A mágneses tér forrásai

Ugyan már láttuk, hogy a mágnesesség magyarázata az atomok spinjében rejlik, de ennek okát még egyáltalán nem értjük. A fő kérdés tehát az, hogy mi hozza létre a mágneses teret. Azt már láttuk, hogy az elektromos teret az elektromos töltések hozzák létre, és egy töltés elektromos tere tőlertávolságbanE~ = _4π¹

0Q~r/r³. Mágneses töltések azonban nincsenek, így nem világos, hogy ezt hogyan lehetne a mágneses tér esetére átültetni.

Kísérlet: elektromágnes

• Egy vasdarabot mágnessel mágnesezhetünk, de egy tekercsre egyenáramot kötve szintén magához tud vonzani kis fémtárgyakat: a tekercs a mágneshez hasonló teret hoz létre, ez az elektromágnes.

• A mágneses tér forrása tehát az áram, ez a magyarázata annak, hogy az atomok spinjük miatt (egyfajta köráramként viselkedve) mágneses teret hoznak létre, amely az atomok egy irányba rendeződése esetén makroszkopikus méreteket ölt.

5.4.1. Mozgó töltések és az áram mágneses tere

A fenti kísérletből az derül ki, hogy a mágneses teret a mozgó elektromos töltések hozzák létre. Pontos kísérletek alapján megállapítható, hogy egyvsebességgelmozgóQtöltés mágneses teret kelt, amelynek nagysága a töltéstől mért~rhelyvektorú pontban

B= µ₀

Figyeljük meg a hasonlóságot a ponttöltés keltette elektromos térrel. Itt 1/₀ helyett µ₀ = 4π·10⁻⁷ Tm/A (vagy Vs/Am) szerepel. Ennek az állandónak a neve: a vákuum mágneses permeabilitása; ha nem vákuumban vagyunk, akkor µ₀ helyett µ = µ_rµ₀-t kell írnunk, aholµ_r az adott közeg relatív permeabilitása.⁴A törvényben ezenfelül Q~r helyett Q~v×~r-t kell írnunk: ez azt fejezi ki, hogy csak mozgó töltés kelt mágneses teret. A tér akkor maximális, ha a töltés sebességére merőleges irányban vizsgáljuk; a sebesség irányában vizsgálódva pedig (a keresztszorzás tulajdonságai miatt) a mágneses tér nagysága nulla.

Ez alapján felírhatjuk egy infinitezimálisan kis (dl) hosszúságú, I áramot vezető szakasztólrtávolságra mért mágneses teret is, ekkor aBiot–Savart-törvénytkapjuk.

Itt Q~v helyettI ~dl szerepel, hasonlóan a Lorentz-erőnél mondottakhoz. A törvény így írható fel:

dB= µ0

4π I ~dl×~r

r³ . (5.46)

Egy nem infinitezimális vezető l szakaszra integrálással kapjuk meg ennek mágneses terét (tőlertávolságra):

4A „permeabilitás” latin szó „átjárhatóság”-ot jelent:µazt adja meg, hogy „mennyire járhatja át a mágneses mező az anyagot”.

Ezzel a törvénnyel néhány egyszerű esetben kiszámíthatjuk a mágneses teret. Például egyRsugarú,Iáramot vezető hurok tere a kör közepén abból adódik, hogy a körvezető minden egyes kis szakaszaRtávolságra van a középponttól, így mindegyik kisdlszakasz mágneses tere ^µ_4π⁰_r^I2dl. Ezt ha integráljuk, akkor adlelőtti tényezők mind állandóak az összes szakaszra, ígydlhelyett a kör kerületét írhatjuk be, 2Rπértéket. A végeredmény B = ^µ_2R^0I. A körtől a felületére merőleges r távolságra is kiszámítható a mágneses tér nagysága: erre B = _2(R^µ₂⁰_+r^IR₂²_)3/2 adódik (figyelembe véve, hogy a kör minden kis infi-nitezimális szakaszelemének mágneses tere ugyanolyan nagy, csak az irányuk más (dl~ és~r irányára merőleges). Ebből az is kiderül, hogy egy kis, R sugarú (azaz A =R²π felületű) köráramtól méreténél sokkal nagyobb, rR (a felületre merőleges irányban vett) távolságra a tér

B= µ₀IR²

2r³ = µ₀IA

2πr³. (5.48)

Itt vegyük észre a hasonlóságot az elektromos dipólus terével – csak itt a qd dipólus-nyomaték helyett az áramhurokµ=IAmágneses nyomatéka jelenik meg.⁵Ez a formula adja meg tehát aµmágneses nyomatékkal rendelkező atom mágneses terét is!

