Néhány alapfeltevés

Ebben a pontban azokat a nem teljesen triviális, de a sztochasztikus folya-matok területén közismert állításokat és feltételeket sorolom fel, amelyekre a későbbiekben támaszkodni fogunk.

1. Kezdjük a sztochasztikus alaptérrel. Legyen(Ω,A,P)egy valószínűségi mező. Hangsúlyozni kell, hogy mivel csak folytonos szemimartingálok szerint akarunk integrálni, nem lesz szükségünk a mező teljességére, vagyis nem té-telezzük fel, hogy a nullmértékű halmazok részhalmazai is események, vagyis

elemei az Aσ-algebrának. A mezőn értelmezve van egyF filtráció,vagyis adott az időtartományt változójával indexelt σ-algebrákból állóFt család, amelyre has < t,akkorFs⊆ Ft⊆ A. EgyX(t, ω)sztochasztikus folyamatot adaptáltnak mondunk, ha mindentidőpontra azω7→X(t, ω)mérhető azFt

szerint. A továbbiakban az adaptáltságot minden további említés nélkül min-den folyamattól automatikusan megköveteljük. Feltételezzük, hogy az összes Ft tartalmazza az alaptér nullmértékű halmazait. Erre azért van szükség, mert két folyamatot akkor tekintünk azonosnak, ha a trajektóriáik egy nulla mértékű halmaztól eltekintve azonosak. Vagyis, haX ésY folyamatok, akkor azX =Y reláció azt jelenti, hogy majdnem minden kimenetelre azX és az Y trajektóriái azonosak. Másképpen, a sztochasztikus folyamatok függvény értékű valószínűségi változók ekvivalencia osztályai.

Felvethető, hogy függvényértékű valószínűségi változók értelmezéséhez va-lamiképpen definiálni kell a trajektóriák terén a mérhetőség fogalmát, ugyanis a mérhető leképezések mérhető terek között hatnak. Ehhez először értelem-szerűen rögzíteni kell a függvényosztályt, amiből a trajektóriákat vesszük.

Például ez lehet a folytonos függvényekC([0,∞))halmaza, vagy a később be-vezetett jobbról, vagy balról reguláris függvények osztálya. A rögzített függ-vénytéren a mérhetőséget általában az úgynevezett koordinátaleképezések ál-tal generált mérhetőségi struktúrával definiáljuk, vagyis a függvénytéren azt a legszűkebb σ-algebrát tekintjük, amelyre nézve minden t időpontban az ω7→X(t, ω)úgynevezett koordinátaleképezés éppenFt mérhető. Ilyenkor a trajektóriák terén a mérhetőség definícióját visszavezetjük a már megadott filtrációra. Előfordul azonban a fordított irány is. Például a folytonos függ-vények terén a topológiát a kompakt halmazokon való egyenletes konvergen-ciával szokás definiálni. Ez a topológia definiál egy Borel-mérhetőségi struk-túrát a trajektóriák terén. Ezt követően a filtrációt úgy definiáljuk, hogyFt

az a legszűkebbσ-algebra, amelyre nézve az összes s≤t időpont esetén az ω 7→ X(s, ω) koordinátaleképezés mérhető. Ilyenkor tehát a függvénytéren definiált mérhetőségi struktúrából származtatjuk a filtrációt. Természetesen a tárgyalás során kiemelt figyelemmel kell ügyelni arra, hogy a két megközelítés egyidejű alkalmazása kompatibilis legyen.

A nullmértékű halmazokra tett feltétel miatt minden egyes folyamathoz tartozó osztály minden eleme adaptált, vagyis haX=Y vagyis ha a trajektó-riáik csak nullmértékű halmazban különböznek, és azX adaptált, akkor azY is adaptált, ugyanis mindent-re azX(t)majdnem mindenhol megegyezik az Y(t)-vel, és mivel azFttartalmazza a nullmértékű halmazokat, ezért azX(t) mérhetőségéből következik azY (t)mérhetősége. Érdemes megjegyezni, hogy ha mindent-reX(t)majdnem mindenhol megegyezik azY(t)-vel, akkor azt szokás mondani, hogy azY folyamat azX folyamat módosítása. Mivel a filt-rációban szereplőσ-algebrák tartalmazzák a nullmértékű halmazokat, ezért ha azX adaptált és az Y az X módosítása, akkor az Y is adaptált. Mivel

a folyamatok egyenlőségéből következik a módosítás erejéig való egyenlőség, ezért az első megjegyzés a második speciális esete.

