sztochasztikus folyamatok elméletéből
3.4. Girszanov-tétel
3.4.2. Mértékcserék konstruálása
Most a kérdést némiképpen megfordítjuk. Hogyan lehet ekvivalens, vagy lo-kálisan ekvivalens mértékcseréket készíteni ? A dQ/dP derivált a mértékek feltételezett ekvivalenciája miatt pozitív. Ebből következően aΛmartingál is pozitív. Ha valamely folyamatról biztosan tudni akarjuk, hogy pozitív, akkor a folyamatot érdemesexp (H)-alakban előállítani. A kérdés csak az, hogy mi lesz aH? A Girszanov-formula szokásos megfogalmazásában szereplő transz-formáció az alábbi észrevételen alapszik :
3.74. Tétel. Ha Λ szigorúan pozitív, folytonos lokális martingál, akkor a Λ-nak létezik, mégpedig egyetlenLog (Λ)módon jelölt „sztochasztikus logarit-musa”. Pontosabban az
L$Log (Λ)$log Λ (0) + Λ−1•Λ az egyetlen olyan folytonos lokális martingál, amelyre
Λ =E(L)$exp
L−1 2[L]
.
Bizonyítás. Az egyértelműség igazolása egyszerű : HaΛ = E(L1) =E(L2), akkor mivelΛ>0, ezért
1 = Λ Λ = exp
L1−L2−1
2[L1] +1 2[L2]
,
vagyisL1−L2= 12([L1]−[L2]),tehát azL1−L2folytonos lokális martingál véges változású, következésképpen Fisk tétele alapján konstans. Mivel evidens módonL1(0)−L2(0) = 0,ezértL1=L2.
Most lássuk be, hogy a megadott összefüggés teljesül. MivelΛ>0,alog Λ kifejezés értelmes, és az Itô-formula alapján
log Λ = log Λ (0) + Λ−1•Λ−1 2
1
Λ2 •[Λ]$
$L−1 2
1
Λ2 •[Λ] =L−1 2
Λ−1•Λ
=
=L−1 2[L]. Ebből
Λ = exp (log Λ) = exp
L−1 2[L]
$E(L).
3.75. Tétel. Tegyük fel, hogy a P ésQ mértékek lokálisan ekvivalensek és a Radon–Nikodym-deriváltakból álló Λ martingál folytonos. Tegyük fel, hogy Λ = E(L), vagyis L = Log (Λ). Egy M folytonos folyamat pontosan akkor lokális martingál aPmérték mellett, ha az
Mc$M −[M, L]$M−[M,Log (Λ)]
lokális martingál aQmérték alatt.
Bizonyítás. Az egyenlőség teljesüléséhez elegendő megjegyezni, hogy [M, L]$
M,log Λ (0) + Λ−1•Λ
=
M,Λ−1•Λ
=
= Λ−1•[M,Λ].
Mivel garantálni akarjuk, hogy a derivált pozitív, aΛmartingált „exponen-ciális” alakban definiáljuk. A mértékcserét a derivált sztochasztikus logarit-musán keresztül adjuk meg. Az alábbi állítás gyenge pontja, hogy aΛugyan pozitív, de általában csak lokális martingál. Másképpen az összesE(L)alakú kifejezések nem mindegyike lesz egyenletesen integrálható martingál, de az ekvivalens mértékcserék mindegyike ilyen alakú. Vagyis az ekvivalens mér-tékcserék halmazát azonosíthatjuk a lokális martingálok egy részhalmazával, azokkal az L lokális martingálokkal, amelyekre nézve az E(L) egyenletesen integrálható martingál.
3.76. Tétel. HaM ésL folytonos lokális martingálok és a Λ$E(L)$exp
L−1
2[L]
folyamat a[0, T]véges vagy végtelen szakaszon martingál, akkor az Mc$M−[L, M] =M − 1
Λ •[Λ, M] a
Q(A)$ Z
A
Λ (T)dP, dQ
dP $Λ (T) mérték alatt folytonos, lokális martingál a[0, T] szakaszon.
Bizonyítás. Ha a Λ martingál a [0, T] zárt szakaszon, akkor Q(Ω) $
$ E(Λ (T)) = E(Λ (0)) = 1, vagyis a Q valószínűségi mérték. Mivel a Λ – mint minden nem negatív lokális martingál – szupermartingál, ahhoz, hogy a[0, T]szakaszon martingál legyen, szükséges és elegendő, haE(Λ (T)) = 1.
