A kovariancia matrixok egy fontos tulajdonságáról

(1)

A KOVARIANCIA MATRIXOK EGY FONTOS TULAJDONSÁGÁRÓL

SZIDAROVSZKY FERENC

A matematikai statisztika szamos módszere hasznalja fel valószínűségi változók kovariancióit, kovariancia matrixót. A gyakorlati alkalmazások során azonban a ko—

variancia matrix elemei pontosan nem ismertek. hiszen véges mintából becsült érté- kek, azaz közelítő mennyiségek. Számos módszer konkrét alkalmazása esetén függ- vényértékek kovariancióival szamolnak, ezeket a kovariancia—értékeket viszont a mé- rési helyek tdvolsógainak függvényeként kezelik ((l), (2), (3)). Ezeket a távolságtól függő kovariancia-értékeket pedig a legkisebb négyzetek módszerével simítjók. A kovariancia matrix elemeinek pontatlansógót az a tény is növelheti, hogy a függ—

vényértékek meghatározása, mérése is hibaval terhelt. Ezeknek a hibáknak a szuper- ponólódósa a gyakorlati szómíta'sok során azt is eredményezheti, hogy eredményül olyan kovariancia matrixot nyerünk, amely nem felel meg a kovariancia matrixok óltalónos kritériumainak. Ilyenkor a további számítások céljára az eredményül ka—

pott matríxból kiindulva további közelítéssel olyan matrixot kell szerkeszteni, amely már eleget tesz ezeknek a tulajdonságoknak.

E tanulmány célja ez utóbbi matrixközelítés optimalizálása, azaz egy közelítő kovariancia matrixból kiindulva olyan matrix szerkesztése, amely a kiindulósul vett matrixhoz valamilyen értelemben a lehető legközelebb van, valamint eleget tesz a kovariancia matrixok tulajdonságainak.

A felhasznált matematikai fogalmak és összefüggések

Legyenek 51, 52, S,, valószínűségi változók, ekkor a 5,- és 5,- vóltozók kova—

rianciójót (4) a

COV (Ép 59235,— 5) —E(5,-) E(5,-) /l/

képlettel definiáljuk, ahol E a várható érték jele. Ha a kovariancia értékeket valamennyi 5; és 5,- vóltozópór esetére meghatározzuk, akkor ezen értékekből egy an típusú valós matrixot képezhetünk, amelyet a változó kovariancia matrixónak neve-

zünk:

K : (Cov (á,-v Éjllll] : 1'

M azaz a K matrix i-edík sorának i—edik eleme éppen a Cov (ő,—, %) mennyiség.

Ismeretes, hogy egy an tipusú matrix A akkor és csak akkor lehet kovarian-

cia matrix ((4), (S)). ha szimmetrikus, azaz A'r : A: és nem negatív definit. azaz

(2)

28 ' " ** SZIDAROVSZKY FERENC

tetszőleges u § R" vektor mellett

uTAu ; o: /3/'

ahol R" jelöli a valós n elemű vektorok halmazát T pedig a transzponálást jelzi ((ő),

"(7)).

Legyen most S n-ed rendű szimmetrikus matrix. Egy 2— skalárt S sojátértékének

nevezünk, ha létezik olyan u 75 O vektor. hogy

Su : lu. /4/

Ekkor az u vektort l-hoz tartozó sajótvektornak is nevezzük ((6), (8)). Bebizonyíthatő.

hogy szimmetrikus mátrixok minden sajátértéke valós. Jelölje ÁIÉ Az; . . . § ).

az S sajátértékeit. Kimutatható (8), hogy ekkor

l xTSx '

: ! 5

1 ,???) xTx / "

valamint

xTSx

A : ' , 6

" xmsino xTx 'I /

ahol egy x vektor akkor és csak akkor lui—hez, illetve ln-hez tartozó sajátvektor. ha maximum—. illetve minimumhely. Tehát a legnagyobb és a legkisebb sajátérték maxi—

mum és minimum feladat segítségével is megfogalmazható. Könnyen belátható to—

vábbá: —-S sajátértékei ——M, ——22, . . .. — ". valamint 52 sajátértékei Áj, Áá, . . .,l'lf, és

a sajátvektorok változatlanul maradnak ((B), (9)).

