sztochasztikus folyamatok elméletéből
3.4. Girszanov-tétel
3.4.3. Egy érdekes ellenpélda
Has→0,akkor
s→0limexp
−sτa(µ)
= (
0, ha τa(µ)=∞ 1, ha τa(µ)<∞ . A majorált konvergencia tétel szerint
P
τa(µ)<∞
= exp (µa− |µa|), (3.24) amely szerint egyµ drifttel rendelkező Wiener-folyamat pontosan akkor éri el majdnem minden kimenetelre azaértéket, ha azaés aµelőjele azonos.
3.4.3. Egy érdekes ellenpélda
Ebben az alpontban a lokálisan ekvivalens mértékcserére és így a sztochasz-tikus analízis alapjaira, illetve a nullmértékű halmazok drámai szerepére rá-világító egyik legnevezetesebb példát tárgyaljuk.
3.81. Példa. Lokálisan ekvivalens mértékcsere és a Wiener-folyamatok.
Legyenw egy Wiener-folyamat és tekintsük a wb(t)$w(t)−µ·t folya-matot, aholµ6= 0.Ilyenkor a
Λ (t)$exp
µw(t)−1 2µ2t
egy pozitív martingál. De aΛ nem egyenletesen integrálható, vagyis a T =
=∞időpontra nem terjeszthető ki martingálként, ugyanisΛ (∞) = 0! Alább megmutatjuk, hogy az(Ω,A)$(C(R+),B(C(R+)))téren aΛ-hoz tartozik egyQvalószínűségi mérték, amely lokálisan ekvivalens aP-vel és amely alatt a wb Wiener-folyamat. A Q mérték természetesen az egyesQ(t) mértékek közös kiterjesztéseként írható fel. Természetesen igazolni kell, hogy ilyen közös kiterjesztés létezik. Ugyanakkor ha ilyen Q van, akkor a Pés Q egymásra szingulárisak : A nagy számok törvénye miatt majdnem mindenhol aPalatt
t→∞lim wb(t)
t = lim
t→∞
w(t)−µt t =−µ,
illetve majdnem mindenhol aQalatt
t→∞lim wb(t)
t = 0.
Ebből következően van olyanA∈ F∞=σ(∪tFt)halmaz, amelyreP(A) = 0
ésQ(A) = 1.
A Q mérték létezésének igazolásához a(C(R+),Bt) tereken értelmezett Q(t)mértékek közös kiterjesztésének létezését kell igazolni. Mivel a Λ mar-tingál, ezért has < t, akkor mindenA∈ Bs esetén
Q(t) (A) = Z
A
Λ (t)dP= Z
A
Λ (s)dP=Q(s) (A),
vagyis aQ(t)leszűkítése aBs-re éppen aQ(s),így aQegyértelműen defini-álható azA$∪tBs algebrán. A Caratheodory-tétel alapján aQlétezéséhez elég belátni, hogy aQσ-additív azAalgebrán. Az algebrán valóσ-additivitás igazolásához szükséges közismert eredmények a következőek :
3.82. Definíció. AzX halmaz részhalmazaiból állóKcsaládot σ-kompakt-nak24 mondunk, ha valahányszor egyKn ∈ Ksorozatra∩∞n=1Kn =∅, mind-annyiszor található olyanN index, hogy a∩Nn=1Kn=∅is teljesül.
