Az eszközárazás alaptétele diszkrét időhorizonton
2.1. A Dalang–Morton–Willinger-tétel
2.1.2. Az L 0 tér elemi tulajdonságai
Emlékeztetünk, hogy az L0(Ω,F,P) téren az F σ-algebrára mérhető való-színűségi változók halmazát értjük. A továbbiakban az(Ω,F,P)paramétert elhagyjuk, és a valamivel egyszerűbbL0 jelölést fogjuk használni. A valószí-nűségi változókat a szokásos módon a P valószínűségi mérték szerint ekvi-valencia osztályokba soroljuk. AzL0 téren a konvergenciát a sztochasztikus konvergencia definiálja. Emlékeztetünk, hogy a sztochasztikus konvergencia metrizálható3, így az L0 részhalmazainak zártságát elegendő szekvenciális okoskodással igazolni, vagyis egy Z ⊆ L0 halmaz pontosan akkor zárt, ha minden aZhalmazból vett konvergens sorozat határértéke is aZ halmazban van. A sztochasztikus konvergencia alapvetően fontos tulajdonsága, amely a későbbi gondolatmenet alapjául szolgál, hogy minden sztochasztikusan kon-vergens sorozat tartalmaz egy majdnem mindenhol konkon-vergens részsorozatot, illetve, hogy a majdnem mindenhol való konvergenciából következik a szto-chasztikus konvergencia. Ennek megfelelően egyZ⊆L0halmaz pontosan ak-kor zárt, ha aZ-ből vett minden majdnem mindenhol konvergens sorozatnak a határértéke is Z-be esik. Másképpen fogalmazva az L0 térben a zártságot szekvenciális gondolatmenettel tudjuk igazolni, miközben az egyébként nem metrizálható majdnem mindenhol való konvergenciát4 használjuk. AzL0 tér számunkra kulcs tulajdonságát a következő kompaktsági lemma tartalmazza : 2.2. Lemma. Legyen(ηn)Rmértékű mérhető függvények egy sorozata és te-gyük fel, hogy a sorozat minden kimenetelre korlátos. Ekkor megadható olyan (σk)egész értékű, szigorúan monoton növő, mérhető függvényekből álló soro-zat, amelyre az(ησk)sorozat minden kimenetelre konvergens. Másrészről, ha supnkηnk =∞, akkor van olyan (σk) egész értékű, szigorúan monoton nö-vő, mérhető függvényekből álló sorozat, amelyrelimk→∞kησkk=∞ minden kimenetelre.
Bizonyítás. Vegyük észre, hogy a Bolzano–Weierstrass tétel miatt a kimene-telenkénti korlátosság miatt mindenω kimenetel esetén triviálisan található olyan(σk(ω))szigorúan monoton növekedő sorozat, amelyre az ησk(ω)(ω) sorozat konvergens. A lényeges észrevétel, hogy aσk indexsorozat mérhető-nek választható. Legyen először(ηn)skalár értékű sorozat. A feltétel szerint
3Könnyen belátható, hogy ad(ξ, η)$E(|ξ−η| ∧1)egy alkalmas metrika.
4Érdemes megjegyezni, bár ennek nincsen jelentősége, hogy a majdnem mindenhol való konvergencia nem is topologizálható.
azη∞$lim infnηnminden kimenetelre létezik és véges. Az(ηn)mérhetősége miatt azη∞is mérhető. Legyen σ0$0,és vezessük be a
σk $inf
n > σk−1| |ηn−η∞| ≤ 1 k
függvényeket. Elemi megfontolásokkal azonnal belátható, hogy aσk minden k-ra mérhető, illetveησk→η∞. Következésképpen a lemma állítása ilyenkor teljesül. Többdimenziós esetben először az első koordinátához készítsük el a részsorozatot, majd a már megritkított sorozat második koordinátájához ke-ressük meg a konvergenciát biztosító indexsorozatot. Az eljárást egymás után az összes koordinátákra megismételve a(σk) indexsorozatot egyszerű, véges lépésből álló iterációval megkaphatjuk. Az állítás második felének indoklásá-hoz elegendő a
σk$inf{n > σk−1| kηnk ≥k}
sorozatot venni.
