• Nem Talált Eredményt

Lokálisan ekvivalens mértékcsere

In document Pénzügyi matematika (Pldal 133-141)

sztochasztikus folyamatok elméletéből

3.4. Girszanov-tétel

3.4.1. Lokálisan ekvivalens mértékcsere

Ha aQmérték abszolút folytonos aP-re nézve, akkor tekinthetjük adQ/dP deriváltat. Emlékeztetünk, hogy a derivált definíciója alapján

Q(A) = Z

A

dQ dPdP.

A derivált definíciója alapján haslépcsős függvény, akkor Z

sdQ= Z

X

i

ciχAidQ=X

i

ciQ(Ai) =

=X

i

ci

Z

Ai

dQ dPdP=

Z

sdQ dPdP.

Mivel a derivált nem negatív, a monoton konvergencia tétel segítségével az egyenlőség igazolható akkor is, has tetszőleges nem negatív mérhető függ-vény. Ebből következően az integrál definíciója alapján az egyenlőség átvi-hető tetszőleges mérátvi-hető függvényre, ahol a két oldalon szereplő két integ-rál egyidejűleg létezik, illetve nem létezik. Az elmondottakból világos, hogy amennyiben a dQ/dPderivált korlátos, akkor azLp(Ω) terek a két mérték alatt megegyeznek. Ha azonban a derivált nem korlátos, akkor a két mérték alatt az integrálható függvények halmaza különböző lehet. Az alábbiakban a derivált korlátossága nem garantálható.

3.64. Definíció. Két mértéket ekvivalensnek mondunk, ha a nullmértékű halmazok a két mérték alatt megegyeznek. Nyilvánvaló, hogy két mérték pon-tosan akkor ekvivalens, ha létezik és pozitív a derivált.

Ekvivalens mértékek esetén a majdnem mindenhol való konvergens soro-zatok halmaza triviálisan megegyezik. Emlékeztetünk, hogy a sztochasztikus konvergencia metrizálható és valamely(ξn)sorozat pontosan akkor tart szto-chasztikusan egy ξ változóhoz, ha a (ξn) összes részsorozatának van olyan további részsorozata, amely majdnem mindenhol aξ-hez tart. Ebből követ-kezik, hogy a sztochasztikus konvergencia, szintén invariáns az ekvivalens mértékcserére nézve. Ez és a sztochasztikus konvergencia metrizálhatósága miatt a sztochasztikus konvergenciát megadó metrikus tér által generált to-pológia szintén invariáns az ekvivalens mértékcserére. Formálisan : ha aPés Qmértékek ekvivalensek akkor az L0(Ω,A,P)és az L0(Ω,A,Q)metrikus terek mint topológikus terek megegyeznek. Mivel a sztochasztikus analízis té-nyei nagyrészt azL0tér topológiájára és nem a topológiát megadó metrikára épülnek, nem túl meglepő módon a sztochasztikus analízis jórészt „invariáns”

az ekvivalens mértékcserére. Az úgynevezett Girszanov-tétellel ezt az „álta-lános elvet” fogalmazzuk meg konkrét állítások formájában. Ez persze egy

„meta” állítás, ugyanis nem világos, hogy miért azL0 és nem például azL1 terek topológiájától függ a sztochasztikus analízis. Az világos, hogy, miként az analízisben általában, nem a konkrét metrika, hanem a generált topológia fontos.

Ha azF filtráció teljesíti a szokásos feltételeket, akkor evidens módon a Λ (t)$E

dQ dP|Ft

folyamat egyenletesen integrálható martingál, és az Z

F

Λ (t)dP= Z

F

dQ

dPdP=Q(F), F ∈ Ft

miatt aΛ (t)éppen aQRadon–Nikodym-deriváltja az(Ω,Ft,P)téren. Cél-szerű némiképpen általánosabban szemlélni a problémát. Tegyük fel, hogy minden t-re a Q mérték Ft-re való leszűkítése, amit Q(t)-vel jelölünk, ab-szolút folytonos aPFt-re valóP(t)leszűkítésére nézve, akkor beszélhetünk aΛ (t)$dQ(t)/dP(t)deriváltakról. HaF ∈ Fs⊆ Ft,akkor