Jelölje ezután diag (A,-) azt a diagonális. n—ed rendű mátrixot, amely főátlójában rendre A,- számok állnak, és a főátlón kivüli elemei zérus értékűek. Ha 11. . . ., Á,, jelöli

S sajátértékeit, akkor található olyan n—ed rendű G matrix, amelyre ((6). (8))

070 : l, /7/

ahol ! : diag (1) az egységmatrixot jelöli, valamint

GT diag (Z,—)G : S. /8/

Megjegyezzük, hogy ezen állításnak megfordítása is igaz: amennyiben az S matrix /7/ feltételeinek eleget tevő /8/ alakú felbontása létezik. akkor a Á,- számok S

sajátértékeit adják. A /8/ összefüggést S spektrálfelbontásának is nevezzük. Például.

ha D : diag (l,-). akkor D sajátértékei a 1,- számok, hiszen ez esetben G : l.

A matrixok nem negatív definit tulajdonsága sajátértékeik segítségével is jelle- mezhető. miszerint egy szimmetrikus matrix akkor és csak akkor nem negatív definit,

ha minden sajátértéke nem negatív ((6). (8). (9)). Bebizonyítható továbbá. hogy egy

A matrix akkor és csak akkor nem negatív definit, ha található olyan n—ed rendű X matrix, hogy

A : xxT. /9/

A matrixok távolságának vizsgálata előtt foglalkozzunk az ezek bevezetéséhez feltétlenül szükséges vektornormákkal. Jelölje most is R"az n elemű, valós vektorok

halmazát.

(3)

A KOVARlANClA MATRlXOK 29

Az R" halmazon értelmezett valós értékű ll-ll függvényről akkor mondjuk, hogy vektornorma. ha

llxll ; 0 (XE R") és llxll : 0.

akkor és csak akkor. ha llxll : 0, valamint

llaxll : lal-llxll tetszőleges x 6 R" és valós a szóm mellett; továbbá

llx—l—yll § llxll—l—llyll tetszőleges x, y 6 R" mellett.

A gyakorlatban legtöbbször alkalmazott vektornormák a következők (9):

llxllw :: maxlxíl, /10/

nxll1:gn:1!x,-lv /11/

n 10

!le2 : (; x%]; , /12/

ahol x,- jelöli x komponenseit. Jelöljön ezután x, y két n elemű valós vektort. Ekkor x és y távolságát az llx—yll mennyiséggel mérjük, ahol ll-ll valamilyen vektornormát

jelöl. Például [12/ definició esetén x és y távolsága:

n 1/2

llx—yllz :: (§); VI.—y,?) , /13/

!:

amely n : 2 esetén közismert. a síkbeli pontok távolságának képlete.

Legyen ezután A : (a,—j) és B : (bii) n—ed rendű matrix, ekkor A és B távol- ságát a vektorok távolságához hasonló, de annál kicsit általánosabb formulákkal definiálhatjuk:

liA— Bild, : nzajx al.]. laü—bül, /14/

n !!

nA—Bnm :

521 i:1

2 2 Ma,—bal,

u 1 u

/15/

n n 1/2

HA— alig,, :l 2 §; a,.ilaü—bülzl , /16/

i:_—1j:1

ahol az ti,-,- konstansok pozitiv súlyok.