A lemma közvetlen következménye, hogy a véges számú elem által generált úgynevezett véges kúpok zártságára vonatkozó közismert tétel átvihető véges dimenziós terekből azL0(F,P)térbe.
2.3. Lemma. Legyenekf1, f2, . . . , fmvalamely Aσ-algebra szerint mérhető tetszőleges függvények. Tegyük fel, hogyF ⊆ Aés tekintsük az
L$ (
f |f =
m
X
i=1
fiϕi, ϕi∈L0(F,P) )
lineáris teret. AzL azL0(A,P) zárt altere.
Bizonyítás. Vegyünk egy ln ∈ L sorozatot, és tegyük fel, hogy ln → l∞, ahol a konvergencián a majdnem mindenhol való konvergenciát értjük. Az ln ∈ L feltételből meg kell mutatnunk, hogy l∞ ∈ L. Vektor jelölésre át-térve az L definíciója szerint ln $ hg, yni, ahol g $ (f1, f2, . . . , fm) és yn$
ϕ(n)1 , ϕ(n)2 , . . . , ϕ(n)m
,valamint mindenn-re azyn F-mérhető. Vegyük észre, hogy a bizonyítás nehézsége pusztán abból áll, hogy az(ln) konvergen-ciájából nem következik az (yn) konvergenciája5. Ugyancsak vegyük észre, hogy elegendő belátni, hogy az(yn) sorozatnak van az első lemma értelmé-ben konvergens részsorozata, ugyanis ha alkalmas részsorozatra yσk → y∞, akkor azy∞F-mérhető, ugyanis a lemma által biztosított(yσk)részsorozat tagjaiF-mérhetőek, és
hg, yσki → hg, y∞i=l∞.
5Érdemes hangsúlyozni, hogy pontosan ez a probléma lép fel akkor, amikor a véges dimenziós terekben azt kell igazolni, hogy minden véges kúp, vagy egy altér zárt. Az alábbi bizonyítás ezen az igen fontos állítás bizonyításának közismert ötletére épül.
A konvergens részsorozat létezéséhez elegendő belátni, hogy az(yn) sorozat megválasztható úgy, hogy a sorozat majdnem minden kimenetelre pontonként korlátos. LegyenΩ1 azΩazon részhalmaza, ahol ez nem teljesül. Mivel(yk) F-mérhető ezért Ω1 szintén F-mérhető. A részsorozat megkonstruálásának céljából azΩ1 halmazon az
ln(ω) =hg(ω), yn(ω)i egyenlőséget osszuk végig azkyn(ω)k sorozattal :
ln(ω) kyn(ω)k =
g(ω), yn(ω) kyn(ω)k
.
Az(yn(ω)/kyn(ω)k)sorozat korlátos, így az előző lemma szerint van mér-hető módon indexelt konvergens részsorozata. Természetesen előfordulhat, hogy a kiválasztott részsorozat bizonyos kimenetelekre korlátos. Ezen kime-netelek halmaza ismételten F-mérhető. Ezeket a kimeneteleket töröljük az Ω1 halmazból, és térjünk át a lemma második felében szereplő részsorozatra.
A megmaradt kimenetelekrekyσn(ω)k → ∞. Erre a részsorozatra áttérve az Ω1-halmazon
lσn(ω) kyσn(ω)k →0
ugyanis a számláló konvergens a nevező pedig végtelenbe tart. Az Ω1 ∈ F halmazon ez azt jelenti, hogy van egy olyan változó, nevezetesenu∞, amely F-mérhető és amelyre
hg(ω), u∞(ω)i= 0, ω∈Ω1.
Azu∞(ω)∈Rmvektor egységnyi hosszú vektorok határértéke, így nem lehet azonosan nulla egyetlenω∈Ω1esetén sem. Így mindenω∈Ω1-re az
g(ω)$(f1(ω), f2(ω), . . . , fm(ω))
egyik koordinátája, természetesen mindenω-ra esetleg más és más, kifejezhe-tő a többi segítségével. A lényeges gondolat az, hogy amikor ag valamelyik koordinátáját azΩ1-en kifejezzük a többivel, akkor a súlyokF-mérhetőek. A kifejtéseket az
lσn(ω) =hg(ω), yσn(ω)i
egyenlőségbe visszahelyettesítve feltehető, hogy azΩ1halmazon mindenω-ra azyσn(ω)koordinátái közül csakm−1súly nem nulla, miközben azΩ1 komp-lementerén az yσn korlátos és az ω 7→ yσn(ω)(ω) függvények F-mérhetőek.