Z

F

Λ (t)dP$ Z

F

dQ(t)

dP(t)dP=Q(F) = Z

F

dQ(s) dP(s)dP$

Z

F

Λ (s)dP, ezért aΛlogikai martingál. Mivel feltesszük, hogy azFteljesíti a szokásos fel-tételeket, illetve mivel a Radon–Nikodym-deriváltak ekvivalencia osztályok, feltehető, hogy aΛmartingál. Van azonban itt egy apró technikai probléma. A szokásos feltételek miatt az összes olyanN halmaz, amelyreP(N) = 0része a filtráció összesFt σ-algebrájának. Ebből következően ilyenkor Q(N) = 0 is vagyis a Q abszolút folytonos a P-re nézve. Vagyis a szokásos feltételek teljesülése esetén a lokálisan abszolút folytonos, vagy a lokálisan ekvivalens mértékcsere fogalma értelmetlen, ugyanis egybeesik az abszolút folytonos és az ekvivalens mértékcserével. Ennek oka azonban az, hogy a szokásos fel-tételek definiálásakor némiképpen túl nagyvonalúan bántunk a nullmértékű halmazokkal. Több megoldás is kínálkozik : Vagy átgondoljuk a nullmértékű halmazok szerepét és a szokásos feltételek definícióját, vagy nem vezetjük be a lokálisan ekvivalens mértékcsere fogalmát, vagy csak a P(t) és Q(t) mértékcsaládok ekvivalenciájáról beszélünk. Mindegyiknek megvan a maga előnye, bár az utóbbi kettő esetén nem igazán nézünk szembe a problémával és ezzel inkább csak zavart okozunk, mint megmagyarázzuk a nehézségeket.

Ahhoz, hogy megmagyarázzuk a problémát vissza kell térnünk a sztochasz-tikus analízis alapjaihoz. Induljunk ki az alapproblémából. Mikor tekintsünk két folyamatot azonosnak ? Természetesen akkor, ha a trajektóriái majdnem mindenhol azonosak. Ugyanakkor ezt mindig úgy biztosítjuk, hogy garantál-juk, hogy a trajektóriák az időtengely egy sűrű részhalmazán megegyeznek,

vagy megmutatjuk azt, hogy az időtengely bármely véges szakaszán majd-nem mindenhol megegyeznek. Ehhez azonban majd-nem szükséges az Atér vagy az F0 $ σ Ft0, t≥0

összes nullmértékű részhalmazát hozzácsapni a filt-rációhoz. Elegendő azt feltenni, hogy ha valamely N nullmértékű halmaz valamilyen Ft, ahol t véges, esetén eleme az Ft σ-algebrának, akkor min-den mást-re is eleme a filtrációban levőσ-algebráknak. Ha például tekintjük az F0 generált filtrációt és valamely N ∈ Ft0 nullmértékű, akkor elegen-dő megkövetelni, hogy azN legyen eleme a kiterjesztett filtrációhoz tartozó F0 σ-algebrának. Miként majd alább az ellenpélda tárgyalásakor látni fog-juk, valójában két fajta nullmértékű halmaz van. A nullmértékű halmazok egy része olyan, hogy csak azF$σ(Ft, t≥0)családban van benne. Ilyen például az a nullmértékű halmaz, amelyen kívűl a nagyszámok törvényében a trajektória valóban konvergens. A nullmértékű halmazok másik családja, amit nevezhetünk lokálisan nullmértékű halmazoknak pedig olyanok, hogy véges időtartományon megfigyelve a halmaz bekövetkezése eldönthető. A szokásos feltételeket némiképpen átfogalmazhatjuk és megkövetelhetjük a következőt : 3.65. Definíció(A szokásos feltételek módosított definíciója). Azt mondjuk, hogy az (Ω,A,(Fs),P) sztochasztikus alaptér lokálisan teljesíti a szokásos feltételeket, ha minden t < ∞ esetén az

Ω,A,(Fs)s≤t,P

alaptér a [0, t]

időtartományon teljesíti a szokásos feltételeket a korábbi definíció szerint.