Ennek megfelelően a[0, T]szakaszon való martingál feltétel pontosan azt je-lenti, hogy aQszintén valószínűségi mérték. Ha aΛ csak a[0, T)szakaszon pozitív martingál és van olyan Q, amely leszűkítéseinek deriváltja éppen a Λ,akkor aΛegy lokálisan ekvivalens mértékcserét definiál a [0, T) időtarto-mányra.
HaT = ∞, akkor a Λ kiterjeszthető a T =∞ időpontra martingálként, vagyis aΛegyenletesen integrálható a[0,∞)félegyenesen. Vagyis a tételben a[0, T] zártsága fontos, ugyanis a tétel úgy értendő, hogy aΛa T pontra is kiterjeszthető martingálként. Véges szakaszon ehhez elegendő, ha aΛ martin-gál a zárt szakaszon, ugyanis akkor automatikusan egyenletesen integrálható.
Természetesen véges szakaszon a probléma csak abból származhat, hogy aΛ esetleg valódi lokális martingál.
Az[L, M]-re vonatkozó formula a korábbiak szerint kapható. Evidens mó-don azMcfolytonos, és mivel a feltétel szerint aΛmartingál, ezért
Λ (t) =E(Λ (T)| Ft) =E dQ
dP | Ft
, vagyis tetszőlegesF∈ Ft halmazra
Z
F
Λ (t)dP= Z
F
dQ
dPdP=Q(F),
vagyisΛ (t)éppen adQ(t)/dP(t)Radon–Nikodym-derivált azFtσ-algebrán.
Ebből az állítás az elmondottak miatt már evidens.
Legyenwegy Wiener-folyamat aPmérték és valamelyFfiltráció mellett.
Ha a fenti módon áttérünk egyQekvivalens mértékre, akkor a wb=w−[L, w] =w− 1
Λ•[Λ, w]
lokális martingál a Q alatt. A w folytonossága miatt az [L, M] folytonos és nyilván véges változású. Ebből, felhasználva, hogy a kvadratikus variáció lokálisan ekvivalens mértékek esetén azonos
[w] (t)b $[w−[L, w]] (t) = [w] (t) =t.
A Lévy-féle karakterizációs tétel alapján awb Wiener-folyamat a Q mérték mellett azF filtrációra nézve. Ezzel beláttuk a következő állítást :
3.77. Tétel. Legyen F tetszőleges filtráció és w legyen Wiener-folyamat az F filtrációra nézve. Ha valamely L lokális martingálra az Λ $ E(L) egy egyenletesen integrálható martingál, akkor awb=w−[L, w]folyamat Wiener-folyamat aQ(A)$R
AΛ (∞)dPvalószínűségi mérték mellett. Hasonló állítás igaz véges időhorizontra is.
Vagyis általában lokális martingál Girszanov-transzformáltja lokális mar-tingál, de Wiener-folyamat Girszanov-transzformáltja Wiener-folyamat. Az alábbi tételben az X balról való regularitása teljesen irreleváns. A lényeg az, hogy ha az L felírható sztochasztikus integrálként, akkor a kvadratikus variációja explicite kiszámolható :
[L, w] (t) = [X•w, w] (t) = (X•[w]) (t) = Z t
0
X(s)ds.
3.78. Tétel. Legyen F tetszőleges filtráció és w legyen Wiener-folyamat az Ffiltrációra nézve és legyenX adaptált és balról reguláris. Tegyük fel továbbá, hogy a
Λ (t)$exp Z t
0
X(s)dw(s)−1 2
Z t 0
X2(s)ds
$
$exp
X•w−1
2X2•[w]
(t)$E(X•w) (t)
folyamat martingál a [0, T] zárt szakaszon. Definiáljuk a Q mértéket a dQ/dP$Λ (T)szabállyal. Ekkor a
wb(t)$w(t)− Z t
0
X(s)ds
azF filtrációra nézve Wiener-folyamat a Qmérték mellett.
