határozatlan integrál

12. fejezet

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál

D 12.1 Azt mondjuk, hogy az egyváltozós valós f függvénynek aH halmazon primitív függvénye az F függvény, ha a H halmazon f és F értelmezve van, továbbá F dier- enciálható a H halmazon, mégpedig

F⁰(x) =f(x), ha x∈H .

Az egyváltozós valós f függvény primitív függvényeinek összességét az f határozatlan integráljának nevezzük és a következ®képpen jelöljük: ^R f(x)dx, vagy^R f.

T 12.2 Ha az egyváltozós valósf függvénynek valamelyIintervallumon primitív függvénye F ésG, akkor van olyan valós C szám, hogy az I intervallum minden x elemére G(x) = F(x) +C.

D 12.3 Az elemi függvények dierenciálási szabályaiból adódó integrálási képleteket alap- integráloknak nevezzük. A fontosabbak:

Z

xⁿdx= xⁿ⁺¹

n+ 1+C^∗, han6=−1,

Z 1

xdx= ln|x|+C^∗; Z

e^xdx=e^x+C, ^Z a^xdx= a^x

lna+C; Z cosx dx= sinx+C, ^Z sinx dx=−cosx+C; Z 1

cos²xdx= tgx+C^∗, ^Z 1

sin²xdx=−ctgx+C^∗; Z √ 1

1−x²dx= arcsinx+C=−arccosx+C, ^Z 1

1 +x²dx= arctgx+C; Z chx dx= shx+C, ^Z shx dx= chx+C; Z 1

ch²xdx= thx+C, ^Z 1

sh²xdx=−cthx+C;

Z √ 1

x²+ 1dx= ln|x+^px²+ 1|+C = arshx+C, Z √ 1

x²−1dx= ln|x+^px²−1|+C = archx+C, Z 1

1−x²dx= 1 2ln

x+ 1 x−1

+C^∗=arthx+C^∗, ha |x|<1, arcthx+C^∗, ha |x|>1.

12. Határozatlan integrál Az integrálás általános szabályai

AholC^∗jelöli az integrációs konstanst, ott ezzel azt jelezzük, hogy az integrandus értelmezési tartománya több intervallumból áll (azxⁿfüggvénynél csak negatívnesetén), az összefüggés pedig csak egy, de bármelyik intervallumon érvényes. Az egész értelmezési tartományon érvényes összefüggést úgy kapunk, ha minden intervallumon külön konstanst használunk.

Pl.: _Z

1

xdx=lnx, ha x >0, ln(−x), ha x <0.

T 12.4 A függvények dierenciálási szabályaiból közvetlenül adódnak az integrálás alábbi általános szabályai:

Z (f(x)±g(x))dx=^Z f(x)dx± Z

g(x)dx; (1)

Z (k·f(x))dx=k· Z

f(x)dx (k∈R) ; (2)

Z

f^v(x)f⁰(x)dx= f^v+1(x)

v+ 1 +C , (v∈R, v6=−1) ; (3)

Z f⁰(x)

f(x) dx= ln|f(x)|+C . (4)

Ha ^R f(x)dx=F(x) +C, akkor bármelyaésb (a6= 0) konstansokkal Z

f(ax+b)dx= 1

aF(ax+b) +C, speciálisan ^Z f(ax)dx= 1

aF(ax) +C.

(5)

Ha ^R f(u)du=F(u) +C, akkor bármely dierenciálhatóg bels® függvénnyel Z

f(g(x))g⁰(x)dx=F(g(x)) +C . (6)

P 12.5 Számítsuk ki az 1 (sin²x)√⁴

ctgx határozatlan integrálját. A (3) szabályt alkalmaz-

zuk: ^Z dx

(sin²x)√⁴

ctgx =−

Z (ctgx)⁻¹⁴ ·(ctgx)⁰dx=−(ctgx)³⁴

34

+C =−4 3

q4

ctg³x+C . P 12.6 Számítsuk ki azf(x) = sinx·cosx

1 + sin²x függvény határozatlan integrálját. Mivel (1 + sin²x)⁰= 2 sinxcosx, a (4) szabály alapján