A filtrációról feltesszük, hogy jobbról folytonos. Ez alatt azt értjük, hogy tetszőleges t-re Ft = ∩s>tFs $ Ft+. Azt mondjuk, hogy a sztochasztikus alaptér teljesíti a szokásos feltételeket, ha

1. aF filtráció jobbról folytonos,

2. minden időpontban azF_ttartalmazza a nullmértékű halmazokat, 3. az (Ω,A,P) tér teljes, vagyis ha A ∈ A ésP(A) = 0, akkor minden

N ⊆ A esetén N ∈ A. Ismételten hangsúlyozni kell, hogy ez utóbbi feltételre folytonos integrátorok esetén, vagyis az itt bemutatott tételek tárgyalása során, nincsen szükség.

2. AzX folyamatot folytonosnak mondjuk, ha a t7→ X(t, ω) trajektóri-ák folytonosak. Az ekvivalenciaosztály bevezetése miatt, a minden kimenetre való folytonosság helyett gyakran megelégszünk a majdnem mindenω kime-netelre való folytonossággal. Egy folyamat jobbról reguláris, ha a trajektó-riálnak minden időpontban létezik véges bal oldali határértéke és a trajek-tóriák jobbról folytonosak. Hasonlóan értelmezhető a balról reguláris folya-matok családja. Egy X folyamatot regulárisnak mondunk, ha vagy jobbról vagy balról reguláris. Érdemes hangsúlyozni, hogy a regularitás definíciójában szereplő határérték mindig véges. Annak ellenére, hogy gyakran használunk absztrakt nyelvezetet a sztochasztikus folyamatok trajektóriái legtöbbször reguláris függvények. Például az alább felépített Itô–Stieltjes integrálás el-méletében az integrandusok balról regulárisok, az integrátorok pedig jobbról reguláris folyamatok. A trajektóriák regularitásának fontos következménye, hogy beszélhetünk azX folyamat ugrásaiból álló∆X folyamatról, amely de-finíció szerint∆X=X+−X−, ahol azX+a jobb oldali határértékekből álló folyamat és értelemszerűen X− jelöli a bal oldali határértékekből álló folya-matot. A∆szimbólumot gyakran egy folyamat növekményeinek jelölésére is alkalmazni fogjuk, ami elvileg némiképpen félreérthető. A szövegkörnyezetből kiragadva például a ∆X(t_k)jelölés esetén nem világos, hogy az X ugrása-iból álló ∆X folyamat t_k időpontban vett helyettesítési értékéről van szó, vagy egy(t_k)időpont sorozat által definiáltX(t_k)−X(t_k−1)növekményről van-e szó. Remélhetőleg azonban a szövegkörnyezetből ez mindig egyszerűen kideríthető¹.

Könnyen belátható, hogy reguláris függvényekre értelemszerű módosítással átvihetők az elemi analízisben a kompakt szakaszokon értelmezett folytonos függvényekre belátott állítások. Például a reguláris függvények minden kom-pakt intervallumon korlátosak, illetve ha az ugrások nagysága kisebb, mint

1Mivel általában folytonos folyamatokkal foglalkozunk, az ugrásokra ritkán kell hi-vatkozni.