Matrixnormákat vektornormákból kiindulva is könnyen definiálhatunk. Legyen tehát ll-llp valamilyen vektornorma. és A egy n-ed rendű matrix. Ekkor (: ll-llP vek- tornormához tartozó matrixnormát az

llelip

"An : max (p :1.2...-,:) /17/

P x ,:0 anp

összefüggéssel definiálhatjuk ((9), (10)). Bebizonyítható, hogy az így nyert matrix—

(4)

30 SZIDAROVSZKY FERENC

norma is eleget tesz a normák (vektorok esetére kimondott) tulajdonságainak, va—

lamint

n

IIAHN : max 2 Iaül, /18/

i jz1 _

"

HAli] : m.ux §; laüj. [19/

J !:

uAn2 : mex VE, _ /20/

* !

ahol ,ul, ,uz, . . ., ,a" jelöli az ATA matrix sajótértékeit ((9), (m)). Vegyük észre, hogy

ha S szimmetrikus matrix akkor

llSll2 : max llíl, /21/

!

ahol 21, Az, . . ., A,, az S sajótértékei, hiszen ez esetben

575 : SZ,

igyi : 1.2, ..., n esetén

,ui : it?, azaz VE : Ill.].

Az optimális közelítés feladata

Jelölje most ND az an típusú valós nem negatív definit matrixok halmazát, valamint legyen S egy olyan szimmetrikus matrix. amelyre S (E ND, azaz S nem negativ definit. Az S matrix jelentheti például a kovariancia matrix közelítését. ahol (:

közelítéssel a definit tulajdonságot is elrontottuk. azaz a fentiek értelmében S nem lehet kovariancia matrix. Ilyenkor S—et tovább kell közelítenünk a további szómitósok céljára oly módon, hogy az új K matrix nem negatív definit legyen, és az S-től való távolsága a lehető legkisebb legyen.

Ezt az alapelvet a

K E ND

/22/

llK—Sll —* min

feltételes szélsőérték feladat formájában is megfogalmazhatjuk, ahol ll-ll valamilyen matrixnormót jelöl.

Minthogy a feladat célfüggvénye függ a konkrét matrixnorma megválasztásától.

més—más norma esetén általában més-més megoldást kapunk. A továbbiakban azt vizsgáljuk meg. hogy különböző matrixnormók esetén milyen alakú a /22/ feladat.

és hogyan lehet a matematikai programozás módszereivel megoldani azt ((H). (12),

(B))-

1. Tekintsük először a II— lla; norma esetét. Ekkor /22/ célfüggvénye

mgx aüjkü—süj —— min /23/

alakban írható fel, ahol kü jelöli K és s,—,— S elemeit. Jelölje röviden E a célfüggvényt,

(5)

A KOVARIANCiA MATRIXOK , 31

ekkor nyilvánvalóan

_E _'S aü(kü_...si].

)ÉE (i,i:1,2....,n) /24/

Azt is tudjuk, hogy K E NP akkor és csak akkor, ha K : XXT alakú. ahol X : (xii) valamiiyen valós n-ed rendű matrix, így

n

kij : k§1 xík X].k (i, [ : 1, 2, . . ., n) /25/

Tehát [23/ és /24/ figyelembevételével a [22/ probléma a

" 1

k§1xikxj '— Haj,-E § Si].

(i,i :: 1, 2, ..., n) /26/

% % 1 a

ka xik xjk (I,-,— — si]

E —— min

alakban is felírható, amelyben az x,—,- elemek és E jelentik az ismeretleneket. Mint- hogy a feltételek kvadratikusok és (: célfüggvény lineáris, e probléma az operáció- kutatás szokásos módszereivel oldható meg ((13), (H)).

2. A ll-ku matrixnorma esetén is hasonlóan járhatunk el, hiszen ekkor /22/

célfüggvénye

n "

_Z )] a..[k..—a,.i -— min /27/

alakú. Vezessük most be az

r.. : [k..—s..1 ,!28/

új változókat, akkor r_ü definíciójábói adódóan

_rü s_ kü._s'.j s__ rü, ,!29/*' '

azaz felhasználva ismét a /25/ azonosságot, valamint a /29/ feltételeket, végered—

ményben a

n

1311 xik Xik—rij § sij

/30/

"

k21 xik Xjk—krij ;

^S.._'I

.. r., —— min

!] u n n

2 2 a

i:1 jz1

kvadratikus programozási feladatot nyerjük, ahol az x,,- és r,,- mennyiségek jelentik az ismeretleneket.