Z

f(x)dx= 1 2

Z 2f(x)dx= ln^q1 + sin²x+C . P 12.7 Számítsuk ki az^Z dx

a+bx², (a , b >0) határozatlan integrált. Átalakítás után az (5) szabályt alkalmazzuk:

Z

f(x)dx= 1 a

Z dx

1 +^qb a x

₂ = 1 a



 1 qb

a arctg

s b ax



+C= √1

abarctg s

b

ax+C . P 12.8 Legyenf(x) = 1

x²+x+ 1. Állítsuk el®^Z f(x)dx-et! A (5) szabállyal:

Z

f(x)dx=^Z dx

x+ 12²+ 34 = 4 3

Z dx

1 +2x√+ 1 3

2 = √2

3arctg2x√+ 1 3 +C .

12. Határozatlan integrál Az integrálás általános szabályai P 12.9 Számítsuk ki az^Z sinx

√cos 2xdxhatározatlan integrált. A (6) szabállyal:

Z

f(x)dx=^Z sinx

p2 cos²x−1dx=−√1 2

Z 1

q(√

2 cosx)²−1

·(√

2 cosx)⁰dx=

=−√1

2arch(√

2 cosx) +C.

Feladatok

Az összeg- és különbségfüggvény, illetve a konstanssal szorzott függvény integrálási szabályát alkalmazva oldjuk meg az alábbi feladatokat. (A gyökös kifejezéseket írjuk át törtkitev®s alakba.)

1. ^Z 7x⁴dx, 2. ^Z √⁵

x dx, 3. ^Z (t²+ 6t−5)dt, 4. ^Z (√

x+√³

x²)dx, 5. ^Z

r

x

q

x√

x dx, 6. ^Z 2e^x+ 5

x + 1 cos²x

dx. Oldjuk meg maradékos osztás után az alábbi feladatokat:

7.^{• Z} x²−3x+ 4

x dx, 8.^{. Z} x³

x+ 5dx, 9.^{. Z} x² 1−x²dx, 10. ^Z x²−2√

2x+ 2 x−√

2 dx, 11. ^Z x⁴

x²+a²dx, 12. ^Z x⁵ x³−a³dx, 13. ^Z e^3x+ 1

e^x+ 1 dx.

A T 12.4 alatti (3) és (4) integrálási szabályok alapján oldjuk meg az alábbi feladatokat:

14. ^Z (2x−3)¹⁰⁰dx, 15. ^Z 3x

(2 + 3x²)³dx, 16. ^Z x

(1 +x²)² dx, 17. ^Z x²dx

(8x³+ 27)²³, 18.^{. Z} √³

1−3x dx, 19.^{• Z} (a+bx)ⁿdx, 20. ^Z r^{2 3}

q1 +r³dr, 21. ^Z x³dx

√3

x⁴+ 1, 22. ^Z x

√1−x² dx, 23. ^Z sin³xcosx dx, 24.^{• Z} cos³x dx, 25. ^Z sin³x dx, 26. ^Z sin⁵x dx, 27. ^Z sin²xcos³x dx, 28. ^Z sin³x

cos⁴xdx, 29. ^Z sin³x

1−cosxdx, 30. ^Z sinx

√cos³xdx, 31. ^Z sinx+ cosx

√3

sinx−cosx dx, 32.^{? Z} dx

√sinxcos³x, 33. ^Z ln²x

x dx, 34. ^Z dx

x√³ lnx,

12. Határozatlan integrál Parciális integrálás

35. ^Z sh²xch³x dx, 36. ^Z ch³x dx, 37.^{. Z} √

chx+ 1dx,

38. ^Z 7

4x−1dx, 39. ^Z 8x−7

4x²−7x+ 11dx, 40. ^Z 2x+ 3

x²+ 3x−10dx, 41. ^Z 3−4x

2x²−3x+ 1dx, 42. ^Z x

x²+a²dx, 43. ^Z 3x² a³+x³dx, 44.^{. Z} dx

sinxcosx, 45.^{. Z} dx

sinx, 46. ^Z dx

shxchx. 47. ^Z dx

shx, 48. ^Z e^2x

1 +e^2x dx, 49. ^Z a^x a^x+ 1dx,

A T 12.4 alatti (5) és (6) integrálási szabályok alapján oldjuk meg az alábbi feladatokat:

50. ^Z dx

2 + 3x², 51. ^Z dx

3x²+ 6x+ 5, 52. ^Z dx 3x²−2x−1,

53. ^Z 1

x²−2x−3dx, 54. ^Z dx

x²−6x−16, 55.^{• Z} x dx 4 +x⁴, 56.^{. Z} x

a⁴−x⁴dx, 57.^{. Z} x³

x⁸−2dx, 58. ^Z dx

√9x²−6x+ 2, 59.^{• Z} dx

√9x²−6x+ 5, 60.^{• Z} dx

√9x²−6x−3, 61.^{• Z} dx

√3 + 6x−9x²,

62. ^Z dx

√3x²−1, 63. ^Z dx

√2−3x², 64. ^Z dx (1 +x)√

x, 65. ^Z e

√x

√x dx, 66. ^Z e^x

√1−e^2x dx, 67.^{. Z} dx

a^−x+a^xdx, 68. ^Z sin lnx

x dx, 69.^{. Z} shx

√ch 2xdx, 70. ^Z dx xlnx,

71. ^Z dx

xlnx·ln lnx, 72.^{? Z} dx

sin²x+ 2 cos²x, 73.^{? Z} a²b²dx

a²sin²x+b²cos²x.

Parciális integrálás

D 12.10A szorzatfüggvény dierenciálási szabályából nyerhet®

Z

f⁰(x)g(x)dx=f(x)g(x)− Z

f(x)g⁰(x)dx

képletet a parciális integrálás képletének nevezzük, és ha ezt a képletet alkalmazzuk, akkor azt mondjuk, hogy az illet® függvényt parciálisan integráljuk.

A parciális integrálásra különösen alkalmas függvények típusai:

1. típus. A

p(x)·t(ax+b) (a, b∈R ; a6= 0)

alakú függvények, amelyekben p: polinomfüggvény, t: a sin, cos, sh, ch, exp valamelyike.

Ebben az esetben legyen f⁰(x) = t(ax+b) és g(x) = p(x). Annyi parciális integrálásra

12. Határozatlan integrál Parciális integrálás lesz szükségünk, amennyi pfoka.

2. típus. Az

x^vlnⁿx (n∈N, v∈R, v6=−1)

alakú függvények. Ebben az esetben legyen f⁰(x) = x^v és g(x) = lnⁿx. Itt n parciális integrálásra lesz szükség.

3. típus. A

t₁(ax+b)·t₂(cx+d) (a, b, d∈R; a6= 0, c6= 0)

alakú függvények, ahol t₁ és t₂ az 1. típusnál a t-ként felsorolt öt függvény valamelyike.

(Azf⁰(x) ésg(x) megválasztásához lásd P 12.11.) 4. típus. A

p(x)·a(x)

akakú függvények, amelyekbenp: polinomfüggvény,a: arkusz- vagy areafüggvény. Ebben az esetben legyen f⁰(x) =p(x) ésg(x) =a(x).

P 12.11A 3. típusú függvények parciális integrálásánál egyenletet írhatunk fel a kiszámítandó határozatlan integrálra, mely egyenlethez két módon is eljuthatunk. Szemléltessük ezt az

I =^Z e^axsinbx dx (a, b6= 0 konstans)

kiszámításán. Eljárhatunk úgy, hogy I-t két különböz® módon parciálisan integráljuk, egyszer f⁰(x) = sinbx és g(x) = e^ax választással, majd f⁰(x) = e^ax, g(x) = sinbx választással:

I =−e^axcosbx b +a

b Z

e^axcosbx dx , I = e^ax

a sinbx− b a

Z

e^axcosbx dx . Az els® egyenletet b

a-val, a másodikat a

b-vel szorozva és összeadva kapjuk, hogy b

aI+a

bI = a²+b²

ab I = e^ax

b sinbx−e^ax

a cosbx, amib®l I = e^ax

a²+b²(asinbx−bcosbx)+C.

