A kvadratikus variáció

Az alábbi állítás legfontosabb része, hogy az [X, Y], úgynevezett keresztva-riáció folyamat létezik.

3.32. Tétel (Parciális integrálás). Ha X és Y folytonos szemimartingálok, akkor tetszőlegest időpont esetén

X(t)Y (t)−X(0)Y(0) = Z t

0

XdY + Z t

0

Y dX+ [X, Y] (t),

ahol[X, Y],definíció szerint, a két szemimartingál kvadratikus keresztvariá-ciója. A keresztvariáció at időpontban az

I_n(t)$X

i

X

t⁽ⁿ⁾_i+1∧t

−X

t⁽ⁿ⁾_i ∧t Y

t⁽ⁿ⁾_i+1∧t

−Y

t⁽ⁿ⁾_i ∧t szorzatösszeg sztochasztikus konvergenciában vett határértéke. Továbbá a szto-chasztikus konvergenciában

sup

a≤s≤b

|In(s)−[X, Y] (s)| →0.

Bizonyítás. A parciális integrálás formuláját a közelítő összegekre felírva az egyenlőség, a közelítő összegekre, elemi számolással kapható. A bizonyítás lényegi eleme, hogy mivel az integrálok konvergálnak, a bal oldalon szereplő kifejezés konstans, ezért a keresztvariációt közelítő (In) sorozat konvergens kell hogy legyen.

Az [X, X] folyamatot szokás [X] módon jelölni. A definícióból világos, hogy az [X] monoton nő, ugyanis ha s < t, akkor az s időpontot a [0, t]

felbontásához hozzávéve a[0, s]szakaszon vett közelítő összegek nem lehetnek nagyobbak a [0, t] szakaszon vett összegeknél. Az integrálás integrandus és integrátor szerinti linearitása segítségével könnyen belátható, hogy

[X, Y1+Y2] = [X, Y1] + [X, Y2]. Ebből azonnal látható, hogy

[X+Y] = [X+Y, X+Y] = [X] + 2 [X, Y] + [Y]. Speciálisan

[X, Y] = 1

4([X+Y]−[X−Y]), (3.12) következésképpen az[X, Y]véges változású.

3.33. Példa. Folytonos és korlátos változású folyamatok kvadratikus ke-resztvariációja nulla.

A sztochasztikus analízis lényegében a keresztvariáció miatt különbözik a közönséges analízistől. A Fisk-tétel bizonyításakor is használt

X

k

(X(tk)−X(t_k−1))²≤max

k |X(tk)−X(t_k−1)|X

k

|X(tk)−X(t_k−1)|

triviális egyenlőség miatt ha egy X folyamat folytonos és véges változású, akkor az[X, X] = 0,ugyanis minden véges szakaszon a folytonos függvények egyenletes folytonossága miatt a szorzat első tagja nullához tart, miközben a feltételezett véges változás miatt a szorzat második tényezője korlátos.

Ez az észrevétel felhasználható a Fisk-tétel bizonyítására : LegyenLegy az L(0) = 0 feltételt kielégítő lokális martingál. Mivel az L folytonos és korlátos változású, ezért a példa alapján [L, L] = 0. A parciális integrálás formulája miatt azL²−[L, L] =L²egy lokális martingál. Következésképpen egy alkalmas (τ_n) lokalizációs sorozatra az L² négyzetfolyamat τ_n pontban való megállítása martingál, így mindent-re a Fatou-lemma miatt

E L²(t)

=E

n→∞lim L²(τn∧t)

≤ lim

n→∞E L²(τn∧t)

=

= lim

n→∞E L^2τn

(t)

= lim

n→∞E L^2τn

(0)

= lim

n→∞E L²(0)

= 0, ahol kihasználtuk, hogy a martingálok tartják a várható értéket. Vagyis L²(t)^m.m.= 0,következésképpenL(t)^m.m.= 0.

3.34. Példa. Haw egy Wiener-folyamat, akkor[w] (t)$[w, w] (t) =t. Ha w1ésw2független Wiener-folyamatok, akkor[w1, w2] = 0.Korrelált Wiener-folyamatok keresztvariációja.[w1, w2] (t) =ρt.