3.83. Példa. Egy topologikus tér kompakt halmazai σ-kompakt családot alkotnak.
3.84. Példa. Teljes szeparábilis metrikus térσ-kompakt bázisa.
LegyenXteljes, szeparábilis metrikus tér, és legyenSazX mindenhol sű-rű, megszámlálható részhalmaza. Mindenn-re azsn ∈S pont körül vegyük aB(sn,1/k), k≥nzárt gömböket. Az így kapott megszámlálható gömbből álló halmaz legyen K. Mivel egy adott n indexre csak az 1/k ≤ 1/n suga-rú gömböket vettük figyelembe, ezért világos, hogy tetszőleges ε >0 esetén a B(sn,1/k) gömbök közül csak véges sok sugara nagyobb, mintε. Legyen (Kn)aKegy sorozata. Ha mindenm-re a∩mn=1Kn6=∅,akkor mindenxm∈
∈ ∩mn=1Knsorozat Cauchy-sorozat, ezért konvergens, így a határértéke eleme a ∩∞n=1Kn halmaznak, amely így nem lehet üres. Mivel aK az X nyílt hal-mazainak megszámlálható bázisa, ezértσ(K) =B(X). 3.85. Definíció. AzAhalmazrendszeren értelmezettµfüggvényt aK ⊆ A rendszerre nézve belülről regulárisnak mondjuk, ha mindenA∈ Aesetén
µ(A) = sup{µ(K)|K∈ K, K ⊆A}. (3.25)
24Nem keverendő össze aσ-kompakt halmazzal, amely egy topologikus tér olyan X halmaza, amelyre X = ∪∞n=1Kn,ahol a Kn kompakt. Szokásos elnevezés még a szemikompakt halmaz család.
3.86. Állítás (Kompakt regularitás és kiterjeszthetőség). Legyen az A hal-mazcsalád algebra, µ:A → R+ végesen additív, véges értékeket felvevő hal-mazfüggvény, K ⊆ Aσ-kompakt család. Ha a µbelülről K-reguláris az A-n, akkor aµ halmazfüggvényσ-additív az Aalgebrán.
Bizonyítás. Mivel aµvéges, ezért aσ-additivitáshoz elég megmutatni, hogy ha An & ∅, akkor µ(An) & 0. Tegyük fel, hogy limn→∞µ(An) ≥ 2ε. A (3.25) és aµ(An)végessége miatt, mindenn-re van olyanKn⊆An,hogy
µ(An)−µ(Kn) =µ(An\Kn)≤ ε 2n. Ebből aµelemi tulajdonságai alapján tetszőlegesn-re
µ(An\ ∩ni=1Ki)≤µ(∪ni=1(Ai\Ki))≤
n
X
i=1
µ(Ai\Ki)≤ε
∞
X
i=1
1 2i =ε.
Mivel An & ∅, ezért ∩ni=1Ki & ∅, amiből a σ-kompaktság miatt alkalmas N-re ∩Ni=1Ki=∅,tehát
ε≥µ AN\ ∩Ni=1Ki
=µ(AN)≥2ε, ami lehetetlen.
3.87. Definíció. Emlékeztetünk, hogy egy topologikus téren értelmezettµ mértékre nézve egyAmérhető halmaz reguláris, ha tetszőlegesε >0esetén van olyan G nyílt és F zárt halmaz, hogy egyrészt F ⊆ A ⊆ G, másrészt µ(G\F) < ε. (Hallgatólagosan feltesszük, hogy a G és az F mérhető.) Ha a regularitás definíciójában szereplőF zárt halmaz választható kompaktnak, akkor az A halmazt kompakt regulárisnak mondjuk. Ha a minden mérhe-tő halmaz (kompakt) reguláris, akkor a µmértéket (kompakt) regulárisnak mondjuk.
3.88. Állítás. Legyen (X,A, µ)véges mértéktér.
1. Ha X topologikus tér, akkor a reguláris halmazok σ-algebrát alkotnak.
2. Ha a Baire-halmazok mérhetőek, akkor regulárisak. Speciálisan, ha X metrikus tér, és az A tartalmazza a nyílt halmazokat, akkor minden Borel-halmaz reguláris.
3. Ha X teljes, szeparábilis metrikus tér, akkor aµ kompakt reguláris.
Bizonyítás. A bizonyítást több egymásra épülő lépésre bontjuk.
