sztochasztikus folyamatok elméletéből
3.5. Sztochasztikus differenciálegyenletek
3.5.3. A martingálprobléma
≤K2
1 +|x|2 +K2
1 +|x|2 , vagyis a két megkötés ekvivalens.
3. Vegyük észre, hogy a kvadratikus növekedés feltételét csak az E
Z T 0
b2(s, ξ) +σ2(s, ξ)ds
!
<∞
becslésnél használtuk ki. Világos, hogy haξ=xkonstans, akkor ez biztosan teljesül aσés abfeltételezett folytonossága miatt, és ilyenkor a kvadratikus növekedés feltételére nincsen szükség.
3.5.3. A martingálprobléma
A következőkben a gyenge megoldások létezését próbáljuk meg igazolni. Első lépésként az úgynevezett martingálproblémát definiáljuk. A sztochasztikus differenciálegyenlet együtthatóihoz rendeljük hozzá az
(Af) (t, x)$∂f
∂t (t, x) +b(t, x) ∂
∂xf(t, x) +1
2σ2(t, x) ∂2
∂x2f(t, x) (3.33) differenciáloperátort. Az A értelmezési tartománya legyen az olyan f(t, x) függvények halmaza, amelyek atszerint folytonosan deriválhatóak azx sze-rint pedig kétszer folytonosan deriválhatóak. A függvényosztály szokásos je-löléseC1,2.
3.99. Lemma. Legyen X adX =b·dt+σ·dw sztochasztikus differenciál-egyenlet egy gyenge megoldása. Ha az f(t, x) függvény az A operátor imént bevezetettC1,2 értelmezési tartományának egy eleme, akkor az
Mf(t)$f(t, X(t))−f(0, X(0))− Z t
0
(Af) (s, X(s))ds
egy folytonos lokális martingál. Ha azf kompakt tartójú, akkor azMf minden véges intervallumon négyzetesen integrálható martingál. A lokális martingál, illetve a martingál tulajdonság természetesen a gyenge megoldás által megha-tározott sztochasztikus alaptéren értendő.
Bizonyítás. Mivel azX egy gyenge megoldás, ezért egy alkalmasw Wiener-folyamattal
X(t) =X(0) + Z t
0
b(s, X(s))ds+ Z t
0
σ(s, X(s))dw(s). Az Itô-formula szerint
f(t, X(t))−f(0, X(0)) = Z t
0
∂f
∂t (s, X(s))ds+ Z t
0
∂f
∂x(s, X(s))dX(s) + +1
2 Z t
0
∂2f
∂x2(s, X(s))d[X] (s).
AzX kvadratikus variációja az első tag véges változásúsága és a polaritási szabály miatt
[X] (s) = Z s
0
σ2(u, X(u))d[w] (u) = Z s
0
σ2(u, X(u))du.
Az asszociativitási szabály alapján egyszerű behelyettesítéssel Mf(t) =
Z t 0
∂f
∂x(s, X(s))σ(s, X(s))dw(s).
Mivel a lokális martingálok szerinti sztochasztikus integrálok lokális martin-gálok, ezért a lemma első fele evidens. Tegyük fel, hogy azf kompakt tartójú, és legyenK azf tartója. Akkor az integrandus nulla a
∂f
∂x(s, X(s))σ(s, X(s))χ((s, X(s))∈K)
halmazon kívül. A ∂f /∂x derivált és a σ folytonos függvények, ezért a
∂f /∂x(K)σ(K)halmaz korlátos, következésképpen az integrandus korlátos.
Így a martingál kritérium miatt azMf minden véges szakaszon négyzetesen integrálható martingál.
3.100. Lemma. Legyen X egy folytonos sztochasztikus folyamat és tegyük fel, hogy valamilyenb(t, x)ésσ(t, x)folytonos függvényekkel definiáltA ope-rátorra tetszőleges az operátor értelmezési tartományába eső, vagyis minden f ∈C1,2 esetén az Mf lokális martingál. Akkor azX a
dX(t) =b(t, X(t))dt+σ(t, X(t))dw(t)
sztochasztikus differenciálegyenlet gyenge megoldása. A gyenge megoldásban szereplő Wiener-folyamat konstruálásához esetlegesen ki kell bővíteni az ala-pul vett sztochasztikus alapteret.