Fontos hangsúlyozni, hogy ha a P és a Q ekvivalensek, akkor a Λ mar-tingál egyenletesen integrálható, ugyanis Λ (t) $ E(dQ/dP|Ft) alakú. Ha azonban a szokásos feltételeket lokálisan értjük, akkor elképzelhető, hogy van olyan P ésQ, hogy csak mindent-re az Ft σ-algebrákra való leszűkítésük lesz abszolút folytonos, vagy ekvivalens. A Λ martingál ilyenkor is létezik, de a Λ martingál nem feltétlenül lesz egyenletesen integrálható, ezért nem feltétlenül van olyanΛ (∞), amelyre Λ (t) = E(Λ (∞)| Ft). Vegyük észre, hogy a lokálisan vett szokásos feltételek esetén, a nullmértékű halmazokra tett feltétel alapján elképzelhető, hogy a Q és a P ekvivalens bármely Ft esetén, deQés aPnem ekvivalens azF=σ(∪tFt)σ-algebrán.

3.66. Definíció. Ha minden t-re a P Ft-re való leszűkítése ekvivalens a QFt-re való leszűkítésével, akkor azt mondjuk, hogy a Pés a Q lokálisan ekvivalensek.

3.67. Definíció. A Λ (t) $ dQ(t)/dP(t) folyamatot a Q és P Radon–

Nikodym-folyamatának mondjuk.

Az elmondottakat a következő állításban foglalhatjuk össze :

3.68. Tétel. APésQmértékek pontosan akkor lokálisan ekvivalensek, ha a Λ Radon–Nikodym-folyamatuk pozitív martingál. APés Qmértékek ponto-san akkor ekvivalensek az(Ω,F)mérhető téren, ha aΛpozitív, egyenletesen integrálható martingál.

Bizonyítás. A már elmondottak után csak azt kell belátni, hogy ha aΛ>0 egyenletesen integrálható martingál, akkor aPés aQekvivalens az(Ω,F) téren. Ha a Λ egyenletesen integrálható, pozitív martingál, akkor alkalmas ξ >0,F-mérhető változóraΛ (t) =E(ξ| Ft). Tekintsük azR(A)$R

AξdP mértéket.

R(Ω)$ Z

ξdP= Z

Λ (t)dP= 1,

vagyis azRvalószínűségi mérték. HaA∈ Ft,akkor a feltételes várható érték definíciója szerint

R(A)$ Z

A

ξdP= Z

A

Λ (t)dP=Q(A),

vagyis azRés aQvalószínűségi mértékek az∪tFtπ-rendszeren megegyeznek.

JelöljeLazon korlátos, ésF-mérhető függvények halmazát, amelyekre a két mérték szerint vett integrálok megegyeznek. AzLnyilvánλ-rendszert alkot.

Például az imént láttuk, hogy 1 ∈ L, a λ-rendszer többi tulajdonsága az integrálás elemi tulajdonságaiból következik. Ha a halmazokat azonosítjuk a karakterisztikus függvényeikkel, akkor az elmondottak miatt ∪tFt⊆ L, így a monoton osztály tétel miatt σ(∪tFt)$F ⊆ L, következésképpen a két mérték megegyezik és így azF σ-algebrán éppenξ=dQ/dP>0.

Érdemes hangsúlyozni, hogy valójában az ekvivalens mértékcseréket azo-nosítottuk a pozitív egyenletesen integrálható martingálokkal. Ugyanakkor a lokálisan ekvivalens mértékcseréket csak a pozitív martingálok egy részhal-mazával azonosítottuk, vagyis azt nem láttuk be, hogy ha van egyΛpozitív martingálunk, akkor van olyanPésQamelyek lokálisan ekvivalensek és aΛ éppen a megfelelő Radon–Nikodym-deriváltfolyamat. A probléma teljes meg-értése szempontjából érdemes ezt is tisztázni. LegyenΛegy pozitív martingál.

