sztochasztikus folyamatok elméletéből
3.3. Itô-formula
A sztochasztikus analízis legfontosabb állítása a következő :
3.56. Tétel. Ha az X = (X1, X2, . . . , Xn) vektor elemei folytonos szemi-martingálok, U ⊆ Rn egy olyan nyílt halmaz, amely tartalmazza az X ér-tékkészletét és F ∈ C2(U), vagyis az F az U halmazon kétszer folytonosan deriválható függvény, akkor Bizonyítás. A bizonyítást több lépésre bontjuk.
1. A bizonyítás első lépéseként az állítást polinomokra igazoljuk. A formula azF ≡ckonstansra triviálisan teljesül, tehát ahhoz, hogy minden polinomra teljesüljön elegendő megmutatni, hogy ha azF polinomra teljesül, akkor a G$xlF-re is teljesül. Tegyük fel, hogy A parciális integrálási formula alapján
G(X)$XlF(X) =
Az asszociativitási szabály felhasználásával, illetve aXl•F(X(0)) = 0tagot elhagyva
A szorzat deriválási szabálya szerint AGfüggvényhez tartozó másodrendű parciális deriváltak
∂2G
vagyis azF00 és aG00 csak az l-dik sorban és az l-dik oszlopban különbözik, tehát elegendő belátni, hogy
[Xl, F(X)] =
AzF(X) az indukciós feltétel szerint szemimartingál. A sztochasztikus in-tegrál rész kvadratikus keresztvariációja
a korlátos változású rész kvadratikus keresztvariációja a Xl folytonossága miatt viszont nulla16. Ezzel az állítást polinomokra igazoltuk.
2. Legyen(Bk)azU-ban levő racionális középpontú, racionális sugarú zárt gömbök egy felsorolása. HaKn $∪k≤nBk, akkor a Kn kompakt halmazok egy olyan növekvő sorozata, amelyre ∪nKn = U. Ha K ⊆ U tetszőleges kompakt halmaz, akkor aK lefedhető véges sok racionális sugarú, racionális középpontú gömbbel, így elég nagyn-re K⊆Kn. Megmutatható, hogy tet-szőleges K kompakt halmaz esetén létezik polinomok olyan (Qn) sorozata, amelyre a C2(K) topológiájában Qn|K → F|K. A C2 topológia definíci-ója szerint, az összes derivált is egyenletesen konvergens. Legyen Pn olyan
16V.ö. : 3.33. Példa, 92. oldal.
polinom, hogy aKn halmazon azF és a Pn távolsága aC2(Kn) topológiá-ban nem nagyobb, mint1/n. Világos, hogyPn→F, ahol a konvergencia az összes kompakt halmazon egyenletes. Tekintsük az időtengely tetszőlegesT kompakt részhalmazát. AzXtrajektóriái folytonosak, így aK(ω)$X(ω, T) képhalmaz mindenω esetén kompakt. AKn konstrukciója szerint elég nagy n-re K(ω)⊆Kn. Mivel Kn %U, és minden ω esetén K(ω)⊆U, ezért ha An${K⊆Kn},akkorAn%Ω.A folytonosság miatt elég ellenőrizni, hogy a T egy sűrű, megszámlálható részhalmazán az X(ω) trajektória a Kn-be képezzen. Ebből következően az An mérhető, így P(An) % 1. Következés-képpen tetszőleges ε > 0 esetén ha n elég nagy, akkor egy ε valószínűségű halmaztól eltekintveK(ω)$X(ω, T)⊆Kn,így a (Pn(X))sorozat az idő-tengely kompakt részhalmazain egyenletesen tart az F(X)folyamathoz, és ugyanez igaz az első és a második deriváltakra is. Az előző pont szerint a formula teljesül polinomokra, így a sztochasztikus és a közönséges integrá-lokra vonatkozó konvergencia tételek szerint a tétel teljesül azF ∈ C2(U) függvényre is.