(6)

32 SZlDAROVSZKY FERENC

3. Tekintsük ezután a ll-ll2* normát. Ekkor a /22/ feladat célfüggvénye

n

% 2 az..(k..—sü)2 —— min /31/

;;1 ;:1 " "

hiszen a négyzetgyökfüggvény nem negatív argument esetén szigorúan növekvő, így elhagyható. Ha felhasználjuk ez esetben is a /25/ összefüggéseket. akkor o

n n n 2 .

ig ig ali (131 xik xik—sül * mm /32/

feltétel nélküli szélsőérték feladatot nyerjük. amely szokásos módszerek ((12). (H))

felhasználásával már megoldható.

4. Vizsgáljuk meg most az lI-ll .,, norma esetét. Ekkor o /22/ feladat célfügg-

vénye:

"( !

mlgixjg1 ]kü—sül —— mm /33/

Vezessük be ismét a /28,/ összefüggéssel definiált változókat. ekkor ismét fenn- állnak a /29/ feltételek. így /25/ alapján a /22/ minimum probléma ismét kvadratikus

programozási feladattá redukálható:

" u,

2 x"; Xjk—i- r.. e s]. /34/

ahol E jelöli a /33/ célfüggvényt. Ebben a problémában x,-,-, r,,- és E jelenti az ismeretleneket.

5. Az előzőkhez hasonló ll-lli norma esetén is ugyanígy kell eljárnunk. A szó—

— molások részletezése nélkül most csak a /22/ problémával ekvivalens kvadratikus

programozási feladatot adjuk meg. ahol ugyanazok az ismeretlenek, mint a /34/

probléma esetén:

n

kg xik xjk"ij § si]

n

kg Xik xjk—Fríi ; si] /35/

n

—— Z r..—l—E ; 0

íz1 "

E —r min

6. Foglalkozzunk végül a ll-ll2 matrixnormo esetével. Minthogy ez a matrixnorma nem közvetlenül maguktól a motrixelemektől függ. az előzőkben bemutatott re-

(7)

A KOVARIANCIA MATRlXOK 33

dukciós elvet nem tudjuk alkalmazni. Viszont ez esetben zárt alakban, közvetlenül

felírhatjuk (: [22/ probléma optimális megoldását.

Tegyük fel ennek érdekében. hogy ismerjük az S matrix spektrálfelbontásót.

azaz a /8/ összefüggésnek eleget tevő G mátrixot, továbbá ismerjük a 2,- sajátérté- keket is.

Ezeknek az S matrixból való meghatározása többféle numerikus eljárás segitsé- gével történhet, például a ciklikus Jacobi-módszer ((S), (9), (15)) igen hatékony algo- ritmusnak bizonyult a gyakorlati számítások során. Ha S nem negativ definit, akkor nincs mit tennünk. hiszen ekkor nyilvánvalóan K : S az optimális választás. Ha 5 nem nem negatív definit, akkor legalább egy sajátértéke negativ. Ha tehát saját—

értékeit úgy számozzuk, hogy 21 ?; % § .. . ; Á" teljesüljön. akkor 2,,( 0. Le- gyen ezután í : 1, 2, .... n esetén

Z,]. : Aí—l—sí'

/36/

ahol le,—l § fínl, valamint valamennyi); szám nem negatív. Nyilvánvaló, hogy ekkor en : lÁnl'

Kimutathatjuk. hogy a Z számok korábbiaknak megfelelő tetszőleges megvá- lasztásával

K : oT diag a,.)o /37/

optimális közelítést jelent.