5.4.2. Az Ampère-törvény

A fenti törvényben szereplő integrálást egy egyenes vezetőre is el lehet végezni. Legyen a hossza 2a, ekkor a mágneses tér a közepétőlrtávolságraB=^µ_4π^{0I 2a}

r√

a²+r² lesz. Ebből aresetén (azaz nagyon, ideális esetben végtelen hosszú egyenes vezetőre)

B= µ0I

2πr (5.49)

adódik. A mágneses tér iránya pedig a jobbkéz-szabálynak megfelelő lesz: ha jobb kezünk hüvelykujját az áram irányába fordítjuk, akkor behajlított (kört formázó) ujjaink éppen a mágneses tér irányát jelölik ki. A mágneses tér tehát körkörösen körbeöleli az őt létrehozó áramot. Ebből egy érdekes következtetést vonhatunk le: ha azIáramot szállító vezető köré képzelt körre kiintegráljuk a mágneses teret, azaz ezen a körön vesszük az RB ~~dl kifejezés értékét, akkor (miután a mágneses tér párhuzamos a dl szakasszal, és minden pontban azonos,B=µ₀I/(2πr) nagyságú) éppenµ₀I lesz az eredmény (hiszen a 2πr a kör kerületével szorozva kiesik). Az az érdekesség derül ki, hogy ez nemcsak kör alakú, hanem minden zárt görbére igaz lesz, és az így kimondott állítást Ampère-törvényneknevezzük. Eszerint a mágneses tér elárulja az őt létrehozó áramerősséget, konkrétabban zárt (képzeletbeli) hurokra, amelyenI áram folyik keresztül:

Z

zárt

B ~~dl=µ0I. (5.50)

Lássuk az Ampère-törvény egy egyszerű alkalmazását! Ha sok hurkot kötünk össze, akkor tekercset kapunk, azaz tulajdonképpen egy elektromágnest. Ebben megkaphatjuk a mágneses teret, ha egy képzeletbeli, a tekercsen átmenő zárt hurkot rajzolunk. A külső

5A mágneses nyomaték jele véletlenül megegyezik a permeábilitáséval, ne keverjük össze a kettőt.

részen kicsi a mágneses tér (jó közelítéssel), így annak járuléka 0. Belül pedigl hosszan megy a vonal (ha a tekercs l hosszú), és mivel itt nagyjából állandó a mágneses tér, illetve a zárt hurkon átfolyó áram összesen a menetszám szorozva az áramerősséggel (N I), így a mágneses tér az erre az esetre alkalmazott Bl =µ0N I Ampère-törvényt kihasználva adódik:

Btekercs=µ0

N I

l . (5.51)

5.4.3. Önindukció és transzformátor

Az indukció és az Ampère-törvény összesítéseként azt láthatjuk, hogy két tekercs tud egymásra hatni: az egyikben folyó változó áram változó mágneses teret hoz létre, ez pedig a másikban feszültséget indukál, azaz ebben is áram fog folyni – ez a transz-formátor működésének lényege. Itt az egyik tekercsben váltakozó áram folyik, azaz I = I₀sin(ωt). Az ennek hatására létrejövő mágneses tér is váltakozik, így a mágne-ses fluxus is. Ez a váltakozó mágnemágne-ses fluxus feszültséget indukál a másik tekercsben, és mivel a fluxus megegyezik (a két tekercs fizikailag egyben van), így: U1 = N1Φ˙B, U2 = N2Φ˙B, U1/N1 = U2/N2. Ezzel tehát a nagyfeszültség kicsivé transzformálható (miközben az áram megnő, és aP=U I teljesítmény összességében csak kicsit csökken le).

Valójában egy tekercs is vissza tud hatni így önmagára, ez az önindukció. Ha a tekercsben I = I₀sin(ωt) áram folyik, akkor ez a korábbiaknak megfelelően B = µ₀N I/l = µ₀N I₀sin(ωt)/l mágneses teret hoz létre. Ez a mágneses tér feszültséget indukál:

U_ind=NΦ˙_B=N AB˙ =µ₀N²AI˙

l =LI˙=ωLI₀cos(ωt), (5.52) azaz a feszültség amplitúdója U₀ =ωLI₀ lesz, ahol bevezettük a tekercsL =AN²/l önindukciós együtthatóját. Mivel azI₀amplitúdójú áramhozU₀=ωLI₀feszültség kap-csolódik, ezért ez olyan, mintha a tekercsnek egyfajta ellenállása (valójában impedanci-ája) lenne, amelynek mértékeωL. Egyenáram (ω= 0) esetén ez nulla (erre számítunk, hiszen egyenáram esetén a tekercs egy nulla ellenállású vezetékdarab, csak a váltóáram és ennek mágneses tere okozhat mást).