Bizonyítás. Mivel egy igen fontos tételről van szó, ezért azn= 1esetre egy másik bizonyítást is bemutatunk. A bizonyítás fő előnye, hogy rávilágít az Itô-formula és a Newton–Leibniz-szabály rokonságára. LegyenF kétszer foly-tonosan deriválható, és a Newton–Leibniz-szabály bizonyításához hasonlóan tekintsük az
F(X(b))−F(X(a)) =X
k
(F(X(tk))−F(X(tk−1)))
teleszkopikus felbontást. A Newton–Leibniz-szabály bizonyításakor használt középérték tétel helyett a Taylor-formula minden ω-ra való alkalmazásával vegyük az
F(X(tk))−F(X(tk−1)) =F0(X(tk−1)) (X(tk)−X(tk−1)) + +1
2F00(ξk) (X(tk)−X(tk−1))2
azonosságot, ahol a ξk a kimenettől függő alkalmas eleme az X(tk−1)és az X(tk) által meghatározott véletlen intervallumnak. A Bolzano-tétel miatt ξk = X(ηk), ahol az ηk a [tk−1, tk] szakasz trajektóriától függő pontja. A jelölések ellenére sem aξk sem azηk nem feltétlenül valószínűségi változók, ugyanis a mérhetőségükről nem tudunk semmit. Ha a felosztást minden ha-táron túl finomítjuk, akkor az F0 folytonossága és az Itô–Stieltjes-integrál létezése miatt
X
k
F0(X(tk−1)) (X(tk)−X(tk−1))→ Z b
a
F0(X(s))dX(s).
Így a
X
k
F00(X(ηk)) (X(tk)−X(tk−1))2
összegnek is van határértéke, az egyedüli kérdés csak az, hogy ennek a ha-tárértéknek van-e valamilyen értelmes és használható reprezentálása. Mivel a konvergencia sztochasztikus értelemben értendő, ezért a határérték kiszá-molása szempontjából tetszőleges részsorozatot is vehetünk. Vegyük azt a részsorozatot, amelyre majdnem minden kimenetelre
Um(t)$X
k
∆X
t(m)k ∧t2
→[X] (t)
konvergencia az[a, b]szakasz mindentpontjában majdnem minden trajektó-riára teljesül. AzF00(X)folytonossága miatt a mértékek gyenge konvergen-ciájára vonatkozó lemma alapján17
Z b a
F00(X(s))dUm→ Z b
a
F00(X(s))d[X] (s), amiből a formula már nyilvánvalóan teljesül.
3.57. Példa. A Wiener-folyamat harmadik hatványa.
Ha w egy Wiener-folyamat, akkor az X(t) $ w3(t) folyamat várható értéke konstans módon nulla. Ennek ellenére azX nem lehet martingál, sőt nem is lehet lokális martingál, ugyanis az Itô-formula miatt
X(t) =X(t)−X(0) = 3 Z t
0
w2(s)dw(s) + 3 Z t
0
w(s)ds,
a sztochasztikus integrál rész lokális martingál, a korlátos változású második tag azonban nem nulla, és a Fisk-féle egyértelműségi tétel miatt csak akkor lehetne azX is lokális martingál, ha ez a tag nulla lenne.
3.58. Példa. Számoljuk ki azf(t)$E sin2w(t)
függvényt.
Az Itô-formula alapján
sin2w(t) = sin2w(t)−sin2w(0) = Z t
0
sin 2w(s)dw(s) + Z t
0
cos 2w(s)ds=
= Z t
0
sin 2w(s)dw(s) + Z t
0
1−2 sin2(w)ds.
17V.ö. : 3.39. Lemma, 3.39. oldal.
Várható értéket véve, kihasználva, hogy a sztochasztikus integrál rész az in-tegrandus korlátossága miatt valódi martingál, így a várható értéke nulla
f(t) =t−2 Z t
0
f(s)ds, f0(t) + 2f(t) = 1.
A lineáris differenciálegyenletet megoldva, felhasználva, hogy f(0) = 0,
f(t) = 1/2−1/2 exp (−2t).