Ennek igazolására elegendő belátnunk, hogy tetszőleges nem negatív definit C matrix esetén

llK—Sll2 § llC—Sllz. /38/

Számítsuk ki először a /38/ egyenlőtlenség bal oldalát. Minthogy

K—S : oniag aim-or diag (mo : of diag (ii—zim, /39/

(: K—S szimmetrikus matrix sajátértékei a 2—2,- számok, így a [21/ összefüggés alap-

ján

llK—Sil2 : max iii—Ain : ilni. /40/

Tekintsük ezután a /38/ jobb oldalát. Jelölje C—S sajátértékeit al, (12, . . ., a", ek—

kor /21/ és /5/ alapján

HC—Sll2 : miax lail ; mixx al. : Tiálá [xT(C—S)x]] :

/41/

1

: max í— [xTCx —x7Sx]%.

xxo xTx

Legyen ezután u az S matrix egy Jin-hez tartozó sajátvektora, ekkor nyilvánvaló—

an l4/ mindkét oldalát balról uT-vel beszorozva

uTSu : )." u7u, /42/

3 Statisztikai Szemle

(8)

34 SZIDAROVSZKY FERENC OZGZ

T

u Su

ln ::

uTu

/43/

Megjegyezzük, hogy u ; 0 következtében a nevező pozitív. Ekkor pedig /41l. [43], [40/ és [3/ alapján

T N

1 _ u Su

HC—SHZ E ÉWTCu—uTSuLÉ — uTu : TZ" : llnl : llK—Sllz,

H

amellyel az állítást bebizonyítottuk.

MI

A K matrix meghatározása tehát a következő lépésekből áll:

1. meghatározzuk az S matrix spektról felbontását. azaz a l,. (i 1. 2, . .. n) számokat és a G matrixot:

2. a nem negatív Z,. számokat változatlanul hagyjuk, a negatívokat pedig zérussol he—

lyettesítjiik. így kapjuk a 7; értékeket;

3. elvégezzük a [37/ összefüggésnek megfelelő szorzósokat.

További megjegyzések

A ll-llz matrixnorma esetére bemutatott eljárást últalúnosíthatjuk a következő

módon. Legyen ll-ll olyan matrixnorma, amelyet szimmetrikus matrixokon értelme—

zünk és

I! I ll : 1:

tetszőleges S szimmetrikus matrix esetén pedig

/45/

max llil § "S".

/46/,,

ahol a Z,- szómok jelentik S sajótértékeit.

Legyen most is az S szimmetrikus matrix nem nem negatív definit. Jelölje S sa—

jótértékeit 21 ; Az ; . . . ; 1", ahol A,, ( O. Kimutatjuk. hogy a

K* : S-l—Ilni—l _/47/

matrix nem negatív definít és S-nek az ll-ll normában legjobb közelítése, azaz tet- szőleges nem negatív definit C matrix esetén

llK*— Sll § llC — Sll.

Minthogy

'

/48/

"K' _ su Illnlll : Vini-Hill : ilnl.

valamint

II /49/

K'" __ S ..

a /8I összefüggés fennáll a G

llnl-l : IT dlag (llnl)l.

azonos. l/lnl értékű. lgy az,-.vel (1

/50/

! választással, így K*-S valamennyi sajótértéke

i § n) jelölve C—S sajótértékeit a /46/ alapján

(9)

A KOVARlANCIA MATRlXOK

35

arra a következtetésre jutunk, hogy

nc—su ; max la,.l. /'51/

!

ahonnan a /48/ egyenlőtlenség igazolása már ugyanúgy történhet, mint az előzők—

ben. hiszen a /41/. [42], /43/ és /44/ összefüggések most is fennállnak. Minthogy K'

sajátértékére lí-l—l/lnl ; O, szükségképpen nem negatív definit kell legyen.