Bizonyítás. Az állítás igazolásához elég feltenni, hogy az f(t, x) = xés az lokális martingál. Számoljuk ki a kvadratikus variációját ! Ehhez használjuk fel azf(x) =x2 függvényt. A feltétel miatt az szintén lokális martingál. A parciális integrálás formulája szerint
Z t
ugyanis mivel a B véges változású a keresztvariáció nulla. Ugyanakkor az Itô-formula szerint
B2(t) = 2 Z t
0
BdB,
ugyanis ismételten a kvadratikus variáció nulla. Ezeket visszaírva, és ismétel-ten a parciális integrálás formuláját használva
X2(t)−X2(0)−2 (XB) (t) + 2
Mivel azX−Blokális martingál, ezért azRt
0Bd(X−B)is lokális martingál.
is lokális martingál. A kvadratikus variáció jellemzése alapján azX−B kvad-ratikus variációja éppen
[X−B] (t) = Z t
0
σ2(s, X(s))ds.
Haσ(s, X(s))6= 0,akkor definiálhatjuk a w(t)$
Z t 0
1
σ(s, X(s))d(X−B) (s)
lokális martingált. Mivel a polaritási és asszociativitási szabály miatt [w] (t) =
Z t 0
1
σ2(s, X(s))d[X−B] (s) =
= Z t
0
1
σ2(s, X(s))σ(s, X(s))2ds=t,
ezért a Lévy-féle karakterizációs tétel alapján awWiener-folyamat és Z t
0
σ(s, X(s))dw(s) = Z t
0
σ(s, X(s)) 1
σ(s, X(s))d(X−B) (s) =
= (X−B) (t)−(X−B) (0), amit átrendezve
X(t)−X(0) =B(t) + Z t
0
σ(s, X(s))dw(s) =
= Z t
0
b(t, X(s))ds+ Z t
0
σ(s, X(s))dw(s),
vagyis azX gyenge megoldása az egyenletnek. Ha azonban aσ(s, X(s))6= 0 feltétellel nem akarunk élni, akkor az alapteret ki kell bővíteni. AzX folya-matot hordozó alaptér mellett tekintsünk egy tetszőleges másik valószínűségi mezőt, amelyen értelmezve van egyweWiener-folyamat. Például tekinthetjük a nullából induló folytonos függvények terét a Wiener-mértékkel. Kibővített valószínűségi mezőnek definiáljuk az alaptér és awe folyamatot hordozó tér szorzatát.
Az egyszerűbb jelölés céljából legyenL$X−B. Legyen továbbá
wb(t)$ Z t
0
1
σ(s, X(s))χ(σ(s, X(s))6= 0)dL(s) + +
Z t 0
χ(σ(s, X(s)) = 0)dwe(s).
Számoljuk ki awb kvadratikus variációját. Az összeg kvadratikus variációja és a polaritási formula alkalmazásával
[w](t) =b
Vagyis a Lévy-féle karakterizációs tétel miatt a wb ismét Wiener-folyamat.
Vegyük észre, hogy
Ebből awbdefinícióját beírva, az asszociativitási szabály alapján Z t
AzL$X−B jelölést visszaírva Z t
0
σ(s, X(s))dwb(s) =X(t)−X(0)− Z t
0
b(s, X(s))ds, amit átrendezve
X(t)−X(0) = Z t
0
b(s, X(s))ds+ Z t
0
σ(s, X(s))dwb(s), így azX valóban gyenge megoldása az egyenletnek.
A figyelmes olvasó azonnal észrevette, hogy a σ(s, X(s)) = 0 esetben a sztochasztikus integrálok integrandusai nem balról folytonos függvények.
Az ebből eredő problémákat a következő pontban a sztochasztikus integrálás kiterjesztésével fogjuk orvosolni.
3.101. Lemma. Az előző állításban elegendő feltenni, hogy minden kompakt tartójú kétszer folytonosan deriválhatóf(x)esetén azMf martingál.
Bizonyítás. Tekintsük a
τn$inf{t| |X(t)| ≥n}
szintátlépési időket. Legyengnegy olyan kompakt tartójú, kétszer deriválha-tó függvény amely a[−n, n]szakaszon éppen egy. Ekkor haf(x) =x,vagy f(x) = x2, akkor az f gn szorzathoz tartozó Mf gn lokális martingál való-di martingál, ugyanis az f gn kompakt tartójú. Ugyanakkor az Mf gn(t)−
−Mf gn(0)martingált megállítva aτn pontban f gn(X(τn∧t))−
Z τn∧t 0
Af gn(X(s))ds=f(X(τn∧t))− Z τn∧t
0
Af(X(s))ds egy martingál. Következésképpen azMf lokális martingál.
3.102. Definíció. Ha egyXfolyamatra tetszőlegesf(t, x)kompakt tartójú, a t szerint folytonosan deriválható, az xszerint kétszer folytonosan derivál-ható függvényre azMf martingál, akkor azt mondjuk, hogy azX megoldása a martingálproblémának.