egy fixckonstans, akkor tetszőleges kompakt szakasz esetén bármilyenε >0 számhoz található olyanδ >0, hogy ha at1 ést2 távolsága kisebb, mintδ, akkor a reguláris függvényt1 és at2 időpontokban vett értékeinek távolsága legfeljebbc+ε. Természetesen a korlát, illetve aδfüggvényenként más és más lehet. A korlátosságra vonatkozó megjegyzés indoklása a következő : Tegyük fel, hogy azX folyamat reguláris és egy alkalmas(tn)sorozatra|X(tn)| ≥n, és a(tn)sorozat elemei egy kompakt időtartományban vannak. Részsoroza-tokra áttérve a kompaktság miatt feltehető, hogy a(tn) konvergens, illetve hogy monoton nő vagy esetleg csökken. Ez azonban ellentmond annak, hogy azX reguláris, és ezért minden időpontban a trajektóriáknak van jobbról és balról vett határértéke. Hasonlóan, ha van olyan(t_k)és(s_k)sorozat, amely-re |t_k−s_k| ≤1/k és|f(t_k)−f(s_k)| ≥c+ε, akkor részsorozatokra áttérve feltehető, hogy az(s_k) és a(t_k)sorozat konvergens. Ha a két sorozat a kö-zös határérték egyik oldalára esik, akkor ez ellentmond annak hogy létezik a jobb és bal oldalról vett határérték, ha pedig a közös határérték két különbö-ző oldalára esik a két sorozat, akkor az ellenmond annak, hogy a lehetséges ugrások maximális nagyságac.

3. Sztochasztikus folyamatra a legfontosabb példát a Wiener-folyamatok szolgáltatják.

3.1. Definíció. Egy{w(t, ω)}_t≥0folyamatot Wiener-folyamatnak mondunk, ha teljesíti az alábbi négy feltételt :

1. w(0)≡0.

2. A w növekményei függetlenek, vagyis tetszőleges t0 < t1 < . . . < tn

idősorozat esetén a növekményekből állóndarab w(tk)−w(t_k−1) va-lószínűségi változó független.

3. Tetszőleges0≤s < tértékekre aw(t)−w(s) eloszlásaN 0,√ t−s

, vagyis aw(t)−w(s)változó sűrűségfüggvénye

g_t−s(x)$ 1

p2π(t−s)exp

−x² 2 (t−s)

.

Ebből következően awstacionárius növekményű, amin azt értjük, hogy aw(t)−w(s)növekmény eloszlása csak az időintervallumt−shosszától és nem az időintervallum elhelyezkedésétől függ.

4. Awfolytonos abban az értelemben, hogy mindenωkimenetelre a t7→

w(t, ω)trajektória folytonos.

Érdemes hangsúlyozni, hogy ha w a fenti definíció szerint egy Wiener-folyamat ésF_t⁰a folyamat által generált filtráció, vagyisF_t⁰a{w(s)|s≤t}

változók által generáltσ-algebra, akkor azF⁰filtráció nem lesz jobbról folyto-nos. A legegyszerűbb példa a következő : LegyenNazon kimenetelek halmaza,

amelyre az w Wiener-folyamat trajektóriái egy pozitív hosszúságú [0, t(ω)]

szakaszon nullák maradnak. AzN valószínűsége nulla. Mivel definíció szerint w(0) = 0, ezért a t = 0 pontban a generált filtráció a triviális (Ω,∅) σ-algebra. Ugyanakkor könnyen látható, hogyN ∈ ∩t>0F_t⁰, ugyanis bármilyen kicsi, de pozitív hosszúságú időintervallumot is megyünk előre azN-be eső kimenetelekhez tartozó trajektóriákat meg tudjuk határozni. Megmutatható azonban, hogy ha azF⁰-ban szereplőσ-algebrákat kibővítjük a nullmértékű halmazokkal, akkor az így kapottFfiltráció jobbról folytonos lesz. A filtráció jobbról való folytonossága nélkül a sztochasztikus analízis legtöbb tétele nem teljesül, így a nullmértékű halmazokkal a filtrációt mindenképpen ki kell egé-szíteni. Ennek megfelelően Wiener-folyamat által generált filtráción nem az F⁰,hanem a nullmértékű halmazokkal kiegészítettF filtrációt szokás érteni.

A Wiener-folyamatt= 0pontban való értékével kapcsolatos további apró bonyodalom, hogy miként jeleztük két folyamatot akkor tekintünk egyenlő-nek, ha a trajektóriái majdnem minden kimenetelre azonosak. Ennek meg-felelően egy folyamatot akkor is Wiener-folyamatnak kell mondanunk, ha a w(0)csak majdnem mindenhol nulla. Ez is arra utal, hogy a szokásos feltéte-lekben szereplő nullmértékű halmazokkal való kiegészítés nem úszható meg.