Felmerülhet a kérdés, hogy miért folytonos lokális martingál integráto-rokra építettük fel az integrálelméletet. Miért nem csak az alkalmazásokban kiemelkedő szerepet játszó Wiener-folyamatokra. A választ a következő gyak-ran használt kritérium igazolása tartalmazza :
3.59. Tétel (Lévy-féle karakterizációs tétel). Egy L folytonos lokális mar-tingál pontosan akkor Wiener-folyamat, haL(0) = 0, és mindent időpontra [L] (t) =t.
Bizonyítás. Az egyik irány, nevezetesen, hogy ha awWiener-folyamat, akkor a kvadratikus variációja atidőpontbantegyszerűen igazolható18: Legyenw egy Wiener-folyamat és legyen
t(n)k
a [0, t] szakasz egy partíciója. Ha
∆w akkor a Wiener-folyamat definíciója alapján
E X
Awfüggetlen növekményű és a növekmények várható értéke nulla, ezért, ha a
t(n)k
felosztás finomsága nullához tart, akkor
Mivel az L2(Ω)-ban való konvergenciából következik a sztochasztikus kon-vergencia ezért awkvadratikus variációja a[0, t]szakaszon éppent.
A fordított irány igazolása az Itô-formulára épül : LegyenLegy folytonos lokális martingál. Az Itô-formula szerint, felhasználva, hogyL(0) = 0
exp(iuL(t))−1 =iu Z t
0
exp(iuL(s))dL(s)−1 2u2
Z t 0
exp(iuL(s))d[L] (s). Komplex függvényekre az Itô-formulát nem igazoltuk, de ha vesszük külön-külön azexp (iux)valós és komplex részét, akkor a fenti formula teljesülése azonnal evidens. Azexp(iuL)korlátos, így felhasználva, hogy azL kvadrati-kus variációjat,a martingálkritérium miatt a sztochasztikus integrál valódi martingál. A két oldalon várható értéket véve és a Fubini-tétel alapján az integrálokat megcserélve
E(exp(iuL(t)))−1 =−1 2u2E
Z t 0
exp(iuL(s))ds
=
=−1 2u2
Z t 0
E(exp(iuL(s)))ds.
Ha bevezetjük aϕ(u, t)$E(exp(iuL(t)))jelölést, akkor ez ϕ(u, t)−1 =−1
2u2 Z t
0
ϕ(u, s)ds.
tszerint deriválva
dϕ(u, t) dt =−1
2u2ϕ(u, t). A differenciálegyenletet megoldva tetszőlegesu-ra
ϕ(u, t) = exp
−1 2u2t
.
A normális eloszlás Fourier-transzformáltjának képletét felhasználva azL(t) eloszlása éppen N 0,√
t
. A gondolatmenetet az újraindított folyamatra alkalmazva ebből könnyen belátható, hogy a növekmények eloszlása N 0,√
t−s
, vagyis a folyamat stacionárius növekményű. Ebből azonban még nem következik, hogy a folyamat Wiener-folyamat, ugyanis nem tudjuk, hogy a növekmények függetlenek vagy sem. A szórásokra vonatkozó képletből belátható, hogy a növekmények korrelálatlanok, ugyanis teljesül a
D2(L(t+s)) =t+s=D2(L(t)) +D2(L(s)).
