Merev testekre ható erők, a forgatónyomaték

A több pontból álló merev rendszert merev testnek nevezzük, ha tetszőleges két pontjának távolsága állandó, illetve tetszőleges három pontja által kijelölt háromszög szögei állandóak. Ezen merev testeknek hat szabadsági foka van, ahogy fent láttuk. Ez azt jelenti, hogy ennyi független paraméterrel írhatjuk le őket, avagy azt is mondhatjuk, hogy ennyiféle független mozgást tudnak végezni. Ebből három a tér három irányába való mozgás, a többi három pedig a tér három irányába mutató tengelyek körüli forgás.

Nincs forgás Van forgás

2.15. ábra. Forgás nélküli egyensúly két erő esetén csak akkor lehetséges, ha a két erő egy vonalba esik. Több erő esetén tehát arra van szükség, hogy ezeket egy vonalba eső erőpárrá lehessen redukálni.

Két alapvető mozgástípus van tehát: adott irányba való haladás, valamint a forgás.

Ezek kombinációjából a merev testek minden mozgása felépíthető. A haladó mozgást Newton második törvénye írja le (amely szerint a test akkor marad nyugalomban, ha az összes erő összege nulla). Hogyan írhatjuk le a forgó mozgást, mit mondanak erről a Newton-törvények?

Tudjuk, hogy az egész rendszer gyorsulása szempontjából elég az erők (vektori) össze-gét megadni. A forgató hatás azonban nem ennyire egyszerű. Mindennapi tapasztalat, hogy a merev testre ható két, nulla összegű (azaz azonos nagyságú, de ellentétes irányú) erő is okozhat forgást. Csak akkor nem okoz egy merev testre ható két erő forgást, ha a két erő hatásvonala egybeesik. (Egy erő hatásvonalán az erőre, mint vektorra fektetett egyenest értjük.) Sőt: ha a rendszerre ható erőkhöz hozzáveszünk még két erőt, ame-lyek összege nulla, és egy egyenesben hatnak, az nem változtatja meg sem a rendszer mozgását, sem a forgását (vagy éppen hogy egyensúlyban maradását).

Azt is mondhatjuk tehát, hogy egy merev testre ható erőt a hatásvonala mentén eltolhatunk: ez nem változtatja meg a rendszer dinamikáját. Ha egy testre két erő hat, amelyek összege ugyan nulla (azaz párhuzamosak, de ellentétes irányúak), de különböző a hatásvonaluk, akkor a test biztosan elfordul (ez a mindennapi tapasztalatunk). Tehát a forgás szempontjából nyugalomban maradás feltétele az, hogy az erők összege nulla legyen, továbbá egy pontba redukálhatóak legyenek (azaz hatásvonalaik egy pontban messék egymást – két erő esetén ezek essenek egybe), ahogy azt a 2.15. ábra mutatja.

Egy mérleghinta példáját véve, a 2.15. ábra alapján vizsgáljuk meg ezt! LegyenF~₁ az egyik végén ható függőleges erő,F~2 a másik végén (a két hintázó súlya miatt fellépő erők). Az alátámasztásnál fellépő F~3 erő kiegyenlíti ezeket, tehát éppenF~3 =F~1+F~2

nagyságú, és felfelé mutat. A rendszer geometriája szerint F~₁ és F~₂ hassanakr₁ ésr₂ távolságra az alátámasztástól. A rendszer nem mozdul el lefelé vagy felfelé (mivel az erők összege nulla), de elforoghat, ahogy azt tapasztaljuk is. Mi a feltétele annak, hogy ne következzen be forgás? Az előző bekezdés végén említettek szerint a hinta akkor marad egyensúlyban, akkor nem fordul el, ha azF~₁ésF~₂erők összege az alátámasztás vonalába redukálható, ekkor ugyanis ez az összeg és F~3 kiejtik egymást – egyébként elforgatják a hintát. De hogyan redukálhatjuk egy pontba a két párhuzamos erőt? Vezessünk be egy hatásvonalban két „segéderőt”, +F~ és −F~ mértékben, a mérleghinta vonalában (azaz merőlegesen az F~1 és F~2 erők függőleges hatásvonalára). Ezeket az F~1 és F~2

vektorhoz hozzáadva az új F~1+F~ ésF~2−F~ erőket kapjuk, amelyek viszont már egy

𝐹₁ 𝐹2

2.16. ábra. Az ábrákon egy mérleghinta látható, a szöveg alapján az derül ki, hogy az egyensúly feltétele azF3=F1+F2szokásos egyenlőségen túl az is, hogyr1F1=r2F2legyen.

pontba redukálhatóak, a hatásvonalaik metszik egymást. Ezt illusztrálja a 2.16. ábra.