Vegyük észre, hogy a /47/ választás az általánosabb /36/ és /37/ definicióknak

speciális esete. hiszen az

s,- : 12"! (i : 1. 2. n) 1'52/

esetnek felel meg. Egyrészről tehát a ll-llg esetén látott optimális megoldások egy

speciális esetéről van szó, de ez a megoldás tetszőleges más. szimmetrikus matrixon értelmezett, az említett feltételnek eleget tevő matrixnormák esetén is optimális. te—

hát a matrixnormáknak egy egész családjára ad közös optimumot, így gyakorlati je-

lentőséggel bír.

Kimutatjuk ezután. hogy a ll- IL, , II- "1, ll- llz matrixnormák eleget tesznek a fel- tételeknek. A szimmetrikus matrixon való értelmezés és a [45/ tulajdonság fennállása nyilvánvaló, a /46/ tulajdonság pedig a következőképpen látható be. Tekintsük az S

matrix sajátérték-egyenletét, azaz a /4/ összefüggést. Mindkét oldalon normára át-

térve p : 1, 2, oo esetén azt kapjuk. hogy

Ill—llullp : Illullp : llSullp § llSllP-llull, /53/

amelyből az llullp : O mennyiséggel osztva a /46/ egyenlőség adódik.

Könnyen kimutathatjuk ezután, hogy a ll-llwk, ll-ll1és ll-ll2 normák viszont

nem tesznek eleget a fenti feltételeknek. Tekintsük először a ll-ll1* norma esetét.

Ekkor /45/ fennállásának nyilvánvalóan az a feltétele. hogy au-l-azz—l— . . . —l—a,,,, : 1 legyen. ekkor valamelyik akk ( 1. Tekintsük ezután azt a Z matrixot. amelyre egyéb—

ként zkk: 1 és z,—,- : O. Ekkor Z diagonális matrix lévén. sajátértékei a diagonális

elemek. így legnagyobb sajátértéke 1. Viszont Illemg : akk ( 1. ami ellentmond a [46/ összefüggésnek. Hasonlóan mutatható ki. hogy ll-ll2* sem tesz eleget a /45/

és /46/ relációknak. Minthogy ll ! ll2* :Zaü, állításunk igazolása az előzőkben vizs-

!

gált Z matrix segítségével történik, és az előzők szerint járunk el. A ll-llawk matrix—

norma esetén gondolatmenetünk a következő. A [46/ fennállásának nyilvánvaló fel—

tétele. hogy max ai,- : 1 teljesüljön. Ahhoz. hogy az előzőkben látott diagonális Z

'

matrixokra fennálljon a /46/, az is szükséges, hogy an : : a,," : 1 legyen.

Tekintsük ezután az n—ed rendű (n ; 2)

a 0 O

a 1 O O

z :: o o o o /54/

0 0 O O

matrixot. Kimutatható. hogy Z sajátértékei nullák, valamint az

(1 —2)2—02 :: o /55/

33):

(10)

36 SZIDAROVSZKY FERENC

egyenlet

im, : iia /56/

megoldásai. Viszont könnyű látni, hogy

lllecogg : max (.1, amial), /57/'

így a /46/ reláció akkor és csak akkor áll fenn. ha (a ) 0 esetet feltételezve)

H—a ; max (1, aulai), /58/

amely viszont akkor és csak akkor igaz, ha

1 § (dig—"DG. /59/

Ez pedig nem teljesülhet rögzített 0112 ) 0 mellett tetszőleges pozitív a esetén.

Tehát ezen matrixnormák esetén a megfelelő kvadratikus programozási felada—

tokat kell megoldanunk, viszonta ll—llp (p : oo, i, 2) normák esetén közös optimá- lis megoldást sikerült zárt alakban előállítanunk, így ezt célszerű a gyakorlatban al— ,

kalmaznunk. és egy példán bemutatnunk.