Sajnos azonban normális eloszlású változók korrelálatlansága csak akkor imp-likálja a függetlenséget, ha az együttes eloszlás is normális, ezért még nem
értünk célba. Írjuk fel azLexponenciális martingálját :
Mivel [L] (t) = t az Itô-formulával azonnal látható, hogy a kifejezés lokális martingál. Általában tetszőlegesLfolytonos lokális martingál esetén az
Z$exp
L−1 2[L]
kifejezés lokális martingál : Az exponenciális függvény deriválási szabályát kihasználva
amely kifejezés egy lokális martingál szerint sztochasztikus integrál, vagyis lokális martingál. Vegyük észre, hogy felhasználtuk, hogy a véges változású folytonos folyamatokat tartalmazó kifejezések keresztvariációja nulla19, ezért
Nyilván tetszőlegesz-re az
exp
is lokális martingál. A jelen példában az=iuhelyettesítéssel kapjuk az exp
iuL(t) +1 2u2t
kifejezést. Mivel ez minden véges szakaszon korlátos, ezért nem csak lokális, hanem valódi martingál is, ezért has < t, akkor
E
Ezt átrendezve
E(exp (iu(L(t)−L(s)))| Fs) = exp
−1
2u2(t−s)
. A feltételes várható érték definícióját felírva mindenF∈ Fs halmazra
Z
F
exp (iu(L(t)−L(s)))dP= Z
F
exp
−1
2u2(t−s)
dP=
=P(F) exp
−1
2u2(t−s)
. Az egyenlőséget azF = Ωesetben alkalmazva
E(exp (iu(L(t)−L(s)))) = exp
−1
2u2(t−s)
, így
Z
F
exp (iu(L(t)−L(s)))dP=P(F)·E(exp (iu(L(t)−L(s)))). A monoton osztály tétel segítségével azexp (iux)helyébe tetszőleges Borel-mérhető halmaz karakterisztikus függvénye írható, így
P({L(t)−L(s)∈B} ∩F) =P(F)·P({L(t)−L(s)∈B}) vagyis azFsσ-algebra és azL(t)−L(s)növekmények függetlenek, vagyis az Lfüggetlen növekményű.
A Lévy-féle karakterizációs tétel számtalan alkalmazása közül példaként tekintsük a következőt :
3.60. Tétel (Tükrözési elv). Ha w Wiener-folyamat, akkor tetszőleges τ megállási időre a
wb(t, ω)$
w(t, ω), ha t≤τ(ω)
2w(τ(ω), ω)−w(t, ω), ha t > τ(ω)
aτ megállási időpontban „tükrözött” folyamat szintén Wiener-folyamat.
Bizonyítás. Evidens módonwb(0) = 0 és awb folytonos. Ugyancsak nyilván-való módonwb= 2wτ−w.Ebből következően a wb lokális martingál, ugyanis lokális martingálok összege.
[w] = [2wb τ−w] = [2wτ]−2·[2wτ, w] + [w] =
= 4 [w]τ−4 [w, w]τ+ [w] = [w].
Így a Lévy-féle karakterizációs tétel szerint awbWiener-folyamat.
3.61. Példa. AzX(t)$Rt
0sign (w(s))dw(s)integrál Wiener-folyamat20. A sztochasztikus analízis irodalomban asign (x)jelölésen a
sign (x)$
−1, ha x≤0 1, ha x >0
balról folytonos függvényt szokás érteni. A polaritási formula szerint [X] (t) =
Z t 0
(sign (w(s)))2ds=t,
így a Lévy-féle karakterizációs tétel alapján azX Wiener-folyamat.
Gyakran szokás hivatkozni a következőre :
3.62. Állítás. Ha n ≥ 2, akkor egy x6=0 pontból elindított n-dimenziós Wiener-folyamat majdnem minden kimenetelre nem veszi fel a nulla értéket.
Bizonyítás. Nyilván elegendő az állítástn= 2 esetén igazolni.
1. Először egy általános észrevételt érdemes tenni. Tegyük fel, hogy az U ⊆Rn nyílt halmazon értelmezettf ∈C2(U)függvény kielégíti a
∆f $
n
X
k=1
∂2f
∂x2i = 0 (3.18)
Laplace-egyenletet. Legyen τ megállási idő. Ha az x pontból elindított w n-dimenziós Wiener-folyamatra wτ az U halmazon belül marad, akkor az Itô-formula alapján
f(wτ)−f(x) =
n
X
k=1
∂f
∂xk (wτ)•wτk+1 2
X
i
X
j
∂2f
∂xi∂xj(wτ)• wiτ, wjτ
. Mivel ha i6= j, akkor a wi és a wj a többdimenziós Wiener-folyamat defi-níciója miatt független, ezért ilyenkor[wi, wj] = 0.Ezért a∆f = 0feltételt felhasználva
f(wτ)−f(x) =
n
X
k=1
∂f
∂xk(wτ)•wτk. (3.19) Tegyük fel, hogyτ <∞és a w a [0, τ] véletlen szakaszon egyenletesen kor-látos. Ilyenkor a fenti (3.19) sorban szereplő integrandusok korlátosak, tehát
20A példa némiképpen korai, ugyanis asign (w)folyamat nem balról reguláris, így az integrál Itô–Stieltjes értelemben nem létezik.