Az persze egy külön szerencse, hogy Wiener-folyamatok esetén, a már idézett tétel alapján, ezzel a kiegészítéssel két legyet ütünk egy csapással.

A definíció körüli további bonyodalom forrása, hogy beszélni szokás egy adott F filtrációhoz tartozó Wiener-folyamatról is. Ennek több praktikus oka van. A legegyszerűbb eset az, amikor több folyamat egyszerre adja meg a filtrációt és ehhez a filtrációhoz képest akarunk egy Wiener-folyamatot de-finiálni. Egy másik eset, amikor adott egy w Wiener-folyamat és a we(t) $ w(t+s)−w(s) úgynevezett újraindított folyamatról szeretnénk igazolni, hogy Wiener-folyamat, de a filtráción az Fe_t $ F_t+s filtrációt szeretnénk érteni, amelyre például azFe0 már nem a nulla és egy valószínűségű halma-zokσ-algebrája. Ennek megfelelően a Wiener-folyamat definícióját érdemes általánosítani és a független növekmény feltételét módosítani :

3.2. Definíció. Az X folyamatot az F filtrációra nézve független növek-ményűnek mondjuk, ha minden t > s esetén az X(t)−X(s) növekmény független azFs σ-algebrától. Értelemszerűen ez definíció szerint azt jelenti, hogy az X(t)−X(s) növekmény által generált σ(X(t)−X(s)) σ-algebra minden eleme független azF_sσ-algebra minden elemétől. Egywfolyamatot egyF filtráció szerint Wiener-folyamatnak mondunk, ha

1. w(0) = 0majdnem mindenhol,

2. wazF filtrációra nézve független növekményű,

3. awstacionárius növekményű és tetszőleges 0< s < t esetén a w(t)−

−w(s)eloszlásaN 0,√ t−s

.

4. aw trajektóriái majdnem minden kimenetelre folytonosak.

4. Egyτvéletlen időpontot megállási időnek mondunk, ha mindentesetén a τ∧t$min (τ, t)valószínűségi változó az (Ω,Ft)téren. Ennek interpretá-ciója az, hogy a megállási idő t időpontig bekövetkezett része valószínűségi változó a t időpontban. Könnyen belátható, hogy ez ekvivalens avval, hogy minden t esetén {τ≤t} ∈ Ft. Könnyen belátható, hogy mivel {τ ≤t} =

= ∩n{τ < t+ 1/n} és mivel az F jobbról folytonos, ez ekvivalens avval, hogy mindentesetén {τ < t} ∈ Ft. Megjegyezzük, hogy a filtrációk jobbról való folytonosságára leginkább azért van szükség, hogy ezt az ekvivalenciát biztosítani tudjuk. A megállási idők halmazának kiemelkedően fontos rész-halmaza a találati idők rész-halmaza. EgyB halmaz találati idején a

τB(ω)$inf{t|X(t, ω)∈B} (3.1) véletlen időpontot értjük. Vegyük észre, hogy τB(ω) = ∞ pontosan akkor, ha azωkimenetelre azXfolyamatt7→X(t, ω)trajektóriája nem metsz bele aB halmazba². Érdemes hangsúlyozni, hogy a definícióban szereplő infimum miatt aτ_B(ω)időpontban azX folyamat megfelelő trajektóriája nincsen fel-tétlenül aB halmazban. A sztochasztikus alaptérre, azX folyamatra, illetve aB halmazra tett különböző feltételek teljesülése esetén garantálható, hogy a találati idők egyúttal megállási idők is legyenek.

3.3. Állítás. Ha azX folyamat folytonos és aB halmaz zárt, vagy ha azX jobbról vagy balról folytonos aB nyílt és a filtráció jobbról folytonos, akkor a τB találati idők megállási idők.

Bizonyítás. A nyílt és a zárt halmazok találati ideje közötti eltérés abból ered, hogy a nyílt halmazok esetén{τB =t} tartalmazhat olyan ω kimene-teleket, amelyekre a B elérés csak a t „után” következik be, vagyis amikor a folyamat kívülről éri el a B halmazt. Ezért kell nyílt halmazok esetén a {τB< t} eseménnyel foglalkozni. Amikor egy zárt halmaz határát elérjük, akkor már tudjuk, hogy a halmazban vagyunk, de egy nyílt halmaz esetén a határról még visszafordulhatunk és csak a határátlépés után tudjuk meg, hogy végül beléptünk a halmazba vagy sem.