Ilyenkor aΛegy

Q(F)$ Z

F

Λ (t)dP, F ∈ Ft

additív halmazfüggvényt definiál a∪tFt algebrán. AΛ martingál tulajdon-sága azért lényeges, mert ez biztosítja azt, hogy valamelyF ∈ ∪tFt mértéke ne függjön attól, hogy melyikFtσ-algebrából vettük éppen ki. A kérdés csak az, hogy az így kapottQadditív halmazfüggvény kiterjeszthető-e aσ(∪tFt) σ-algebrára. Ehhez a kiterjesztési tétel miatt szükséges és elegendő, hogy a Q σ-additív legyen az ∪tFt algebrán. Ezt azonban általában nem tud-juk garantálni. Az absztrakt mértékelméletből tudtud-juk, hogy általában csak bizonyos topológiai és regularitási extra feltételekkel lehet garantálni, hogy egy additív halmazfüggvényσ-additív is legyen. Éppen ez teszi szükségessé a konkrét konstrukciókban a topológiai és a mérhetőségi struktúra valami fajta összekapcsolását. Ismert, hogy amennyiben az(Ω,A)egy teljes, szeparábilis

metrikus tér a Borel-halmazokkal, akkor egy algebrán értelmezett, additív, véges és belülről kompakt reguláris halmazfüggvény egyúttal σ-additív is.

A sztochasztikus analízis legtöbb konkrét konstrukciója esetén garantálható, hogy az(Ω,A,P)valamilyen teljes szeparábilis metrikus tér Borel-halmazain értelmezett mértéktér. Ilyenkor aQkiterjeszthető mértékké. Az absztraktság általunk tárgyalt szintjén azonban a kiterjesztés „reménytelen”. Nyomatéko-san hangsúlyozni kell, hogy az elmondottak részletei semmilyen jelentőséggel nem bírnak. A lényeges gondolat csak az, hogy a jelenlegi absztrakt tárgya-lási szinten csak az egyenletesen integrálhatóΛ martingálok azonosíthatóak valamilyen mértékcserével. Ez is arra mutat, hogy a lokálisan ekvivalens mér-tékcsere több titkot rejt, mint arra első ránézésre számítottunk.

Világos, hogy aΛ>0 miatt aΛ−1mindig létezik. Mivel P(A) =

Z

A

1dP= Z

A

Λ−1(t) Λ (t)dP= Z

A

Λ−1(t)dQ,

ezért Λ−1(t) a P deriváltja az Ft σ-algebrán a Q-ra nézve, ezért a Λ−1 martingál a Q alatt. AΛ regularizálásához hallgatólagosan felhasználtuk a szokásos feltételeket a P alatt. A Q alatt a Λ−1-et már nem kell regulari-zálni, ugyanis a Λ > 0 miatt az x 7→ x−1 reciprok függvény folytonos. Az Itô-formulából evidens, hogy a Λ−1 valódi szemimartingál a Palatt, bár a Qalatt martingál. Vagyis a lokális martingálok, vagy a martingálok halmaza nem invariáns a mértékcserére nézve. A mértékcserével kapcsolatos legfonto-sabb kérdések, hogy mi történik a szemimartingálokkal az ekvivalens mérték-csere hatására, illetve mi történik a sztochasztikus integrálokkal az ekvivalens mértékcsere hatására ? A kulcsállítás a következő :

3.69. Tétel. Tegyük fel, hogy a P és a Q mértékek lokálisan ekvivalensek.

LegyenL adaptált, jobbról reguláris folyamat.

1. Az L pontosan akkor lokális martingál a Q alatt, ha az LΛ szorzat lokális martingál a Palatt.

2. Az Lpontosan akkor martingál a Qalatt, ha azLΛ szorzat martingál aPalatt.

Bizonyítás. Először az egyszerűbb állítást igazoljuk : Az L pontosan akkor martingál aQalatt, ha azLΛmartingál aPalatt : A martingál tulajdonság teljesüléséhez aQ, illetve aPalatt szükséges és elegendő, hogy mindens < t ésF ∈ Fsesetén

Z

F

L(t)dQ= Z

F

L(s)dQ, illetve

Z

F

L(t) Λ (t)dP= Z

F

L(s) Λ (s)dP.

De haF ∈ Fs,akkor amiből az említett állítás már triviális.