Független Wiener-folyamatok esetén a[w₁, w₂] keresztvariációt több mó-don is kiszámolhatjuk. Az egyik módszer szerint először megmutatjuk, hogy ha X₁ és X₂ függetlenek és független növekményűek, akkor az X₁+X₂ is független növekményű. Emlékeztetünk, hogy az X₁ és X₂ folyamatok de-finíció szerint pontosan akkor függetlenek, ha tetszőleges (t_i) sorozatra az (X1(ti)) és az (X2(ti)) vektorok függetlenek. Legyen t > s és ξi $ Xi(s) és ηi $ Xi(t+h)−Xi(t). Az együttes eloszlásokat felírva, először a füg-getlenséget, majd a független növekményeket, majd ismét a függetlenséget használva

P(ξ1∈B1, ξ2∈B2, η1∈C1, η2∈C2) =

=P(ξ1∈B1, η1∈C1)P(ξ2∈B2, η2∈C2) =

=P(ξ₁∈B₁)P(η₁∈C₁)P(ξ₂∈B₂,)P(η₂∈C₂) =

=P(ξ1∈B1, ξ2∈B2)P(η1∈C1, η2∈C2). A monoton osztály tétel segítségével

P((ξ₁, ξ₂)∈B,(η₁, η₂)∈C) =P((ξ₁, ξ₂)∈B)P((η₁, η₂)∈C),

amiből aξ1+ξ2független azη1+η2-től. A gondolatmenetet kettő helyett vé-ges sok változóra alkalmazva kapjuk az eredményt. Ebből könnyen belátható, hogy haw1ésw2 független Wiener-folyamatok, akkor a(w1+w2)/√

2 szin-tén Wiener-folyamat. Ebből, felhasználva a Wiener-folyamatok kvadratikus variációjának képletét

2t= [w1+w2] (t) = [w1] (t) + 2 [w1, w2] (t) + [w2] (t) =

= 2t+ 2 [w₁, w₂] (t), amiből evidens módon[w1, w2] (t) = 0.

Aw1ésw2 Wiener-folyamatokat korrelált Wiener-folyamatnak mondjuk, ha a(w1, w2)növekményei függetlenek és egy alkalmasρkorrelációs együtt-ható esetén minden t időpontra és tetszőleges ∆w1(tk) és ∆w2(tk) növek-ményekre a∆w₁(t_k)és a∆w₂(t_k)együttes eloszlás normális és a korreláció együtthatójukρ. Ilyenkor a[0, t]tetszőleges partíciója esetén

E X

A növekmények függetlenségét használva D² X Így a partíció végtelenül való finomításával

D² X

Mivel a kvadratikus variáció a sztochasztikus analízis legfontosabb fogalma érdemes a létezését egy kicsit jobban körüljárni : Tetszőleges X folyamat és [a, b]szakasz tetszőleges(tk)partíciója esetén

(X(b)−X(a))²= X

k

(X(tk)−X(t_k−1))

!²

= X

k

∆X(tk)

!²

=

= 2·X

j<k

∆X(tj) ∆X(tk) +X

k

(∆X(tk))²=

= 2X

k





k−1

X

j=1

∆X(tj)



∆X(tk) +X

k

(∆X(tk))²=

= 2X

k

(X(t_k−1)−X(a)) ∆X(tk) +X

k

(∆X(tk))²=

= 2X

k

X(t_k−1) ∆X(tk) +X

k

(∆X(tk))²−

−2 (X(b)−X(a))X(a). Ha azX egy folytonos szemimartingál, akkor a X

k

X(t_k−1) ∆X(tk) határ-értéke létezik, amiből aX

k

(∆X(tk))² konvergenciája és az

X²(b)−X²(a) = 2 Z b

a

XdX+ [X]_a,b szabály már evidens.

3.35. Következmény(A keresztvariáció karakterizálása). HaL₁ésL₂ tet-szőleges folytonos lokális martingálok, akkor[L₁, L₂] az egyetlen olyan véges változású folytonos V folyamat, amelyre az L₁L₂−V folytonos lokális mar-tingál.