Eljárhatunk úgy is, hogy a fenti els® egyenletben tovább integráljuk parciálisan a második tagot f⁰(x) = cosbx,g(x) =e^ax választással:

I =−e^axcosbx b +a

b

e^axsinbx b − a

b Z

e^axsinbx dx

= e^ax

b² (asinbx−bcosbx)−a² b²I.

Ebb®l ismét

I = e^ax

a²+b²(asinbx−bcosbx) +C.

12. Határozatlan integrál Integrálás helyettesítéssel

Feladatok

A parciális integrálás módszerével oldjuk meg az alábbi feladatokat:

74.^{• Z} xcosx dx, 75. ^Z xsin 2x dx, 76. ^Z x²cos 2x dx, 77. ^Z xcos 2x dx, 78. ^Z x²sin 2x dx, 79. ^Z x³sinx dx, 80. ^Z x³cosx dx, 81. ^Z xcos²x dx. 82. ^Z x·3^xdx, 83. ^Z xe^−xdx, 84. ^Z x²e^−2xdx, 85. ^Z e^−xsinx dx, 86. ^Z e^2xcosx dx, 87.^{. Z} e^axcosbx dx, 88. ^Z e^6xcos 4x dx, 89. ^Z e^xsin²x dx, 90. ^Z arcsinx dx, 91. ^Z (arcsinx)²dx, 92. ^Z arcsin√

√ x

1−x dx, 93. ^Z arccos1

xdx, 94. ^Z arctgx 3 dx, 95.^{• Z} xarctgx dx, 96.^{. Z} arctgx−1

x+ 1dx, 97. ^Z arctg√ x dx, 98. ^Z x²arctgx

1 +x² dx, 99. ^Z xarctgx

√1 +x² dx, 100.^.Z lnx dx,

101. ^Z ln²x dx, 102. ^Z ln³x dx, 103. ^Z lnx x

!₂

dx, 104. ^Z ln(x²+ 1)dx, 105. ^Z ln8−x

3 dx, 106. ^Z lg4 xdx, 107. ^Z x²ln(1 +x)dx, 108. ^Z lnx

x³ dx, 109. ^Z x^vlnx dx, (v6=−1), 110. ^Z ln cosx

cos²x dx, 111. ^Z xshx dx, 112. ^Z x³ch 3x dx, 113. ^Z (2x−x²) shx dx, 114.^Z chxcos 5x dx.

115. Igazoljuk, hogy ^R cosⁿx dx= ¹_ncosⁿ⁻¹xsinx+ ⁿ⁻¹_n ^R cosⁿ⁻²x dx (n∈N⁺).

116. Igazoljuk, hogy ^R sinⁿx dx= ¹_nsinⁿ⁻¹xcosx+ ⁿ⁻¹_n ^R sinⁿ⁻²x dx (n∈_N⁺).

12. Határozatlan integrál Integrálás helyettesítéssel

Integrálás helyettesítéssel

D 12.12Az f(x) függvény helyettesítéssel történ® integrálásáról beszélünk, ha 1. az x változó helyébe valamely t változónak egy invertálható és dierenciálható u(t)

függvényét helyettesítjük; kimutatható, hogy ekkor a dx helyébe azu⁰(t)dt kifejezést kell írnunk, és a számítást a következ®képpen kell folytatnunk:

2. elvégezzük atszerinti integrálást;

3. végül azu függvényu inverzét véve at=u(x) helyettesítéssel visszaírjuk az eredetix változót. Képletben:

Z f(x)dx=^Z f(u(t))u⁰(t)dt

t=u(x).

Megjegyzés. A gyakorlatban esetenként nem közvetlenül azxváltozó helyébe vezetjük be az u(t) függvényt, hanem az f valamely bels® függvényét helyettesítjük valamely más függvénnyel, vagy egyszer¶enx valamely függvénye helyébe írjuk atváltozót. Ez az utóbbi eset azonos a (6) képletben leírttal.

