Lokálisan ekvivalens mértékcsere

Ha aQmérték abszolút folytonos aP-re nézve, akkor tekinthetjük adQ/dP deriváltat. Emlékeztetünk, hogy a derivált definíciója alapján

Q(A) = Z

A

dQ dPdP.

A derivált definíciója alapján haslépcsős függvény, akkor Z

Ω

sdQ= Z

Ω

X

i

ciχA_idQ=X

i

ciQ(Ai) =

=X

i

ci

Z

A_i

dQ dPdP=

Z

Ω

sdQ dPdP.

Mivel a derivált nem negatív, a monoton konvergencia tétel segítségével az egyenlőség igazolható akkor is, has tetszőleges nem negatív mérhető függ-vény. Ebből következően az integrál definíciója alapján az egyenlőség átvi-hető tetszőleges mérátvi-hető függvényre, ahol a két oldalon szereplő két integ-rál egyidejűleg létezik, illetve nem létezik. Az elmondottakból világos, hogy amennyiben a dQ/dPderivált korlátos, akkor azL^p(Ω) terek a két mérték alatt megegyeznek. Ha azonban a derivált nem korlátos, akkor a két mérték alatt az integrálható függvények halmaza különböző lehet. Az alábbiakban a derivált korlátossága nem garantálható.

3.64. Definíció. Két mértéket ekvivalensnek mondunk, ha a nullmértékű halmazok a két mérték alatt megegyeznek. Nyilvánvaló, hogy két mérték pon-tosan akkor ekvivalens, ha létezik és pozitív a derivált.

Ekvivalens mértékek esetén a majdnem mindenhol való konvergens soro-zatok halmaza triviálisan megegyezik. Emlékeztetünk, hogy a sztochasztikus konvergencia metrizálható és valamely(ξn)sorozat pontosan akkor tart szto-chasztikusan egy ξ változóhoz, ha a (ξn) összes részsorozatának van olyan további részsorozata, amely majdnem mindenhol aξ-hez tart. Ebből követ-kezik, hogy a sztochasztikus konvergencia, szintén invariáns az ekvivalens mértékcserére nézve. Ez és a sztochasztikus konvergencia metrizálhatósága miatt a sztochasztikus konvergenciát megadó metrikus tér által generált to-pológia szintén invariáns az ekvivalens mértékcserére. Formálisan : ha aPés Qmértékek ekvivalensek akkor az L⁰(Ω,A,P)és az L⁰(Ω,A,Q)metrikus terek mint topológikus terek megegyeznek. Mivel a sztochasztikus analízis té-nyei nagyrészt azL⁰tér topológiájára és nem a topológiát megadó metrikára épülnek, nem túl meglepő módon a sztochasztikus analízis jórészt „invariáns”

az ekvivalens mértékcserére. Az úgynevezett Girszanov-tétellel ezt az „álta-lános elvet” fogalmazzuk meg konkrét állítások formájában. Ez persze egy

„meta” állítás, ugyanis nem világos, hogy miért azL⁰ és nem például azL¹ terek topológiájától függ a sztochasztikus analízis. Az világos, hogy, miként az analízisben általában, nem a konkrét metrika, hanem a generált topológia fontos.

Ha azF filtráció teljesíti a szokásos feltételeket, akkor evidens módon a Λ (t)$E

dQ dP|Ft

folyamat egyenletesen integrálható martingál, és az Z

F

Λ (t)dP= Z

F

dQ

dPdP=Q(F), F ∈ Ft

miatt aΛ (t)éppen aQRadon–Nikodym-deriváltja az(Ω,Ft,P)téren. Cél-szerű némiképpen általánosabban szemlélni a problémát. Tegyük fel, hogy minden t-re a Q mérték Ft-re való leszűkítése, amit Q(t)-vel jelölünk, ab-szolút folytonos aPFt-re valóP(t)leszűkítésére nézve, akkor beszélhetünk aΛ (t)$dQ(t)/dP(t)deriváltakról. HaF ∈ Fs⊆ Ft,akkor