Tekintsük példaként az

1,02 — 0.99 O,50 S : —O,99 0.96 0.24 050 0.24 2.00

harmadrendű matrixot. A ciklikus Jacobi-módszer alkalmazásával azt kapjuk, hogy

111: 2.5365258, 12: 1.4801215, 33: —0,0ióó473, valamint

0.53148338 —- 0.44428106 -— 0.72120712 G : 0.46147338 —- 0.56210938 0.68634928

O,71032933 0.697601 17 0.09372796

Ekkor pedig [11 : 2,5531731, Ez : 1.4967688, 33 : O, amelynek felhasználásával a /37/

összefüggés szerinti szorzásokat elvégezve

1.0400 — 0.991 1 0.5046 K : — 09911 09769 02406 05046 02406 2.0331

Megjegyezzük végül, hogy a teljes számítás a Kertészeti Egyetem R—20 tipusú

számítógépén 3 percnél kevesebb gépidőt vett igénybe.

Alkalmazási lehetőségek

Az itt bemutatott eljárást minden olyan esetben alkalmazni tudjuk, amikor kö- zelítő kovariancia matrixokról van szó. Példaként a faktoranalízis. a varianciaanali—

zis közvetlenül említhető. viszont a nem parametrikus regresszió egyik módszere. az ún. Kriging-féle eljárás ((i), (2), (B)) alkalmazásakor az empirikus kovariancia ada-

(11)

A KOVARIANCIA MATRIXOK 37

tokat folytonos, távolságtól függő függvényekkel simítják. Ez a simítás a következőt

jelenti: legyen h ) O valamilyen érték. és legyen

1

N!) : *; Var (f(x-l-h)—(f(X)).

ahol f valamilyen sztochasztikus függvény és x az abszcisszaérték. A y(h) érték a

méréssel meghatározottf : f(x ) függvényértékekből a

N(h)

N') : 2N(h) ;:1 (f(xilh) — f(X,-))2

becsléssel származtatható. ahol N(h) jelenti azon alappontok számát, amelyre x —l—h és xíegyaránt alappont. Ezután az így, diszkrét pontokban becsült y(h) függ- vényt simítjuk..

A leggyakrabban használt variogramtípusok a következők:

a) szakaszonként lineáris

b) polinomiólls: y(h) : whi (O ( a ( 2) c) exponenciális: h : w(1——eflh)

d) Gauss-típusú: h :: w(1—e*h2)

w h h 3

——[3——-(———)), ha háa

e) szferikus: y(h) : 2 a a

w, ha h ) a

Az itt vázolt típusú folytonos y(h) függvényekkel számítjuk tetszőleges h mellett az f(xá—h), f(x) eltérésének varianciájót, ebből pedig kovariancla matríxa i-edík sorá-

nak j-edik eleme:

f(f(X)2)—y(h,-j).

ahol feltesszük. hogy minden függvényértékre

(f(fw) : w

azonos, valamint k

hü : lxi—le.

Az így kapott kovariancia matrix a y(h) simítása miatt nem feltétlenül tesz eleget a nem negativ definitség feltételének, így a dolgozatban bemutatott javításra ez esetben feltétlenül szükségünk van.

A pontatlan kovariancia matrixnak nemcsak a további számítások hibáira van hatása, hanem például szimulációs módszerek alkalmazása esetén magát a szimulációs eljárást is lehetetlenné teszi. Ismeretes ugyanis. hogyha K. m egy n di- menziós normális eloszlás kovariancio matrlxa és várható érték vektora, akkor ilyen véletlen vektorokat az

n : Xí—l—m

képlettel lehet nyerni. ahol 5 komponensei független, valamint standard normális

(12)

38 SZlDAROVSZKY: A KOVARiA'NClA MATRIXOK

eloszlású változó véletlen értékei, és

XXT : K.

Ha K—ra nem teljesül a nem negativ definitségi feltétel. akkor a feltételeknek eleget tevő X matrix nem létezik, azaz a szimulációs eljárást közvetlenül nem alkalmaz-

hatjuk.

IRODALOM

(1) Delhome, ]. P.: Kriging in the Hydrosciences. Advances in Water Resources. 1978. évi 5. sz. 251- 266. old.