a sztochasztikus integrálok martingálok lesznek. A megállási opciókról szóló tétel alapján tetszőlegesT <∞időpontra
E(f(w(T∧τ))) =E(f(x)) =f(x). A korlátosság miatt haT → ∞, akkor
E(f(w(τ))) =f(x). (3.20)
2. Az állítás a fenti (3.20) sorban szereplő Dinkin-formulának nevezett összefüggésből elemi számolással már könnyen igazolható : Egyszerű derivá-lással azonnal belátható, hogy han= 2, akkor az
f(x1, x2)$log q
x21+x22
= logkxk
függvény azU $R2\ {0}nyílt halmazon kielégíti a Laplace-egyenletet.
3. Tegyük fel, hogy azkxka 0< r < R <∞ sugarak közé esik. Wiener–
folyamatok trajektóriái a t ≥ 0 félegyenesen majdnem minden kimenetelre nem korlátosak és minden kimenetelre folytonosak, ezért a külső körből aw egy valószínűséggel kilép. A kérdés csak az, hogy a belső vagy a külső határon fogja-e a folyamat a
B(r, R)${u|r≤ kuk ≤R}
gyűrűt előbb elhagyni. Jelölje A(r, R) azokat a kimeneteleket, amikor be-lül lép ki a folyamat. A Dinkin-formula szerint, felhasználva, hogy a kilépés pillanatában a folyamat vagy a belső vagy a külső körön van
logkxk=P(A(r, R)) logr+ (1−P(A(r, R))) logR, amiből
P(A(r, R)) = logkxk −logR logr−logR . Ha adottR mellettr&0, akkor
r&0lim
logkxk −logR logr−logR = 0.
Tegyük fel, hogy awpozitív valószínűséggel lesz nulla. Jelöljük ezt a halmaz A-val. A 0pontot elérő trajektóriák mindegyike azx és a 0pontok között eltelt időben külön-külön korlátos. JelöljeAnazAazon részhalmazát, ahol ez a korlátn. NyilvánAn%A. Ebből következően létezik olyan Rszám, hogy az A pozitív valószínűségű AR részhalmazán a trajektóriák az x és a nulla között határozottan kisebbek mintR. Így ezen elegendő nagyResetén pozitív valószínűséggel a nullába érkező trajektóriák belül lépnek ki az összesB(r, R) gyűrűből, ami lehetetlen ugyanis ha r1 < r2, akkor A(r1, R) ⊆ A(r2, R), ezértP(∩nA(1/n, R)) = 0.
Az Itô-formula számtalan alkalmazása közül további példaként tekintsünk egyet, a Tyihonov-féle egyértelműségi tétel igazolását :
3.63. Tétel. Tegyük fel, hogy azu(t, x)függvény valamely[0, T)szakaszon, aT =∞ megengedett, folytonos megoldása a
∂u
növekedési feltételnek, ahol c > 0 és K > 0 előre adott konstansok, akkor u≡0.
Bizonyítás. Értelemszerűen azufolytonossága azt jelenti, hogy azu folyto-nos a[0, T)×Rhalmazon. A deriváltak létezését és az egyenlet teljesülését természetesen csak a (0, T)×R halmazon követeljük meg. Az Itô-formula bizonyítása során könnyen ellenőrizhető, hogy ha a formulában szereplő va-lamelyik folyamat trajektóriái korlátos változásúak akkor ezen folyamattal való keresztvariációkat tartalmazó tagok nullák, és ilyenkor nem szükséges az adott változó szerinti második deriváltak létezése. Mivel az umegoldása az egyenletnek ezért a megoldás definíciója szerint az első változó szerint egyszer a második változó szerint kétszer folytonosan deriválható, így az Itô-formula alább következő alkalmazása megengedett. Rögzítsük at >0és azxértékét.