Z

F

Λ (t)dP$ Z

F

dQ(t)

dP(t)dP=Q(F) = Z

F

dQ(s) dP(s)dP$

Z

F

Λ (s)dP, ezért aΛlogikai martingál. Mivel feltesszük, hogy azFteljesíti a szokásos fel-tételeket, illetve mivel a Radon–Nikodym-deriváltak ekvivalencia osztályok, feltehető, hogy aΛmartingál. Van azonban itt egy apró technikai probléma. A szokásos feltételek miatt az összes olyanN halmaz, amelyreP(N) = 0része a filtráció összesF_t σ-algebrájának. Ebből következően ilyenkor Q(N) = 0 is vagyis a Q abszolút folytonos a P-re nézve. Vagyis a szokásos feltételek teljesülése esetén a lokálisan abszolút folytonos, vagy a lokálisan ekvivalens mértékcsere fogalma értelmetlen, ugyanis egybeesik az abszolút folytonos és az ekvivalens mértékcserével. Ennek oka azonban az, hogy a szokásos fel-tételek definiálásakor némiképpen túl nagyvonalúan bántunk a nullmértékű halmazokkal. Több megoldás is kínálkozik : Vagy átgondoljuk a nullmértékű halmazok szerepét és a szokásos feltételek definícióját, vagy nem vezetjük be a lokálisan ekvivalens mértékcsere fogalmát, vagy csak a P(t) és Q(t) mértékcsaládok ekvivalenciájáról beszélünk. Mindegyiknek megvan a maga előnye, bár az utóbbi kettő esetén nem igazán nézünk szembe a problémával és ezzel inkább csak zavart okozunk, mint megmagyarázzuk a nehézségeket.

Ahhoz, hogy megmagyarázzuk a problémát vissza kell térnünk a sztochasz-tikus analízis alapjaihoz. Induljunk ki az alapproblémából. Mikor tekintsünk két folyamatot azonosnak ? Természetesen akkor, ha a trajektóriái majdnem mindenhol azonosak. Ugyanakkor ezt mindig úgy biztosítjuk, hogy garantál-juk, hogy a trajektóriák az időtengely egy sűrű részhalmazán megegyeznek,

vagy megmutatjuk azt, hogy az időtengely bármely véges szakaszán majd-nem mindenhol megegyeznek. Ehhez azonban majd-nem szükséges az Atér vagy az F_∞⁰ $ σ F_t⁰, t≥0

összes nullmértékű részhalmazát hozzácsapni a filt-rációhoz. Elegendő azt feltenni, hogy ha valamely N nullmértékű halmaz valamilyen Ft, ahol t véges, esetén eleme az Ft σ-algebrának, akkor min-den mást-re is eleme a filtrációban levőσ-algebráknak. Ha például tekintjük az F⁰ generált filtrációt és valamely N ∈ F_t⁰ nullmértékű, akkor elegen-dő megkövetelni, hogy azN legyen eleme a kiterjesztett filtrációhoz tartozó F0 σ-algebrának. Miként majd alább az ellenpélda tárgyalásakor látni fog-juk, valójában két fajta nullmértékű halmaz van. A nullmértékű halmazok egy része olyan, hogy csak azF∞$σ(Ft, t≥0)családban van benne. Ilyen például az a nullmértékű halmaz, amelyen kívűl a nagyszámok törvényében a trajektória valóban konvergens. A nullmértékű halmazok másik családja, amit nevezhetünk lokálisan nullmértékű halmazoknak pedig olyanok, hogy véges időtartományon megfigyelve a halmaz bekövetkezése eldönthető. A szokásos feltételeket némiképpen átfogalmazhatjuk és megkövetelhetjük a következőt : 3.65. Definíció(A szokásos feltételek módosított definíciója). Azt mondjuk, hogy az (Ω,A,(Fs),P) sztochasztikus alaptér lokálisan teljesíti a szokásos feltételeket, ha minden t < ∞ esetén az

Ω,A,(Fs)_s≤t,P

alaptér a [0, t]

időtartományon teljesíti a szokásos feltételeket a korábbi definíció szerint.