(2) lournel, A. G. - Huíibregts, Ch. J.: Mining geostatistics. Academia Press. London -- New York.

1978. 600 old.

(3) Matheron, G.: The intrinsic random functions and their applications. Advences in Applied Proba- bility. 1973. évi 5. sz. 439—468. old.

(4) Rényi Alfréd: Valószinűségszámitás. 2. kiad. Tankönyvkiadó. Budapest. 1968. 510 old.

(5) Rózsa Pál: Lineáris algebra és alkalmazásai. Műszaki Könvkiadó. Budapest. 1976. 685 old.

(6) Krekó Béla: Lineáris algebra. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó. Budapest. 1976. 573 old.

(7) Szidarovszky Ferenc: Számítástechnika. Kertészeti Egyetem. Kézirat. Budapest. 1978. 277 old.

(8) Szídarovszky Ferenc: Bevezetés a numerikus módszerekbe. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó. Bu- dapest. 1974. 389 old.

(9) Szídarovszky F. -— Yakowitz. S.: Principles and procedures of numerical analysis. Plenum Press.

New York. 1978. 331 old.

(10) Collatz. L.: Funktionolanalysis und numerische Mathematik. Springer Verlag. Berlin. 1964. 371 old.

(11) Forgó Ferenc: Nemkonvex és diszkrét programozás. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó. Budapest.

1978. 436 old.

(12) Optimumszámitási modellek. Főszerk.: Kósa András. Műszaki Könyvkiadó. Budapest. 1979. 865 old.

(13) Kreko' Béla: Optimumszómr'tós. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó. Budapest. 1972. 655 old.

(14) Hadley, G.: Nonlinear and dynamic programming. Addison—Wesley. Reading. Mass. — Palo Alto -—

London. 1964. XI. 484 old.

(15) Wilkinson, ]. H.: The algebraic eigenvalue problem. Oxford University Press. Fair Lawes. New Jer- sey. 1961. 662 old.

PE3lOME

B caoeii crarbe aarop BHOCHT npennoxteuue orHocu'reano yrouHeHi—m Marpuu, KOBBPH—

aHTHOCTH. l'iocrpoennble Ha oanTHle nam-fux " nonyueHHux nogrouxoü KOBapHaHTHbiX gau—

Hsix Marpuusi KoaapnaHn-rocm uacro He ynoanersopmor ycnoamo orpuua'renbnoü onpene- nennocm. HapsAy c pasanmMn (popMaMu Marpuu, on sanumaercn Terence BonpocoM, Ka- KHM oőpaaoM K rami—i npnőnnmenuoű marpnue nosapmanrnocrn Momno NOAOÖPGTB Taxylo Sunmaiwyro n Heü Marpuuy, Koropan yme ynoaneraopne'r caoüchaM, TpeőYeMmM ManH- u.aMu Koeapuaumocm. l'lpeAnaraeMbvü a crarbe cnocoő a omenbusrx cnyuanx anBOAHT K Ksanpamuecrcoü sanaue nporpaMMupoaaHna, a B HHle cnyuanx momer csom—nun K onpe- .nenenmo coőcraennoü ser-Mumu npuőnumennbix marpnu, KOBapHaHTHOCTM.

l'locne nsnomenm cnocoőoa aarop nonaameae'r aamneümue oőnacm ux npumene—

HMH.

SUMMARY

The author suggests the application of the method for adjusting covariance motrices.

The covariance matrices built on empirical data and covariances resulting from eventual smoothing, freauentiy do not comply with the non—negative definitiveness condition. ln addi—

tion to different matrix norms, the author cleals also with the guestion, how it is possible to approximote this covariance matrix by means of a matrix satisfying the characteristics gen- erally reauíred by covoriance matríces. The procedure suggested in the study leads in certain cases to auadratic programming tasks, while in other cases it may be reduced to the defi- nition of the eígen values of approximative covariance matrices.

Foilowing the presentation of the procedures. the author outlines the major application areas.