A tétel interpretációja kapcsán érdemes hangsúlyozni, hogy amennyiben az F a w által generált filtráció, akkor a kívánt L = X•w előállítás min-dig létezik, vagyis a lehetséges mértékcserék azonosíthatóak azL2loc(w)egy alkalmas részhalmazával. A gond természetesen ismét az, hogy nem minden X ∈ L2loc(w)esetén lesz aΛ martingál a [0, T)-én, vagy a [0, T]zárt szaka-szon. AΛ ugyanis általában csak lokális martingál.
3.79. Definíció. Legyenµ∈R, wWiener-folyamat. Aw(µ)(t)$w(t) +µt folyamatotµdrifttel rendelkező Wiener-folyamatnak mondjuk.
3.80. Példa. Egyµdrifttel rendelkező Wiener-folyamat τa(µ)$infn
t|w(µ)(t) =ao találati idejének Laplace-transzformáltja
L(s) = exp (µa) exp
− |a|p
2s+µ2
, s >0.
Először aµ = 0esetben számoljuk ki a Laplace-transzformáltat. Legyen τa a w Wiener-folyamat találati ideje. τa ∧t egy korlátos megállási idő, exp u·w(t)−u2t/2
egy martingál, így a megállási opciókról szóló tétel alapján
E
exp
u·w(τa∧t)−u2 2 τa∧t
= 1.
Haa≥0akkor w(τa∧t)≤aígy hat% ∞akkor a majorált konvergencia tétele alapján
E
exp
u·a−u2 2 τa
= 1.
Átrendezves=u2/2 helyetesítéssel
E(exp (−sτa)) = exp
−√ 2sa
.
Haa <0 akkor aτa eloszlása megegyezikτ−a eloszlásával, így L(s) = exp
−√ 2u|a|
. Az általános esetre rátérve vezessük be a
Q(A)$ Z
A
exp
µw(t)−1 2µ2t
dP$
Z
A
Λ (t)dP, A∈ Ft (3.23) mértéket. A Girszanov-tétel miatt a wb(s) $ w(s)−µs Wiener-folyamat a [0, t] szakaszon a Q alatt. Jelölje τa a w(t) = wb(t) +µt a pontba való
érkezésének időpontját. τa(ω) < ∞ és wb(τa(ω)) +µτa(ω) = a pontosan akkor, haτa(ω)<∞ésw(τa(ω)) =a.Vegyük észre, hogy haσ≤tvalamely megállási idő, akkor az Fσ σ-algebrándQ/dP = Λ (σ) ugyanis a megállási opciókról szóló tétel miatt
E(Λ (t)| Fσ) = Λ (σ),
vagyis mindenF∈ Fσ ⊆ Ftesetén a feltételes várható érték definíciója miatt Q(F) =
és aΛ (σ)mérhető azFσ-ra nézve. A Laplace-transzformált csak az eloszlástól függ, ezért számolhatjuk aτa Laplace-transzformáltját aQalatt. Has >0,
L(µ,a)t (s)$EP Wiener-folyamatτa találati idejének Laplace-transzformáltját felhasználva23
L(µ,a)(s)$E
22Vegyük észre, hogy mivelτa<∞Pm.m., ezért az integrálok alatti határértékekP m.m. léteznek.
23Illetve kihasználva, hogyτa <∞,vagyisw(τa) =amajdnem minden kimenetre.
Mivel a τa(µ) felveheti a +∞ értéket is a Laplace-transzformált definícióját érte-lemszerűen módosítani kell. Haτa(µ)(ω) =∞éss >0, akkorexp (−sτa(ω))$0.
Vegyük észre, hogy a mértékelméletben szokásos0· ∞= 0konvenció miatt azs= 0 eset nem megengedett.
A Wiener-folyamat szimmetriája miatt aτa(µ)és aτ−a(−µ)eloszlás azonos, ezért haa <0, akkor
L(µ,a)(s) =L(−µ,−a)(s) =
= exp (µa) exp
− |a|p
2s+µ2 . Has→0,akkor
s→0limexp
−sτa(µ)
= (
0, ha τa(µ)=∞ 1, ha τa(µ)<∞ . A majorált konvergencia tétel szerint
P
τa(µ)<∞
= exp (µa− |µa|), (3.24) amely szerint egyµ drifttel rendelkező Wiener-folyamat pontosan akkor éri el majdnem minden kimenetelre azaértéket, ha azaés aµelőjele azonos.