Fontos hangsúlyozni, hogy ha a P és a Q ekvivalensek, akkor a Λ mar-tingál egyenletesen integrálható, ugyanis Λ (t) $ E(dQ/dP|Ft) alakú. Ha azonban a szokásos feltételeket lokálisan értjük, akkor elképzelhető, hogy van olyan P ésQ, hogy csak mindent-re az Ft σ-algebrákra való leszűkítésük lesz abszolút folytonos, vagy ekvivalens. A Λ martingál ilyenkor is létezik, de a Λ martingál nem feltétlenül lesz egyenletesen integrálható, ezért nem feltétlenül van olyanΛ (∞), amelyre Λ (t) = E(Λ (∞)| F_t). Vegyük észre, hogy a lokálisan vett szokásos feltételek esetén, a nullmértékű halmazokra tett feltétel alapján elképzelhető, hogy a Q és a P ekvivalens bármely F_t esetén, deQés aPnem ekvivalens azF_∞=σ(∪tFt)σ-algebrán.

3.66. Definíció. Ha minden t-re a P Ft-re való leszűkítése ekvivalens a QFt-re való leszűkítésével, akkor azt mondjuk, hogy a Pés a Q lokálisan ekvivalensek.

3.67. Definíció. A Λ (t) $ dQ(t)/dP(t) folyamatot a Q és P Radon–

Nikodym-folyamatának mondjuk.

Az elmondottakat a következő állításban foglalhatjuk össze :

3.68. Tétel. APésQmértékek pontosan akkor lokálisan ekvivalensek, ha a Λ Radon–Nikodym-folyamatuk pozitív martingál. APés Qmértékek ponto-san akkor ekvivalensek az(Ω,F_∞)mérhető téren, ha aΛpozitív, egyenletesen integrálható martingál.

Bizonyítás. A már elmondottak után csak azt kell belátni, hogy ha aΛ>0 egyenletesen integrálható martingál, akkor aPés aQekvivalens az(Ω,F_∞) téren. Ha a Λ egyenletesen integrálható, pozitív martingál, akkor alkalmas ξ >0,F_∞-mérhető változóraΛ (t) =E(ξ| Ft). Tekintsük azR(A)$R

AξdP mértéket.

R(Ω)$ Z

Ω

ξdP= Z

Ω

Λ (t)dP= 1,

vagyis azRvalószínűségi mérték. HaA∈ F_t,akkor a feltételes várható érték definíciója szerint

R(A)$ Z

A

ξdP= Z

A

Λ (t)dP=Q(A),

vagyis azRés aQvalószínűségi mértékek az∪tFtπ-rendszeren megegyeznek.

JelöljeLazon korlátos, ésF_∞-mérhető függvények halmazát, amelyekre a két mérték szerint vett integrálok megegyeznek. AzLnyilvánλ-rendszert alkot.

Például az imént láttuk, hogy 1 ∈ L, a λ-rendszer többi tulajdonsága az integrálás elemi tulajdonságaiból következik. Ha a halmazokat azonosítjuk a karakterisztikus függvényeikkel, akkor az elmondottak miatt ∪tFt⊆ L, így a monoton osztály tétel miatt σ(∪tFt)$F_∞ ⊆ L, következésképpen a két mérték megegyezik és így azF_∞ σ-algebrán éppenξ=dQ/dP>0.

Érdemes hangsúlyozni, hogy valójában az ekvivalens mértékcseréket azo-nosítottuk a pozitív egyenletesen integrálható martingálokkal. Ugyanakkor a lokálisan ekvivalens mértékcseréket csak a pozitív martingálok egy részhal-mazával azonosítottuk, vagyis azt nem láttuk be, hogy ha van egyΛpozitív martingálunk, akkor van olyanPésQamelyek lokálisan ekvivalensek és aΛ éppen a megfelelő Radon–Nikodym-deriváltfolyamat. A probléma teljes meg-értése szempontjából érdemes ezt is tisztázni. LegyenΛegy pozitív martingál.