Bizonyítás. A parciális integrálási formula miatt, felhasználva, hogy a két integrál lokális martingál, világos, hogy az L1L2−[L1, L2] folytonos lokális martingál. Ha ez egy másikV véges változású folyamat esetén is teljesülne, akkor az

(L1L2−[L1, L2])−(L1L2−V) =V −[L1, L2]

egy olyan korlátos változású, folytonos lokális martingál lenne, amely at= 0 pontban nulla. Fisk tétele miatt ilyenkor[L1, L2] =V.

3.36. Következmény (Keresztvariációra vonatkozó megállítási szabály).

HaX ésY folytonos szemimartingálok ésτ tetszőleges megállási idő, akkor [X^τ, Y^τ] = [X^τ, Y] = [X, Y^τ] = [X, Y]^τ.

Bizonyítás. A kvadratikus variáció definíciója alapján [X^τ, Y^τ]$X^τY^τ−X(0)Y (0)−X^τ•Y^τ−Y^τ•X^τ =

=X^τY^τ−X(0)Y (0)−(X^τ•Y)^τ−(Y^τ•X)^τ =

=X^τY^τ−X(0)Y (0)−(X^τχ([0, τ])•Y)^τ−(Y^τχ([0, τ])•X)^τ=

=X^τY^τ−X(0)Y (0)−(Xχ([0, τ])•Y)^τ−(Y χ([0, τ])•X)^τ=

=X^τY^τ−X(0)Y (0)−(X•Y)^τ−(Y •X)^τ=

= (XY −X(0)Y (0)−(X•Y)−(Y •X))^τ= [X, Y]^τ.

Az integrál linearitása alapján a keresztvariáció bilineáris, így a további egyen-lőségek bizonyításához elég megmutatni, hogy[X^τ, Y −Y^τ] = 0. AzX^τ a τ után konstans, az Y −Y^τ pedig a τ előtt nulla, így a keresztvariáció defi-níciójából világos, hogy a közelítő összeg mindenω kimenetelre csak egyet-len tagból áll, amikor is t⁽ⁿ⁾_k < τ(ω) < t^(ω)_k+1. De a folyamatok folytonos-sága miatt ezen egyetlen közelítő négyzet határértéke nulla, vagyis valóban [X^τ, Y −Y^τ] = 0.

3.37. Következmény. Ha L folytonos lokális martingál, akkor az L tra-jektóriái egy nullmértékű halmaztól eltekintve pontosan akkor konstansok, ha [L] = 0.

Bizonyítás. Az egyik irány evidens. Elegendő belátni, hogy ha[L] = 0,akkor azLmajdnem minden trajektóriája konstans. AzLhelyébe azL−L(0) folya-matot írva a kvadratikus variáció nem módosul, így feltehető, hogyL(0) = 0.

Legyen(τn)azL²−[L]lokális martingál egy lokalizációs sorozata. Elegendő belátni, hogy minden n-re L^τn = 0. Mivel [L^τn] = [L]^τn = 0, ezért felte-hetjük, hogy az L²τn

= (L^τn)² martingál. A lokalizációra utaló jelölést az egyszerűség kedvéért elhagyva

E L²(t)

=E L²(t)−[L] (t)

= 0,

ugyanis az L²−[L] a lokalizáció miatt martingál, és a martingálok tartják a várható értéket. Ebből az L²(t) majdnem mindenhol nulla. A racionális időpontokhoz tartozó nullmértékű halmazokat egyesítve az L trajektóriái-nak folytonosságát kihasználva azonnal látható, hogy azLmajdnem minden trajektóriája nulla.

3.38. Tétel (Polaritási formula). Ha L folytonos lokális martingál és X balról reguláris, adaptált folyamat, akkor

[X•L] =X²•[L].

Hasonlóan, haL1 ésL2 két folytonos lokális martingál ésX1, X2 balról regu-láris, adaptált folyamatok, akkor

[X₁•L₁, X₂•L₂] =X₁X₂•[L₁, L₂].