Ha az így kapott súlyok halmaza még mindig nem korlátos, akkor az eljárást megismételjük. Vagyis létezik egyΩ2 ⊆Ω1 pozitív mértékű halmaz, amely-hez már van olyan(yσN)részsorozat, amely azΩ2 komplementerén korlátos
és amelynek az Ω2-ön már legfeljebb csak m−2 koordinátája nem nulla.
Utolsó lépésként már csak egyetlen koordináta marad, vagyis feltehető pél-dául, hogy ln = f1ϕ(n)1 . Ilyenkor a ϕ(n)1 (ω) csak akkor lehet nem korlátos, ha azf1(ω)nulla, de ilyenkor a ϕ(n)1 is választható nullának, vagyis haΩm
jelöli azt azF-mérhető halmazt, ahol a ϕ(n)1
nem korlátos, akkor a ϕ(n)1 sorozat helyett a
ϕ(n)1 χΩc m
sorozatot véve a(yn)sorozatF-mérhető marad és korlátos lesz. Mivel az eljárás véges lépésben befejeződik, ezért feltehető, hogy az(yn)sorozat korlátos, amivel azLzártságát igazoltuk.
A nincsen arbitrázs feltétel a következő lemmában játszik szerepet6: 2.4. Lemma. Jelölje L0+(A,P) az előző lemmában szereplő A σ-algebrán nem negatív változók halmazát. Ha az előző lemmában szereplőLaltérre
L∩L0+(A,P) ={0}, akkor az
A$L−L0+(A,P) kúp zárt azL0(A,P) térben.
Bizonyítás. A lemma bizonyítása az előző lemma bizonyításának értelemsze-rű módosításával kapható. Azln$(g, yn)egyenlőség helyett az
an$hg, yni −rn
egyenlőségből kell kiindulni, aholrn≥0. A végigosztás, illetve a konvergens részsorozatra való áttérés után az (rσn/kyσn(ω)k) sorozat szükségszerűen konvergens, ugyanis az egyenlőségben szereplő másik két sorozat is konver-gens. Az Ω előző lemmában szereplő megfelelő Ωk részhalmazain érvényes a
0 =hg, y∞i −r∞, r∞≥0
felbontás, ahol értelemszerűenr∞ jelöli az(rσn/kyσn(ω)k)sorozat határér-tékét. Értelemszerűen
hg, y∞χΩki=r∞χΩk.
Ebből, felhasználva, hogy azy∞χΩk változó F-mérhető azL∩L0+(A,P) =
={0} feltétel miatt r∞χΩk = 0, vagy ami ugyanaz, az Ωk halmazon az r∞
nulla, így ahg, y∞iis nulla, miközben azy∞nem nulla, vagyis agnem nulla koordinátáinak száma ismételten csökkenthető. Ebből az állítás indoklása az előző lemma gondolatmenetét megismételve már evidens.
6Vegyük észre, hogy ebben a lemmában az előző fejezet végén bemutatott zártsági problémát oldjuk fel.
2.5. Példa. AzAzártsága a nincsen arbitrázs feltétel nélkül nem igaz.
Az ellenpélda a következő : LegyenΩ$[0,1],Flegyen a triviálisσ-algebra, Alegyen a Borel-mérhető halmazokσ-algebrája és legyenf(ω)$ω.Legyen
gn(ω)$
nω,haω≤1/n 1, haω≥1/n .
Triviálisan gn ≤ n·f ∈ L, vagyis gn ∈ A. Nyilván gn →1. Ugyanakkor 1∈A, ugyanis mivel az/ Fa triviálisσ-algebra, ezért azF-mérhető függvények majdnem mindenhol konstansok, így mindena∈Aesetén van olyanm,hogy majdnem mindenω-ra
a(ω)≤m·f(ω) =m·ω,
ami a konstansa= 1esetén nem teljesülhet.