3.103. Példa. Wiener-folyamat és a tükrözött Wiener-folyamat mint szto-chasztikus differenciálegyenlet megoldása.
Ha a sztochasztikus differenciálegyenletb ésσ paraméterei nem függnek az időtől, akkor azA operátor helyettesíthető az
(Af) (x)$b(x) d
dxf(x) +1
2σ2(x) d2 dx2f(x)
másodrendű, lineáris differenciáloperátorral. Ezek közül a legegyszerűbb a b= 0, σ= 1eset, amelyhez tartozó megoldások értelemszerűen a különböző pontokból elindított Wiener-folyamatok. Például haf(x) =x2,akkor
Mf(t)$w2(t)−w2(0)− Z t
0
1ds=w2(t)−t, amely lokális martingál. Haf(x) =x, akkor
Mf(t)$w(t)−w(0)− Z t
0
0ds=w(t),
amely szintén lokális martingál. Vegyük észre, hogy ha a w helyébe a |w|
tükrözött Wiener-folyamatot írjuk, akkor az első kifejezés továbbra is lokális martingál lesz, a második azonban nem. Legyenf egy olyan kétszer folyto-nosan deriválható függvény, amelyref0(0) = 0. Ilyenkor a
g(x)$
f(x), ha x≥0 f(−x), ha x <0
szintén egy kétszer folytonosan deriválható függvény. Agszimmetriája miatt Mf(t) =f(|w|(t))−f(|w|(0))−1
2 Z t
0
f00(|w|(t))ds=
=g(w(t))−g(w(0))−1 2
Z t 0
g00(w(t))ds,
amely az Itô-formula miatt lokális martingál. Awés a|w|Markov-folyamatok, így, miként alább látni fogjuk, definiálható a
(Gf) (x)$ lim
h&0
Ex(f(X(h)))−f(x)
h =
= lim
h&0
Ex(f(X(h)))−Ex(f(X(0))) h
infinitezimális generátoruk. Érdemes felidézni, hogy Markov-folyamatok ese-tén mindenx esetén definálható egy az x pontból egy valószínűséggel elin-dított folyamatPxeloszlása. AzEx az ehhez az eloszláshoz tartozó várható érték. A G operátor értelmezési tartománya értelemszerűen azokból az f függvényekből áll, amelyekre a határérték azX folyamat minden lehetséges indulóállapota esetén létezik és persze véges. Ha X egy Wiener-folyamat és f egy kompakt tartójú, kétszer folytonosan deriválható függvény, akkor az imént elmondottak alapján, felhasználva, hogy mivel az f kompakt tartójú
ezért azMf valódi martingál36
ahol kihasználtuk, hogy mivel azf00folytonos és kompakt tartójú, ezért kor-látos, így a várható érték alatti kifejezés is egyenletesen korkor-látos, így a ha-tárérték és a várható érték felcserélhető. Vagyis a Wiener-folyamatok mint Markov-folyamatok infinitezimális generátorának értelmezési tartománya tar-talmazza a kompakt tartójú, kétszer folytonosan deriválható függvényeket, és ezen az osztályon a G éppen az f00/2 operátor. Ha azonban az X a tükrö-zött Wiener-folyamat, akkor azX értékkészlete azR+, így az infinitezimális generátora is csak azR+-on értelmezett függvényekből áll, de csak az olyan kétszer deriválható függvényeket tartalmazza, amelyekref0(0) = 0. Például haf ≥0,és azx= 0egyδ sugarú környezetébenf(x) =x, akkor37
Az elmondottak közvetlen általánosításával azonnal belátható, hogy ha egy sztochasztikus differenciálegyenlet b és σ paraméterei folytonosak és nem
36A Markov-folyamat definíciójával összhangban w(t) most az x pontból indított Wiener-folyamatot jelöli.
37Azf természetesen nem kompakt tartójú, de a példa alapján könnyen csinálható olyan példa is, ahol azfkompakt tartójú, illetve a számolás egyszerű módosításával belátható, hogy valahányszorf∈C2 ésf0(0)6= 0, akkor a határérték nem létezik.
függnek at-től, akkor a megoldásokból készített homogén Markov-folyamatok infinitezimális generátora értelmezve van a kétszer folytonosan deriválható, kompakt tartójú függvények téren, ahol a generátor éppen az
(Af) (x) =b(x)f0(x) +1
2σ(x)f00(x)
differenciáloperátor. Ebből következően a|w|egyetlen ilyen típusú sztochasz-tikus differenciálegyenletnek sem lehet a megoldása. A sztochaszsztochasz-tikus folya-matok elméletének terminológiája szerint a |w| tükrözött Wiener-folyamat
folytonos diffúzió, de nem Itô-diffúzió.