1. Első lépésben belátjuk, hogy ha az alaptér mértéke véges, akkor a regu-láris halmazok tetszőleges topologikus tér eseténσ-algebrát alkotnak. Mivel
azX és az∅ halmazok nyíltak is, meg zártak is egyszerre, ezért regulárisak.
HaRreguláris halmaz, akkor mindenε >0számra léteznek olyanGnyílt és F zárt halmazok, hogy
F ⊆R⊆G és µ(G\F)< ε.
Mivel azFc nyílt és aGc zárt halmazokraGc⊆Rc ⊆Fc és µ(Fc\Gc) =µ(Fc∩(Gc)c) =µ(Fc∩G) =µ(G\F)< ε,
ezért azRc is reguláris. Meg kell még mutatni, hogy ha az(Rn)∞n=1 halmaz sorozat minden eleme reguláris, akkor az ∪∞n=1Rn halmaz is reguláris. Min-den n indexre legyenek Fn ⊆ Rn ⊆ Gn olyan zárt, illetve nyílt halmazok, hogy µ(Gn\Fn)≤ ε/2n+1. A Bn $ ∪nk=1Fk halmazok monoton nőnek, és az egyesítésük ∪∞k=1Fk, ezért (∪∞k=1Fk)\Bn & ∅. Mivel a µ véges, ezért µ((∪∞k=1Fk)\Bn)& 0, tehát elég nagy n-re µ((∪∞k=1Fk)\Bn) ≤ ε/2. Vi-lágos, hogy Bn $ ∪nk=1Fk ⊆ ∪∞k=1Rk ⊆ ∪∞k=1Gk, ahol a Bn halmaz zárt a
∪∞k=1Gk halmaz pedig nyílt. Mivel∪∞k=1Gk\ ∪∞k=1Fk⊆ ∪∞k=1(Gk\Fk)ezért µ(∪∞k=1Gk\Bn) =µ(∪∞k=1Gk\ ∪∞k=1Fk) +µ(∪∞k=1Fk\Bn)≤
≤µ(∪∞k=1(Gk\Fk)) +ε 2 ≤
∞
X
k=1
ε 2k+1 +ε
2 =ε, ami alapján az∪∞n=1Rn is reguláris, vagyis az első állítást beláttuk.
2. A Baire-halmazokra vonatkozó megjegyzés igazolása a következő : Legyen f folytonos függvény. Ha F az R egy zárt részhalmaza, akkor az f−1(F) halmaz zárt, tehát evidens módon belülről reguláris. Ugyanakkor mivel f−1(F) = f−1(∩nGn) = ∩nf−1(Gn), ahol a Gn & F halmazok nyíltak, a mérték végessége miatt azf−1(F)kivülről is reguláris. Mivel a re-guláris halmazokσ-algebrát alkotnak, ezért azf−1(F)alakú halmazok által generáltσ-algebra minden eleme reguláris, és mivel azf−1(F)alakú halma-zok generálják a Baire-halmahalma-zokat, ezért minden Baire-halmaz is reguláris.
Ha azX metrikus tér, akkor a Baire és a Borel-halmazok egybeesnek, tehát ilyenkor minden Borel-halmaz is reguláris.