Legyen (σn) egy lokalizációs sorozat. Nyilván elegendő belátni, hogy az Lσn pontosan akkor martingál aQalatt, ha az(LΛ)σn martingál aPalatt.

Az egyszerűbb jelölés céljából legyenσ $σn. Egy (σn) lokalizációs sorozat mindig helyettesíthető a(σn∧n)sorozattal, így egy lokalizációs sorozat tag-jairól mindig feltehetjük, hogy korlátosak, így feltehetjük, hogy aσkorlátos, vagyis van olyanr,amelyre σ≤r. AΛ martingál aPalatt, így a megállási opciókról szóló tétel szerint tetszőlegesρ≤rkorlátos megállási időre

EP(Λ (r)| Fρ) = Λ (ρ),

Bár az állítás általában is igaz, feltehetjükLfolytonos, ugyanis csak ilyenkor fogjuk az állítást használni. Ilyenkor azLσ lokalizált folyamatra feltehetjük, hogy korlátos, így alább a kiemelési szabály triviálisan használható. Ellenkező esetben a kiemelési szabályt meg kellene gondolni.

EQ(L(ρ)) =EP(L(ρ) Λ (r)) =EP EP(L(ρ) Λ (r)| Fρ)

Könnyen látható, hogyτ egy megállási idő. Ezt felhasználva Z

Az egyenlőség két oldalán pontosan akkor van nulla, illetve az egyenlőségben szereplő integrálok pontosan akkor értelmesek, ha a másik oldalon nulla van, illetve ha az integrálok a másik oldalon értelmesek, amiből az állítás evidens.

3.70. Példa. AΛ−1 martingál aQalatt pontosan azért, mert aΛ−1Λ≡1 martingál aPalatt.

Megjegyezzük, hogy a kvadratikus variáció nem változik a lokálisan ek-vivalens mértékcsere során, ugyanis a lokálisan ekek-vivalens mértékcsere nem módosítja a sztochasztikusan konvergenciát. Érdemes megjegyezni hogy a kvadratikus variáció konstruálásához elég megkövetelni, hogy a szokásos fel-tételek lokális értelemben teljesüljenek. Ennek megfelelően az alábbi állítá-sokban a kvadratikus variáció bármelyik mérték esetén vehető. A korlátos változású integrátor szerinti integrálás, mivel trajektóriánként történik, szin-tén nem változik az ekvivalens mértékcsere során, így aΛ−1•[Λ, L]integrál invariáns a lokálisan ekvivalens mértékcserére, így bármelyik mérték alatt ké-pezhető.Λ>0,így aΛ−1értelmes és nyilván jobbról reguláris marad, ugyanis a Λ pozitivitása miatt a reciprok függvény nem módosítja a Λ trajektóriá-inak folytonossági tulajdonságait. Könnyen látható, hogy minden reguláris függvény minden véges szakaszon korlátos, így aΛ−1•[Λ, L]integrál mindig létezik. Vegyük azonban észre, hogy mivel csak folytonos integrátorok esetén definiáltuk a sztochasztikus integrálást elvileg a[Λ, L]keresztvariáció létezé-sét nem igazoltuk. Ennek következtében hallgatólagosan azt is fel kell tenni, hogy aΛ is folytonos.

3.71. Tétel. Tegyük fel, hogy a P és a Q mértékek lokálisan ekvivalensek.

EgyL pontosan akkor lokális martingál aPalatt, ha az Lb$L−Λ−1•[Λ, L]

lokális martingál aQalatt.

Bizonyítás. Az egyszerűség kedvért csak azt az esetet igazoljuk, amikor aΛés azLfolytonos. Ez nem jelent érdemi megszorítást, ugyanis a gondolatmene-tet a Wiener-folyamat esetén fogjuk alkalmazni. Valójában a folytonosságra csak azért van szükség, mert egyrészt nem akarjuk használni a ∆ [L, N] =

= ∆L∆N összefüggést, ugyanis ezt korábban nem igazoltuk, másrészt nem foglalkoztunk a nem folytonos lokális martingálok szerinti integrálással. A tétel azonban általános esetben is érvényes.