Vezessük be a v(s, y) $u(t−s, y) függvényt. Legyen w egy az x pontból elindított Wiener-folyamat. Az Itô-formula szerint
−u(t, x) =−v(0, w(0)) = 0−v(0, w(0)) =v(t, w(t))−v(0, w(0)) =
ahol kihasználtuk, hogy[w] (s) = s, valamint az u kielégíti a parciális dif-ferenciálegyenletet, illetve hogy az u folytonos, ugyanis az Itô-formula a v függvényre csak a0< s < ttartományon használható, de a feltételezett foly-tonosság és a sztochasztikus integrálok folyfoly-tonossága miatt az utolsó egyen-lőség a t és a nulla időpontokban is érvényben marad. A bizonyításban az egyetlen gondot az jelenti, hogy nem tudjuk, hogy a sztochasztikus integrál martingál lesz vagy sem. Amennyiben tudnánk, hogy martingál, akkor a két
oldalon várható értéket véve és kihasználva, hogy a martingálok tartják a várható értéketu(t, x) = 0,amit éppen igazolni szeretnénk.
Ezt azonban nem tudjuk21, ezért némiképpen ügyeskedni kell. Válasszunk egyn >|x|értéket és legyenσn az első olyan időpont, ahol a|w|átlépi azn szintet. Aσn időpontban a
v(t, w(t))−v(0, w(0)) = Z t
0
∂v
∂xdw
egyenlőségben szereplő folyamatokat megállítva, és várható értéket véve E(v(σn∧t, w(σn∧t)))−E(v(0, w(0))) =
=E(v(σn∧t, w(σn∧t)))−u(t, x) =
=E
Z σn∧t 0
∂v
∂x(s, w(s))dw
=E Z t
0
∂v
∂x(s, w(s))χ([0, σn])dw
= 0, ugyanis a sztochasztikus integrálban az integrandus korlátos, így a sztochasz-tikus integrál a martingálkritérium miatt martingál. Haσn≥t,akkor
u(t−σn∧t, w(σn∧t)) =u(0, w(σn∧t)) = 0.
A növekedési feltételt a{σn< t}halmazon felhasználva
|u(t, x)|=|E(v(σn∧t, w(σn∧t)))|=
=|E(u(t−σn∧t, w(σn∧t)))| ≤
≤E(|u(t−σn∧t, w(σn∧t))|)≤
≤Kexp c·n2
P(σn< t).
Jelölje τa valamely a nulla pontból elindított Wiener-folyamat szintátlépési idejét. Miként a bevezetőben a (3.4) sorban megjegyeztük aτa rendelkezik
f(u) = |a|
√
2πu3exp
−a2 2u
sűrűségfüggvénnyel. Attól függően, hogy hol lép ki awaz{|u| ≤n} interval-lumból a{σn < t}esemény felbontható két részre. A két esemény tekinthető egy nulla pontból elindított valamely Wiener-folyamata=±n−x szintátlé-pési idejének. A
P(σn < t)≤P(τn−x< t) +P(τ−n−x< t)
21A martingál kritérium használatához a ∂v/∂xderivált növekedésére kell feltételt tenni, mi pedig a függvény növekedésére tettünk feltételt.
becslést beírva
(±n−x)2/uhelyettesítést végezve az integrálok
√2 alakba írhatók. Vegyük észre, hogy mindenα >0 esetén
Z ∞ [0,1/2c]időtartományon minden x-re nulla. Ezt követően a bizonyítást meg-ismételhetjük at= 1/(2c)időpontból kiindulva és megmutathatjuk, hogy az u(t, x)nulla a[0,2/2c]időtartományon. Az eljárást folytatva belátható, hogy tetszőlegesk-ra azunulla a [0, k/(2c)]időtartományon, vagyis azuminden 0< t < T esetén nulla.