I. Megmutatjuk, hogy ha aB halmaz zárt, az X folytonos trajektóriájú folyamat, akkor a fenti (3.1) sorban definiált τB találati idő egyben megál-lási idő. Hangsúlyozzuk hogy ezt azX és aB egyszerű tulajdonságai miatt minden további megkötés, vagyis például a filtráció jobbról való folytonossá-gának feltétele nélkül igazoljuk. A trajektóriák folytonossága miatt minden

2Mivel egy megállási idő egy pozitív valószínűségű halmazon felveheti a végtelen értéket, ezért formailag a megállási idők nem valószínűségi változók.

ω kimenetelre a K(t, ω) $X([0, t], ω) halmaz kompakt. A B zártsága mi-att K(t, ω)∩B =∅ pontosan akkor, ha a két halmaz távolsága pozitív, és ilyenkorτB(ω)> t. Másképpen

{τB≤t}={ω|K(t, ω)∩B6=∅}.

A trajektóriák folytonossága miatt azX([0, t]∩Q, ω)sűrű aK(t, ω) halmaz-ban. A távolságfüggvény folytonossága alapján

{τ_B≤t}={ω|K(t, ω)∩B6=∅}={ω|d(K(t, ω), B) = 0}=

={ω|inf{d(X(s, ω), B)|s≤t, s∈Q}= 0}.

Rögzítetts≤t-re azω 7→X(s, ω)F_t-mérhető, ami az x7→d(x, B) folyto-nossága miatt teljesül azω7→d(X(s, ω), B)-re is. Megszámlálható mérhető függvény infimuma mérhető, mérhető függvény nívóhalmazai mérhetőek, te-hát{τB ≤t} ∈ Ft.

II. Megmutatjuk, hogy ha aB nyílt, és az X trajektóriái jobbról folyto-nosak, akkor a (3.1) találati idő megállási idő azFt+$∩s>tFsσ-algebrára nézve, tehát ha azFt jobbról folytonos, akkor a τ_B megállási idő. Ezt úgy igazolhatjuk, ha megmutatjuk, hogy minden t-re {τ_B< t} ∈ F_t. A trajek-tóriák jobbról folytonossága és a B nyíltsága miatt,X(s, ω) ∈B pontosan akkor, ha egy alkalmasε >0számraX(u, ω)∈B, hau∈[s, s+ε). Ebből

{τB< t}=∪_s∈[0,t){X(s)∈B}=∪_{s∈Q∩[0,t)}{X(s)∈B} ∈ Ft. III. Hasonlóan belátható, hogy haX balról folytonos, a filtráció jobbról folytonos ésB nyílt, akkor aτB elérési idő megállási idő.

3.4. Példa. Nyílt halmaz találati ideje amely nem megállási idő.

I. Ha B nyílt, és a filtráció nem jobbról folytonos, akkor még folytonos trajektóriák esetén sem tudjuk garantálni, hogyτB megállási idő legyen. Ha például

X(t, ω)$t·ξ(ω),

ahol ξ egy normális eloszlású változó, és F a generált filtráció, akkor F0 =

= {Ω,∅}, és ha t > 0, akkor Ft = B(R). Evidens módon látható, hogy a B${x >0} halmazhoz tartozóτB vagy a nulla, vagy a∞értéket veszi fel, attól függően, hogyξ(ω)>0 vagyξ(ω)≤0. Következésképpen{τB≤0}∈ F/ 0. Az is könnyen látható, hogy a példa szempontjából irreleváns, hogy a null-mértékű halmazokat hozzácsapjuk a filtrációhoz vagy sem.

II. Hasonlóképpen látható, hogy haX Wiener-folyamat ésB ${x6= 0}, akkor a τ_B csak akkor megállási idő, ha a Wiener-folyamat által generált

filtrációt kibővítjük a nullmértékű halmazokkal, vagyis ha a filtrációt jobb-ról folytonossá tesszük, ugyanis a nulla valószínűséggel előforduló konstans szakaszok miatt awáltal generált filtrációra nézve {τB≤0}∈ F/ ₀⁰={Ω,∅}.