Ezen látható, hogy az összesített F~1+F~2 erő akkor esik az alátámasztás vonalába, ha az erők alkotta háromszögek hasonlóak az r₁, r₂, illetve az erők irányába húzott egyenesek metszéspontjáig tartó h magasság alkotta háromszögekkel. Ebből az ábrán látható ^r_h¹ : _F^F

1 = ^r_h² : _F^F

2 feltétel adódik, amiből r₁F₂=r₂F₂ jön ki. Azt mondhatjuk tehát, hogy ebben az esetben a nyugalomban maradás, azaz az egyensúly feltétele az, hogy azrF mennyiségek megegyeznek.

Ez által motiválva bevezetjük az alátámasztásra mint forgástengelyre vonatkoztatott forgatónyomatékotM =rF módon. Ekkor a két erőreM₁=r₁F₁, illetveM₂=r₂F₂, ha mindezt az r1 ésr2 erőkarok előjelét is figyelembe véve tesszük, akkor az adódik, hogy az összesített M = M1+M2 forgatónyomatéknak kell nullának lennie, azaz a nyugalomban maradás feltételeM = 0.

Forgómozgások vizsgálata során a forgatónyomaték a legfontosabb fizikai mennyiség.

Ennek pontos definíciója az adott forgástengelyt és az erőt összekötő~rerőkar, illetveF~ ismeretében

M~ =~r×F .~ (2.88)

ahol tehát vektoriális szorzást használunk, ami azt jelenti, hogy a forgatónyomaték-vektor iránya a forgástengely iránya (hiszen ez merőlegesr-re ésF-re is). A forgatónyo-maték nagysága pedigαszöget bezáró erő és erőkar esetén

|M|=rFsinα. (2.89)

Itt rsinα az erő hatásvonalának távolsága az adott tengelytől (síkbeli rajz esetén a tengely általában egy pont, és az iránya általában a rajzra merőleges – hiszen a forgás a rajz síkjában történik). Azt mondhatjuk tehát, hogy a forgatónyomaték nagysága az erő szorozva az erő és a választott tengely távolságával. Ebből az is adódik, hogy a forgatónyomaték a tengelyt metsző hatásvonalú erő esetén nulla, hiszen ekkor az erő és a tengely távolsága nulla (vagy párhuzamos az erővel, azazα= 0).

A forgatónyomatékot tehát a fentiekben definiáltuk. Ezután Newton első törvényé-nek (erő nélkül nincs gyorsulás) az fog megfelelni, hogy a nyugalomban maradás (el nem

2.17. ábra. A súlypont a testet alkotó tömegpontokra ható gravitációs erők összegzési pontja, azaz a pontok tömeggel súlyozott átlagos helye, ahogy az a szövegben is olvasható. A súly-pontban (vagy valahol alatta) alátámasztott test nem billen fel. A súlypont megegyezik a tömegközépponttal.

fordulás) feltétele

ΣM = 0, (2.90)

azaz az összes forgatónyomaték összege nulla¹³.

Mivel, mint láttuk, a forgatónyomaték függ attól, hogy melyik pontra vonatkoztatjuk (hiszen szerepel benne az erő hatáspontjába mutató~rhelyvektor, az erőkar), felmerül a kérdés, hogy melyik pontra kell felírni a ΣM~ = 0 feltételt, ha az egyensúly feltételét akarjuk megfogalmazni. A válasz az, hogy ha már egyszer azt is kikötöttük, hogy ΣF~ = 0 legyen, azaz a testre ható összes erő is eltűnik (ez ugye kellett ahhoz, hogy ne mozduljon el a test), akkor mindegy: ha egyik pontra (feltételezett „forgástengelyre”) nézve nulla a forgatónyomatékok összege, akkor egy másik forgástengelyre nézve is igaz lesz ez.¹⁴ Tehát egyensúly keresése esetén tetszőleges pontot választhatunk viszonyítási pontnak.

A mérleghinta esetében az alátámasztásnál választva a forgástengelyt ebbőlr1F1+ r2F2= 0 adódik, mivel az alátámasztás forgatónyomatéka nulla (hiszen éppen a forgás-tengelyben hat ez az erő).