Az elektromos potenciál

Ahogy láttuk, az elektromos térbe helyezett töltésre erő hat. Feltehetjük a kérdést, hogy mekkora energiára (munkára) van szükség, hogy egy töltést két pont között ezen erőtér ellenében mozgassunk? Vagy ekvivalensen, ha a töltést az erőtér mozgatja (gyorsítja), akkor mekkora munkát végez rajta, mekkora mozgási energiára tesz szert így a töltés?

Mindezeket a munka 2.6.1. szakaszban tárgylatW =RF ~~dsdefiníciójának segítségével számíthatjuk ki. Ha ismert aza→b út minden pontjában a töltésre hatóF~ =q ~E erő, akkor az út során végzett munka

W_a→b =

Az itt bevezetett Ua→b mennyiség neve: a két pont közötti elektromos potenciál-különbség, avagy elektromos feszültség. A definíció alapján ha egy töltés adott U feszültségkülönbségen halad át, akkor qU energiára tesz szert. A feszültség, azaz az

elektromos potenciálkülönbség mértékegysége a definíciónak megfelelően J/C, ennek neve „volt” (V, Alessandro Volta nevéből). 1 volt feszültség egy elektront egy elektron-volt (eV) energiára gyorsít, ahol tehát 1 eV = 1,6·10⁻¹⁹J energia. Az egy elektronvolt energiájú elektron sebessége azE=mv²/2 összefüggés alapjánv=p

2E/m≈c/505≈ 593 000 m/s, azaz 600 kilométer másodpercenként.

Ahogyan a 2.6.3. szakaszban tárgyaltuk, konzervatív erőtér esetén (és az állandó elektromos erőtér ilyen) ez a munka nem függ a konkrét úttól. Ekkor

Wa→b =Va−Vb (5.17)

szerint írható le, azaz mindenr ponthoz hozzárendelhető egyV(r)potenciális energia (szabadon választott „nulla szinttel”). Ezzel az adott pontelektromos potenciáljais definiálható,U =V /qmódon, és ekkor

Ua→b=Ua−Ub. (5.18)

A potenciális energiához hasonlóan azU = 0 szint is bárhol felvehető, többnyire a „föld”

feszültségét vesszük ennek, vagy a „végtelenben” vett potenciált, ezzel U(r) =

Z ∞

r

E(s)~ ds~ (5.19)

módon definiálható.

Érdemes megvizsgálni, hogy két nagyon közeli (végtelenül, infinitezimálisan közeli) pont potenciálkülönbsége mekkora: ezek között már határesetben konstans a térerősség, ígydU =−E ~~dsírható fel. A szorzást kibontva

A térerősség tehát az elektromos potenciál gradiense – ahogy a mechanikában pedig az erő a potenciális energia gradiense. Ez azt jelenti, hogy a térerősség a potenciál legna-gyobb csökkenésének irányába mutat, a töltések maguktól ebbe az irányba mozdulnak el – ahogy egy változó magasságú terepen elhelyezett labda is a legmeredekebb irányban gurul el.

A fenti definíciókkal néhány konkrét esetben számoljuk ki két pont potenciálkülönb-ségét, illetve a nulla szintet definiálva egy adott pont elektromos potenciálját. Homogén elektromos térben (aholEállandó) a potenciálváltozás szempontjából csak a térerősség irányába történt elmozdulás számít (merőlegesen mozogva a munkavégzés ugyanis nul-la). Ekkorh„magasságban” egyq töltés elektromos energiájaV(h) =qEh(hasonlóan a gravitációs térhez, aholVgrav(h) =mgh), azaz homogénEtérbenhhelyen az elektro-mos potenciálU =E·h. Másképpendtávolságon lévőU feszültség esetén a térerősség átlagosanE=U/d. Vegyük továbbá egyQponttöltés elektromos terét, amelyrhelyen E(r) = kQ/r²; erre szintén levezethető az elektromos potenciál nagysága, az (5.19) egyenletbeli definíció alapján. Az eredmény

U_ponttöltés(r) =−kQ

r , (5.22)

és ez a Gauss-törvény miatt nemcsak ponttöltésre, hanem gömbszimmetrikus töltésel-oszlásra is igaz.

A fentiekkel a kondenzátorral kapcsolatban is egy további összefüggést kaphatunk.