Ilyenkor aΛegy

Q(F)$ Z

F

Λ (t)dP, F ∈ Ft

additív halmazfüggvényt definiál a∪tFt algebrán. AΛ martingál tulajdon-sága azért lényeges, mert ez biztosítja azt, hogy valamelyF ∈ ∪tFt mértéke ne függjön attól, hogy melyikFtσ-algebrából vettük éppen ki. A kérdés csak az, hogy az így kapottQadditív halmazfüggvény kiterjeszthető-e aσ(∪tFt) σ-algebrára. Ehhez a kiterjesztési tétel miatt szükséges és elegendő, hogy a Q σ-additív legyen az ∪tFt algebrán. Ezt azonban általában nem tud-juk garantálni. Az absztrakt mértékelméletből tudtud-juk, hogy általában csak bizonyos topológiai és regularitási extra feltételekkel lehet garantálni, hogy egy additív halmazfüggvényσ-additív is legyen. Éppen ez teszi szükségessé a konkrét konstrukciókban a topológiai és a mérhetőségi struktúra valami fajta összekapcsolását. Ismert, hogy amennyiben az(Ω,A)egy teljes, szeparábilis

metrikus tér a Borel-halmazokkal, akkor egy algebrán értelmezett, additív, véges és belülről kompakt reguláris halmazfüggvény egyúttal σ-additív is.

A sztochasztikus analízis legtöbb konkrét konstrukciója esetén garantálható, hogy az(Ω,A,P)valamilyen teljes szeparábilis metrikus tér Borel-halmazain értelmezett mértéktér. Ilyenkor aQkiterjeszthető mértékké. Az absztraktság általunk tárgyalt szintjén azonban a kiterjesztés „reménytelen”. Nyomatéko-san hangsúlyozni kell, hogy az elmondottak részletei semmilyen jelentőséggel nem bírnak. A lényeges gondolat csak az, hogy a jelenlegi absztrakt tárgya-lási szinten csak az egyenletesen integrálhatóΛ martingálok azonosíthatóak valamilyen mértékcserével. Ez is arra mutat, hogy a lokálisan ekvivalens mér-tékcsere több titkot rejt, mint arra első ránézésre számítottunk.

Világos, hogy aΛ>0 miatt aΛ⁻¹mindig létezik. Mivel P(A) =

Z

A

1dP= Z

A

Λ⁻¹(t) Λ (t)dP= Z

A

Λ⁻¹(t)dQ,

ezért Λ⁻¹(t) a P deriváltja az Ft σ-algebrán a Q-ra nézve, ezért a Λ⁻¹ martingál a Q alatt. AΛ regularizálásához hallgatólagosan felhasználtuk a szokásos feltételeket a P alatt. A Q alatt a Λ⁻¹-et már nem kell regulari-zálni, ugyanis a Λ > 0 miatt az x 7→ x⁻¹ reciprok függvény folytonos. Az Itô-formulából evidens, hogy a Λ⁻¹ valódi szemimartingál a Palatt, bár a Qalatt martingál. Vagyis a lokális martingálok, vagy a martingálok halmaza nem invariáns a mértékcserére nézve. A mértékcserével kapcsolatos legfonto-sabb kérdések, hogy mi történik a szemimartingálokkal az ekvivalens mérték-csere hatására, illetve mi történik a sztochasztikus integrálokkal az ekvivalens mértékcsere hatására ? A kulcsállítás a következő :

3.69. Tétel. Tegyük fel, hogy a P és a Q mértékek lokálisan ekvivalensek.

LegyenL adaptált, jobbról reguláris folyamat.

1. Az L pontosan akkor lokális martingál a Q alatt, ha az LΛ szorzat lokális martingál a Palatt.

2. Az Lpontosan akkor martingál a Qalatt, ha azLΛ szorzat martingál aPalatt.

Bizonyítás. Először az egyszerűbb állítást igazoljuk : Az L pontosan akkor martingál aQalatt, ha azLΛmartingál aPalatt : A martingál tulajdonság teljesüléséhez aQ, illetve aPalatt szükséges és elegendő, hogy mindens < t ésF ∈ Fsesetén

Z

F

L(t)dQ= Z

F

L(s)dQ, illetve

Z

F

L(t) Λ (t)dP= Z

F

L(s) Λ (s)dP.

De haF ∈ Fs,akkor amiből az említett állítás már triviális.

Legyen (σn) egy lokalizációs sorozat. Nyilván elegendő belátni, hogy az L^σn pontosan akkor martingál aQalatt, ha az(LΛ)^σn martingál aPalatt.