Nyílt halmazok találati idejére fontos példa a valamely pontból való kilépés időpontja. Ha egy folyamat éppen egyxállapotban van, akkor a B ${x}^c nyílt halmaz találati ideje az az időpont, amikor a folyamat kilép azx pont-ból. Ezt a véletlen időtartamot szokás azxpontban való tartózkodás idejének is mondani. Miként azx= 0állapot tartózkodási idejére vonatkozó példából látszik, egy adotttidőpontig megfigyelve a trajektóriákat nem lehet eldönte-ni, hogy a folyamat kilép az adotttidőpontban vagy sem. Csak annyit lehet látni, hogy atelőtt kilépett vagy sem. Értelemszerűen a problémát a kons-tans szakaszok okozzák. Wiener-folyamatok esetén a konskons-tans szakaszokat tartalmazó trajektóriákkal rendelkező kimenetelek valószínűsége nulla, így a nullmértékű halmazok hozzáadása automatikusan megoldja a konstans szaka-szokkal kapcsolatos problémákat, így a filtráció jobbról folytonos lesz. Az első példából azonban látszik, hogy tetszőleges folytonos trajektóriájú folyamat esetén ez nem feltétlenül teljesül, így a nullmértékű halmazokkal kiegészített filtráció nem lesz automatikusan jobbról folytonos, így a kilépési idők nem

lesznek automatikusan megállási idők.

Az állításból következően ha azXfolytonos, akkor tetszőlegesavalós szám esetén esetén a

τa$inf{t| |X(t)| ≥a} (3.2) vagy például a

τa $inf{t|X(t) =a}, τa $inf{t|X(t)≤a}

véletlen időpontok megállási idők, illetve jobbról folytonos filtráció és folya-mat esetén a

τ_a$inf{t| |X(t)|> a} (3.3) vagy a

τa$inf{t|X(t)> a}

véletlen időpontok is megállási idők. Aτ_a megállási időkre mint szintátlépési időkre szokás hivatkozni. A figyelmes olvasó észrevehette, hogy a τ_a jelölés nem egyértelmű. Mivel a trajektóriáknak lehetnek konstans szakaszai a >, illetve a≥relációval definiált megállási idők nem azonosak. Ennek azonban a jelen tárgyalás szempontjából nincsen jelentősége, így a bonyolultabb jelö-lések bevezetésétől eltekintek.

5. A megállási idők eloszlását a legtöbb esetben nem ismerjük. A ritka kivételek egyike a Wiener-folyamatok

τ_a $inf{t|w(t) =a}

találati ideje, amely sűrűségfüggvénye f(x) = |a|

√

2πx³exp

−a² 2x

. (3.4)

6. A megállási időket legtöbbször a megállított folyamatok definíciója során használjuk. HaX egy tetszőleges folyamat ésτ egy véletlen időpont, akkor

X^τ(t, ω)$X(t∧τ(ω), ω).

Gyakran szükségünk lesz a következő észrevételre : Ha τ egy megállási idő és X egy reguláris, adaptált folyamat, akkor az X^τ megállított folyamat adaptált marad. Ugyancsak gyakran fogjuk használni a következőt : Haτ_a a fenti (3.2) vagy (3.3) sorban definiált szintátlépési idő és az X balról foly-tonos, akkor|X^τa| ≤a. Érdemes talán hangsúlyozni, hogy jobbról folytonos folyamatok esetén azonban csak az |X^τa| ≤ a+|∆X(τa)| egyenlőtlenség igazolható.