Bizonyítás. A második egyenlőség az integrál linearitása miatt következik az elsőből :

[(X1+X2)•L] = (X1+X2)²•[L] = X₁²+ 2X1X2+X₂²

•[L]. Ugyanakkor

[(X1+X2)•L] = [X1•L+X2•L] = [X1•L] + 2 [X1•L, X2•L] + [X1•L], amiből az első egyenlőség felhasználásával

[X₁•L, X₂•L] =X₁X₂•[L].

Az L helyébeL₁+L₂-t írva hasonló számolással kapjuk a második egyen-lőséget. A megállítási szabályok miatt elegendő feltenni, hogy azX és az L korlátos. Ebből következően feltehető, hogy azLmartingál. Az első egyenlő-ség bizonyításához írjuk fel a

X

k

X(tk−1) ∆L(tk)

!²

= 2X

k<j

X(tk−1)X(tj−1) ∆L(tk) ∆L(tj) +

+X

k

X²(t_k−1) (∆L(tk))² azonosságot. A kétszeres szumma éppen

In$X

k



 X

j<k

X(t_j−1) ∆L(tj)



X(t_k−1) ∆L(tk)$

$X

k

Y⁽ⁿ⁾(t_k−1) ∆Y⁽ⁿ⁾(tk).

Vegyük észre, hogy martingáltranszformációs lemma miatt azY⁽ⁿ⁾ martin-gál. Ebből következően a lemma ismételt alkalmazásával belátható, hogy az In is martingál. Ha a felbontást minden határon túl finomítjuk, akkor, fel-használva, hogy a sztochasztikusan konvergens sorozatok négyzete is szto-chasztikusan konvergens

X

k

X(t_k−1) ∆L(t_k)

!²

→ Z t

0

XdL ²

.

MivelX

k

(∆L(tk))² →[L] (t)és a X

k

X²(t_k−1) (∆L(tk))² összeg tekinthe-tő at_k pontokra koncentrálódott(∆L(t_k))² nagyságú ugrásokat tartalmazó

korlátos változású folyamat szerinti integrálnak, ezért felhasználva, hogy az X trajektóriái balról regulárisak a bizonyítás utáni lemma alapján a trajek-tóriánkénti konvergenciában

X

k

X²(t_k−1) (∆L(tk))²→ Z t

0

X²d[L].

Legyen Z $ X •L. Ha a felbontást finomítjuk, akkor felhasználva, hogy Y⁽ⁿ⁾→ Z a kompakt szakaszokon a sztochasztikus konvergenciában egyen-letesen

n→∞lim Z t

0

Y⁽ⁿ⁾−Z dZ =

Z t 0

n→∞lim

Y⁽ⁿ⁾−Z dZ =

Z t 0

0dZ = 0.

AzY⁽ⁿ⁾tart aZ-hez, így egy elegendően kicsi valószínűségű halmaztól elte-kintve azY⁽ⁿ⁾ már elég közel van aZ-hez, így feltehető, hogy az Y⁽ⁿ⁾ egy elegendően kicsi valószínűségű halmaztól eltekintve egyenletesen korlátos. Eb-ből következően a már többször látott módon a sztochasztikus integrálokra vonatkozó (3.9) egyenlőtlenséggel belátható, hogy sztochasztikus konvergen-ciában Y⁽ⁿ⁾• Y⁽ⁿ⁾−Z

→0. Ezt felhasználva Y⁽ⁿ⁾•Y⁽ⁿ⁾−Z•Z =Y⁽ⁿ⁾•

Y⁽ⁿ⁾−Z +

Y⁽ⁿ⁾−Z

•Z →0.

Így

Z²= 2·Z•Z+X²•[L].

Mivel aZ lokális martingál, ezért aZ•Z is lokális martingál, következéskép-pen

[Z] = [X•L] =X²•[L].

3.39. Lemma(Gyenge konvergencia jellemzése). Tegyük fel, hogyF_n →F, ahol az(F_n)sorozat tagjai és azF monoton növekedő, jobbról folytonos függ-vények és a konvergencia minden pontban érvényes. Ha az f balról reguláris függvény, akkor

Z b a

f dFn → Z b

a

f dF.