Ahogy korábban láttuk, két egyenletesen töltött síklap között homogén E=σ/₀ tér-erősség alakul ki, itt tehát a síklapok dtávolságát ésQtöltését figyelembe véve

U =E d = σ

₀d = Q

₀Ad (5.23)

adódik. Ez alapján bevezethetjük akondenzátor kapacitását:

C= Q

U =₀Ad, (5.24)

és ez azt jelenti, hogy a kondenzátortU feszültségre kapcsolvaQ=CU töltést tud tá-rolni. Itt a kapacitás jeleC, mértékegysége coulomb/volt, azaz C/V, ennek neve farad (F), Michael Faraday nevéből. Ha a kondenzátor lemezei között polarizálható közeg van, akkor a fenti kifejezést ki kell egészítenünk a közegre jellemzőrértékkel, így a kapacitás tovább növelhető. A feltöltött kondenzátor energiát tárol, amelyet a kondenzátor kisü-tésekor tudunk felhasználni. Az energia mértéke azzal a munkavégzéssel egyezik meg, amely a töltéseknek a kondenzátor lemezeire való felviteléhez volt szükséges. Egy kis dQtöltést az aktuálisanU feszültségen lévő lemezpárradW =U(Q)dQmunkavégzéssel vihetünk. Kezdetben a lemezek között nincs potenciálkülönbség, az a lemezek feltöl-tődésével együtt, a felvitt töltéssűrűséggel (a felvitt töltés mennyiségével) egyenesen arányosan nő a maximálisU értékig. A fenti kifejezést 0 ésU között integrálva kapjuk, hogy azU feszültségre feltöltött kondenzátor energiája³

E_energia= 1

• Egy kézzel (forgatással) tölthető zseblámpában található kondenzátort töltsünk fel.

• A zseblámpát bekapcsolva tartva süssük ki a kondenzátort: eközben áram folyik át a két végét összekötő vezetéken, így a lámpa világít.

• Ha a töltéskiegyenlítődés megtörtént, nem folyik tovább az áram, a lámpa nem világít tovább.

Definiálhatjuk továbbá az ekvipotenciális felületek fogalmát: ezeken U állan-dó. Ez a gravitációs analógiában tulajdonképpen a térkép szintvonalainak felel meg.

Az elektromos térerősség (E) mindig merőleges a szintvonalakra (ugyanis a térerősség iránya mindig az elektromos potenciál legnagyobb változásának iránya). Ebből az is adódik, hogy az erővonalak és az ekvipotenciális felületek merőleges hálózatot hoznak létre, ahogy az 5.4. ábrán látható.

Az ekvipotenciális felületek nem érintkezhetnek – hiszen adott felületen U értéke adott, két felületen különböző. Fontos ezzel kapcsolatban látni, hogy egy vezető min-den pontja ekvipotenciális, hiszen különben lenne benne térerősség, és ennek hatására

3Figyeljünk arra, hogy azE ebben a szakaszban többnyire a térerősséget jelöli, egyes esetekben viszont az energiát!

𝑬

ekvipotenciális felületek erővonalak

5.4. ábra. Egy ponttöltés terének erővonalai (folytonos vonallal), és a hozzá tartozó ekvipo-tenciális felületek (szaggatott vonallal). A rajz természetesen kétdimenziós, mindezt három dimenzióban úgy kell elképzelni, hogy az erővonalak a ponttöltésből kiinduló félegyenesek, az ekvipotenciális felületek pedig gömbfelszínek.

– – – – –

+ + + + +

𝐸 ≠ 0 𝐸 ≠ 0

𝐸 ≠ 0 𝜙_𝐸 ≠ 0 𝑄 ≠ 0

!

5.5. ábra. Faraday-kalitka működésének bizonyítása. A vezető testen belül egy tetszőleges ek-vipotenciális felületet elképzelve beláthatjuk, hogy ezen a felületen a fluxus nem lehet nulla – hacsak a térerősség nem volt nulla.

a vezetőben jelen lévő szabad töltések elmozdulnának. A Faraday-kalitkára vonatko-zó állítás könnyen bizonyítható ekvipotenciális felületekkel, amint azt az 5.5. ábra is mutatja:

• Tegyük fel, hogy az üregben van térerősség, azaz a potenciál pontról pontra vál-tozik (a térerősség ugyanis a potenciál változását jelenti).

• Rajzoljunk az üregen belül egy adott ponton átmenő, zárt, ekvipotenciális felületet (ilyen biztosan van, hiszen a fém belső felülete azonos potenciálon van).

• Az erővonalak erre a felületre merőlegesek, azaz ezen a felületen a fluxus nem lehet nulla.

• Az üregben azonban nincs töltés, így Gauss tétele miatt ellentmondásra jutottunk.

• Ez egy módon oldható fel: ha az üreg egész belső tere azonos potenciálon van, azaz ebben az adott pontban biztosan nincs térerősség.

• Ez azt jelenti, hogy az üregen belül sehol nincs térerősség!