T 12.13A leggyakoribb helyettesítések: Legyen R(x, y) egy racionális törtfüggvény.

Az alább konkrétan megnevezett f és g függvényekb®l felépített R(f, g) függvények in- tegrálásához használatos helyettesítések:

AzR(sinx ,cosx) típus esetén a tgx

2 =thelyettesítés. Ekkor sinx= 2t

1 +t², cosx= 1−t²

1 +t², dx= 2dt 1 +t².

HaR(sinx,cosx) =R(−sinx,−cosx), akkor használható az általában egyszer¶bb tgx= thelyettesítés is. Ekkor

sin²x= t²

1 +t², cos²x= 1

1 +t², dx= dt 1 +t².

Az R(shx,chx) típus esetén vagy az (R(e^x) esetben használható) e^x = t helyettesítés, amikor dx= ^dt_t, vagy a th^x₂ =u helyettesítés, amikor

shx= 2u

1−u², chx= 1 +u²

1−u², dx= 2du 1−u². AzRx ,^p1−x²esetén a helyettesítés x= sint.

AzRx ,^px²+ 1esetén a helyettesítés x= sht.

AzRx ,^px²−1esetén a helyettesítés x= cht, ha x≥0, és az Rx ,^px²−1esetén a helyettesítés x=−cht, ha x≤0.

Az R

x^ab, x^cd, . . . , x^kl

(a, b, c, d, . . . , k, l ∈ N⁺) esetén a helyettesítés x = u^λ, ahol λ a kitev®k nevez®inek legkisebb közös többszöröse.

12. Határozatlan integrál Integrálás helyettesítéssel

P 12.14Gyakran az alkalmas helyettesítés megtalálásához az integrálandó függvényen átalakítást kell végeznünk. Keressük például a ^p1 + 2x−x² függvény határozatlan in- tegrálját. El®bb átalakítjuk a függvényt:

I =^{Z p}1 + 2x−x²dx=^{Z q}2−(x−1)²dx=√ 2^Z

s 1−

x√−1 2

₂ dx.

Ez utóbbi alak az u = x√−1

2 helyettesítéssel Ru,√

1−u² típusú lesz, amelyre a T 12.13 szerint az u = sint helyettesítést alkalmazzuk. A több lépésb®l álló helyettesítés egy lépésben is elvégezhet®: x√−1

2 = sint. Ekkor dx=√

2 cost dt, és I =√

2^Z cost·√

2 cost dt= 2^Z cos²t dt= 2^Z 1 + cos 2t

2 dt=t+sin 2t

2 +C=

= arcsinx√−1

2 + sint·cost+C = arcsinx√−1

2 +x√−1 2

s 1−

x√−1 2

₂

+C=

= arcsinx√−1

2 + (x−1)^p1 + 2x−x²+C .

P 12.15El®fordulhat, hogy a fentiekben ajánlott helyettesítésnél kevesebb számolással járó helyettesítést is találhatunk. Számítsuk ki például az ^Z dx

x√

x²−1 (x >1) integrált.

Az ajánlott helyettesítés: x= cht. Ekkordx= sht dtésI =^Z dx x√

x²−1 =^Z sht dt cht sht = Z dt

cht.

Ez utóbbit megoldhatjuk a tht

2 =uhelyettesítéssel: a (13) képletek szerintI =^Z 2du 1 +u² = 2 arctgu+C. A cht= 1 +u²

1−u² egyenletb®lu=

scht−1 cht+ 1 =

sx−1

x+ 1, tehát^Z dx x√

x²−1 = 2 arctg

sx−1 x+ 1+C.

Számítsuk ki ugyanezt a feladatot t= 1

x helyettesítéssel. Ekkordx=−1 t², és I =^Z t 1

q₁ t² −1·

−1 t²

dt=−

Z dt

√1−t² = arccost+C = arccos1 x +C . Látható, hogy ez utóbbi helyettesítés kevesebb számolással jár.