Korábban már említettük a kondenzátor 1/ωCellenállását, és most látjuk, hogy egy tekercs is hasonlóan viselkedik, ωL ellenállása van. A tekercs és a kondenzátor kicsit valójában máshogy viselkedik, mint egy közönségesR ellenállás, ezért a fenti értékeket nem ellenállásnak, hanem impedanciának hívjuk. Érdekes, és az elektrotechnikában fon-tos áramkör azRLC-kör, amely egy sorba kapcsolt feszültségforrásból, ellenállásból és kondenzátorból áll. Ennekω= 1/√

LC sajátfrekvenciája van, így ilyen körfrekvenciájú feszültséget kapcsolva rá azt igen felerősíti. Az áramkör csillapítása ζ = R√

C/2√ L lesz, és pontosan a 2.4.1. szakaszban a harmonikus rezgéseknél tárgyaltaknak megfelelő csillapított rezgés jön rajta létre.

5.4.4. Váltakozó áramú áramkörök

Az országos (vagy kontinensnyi) lakossági és ipari használatú elektromos hálózatban a feszültség nem konstans (azaz nem állandó feszültségről van szó), hanem időben

szinu-szosan változik, azazU =U0sin(ωt), aholω= 2πf, ésf = 50 Hz a hálózati frekvencia (Európában). Ez a 19. század végén alakult ki, és két okból praktikus: egyrészt a válta-kozó feszültséget könnyű transzformálni (lásd a távvezetékeken elvesző teljesítményről, illetve a transzformátorról szóló 5.2.3. és 5.4.3. szakaszokat), másrészt az erőművekben könnyű eleve váltakozó feszültséget előállítani. Ilyen hálózatokban a feszültség amplitú-dója helyett annak effektív (átlagos) értékéről beszélünk, ezUeff = 230 V (korábban 220 V). Ez aeffektív feszültség úgy adódik, hogy egy R ellenálláson ekkora egyenletes feszültség esetén veszne el ugyanakkora teljesítmény. Miután a teljesítmény négyzetesen függ a feszültségtől, azaz P =U²/R= U₀²sin²(ωt)/R, ennek átlagaP_átl = U₀²/(2R), miután a sin² függvény átlaga egy perióduson 1/2. Miután U_eff definíciója az, hogy P_átl = U_eff² /R, így U_eff = U₀/√

2. A 230 voltos hálózaton a feszültség amplitúdója valójában körülbelül 325 volt.

Ilyen váltakozó áramú áramkörökben kicsit máshogy viselkednek az áramköri ele-mek. Egy állandó feszültség alatt lévő kondenzátoron (lévén a két lapja nem érintkezik) nem folyik áram, azonban váltakozó feszültség esetén a két lap elektromos tere kölcsön-hat, és virtuálisan „átfolyik” az áram a kondenzátoron, méghozzá a feszültség csökkenése mellett. A feszültségesés arányos az áramerősséggel, ez tehát olyan, mintha a kondenzá-tornak lenne ellenállása. Ennek mértéke (ha a kapacitásC) 1/ωC, aholω= 2πf, ésf az áramkör frekvenciája. Ezt onnan lehet belátni, hogy a kondenzátoron folyó áram nagy-sága I = ˙Q=CU˙, tehát itt U =U0sin(ωt) esetén az áram amplitúdója I0 =CU0ω, azaz U0 = I0/ωC. Ez olyan, mintha a tekercsnek 1/ωC ellenállása lenne (vesd össze az Ohm-törvénnyel) Egyenáram eseténf →0, tehát itt az ellenállás végtelenhez tart (ahogy azt várjuk is, hiszen egyenáram „nem tud átfolyni” a kondenzátoron).

Az önindukció következménye, hogy váltóáramú áramkörben a tekercsnek is lesz egy ellenállás-jellegű tulajdonsága, amely a tekercsben indukálódó ellentétes irányú feszült-ség következménye (lásd az 5.4.3. szakaszt). Az ohmikus ellenállás mellett a tekercs induktív ellenállásáról is szokás tehát beszélni, ennek mértéke pedig (ha a tekercs önin-dukciós együtthatójaL)Lω. Szemléletesen a nagy önindukciós együttható a tekercsben változó áram hatására nagyobb mértékű ellenfeszültséget indukál, hasonlóan a frekven-cia növelése is, hiszen így a tekercsben változó mágneses fluxus fog gyorsabban változni.

A kondenzátor és a tekercs váltakozó áramú áramkörökben megjelenő ellenállását im-pedanciánaknevezzük.