Bizonyítás. A lemma a mértékek gyenge konvergenciájára vonatkozó gyakran használt állítás egy verziója. Gyenge konvergencia definíciója alapján elegen-dő megkövetelni, hogy azF minden folytonossági pontjában érvényes legyen az F_n(x) → F(x) konvergencia. Emlékeztetünk, hogy ilyenkor azt szokás mondani, hogy az(F_n)gyengén tart azF-hez. Ez indokolja a lemma elneve-zését. Vegyük észre, hogy mivel azf balról reguláris, ezért tetszőlegesn-re az 1/n-nél nagyobb ugrásainak száma véges, így azf legfeljebb megszámlálható

pontban szakadhat. Ha azF folytonos, akkor az egy pontból álló halmazok mértéke nulla, így az F által generált mérték szerint az f majdnem min-denhol folytonos. Miként ismert, a mértékek gyenge konvergenciája esetén az integrálok konvergenciája ilyenkor is biztosítható. Mivel azonban ennek indoklása némiképpen szövevényes, eltekintünk a használatától és a gyenge konvergencia jellemzését a fenti egy enyhén módosított alakban mondtuk ki.

A balról regularitás miatt azf felbontható két részre. Jelöljef1 a „nagy”

ugrásokat. Ezek száma véges. Tekintsünk egyetlen nagy ugrást.

h(x)$

0, ha t≤t0

g, ha t > t₀ .

Ilyenkor, kihasználva, hogy az F jobbról folytonos, így egy (u, v] szakasz mértékeF(v)−F(u) ugyanis az Fn(x) → F(x) konvergencia minden pontban teljesül. Legyen f₂ a folytonos és a „kis” ugrásokat megadó rész. Ekkor az f₂ folytonossági modulusa a nagy ugrások alkalmas megválasztásával tetszőlegesen kicsi le-het. Legyenh az f₂ függvényt „ jól” közelítő szakaszonként konstans, balról folytonos függvény. Az első és a harmadik kifejezés az ε megválasztásával tetszőlegesen kicsivé tehető. A második integrál pedig

alakú, amely az Fn → F konvergencia miatt szintén tetszőlegesen kicsivé tehető.

3.40. Következmény (A sztochasztikus integrál karakterizációja). Ha L egy folytonos lokális martingál és X egy adaptált, balról reguláris folyamat,

akkor azX •L az egyetlen olyan at = 0 pontban nulla értéket felvevő foly-tonos lokális martingál, amelyre igaz az, hogy tetszőlegesN folytonos lokális martingál esetén[X•L, N] =X•[L, N].

Bizonyítás. Ha valamelyU folytonos lokális martingálra, amelyreU(0) = 0 minden N folytonos lokális martingál esetén [U, N] = X•[L, N], akkor az N$U−X•Lesetben

[N] = [U−X•L, N] = [U, N]−[X•L, N] = 0,

vagyisN = 0,amibőlU =X•L A fordított irány a polaritási formula miatt evidens.

3.41. Tétel (Asszociativitási szabály). Legyen S folytonos szemimartingál, X és Y balról reguláris adaptált folyamatok. Érvényes a következő asszocia-tivitási formula :

Y •(X•S) = (Y X)•S.

Másképpen fogalmazva integrálfüggvény szerinti integrálás esetén az integrálok elvégzésének sorrendje „átrendezhető”.

Bizonyítás. Mivel haν(A)$R

Af dµ, akkorR

Xgdν=R

Xf gdµ,ezért ha azS korlátos változású, akkor az azonosság a klasszikus integrálelméletből ismert.

HaSlokális martingál, akkor a trajektóriánkénti integrál ezen tulajdonságát használva tetszőlegesN lokális martingál esetén

[Y •(X•S), N] =Y •[X•S, N] =Y •(X•[S, N]) =

=Y X•[S, N] = [Y X•S, N]. Ebből a kvadratikus variáció linearitása miatt

[Y •(X•S)−Y X•S, N] = 0.

Lokális martingálok különbsége szintén lokális martingál, ígyN $Y•(X•S)−

−Y X•S választással

[Y •(X•S)−Y X•S] = 0, amibőlY •(X•S) =Y X•S.

In document Pénzügyi matematika (Pldal 99-108)