Megjegyzés. Az ^Z dt

cht integrált más módon is kiszámíthatjuk. B®vítve a törtet cht-vel és ch²t helyére (1 + sh²t)-et írva,u= shthelyettesítéssel

I =^Z cht dt

1 + sh²t =^Z du

1 +u² = arctgu+C= arctg(sht) +C= arctg^px²−1 +C . Más átalakítással és u=e^t helyettesítéssel:

I =^Z dt

cht =^Z dt

12(e^t+e^−t) = 2^Z e^t

e^2t+ 1dt= 2^Z du

1 +u² = 2 arctg(e^t) +C . Azx= chtegyenl®ségb®lt= archt= lnx+^px²−1, tehátI = 2 arctgx+^px²−1+ C.Dierenciálással meggy®z®dhetünk arról, hogy mind a négy módon a megadott függvény

12. Határozatlan integrál Integrálás helyettesítéssel

határozatlan integrálját kaptuk meg az (1,∞) intervallumban. Ez azt is jelenti, hogy az eredmények jobb oldalán els® tagként álló függvények legfeljebb konstans összeadandóban térhetnek el egymástól.

Feladatok

AT 12.13alatt felsorolt helyettesítések valamelyikével vagy más alkalmas helyettesítéssel oldjuk meg az alábbi feladatokat (a, b, c konstansok és a >0).

117.^{.Z q}1−x²dx, 118. ^{Z q}a²−x²dx, 119. ^{Z q}a²+x²dx, 120. ^{Z q}5 + 3x²dx, 121. ^Z x²

√

a²−x²dx, 122.^.Z x√

c+x dx, 123. ^Z dx

x√

c+x, 124. ^{Z q}(x²−1)³dx, 125. ^Z dx

q(1−x²)³, 126.^{.Z q}1 +x²dx, 127. ^Z

√x²+ 1

x² dx, 128.^.Z

s x x−1dx, 129.^.

s x

1−xdx, 130.^{.Z q}3−2x−x²dx, 131. ^{Z q}5−3x²dx, 132. ^{Z q}x²+ 2x+ 2dx, 133.^{.Z q}3x²−3x+ 1dx, 134. ^{Z q}5−2x+x²dx, 135. ^{Z q}15 + 2x−x²dx, 136.^Z dx

(a²+x²)√

a²+x²,

137. ^Z dx

x√

x²+a², 138. ^Z x³dx

√1 +x², 139. ^Z x³dx

√1 + 2x², 140. ^Z dx

x⁴+x, 141. ^Z dx

√x+√⁴

x, 142. ^Z dx

√x(1 +√³ x), 143. ^Z

√x

x(x+ 1)dx, 144. ^Z

√x

√4

x³+ 1dx, 145. ^Z dx sinx+ cosx, 146.^.Z

s1−cos²x

1 + cos²xdx, 147. ^Z dx

1 + sinx, 148. ^Z dx 1 + cosx, 149. ^Z dx

cosx, 150. ^Z dx

5 + 3 cosx, 151. ^Z dx 5 + 4 sin 2x, 152.^.Z dx

1−sin⁴x, 153.^.Z dx

sin³xcos³x, 154.^.Z 3x²−1 (x²+ 1)³ dx, 155. ^Z ln lnx

x dx, 156.^.Z dx

q1−sin⁴x

, 157.^.Z √

e^x−1dx, 158. ^Z e^2x

e^x+ 1dx, 159. ^Z 1

shxdx, 160.^.Z dx c+bcosx.

12. Határozatlan integrál Racionális törtfüggvények integrálása

Racionális törtfüggvények integrálása

T 12.16A valós együtthatós racionálisR(x) törtfüggvény maradékos osztással R(x) =g(x) + P(x)

Q(x)

alakra hozható, aholP(x) fokszáma kisebbQ(x) fokszámánál.