3. Hátravan még annak igazolása, hogy ha azXteljes szeparábilis metrikus tér, akkor azF zárt halmaz választható kompaktnak. Ennek belátásához ele-gendő megmutatni, hogy mindenF zárt halmazhoz és mindenε >0számhoz létezik olyanK⊆F kompakt halmaz, hogy
µ(F\K)< ε. (3.26)
Az állítást először azX alaphalmazra látjuk be. Mivel azXszeparábilis met-rikus tér, ezért mindenktermészetes számhoz létezik megszámlálható sok1/k
sugarú, zártBn(k) gömb, hogyX =∪nB(k)n . Mivel a mérték véges, ezért ele-gendően sok, de azért végesmk számú zárt gömb eseténµ
X\ ∪ms=1kBs(k)
=
=µ
∪ms=1kBs(k)
c
< ε/2k. Legyen K$∩∞k=1
∪ms=1kB(k)s
. Világos, hogy a Kzárt és mindenkesetén létezik benne véges1/ksugarúε-háló25. Mivel az X teljes metrikus tér, ezért aK kompakt26. De
µ(X\K) =µ X\
∩∞k=1∪ms=1kBs(k)
=µ
∪∞k=1
∪ms=1kB(k)s c
≤
≤
∞
X
k=1
µ
∪ms=1kBs(k)c
<
∞
X
k=1
ε 2k ≤ε,
ami éppen a (3.26). Mivel azX minden F zárt részhalmaza, maga is teljes szeparábilis metrikus tér, ezért a bizonyítás utolsó részét megismételhetjük az(F,AF, µF)leszűkített mértéktérre. Ez alapján mindenF zárt halmazhoz létezik olyanK⊆F,amelyre fennáll (3.26).
AQmérték létezésének bizonyítása. Tetszőleges A ∈ A $ ∪sBs -ről felte-hető, hogy alkalmas s időpontra A ∈ Bs. A (C(R+),Bs) azonosítható a (C([0, s]),B(C([0, s])))mérhető térrel. Mivel ez egy teljes szeparábilis met-rikus tér, ezért ezen a téren értelmezett véges mértékek belülről kompakt regulárisak. AQlétezésének igazolásához elegendő azt megmutatni, hogy a C(R+)kompakt tartójú cilinderhalmazai, vagyis aC(R+)olyan részhalma-zainak családja, amelyekhez van olyan[0, n]és aC([0, n])olyanKkompakt részhalmaza, amelyre a halmaz
n
f ∈C(R+)| f|[0,n]∈Ko
alakúσ-kompakt családot alkotnak. Mivel ez a család metszet zárt, elég meg-mutatni, hogy ha valamelyKn−1⊇Kn⊇. . .sorozat tagjai nem üresek, akkor a metszetük sem üres. Legyen most fn ∈Kn. A tartalmazás miatt az (fn) sorozat leszűkítése aK1-hez tartozó időtartományra kompakt, így egy alkal-mas részsorozata konvergens. Ha most áttérünk aK2halmazra, akkor ennek a részsorozatnak van olyan további részsorozata, amely szintén konvergál, de már aK2-höz tartozó időtartományon is. Az eljárást folytatva, majd átlósan újabb részsorozatot választva egy olyan(fnk) részsorozathoz jutunk, amely az összesKn-hez tartozó időszakaszon konvergál. Három eset lehetséges : ha az időtartományoknak nincsen felső határa, akkor a sorozat határértéke az
25AzAhalmaz aBhalmazε-hálója, ha minden b∈Bponthoz létezik olyana∈A, hogy azapont és abtávolsága nem nagyobb mintε.
26Felhasználtuk a kompaktságra vonatkozó Hausdorff-kritériumot, amely szerint egy teljes metrikus térben egy zártK halmaz pontosan akkor kompakt, ha tetszőleges ε >0számhoz a halmaznak van véges elemszámúε-hálója.
összesKn-be beleesik, vagyis a metszet nem üres. Ha ilyen felső korlát van, akkor az intervallumok hosszának van egyNszupremuma. Ezen belül két eset lehetséges. Ha a szuprémum felvevődik, akkor valójában van egy olyan kom-pakt halmaz, hogy az összesfn a halmazhoz tartozó szakaszon konvergál. A függvényeket azN pontban kimerevítve az egész számegyenesen konvergens sorozatot kapunk, amely határértéke része a metszetnek. Ha a szuprémum nem vevődik fel, akkor az összes intervallum határozottan kisebb, mint azN, és ezért az egyesfn függvények választhatók oly módon, hogy például az N pontban nulla értéket vegyenek fel.