Tegyük fel, hogy L lokális martingál. Mivel Λ > 0, így a Λ−1 folyamat értelmes. Ugyancsak az egyszerűség kedvéért feltehetjük, hogyL(0) = 0. A parciális integrálás formulája miatt

LΛ−[L,Λ] =L•Λ + Λ•L.

AΛ és az L lokális martingál aPalatt, vagyis a jobb oldali sztochasztikus integrálok lokális martingálok aPmérték mellett. Így a LΛ−[L,Λ]lokális martingál aPalatt. A két oldaltΛ-val végigosztva az előző állítás szerint az

L−Λ−1[L,Λ] (3.21)

lokális martingál aQalatt, hiszen aΛ-szorosa lokális martingál aPalatt. A parciális integrálás formulája szerint aQmérték mellett

1

Λ[L,Λ] = 1

Λ •[L,Λ] + [L,Λ]• 1 Λ +

1 Λ,[L,Λ]

.

Az 1/Λ feltételezett folytonossága miatt, felhasználva, hogy az [L,Λ] véges változású a formulában szereplő keresztvariáció nulla. Ebből

1

Λ[L,Λ]− 1

Λ•[Λ, L] = [L,Λ]• 1

Λ. (3.22)

Vegyük észre, hogy aΛ−1martingál aQalatt. Ebből következően a[L,Λ]•

•Λ−1sztochasztikus integrál lokális martingál aQmérték mellett. Így a fenti (3.22) is lokális martingál aQalatt, így felhasználva, hogy lokális martingálok összege lokális martingál a (3.21) és (3.22) sorokat összeadva

L− 1

Λ[L,Λ] + 1

Λ[L,Λ]− 1

Λ•[Λ, L] =L− 1

Λ•[Λ, L]$Lb lokális martingál aQalatt.

Megfordítva, tegyük most fel, hogy az L−Λ−1•[Λ, L]

lokális martingál a Q alatt. Ekkor mivel Λ−1−1

= Λ a már elmondottak miatt az újratranszformált transzformált

L−Λ−1•[Λ, L]−Λ•

Λ−1, L−Λ−1•[Λ, L]

lokális martingál aPalatt. Meg kell mutatnunk, hogy ez a kifejezés éppenL.

A második kvadratikus variációban aΛ−1•[Λ, L]tag véges változású a Λ−1 folytonos, így

Λ−1, L−Λ−1•[Λ, L]

= Λ−1, L

. Vagyis az újratranszformált kifejezés éppen.

L−Λ−1•[Λ, L]−Λ• Λ−1, L

. A parciális integrálás formulája szerint

0 = 1−1 = Λ−1Λ−Λ−1(0) Λ (0) = Λ−1•Λ + Λ•Λ−1+ Λ,Λ−1

. A két oldalL-lel vett kvadratikus keresztvariációját felírva és felhasználva, hogy a kvadratikus variációs tag a folytonosság miatt elhagyható

0 =

Λ−1•Λ, L +

Λ•Λ−1, L .

A polaritási formula miatt

Λ−1•[Λ, L] + Λ• Λ−1, L

= 0.

Ezt az újratranszformált kifejezésbe beírva L−Λ−1•[Λ, L]−Λ•

Λ−1, L

=L.

Így azL lokális martingál aPalatt.

3.72. Definíció. AzL−Λ−1•[Λ, L]transzformációt azL Girszanov-transz-formációjának mondjuk ésLbmódon jelöljük.

3.73. Tétel. A szemimartingálok osztálya invariáns a lokálisan ekvivalens mértékcserére.

Bizonyítás. LegyenS=S(0) +L+V egy szemimartingál aPalatt, aholL lokális martingál ésV véges változású. Mivel a V véges változású aQalatt is, ezért elegendő belátni, hogy ha azLlokális martingál aPalatt, akkor az Lszemimartingál aQalatt. Az

Lb$L−Λ−1•[Λ, L]

lokális martingál aQalatt és ezért az

L=Lb+ Λ−1•[Λ, L]

szemimartingál aQalatt. Vagyis a mértékcsere hatására a szemimartingálok osztálya nem változik.

In document Pénzügyi matematika (Pldal 133-141)