T 12.17AQ(x) valós együtthatós polinomfüggvény egyértelm¶en el®állítható els®fokú, és negatív diszkriminánsú másodfokú polinomfüggvények szorzataként:

Q(x) =a₀(x−x₁)^α1· · ·(x−x_k)^αk(x²+b₁x+c₁)^β1· · ·(x²+b_lx+c_l)^βl. T 12.18HaQ(x)-nek az el®z® tétel szerinti felbontása ismeretes, akkorP(x)

Q(x)törtfüggvényt a

P(x)

Q(x) = A⁽¹⁾₁

x−x₁ + A⁽¹⁾₂

(x−x₁)² +· · ·+ A⁽¹⁾_α1

(x−x₁)^α1 +· · ·

· · ·+ A^(k)₁

x−x_k + A^(k)₂

(x−x_k)² +· · ·+ A⁽_α^k_k⁾ (x−x_k)^αk+ + B⁽¹⁾₁ x+C₁⁽¹⁾

x²+b₁x+c₁ + B⁽¹⁾₂ x+C₂⁽¹⁾

x²+b₁x+c₁² +· · ·+ B_β⁽¹⁾

1x+C_β⁽¹⁾

1

x²+b₁x+c₁^β1 +· · ·

· · ·+ B⁽₁^l)x+C₁^(l)

x²+b_lx+c_l + B₂^(l)x+C₂^(l)

x²+b_lx+c_l² +· · ·+ B_β^(l)

lx+C_β^(l)

l

x²+b_lx+c_l^βl +· · ·

képlet szerint elemi törtfüggvények (parciális törtek) összegére bonthatjuk. Az itt még ismeretlenA⁽ⁱ⁾,B⁽ⁱ⁾,C⁽ⁱ⁾ számok meghatározására egyenletrendszert írhatunk fel.

P 12.19Számítsuk ki az 1

x⁶+x⁴ függvény határozatlan integrálját.

A nevez®t a T 12.17 szerinti alakra hozzuk: x⁶+x⁴ = x⁴(x²+ 1). Ezt felhasználva a függvényt el®állítjuk elemi törtek összegeként:

1

x⁴(x²+ 1) = A₁ x +A₂

x² +A₃ x³ +A₄

x⁴ +Bx+C x²+ 1 .

A jobb oldalt összevonva, a két oldal számlálójának azonosan egyenl®nek kell lennie:

1 =A₁x³(x²+ 1) +A₂x²(x²+ 1) +A₃x(x²+ 1) +A₄(x²+ 1) + (Bx+C)x⁴. Átrendezvex hatványai szerint:

1 = (A₁+B)x⁵+ (A₂+C)x⁴+ (A₁+A₃)x³+ (A₂+A₄)x²+A₃x+A₄. A megfelel® együtthatók összehasonlításával:

A₄ = 1, A₃= 0, A₁+B = 0, A₂+C = 0, A₁+A₃= 0, A₂+A₄= 0. Ezekb®lA₁ = 0, A₂=−1, B = 0, C = 1. Tehát

Z dx

x⁶+x² =^Z − 1 x² + 1

x⁴ + 1 x²+ 1

dx= 1 x − 1

3x³ + arctgx+C.

Amennyiben Q(x) gyökei között több egyszeres gyök van, az A⁽_jⁱ⁾, B_j⁽ⁱ⁾, C_j⁽ⁱ⁾ számok meghatározását célszer¶bben az alábbi példában szemléltetett módon végezhetjük.

12. Határozatlan integrál Vegyes feladatok.

P 12.20Számítsuk ki az x²

1−x⁴ függvény határozatlan integrálját. Elemi törtek összegére bontjuk a függvényt:

x²

1−x⁴ = −x²

x⁴−1 = −x²

(x²−1)(x²+ 1) = A

x−1 + B

x+ 1+Cx+D x²+ 1 . Ebb®l −x²=A(x+ 1)(x²+ 1) +B(x−1)(x²+ 1) + (Cx+D)(x²−1).

Legyen x= 1 ; akkor−1 = 4A, azaz A=−¹₄. Legyen x=−1; akkor −1 =−4B, azaz B= ¹₄. Legyen x= 0 ; akkor 0 =A−B−D, azaz D=−¹₂.