7. EgyX jobbról reguláris, adaptált és integrálható folyamatot martingál-nak mondunk, ha tetszőlegest < s esetén

E(X(s)| Ft) =X(t). (3.5) Integrálható folyamat alatt értelemszerűen azt értjük, hogy mindent időpont-ban azX(t)valószínűségi változó integrálható, vagyis van várható értéke. Ha E(X(s)| Ft) ≤X(t), akkor szupermartingálról, haE(X(s)| Ft)≥X(t), akkor szubmartingálról szokás beszélni. A definíciókból evidens, hogy a mar-tingálok tartják a várható értéküket, a szubmarmar-tingálok várható értéke nő, a szupermartingálok várható értéke pedig csökken. Martingálra a legegysze-rűbb példát a Wiener-folyamatok szolgáltatják. Ugyanakkor ha X martin-gál, akkor az Y = X² szubmartingál. A figyelmes olvasóban felmerülhet, hogy miért van az Y = X²-nek várható értéke. Természetesen semmi sem garantálja ezt. Ugyanakkor az Y (s) = X²(s)nem negatív, így a feltételes várható értéke létezik, bár az esetlegesen felveheti a végtelen értéket is. Éppen ezért a szubmartingálok definíciója az irodalom nem mindig egyértelmű, és a szubmartingálok definíciójába nem feltétlenül szokás beleérteni a folyamat integrálhatóságát csak azt, hogy létezzen a feltételes várható érték. Ezért a továbbiakban, ha ez fontos, akkor szubmartingálok esetén mindig explicite jelezni fogjuk a folyamat integrálhatóságát.

A martingálokkal kapcsolatos legfontosabb állítás a megállási opciókról szóló tétel. Ennek több alakja is van. Talán a legszemléletesebb a következő : 3.5. Állítás. Ha teljesülnek a szokásos feltételek, akkor egy jobbról reguláris X folyamat pontosan akkor martingál, ha tetszőleges τ korlátos megállási idő esetén azX(τ)integrálható és E(X(0)) =E(X(τ)), vagyis a folyamat várható értéke korlátos megállási időkkel „nem manipulálható”.

A megállási opciókról szóló tétel egy másik alakjának megértéséhez defi-niálni kell a megállítottσ-algebra fogalmát.

3.6. Definíció. Haτ tetszőleges megállási idő, akkor az Fτ megállított σ-algebrán az olyanAhalmazok családját értjük, amelyekre tetszőlegestesetén A∩ {τ≤t} ∈ Ft.

Interpretációját tekintve azFτ a τ előtt, beleértve a τ időpontot is, be-következő eseményekσ-algebráját értjük. Az interpretáció különösen szem-léletes, ha a sztochasztikus alaptér éppen a trajektóriák tere és a filtrá-ció éppen az X(t, ω) = ω(t) koordinátaleképezések által generált filtrá-ció, vagyis Ft = σ({X(s)|s≤t}) . Megmutatható, hogy ilyenkor Fτ =

=σ({X(τ∧t)|t∈R+}).

3.7. Állítás. Ha teljesülnek a szokásos feltételek és ha σ és τ két korlátos megállási idő, valamint haσ≥τ, akkor a martingált definiáló (3.5) egyenlő-ség átvihető megállási időkre is :

E(X(σ)| Fτ) =X(τ).

Az egyenlőségben implicite azt is felhasználtuk, hogy az X(τ) változó Fτ-mérhető. Érdemes megjegyezni, hogy diszkrét idejű megállási időkre a té-telt korábban már igazoltuk³. Az általános eset bizonyítása arra épül, hogy tetszőleges τ megállási időhöz konstruálható olyan (τ_n) véges értékkészletű megállási időkből álló sorozat, amelyre τ_n & τ. Miként a megállási idők tárgyalásakor jeleztük, a nyílt halmazok találati ideje, nem feltétlenül meg-állási idő. Ahhoz, hogy ez teljesüljön a filtrációnak jobbról folytonosnak kell

Az egyenlőségben implicite azt is felhasználtuk, hogy az X(τ) változó Fτ-mérhető. Érdemes megjegyezni, hogy diszkrét idejű megállási időkre a té-telt korábban már igazoltuk³. Az általános eset bizonyítása arra épül, hogy tetszőleges τ megállási időhöz konstruálható olyan (τ_n) véges értékkészletű megállási időkből álló sorozat, amelyre τ_n & τ. Miként a megállási idők tárgyalásakor jeleztük, a nyílt halmazok találati ideje, nem feltétlenül meg-állási idő. Ahhoz, hogy ez teljesüljön a filtrációnak jobbról folytonosnak kell

In document Pénzügyi matematika (Pldal 72-83)