Az egyszerűbb jelölés céljából legyenσ $σ_n. Egy (σ_n) lokalizációs sorozat mindig helyettesíthető a(σ_n∧n)sorozattal, így egy lokalizációs sorozat tag-jairól mindig feltehetjük, hogy korlátosak, így feltehetjük, hogy aσkorlátos, vagyis van olyanr,amelyre σ≤r. AΛ martingál aPalatt, így a megállási opciókról szóló tétel szerint tetszőlegesρ≤rkorlátos megállási időre

E^P(Λ (r)| F_ρ) = Λ (ρ),

Bár az állítás általában is igaz, feltehetjükLfolytonos, ugyanis csak ilyenkor fogjuk az állítást használni. Ilyenkor azL^σ lokalizált folyamatra feltehetjük, hogy korlátos, így alább a kiemelési szabály triviálisan használható. Ellenkező esetben a kiemelési szabályt meg kellene gondolni.

E^Q(L(ρ)) =E^P(L(ρ) Λ (r)) =E^P E^P(L(ρ) Λ (r)| Fρ)

Könnyen látható, hogyτ egy megállási idő. Ezt felhasználva Z

Az egyenlőség két oldalán pontosan akkor van nulla, illetve az egyenlőségben szereplő integrálok pontosan akkor értelmesek, ha a másik oldalon nulla van, illetve ha az integrálok a másik oldalon értelmesek, amiből az állítás evidens.

3.70. Példa. AΛ⁻¹ martingál aQalatt pontosan azért, mert aΛ⁻¹Λ≡1 martingál aPalatt.

Megjegyezzük, hogy a kvadratikus variáció nem változik a lokálisan ek-vivalens mértékcsere során, ugyanis a lokálisan ekek-vivalens mértékcsere nem módosítja a sztochasztikusan konvergenciát. Érdemes megjegyezni hogy a kvadratikus variáció konstruálásához elég megkövetelni, hogy a szokásos fel-tételek lokális értelemben teljesüljenek. Ennek megfelelően az alábbi állítá-sokban a kvadratikus variáció bármelyik mérték esetén vehető. A korlátos változású integrátor szerinti integrálás, mivel trajektóriánként történik, szin-tén nem változik az ekvivalens mértékcsere során, így aΛ⁻¹•[Λ, L]integrál invariáns a lokálisan ekvivalens mértékcserére, így bármelyik mérték alatt ké-pezhető.Λ>0,így aΛ⁻¹értelmes és nyilván jobbról reguláris marad, ugyanis a Λ pozitivitása miatt a reciprok függvény nem módosítja a Λ trajektóriá-inak folytonossági tulajdonságait. Könnyen látható, hogy minden reguláris függvény minden véges szakaszon korlátos, így aΛ⁻¹•[Λ, L]integrál mindig létezik. Vegyük azonban észre, hogy mivel csak folytonos integrátorok esetén definiáltuk a sztochasztikus integrálást elvileg a[Λ, L]keresztvariáció létezé-sét nem igazoltuk. Ennek következtében hallgatólagosan azt is fel kell tenni, hogy aΛ is folytonos.

3.71. Tétel. Tegyük fel, hogy a P és a Q mértékek lokálisan ekvivalensek.

EgyL pontosan akkor lokális martingál aPalatt, ha az Lb$L−Λ⁻¹•[Λ, L]

lokális martingál aQalatt.

Bizonyítás. Az egyszerűség kedvért csak azt az esetet igazoljuk, amikor aΛés azLfolytonos. Ez nem jelent érdemi megszorítást, ugyanis a gondolatmene-tet a Wiener-folyamat esetén fogjuk alkalmazni. Valójában a folytonosságra csak azért van szükség, mert egyrészt nem akarjuk használni a ∆ [L, N] =

= ∆L∆N összefüggést, ugyanis ezt korábban nem igazoltuk, másrészt nem foglalkoztunk a nem folytonos lokális martingálok szerinti integrálással. A tétel azonban általános esetben is érvényes.

Tegyük fel, hogy L lokális martingál. Mivel Λ > 0, így a Λ⁻¹ folyamat értelmes. Ugyancsak az egyszerűség kedvéért feltehetjük, hogyL(0) = 0. A parciális integrálás formulája miatt

LΛ−[L,Λ] =L•Λ + Λ•L.