A C-t azx együtthatóiból állapítjuk meg: A+B−C= 0, azaz C= 0. Tehát Z x²

1−x⁴dx=^Z −x²

x⁴−1dx=^Z − 1

4(x−1)+ 1

4(x+ 1)− 1 2(x²+ 1)

dx=

=−1

4ln|x−1|+1

4ln|x+ 1| − 1

2arctgx+C = 1 4ln

x+ 1 x−1

− 1

2arctgx+C .

Feladatok

Integráljuk az alábbi racionális törtfüggvényeket, illetve helyettesítéssel ilyenekre visszavezethet® függvényeket.

161.^. 1

x³−8, 162. 1

x²−2x−3, 163. 2x+ 3 (x−2)(x+ 5), 164. x−3

x³−x, 165. 1

x⁴−x², 166. x

(x+ 1)(x+ 2)(x+ 3), 167.^.x³−6x²+ 11x−5

(x−2)⁴ , 168.^.x³−2x²+ 4

x³(x−2)² , 169. 1

(x+ 1)²(x²+ 1), 170. x

x³−1, 171.^. 1

x(3 + 5x⁶), (u =x⁶), 172.^. 8

7x+ 3x⁵, (u=x⁴), 173. 6dx

e^x−3, 174.^.lnx+ 1

x^x−1 , 175. ^Z

√xdx x+ 1.

Vegyes feladatok.

176.^.Határozzuk meg az ^Z xf⁰⁰(x)dx integrált.

177. Határozzuk meg az ^Z f⁰(2x)dx integrált.

178.^.Határozzuk meg az f függvényt, ha f⁰(x²) = 1

x (x > 0).

179.^.Határozzuk meg az f függvényt, ha f⁰(sin²x) = cos²x.

12. Határozatlan integrál Vegyes feladatok.

180. Legyen f folytonos és invertálható függvény, inverzét jelölje f⁻¹. Mutassuk meg, hogy ha

Z

f(x)dx=F(x) +C,

akkor Z

f⁻¹(x)dx=xf⁻¹(x)−F(f⁻¹(x)) +C.

Ellen®rizzük e formulát az xⁿ, e^x, arcsinx függvényekkel!

Határozzuk meg az alábbi integrálok értékét.

181.^.Z |x|dx, 182. ^Z x|x|dx, 183. ^Z (|1+x|−|1−x|)dx, 184. ^Z e^−|x|dx, 185. ^Z max(1, x²)dx, 186.^.Z arcsinx

x² dx, 187. ^Z 1 + 2x²

x²(1 +x²)dx, 188. ^Z xln(4 +x⁴)dx, 189.^.Z x²dx x⁶−10x³+ 9, 190. ^Z x³dx

x⁴−x²+ 2, 191. ^Z 2x−3

9x²−12x+ 4dx, 192. ^Z 3x−2 x²+ 4x+ 8dx, 193.^?Z dx

1 +x⁴, 194. 1

x²−x+ 2, 195. ^Z x

x⁴−2x²−1dx, 196.^.Z dx

cos³x, 197. ^Z dx

sin³x, 198. ^Z dx

sh³x. 199.^.Z dx

cos⁴x, 200. ^Z dx

sin⁴x, 201. ^Z tg³x dx, 202. ^Z 1 + tgx

sin 2x dx, 203. ^Z 1 + cos²x

1 + cos 2xdx, 204. ^Z tg²x dx, 205. ^Z tg⁵x dx, 206. ^Z sin⁴x

cos²xdx, 207. ^Z cos⁶x dx, 208. ^Z x(arctgx)²dx, 209. ^Z x²a^xdx (a >1), 210. ^Z sh⁵x

ch⁴x dx, 211. ^Z dx

a+bshx, 212.^?Z dx

(a+bshx)², 213. ^Z sin lnx dx. 214. ^Z

√x²−1−√ x²+ 1

√x⁴−1 dx, 215.^Z sinxcosx

q

a²sin²x+b²cos²x dx, 216. ^Z sinx

cos²x

q1 + 3 cos²x dx, 217.^Z 2 tgx

s

1 + 1 cos⁴xdx, 218. ^Z sinxcosx

qcos⁶x+ sin⁶x dx, 219.^Z dx (a+bcosx)²,