AΛ és az L lokális martingál aPalatt, vagyis a jobb oldali sztochasztikus integrálok lokális martingálok aPmérték mellett. Így a LΛ−[L,Λ]lokális martingál aPalatt. A két oldaltΛ-val végigosztva az előző állítás szerint az

L−Λ⁻¹[L,Λ] (3.21)

lokális martingál aQalatt, hiszen aΛ-szorosa lokális martingál aPalatt. A parciális integrálás formulája szerint aQmérték mellett

1

Λ[L,Λ] = 1

Λ •[L,Λ] + [L,Λ]• 1 Λ +

1 Λ,[L,Λ]

.

Az 1/Λ feltételezett folytonossága miatt, felhasználva, hogy az [L,Λ] véges változású a formulában szereplő keresztvariáció nulla. Ebből

1

Λ[L,Λ]− 1

Λ•[Λ, L] = [L,Λ]• 1

Λ. (3.22)

Vegyük észre, hogy aΛ⁻¹martingál aQalatt. Ebből következően a[L,Λ]•

•Λ⁻¹sztochasztikus integrál lokális martingál aQmérték mellett. Így a fenti (3.22) is lokális martingál aQalatt, így felhasználva, hogy lokális martingálok összege lokális martingál a (3.21) és (3.22) sorokat összeadva

L− 1

Λ[L,Λ] + 1

Λ[L,Λ]− 1

Λ•[Λ, L] =L− 1

Λ•[Λ, L]$Lb lokális martingál aQalatt.

Megfordítva, tegyük most fel, hogy az L−Λ⁻¹•[Λ, L]

lokális martingál a Q alatt. Ekkor mivel Λ⁻¹−1

= Λ a már elmondottak miatt az újratranszformált transzformált

L−Λ⁻¹•[Λ, L]−Λ•

Λ⁻¹, L−Λ⁻¹•[Λ, L]

lokális martingál aPalatt. Meg kell mutatnunk, hogy ez a kifejezés éppenL.

A második kvadratikus variációban aΛ⁻¹•[Λ, L]tag véges változású a Λ⁻¹ folytonos, így

Λ⁻¹, L−Λ⁻¹•[Λ, L]

= Λ⁻¹, L

. Vagyis az újratranszformált kifejezés éppen.

L−Λ⁻¹•[Λ, L]−Λ• Λ⁻¹, L

. A parciális integrálás formulája szerint

0 = 1−1 = Λ⁻¹Λ−Λ⁻¹(0) Λ (0) = Λ⁻¹•Λ + Λ•Λ⁻¹+ Λ,Λ⁻¹

. A két oldalL-lel vett kvadratikus keresztvariációját felírva és felhasználva, hogy a kvadratikus variációs tag a folytonosság miatt elhagyható

0 =

Λ⁻¹•Λ, L +

Λ•Λ⁻¹, L .

A polaritási formula miatt

Λ⁻¹•[Λ, L] + Λ• Λ⁻¹, L

= 0.

Ezt az újratranszformált kifejezésbe beírva L−Λ⁻¹•[Λ, L]−Λ•

Λ⁻¹, L

=L.

Így azL lokális martingál aPalatt.

3.72. Definíció. AzL−Λ⁻¹•[Λ, L]transzformációt azL Girszanov-transz-formációjának mondjuk ésLbmódon jelöljük.

3.73. Tétel. A szemimartingálok osztálya invariáns a lokálisan ekvivalens mértékcserére.

Bizonyítás. LegyenS=S(0) +L+V egy szemimartingál aPalatt, aholL lokális martingál ésV véges változású. Mivel a V véges változású aQalatt is, ezért elegendő belátni, hogy ha azLlokális martingál aPalatt, akkor az Lszemimartingál aQalatt. Az

Lb$L−Λ⁻¹•[Λ, L]

lokális martingál aQalatt és ezért az

L=Lb+ Λ⁻¹•[Λ, L]

szemimartingál aQalatt. Vagyis a mértékcsere hatására a szemimartingálok osztálya nem változik.

In document Pénzügyi matematika (Pldal 133-141)