5. Elektromosság és mágnesesség 141
5.3. Mágneses tér és hatásai
5.3.1. Mágnesesség
Ókori, sőt talán őskori tapasztalat, hogy léteznekmágnesesfémdarabok, amelyek vonz-zák vagy taszítják egymást, továbbá ügyesen felfüggesztve a Föld égtájainak megfelelően állnak be. Ezek a mágnesek mind dipólusok, a két pólusuk az északi és adéli nevet viseli: az északi pólus mindig észak felé szeret fordulni, míg a déli dél felé. Egy mág-nest kettévágva újabb dipólust kapunk, a tapasztalatok szerint mágneses monopólus
B
B
5.9. ábra. Minden atom elemi spinként viselkedik, amelynek mágneses momentuma van (balra).
Ezek általában rendszertelenül helyezkednek el, így összességében az adott anyagdarab nem mágneses (középen). Külső mágneses tér jelenlétében (jobbra) azonban a spinek egy irányba rendeződnek, és így a para- vagy ferromágneses anyagdarab makroszkopikusan is mágnesezett lesz.
(egypólus; külön északi vagy külön déli pólus) nem létezik! A mágneses tér jeleB, mér-tékegysége tesla (T). A Föld mágneses tere a felszínen nagyságrendileg 30µT, a tipikus hűtőmágnesek tere 5 mT (a mágneshez nagyon közel), a hangszóró mágnes tere 1 T, míg az orvosi MRI-készülékek mágneses tere néhány tíz tesla is lehet.
Az anyagok mágnesességét az atomok „spinje”, azaz egyfajta „forgása” okozza, és minden, spinnel rendelkező atom kis dipólusként képzelhető el (ahogy ezt majd később levezetjük). Ezek alapesetben véletlenszerűen rendezettek, mágneses tér hatására azon-ban egy irányba forgathatóak. Ez a paramágnesség jelensége, amelyet az 5.9. ábra illusztrál. Vannak olyan anyagok, amelyekben ez a rendezettség a mágneses tér hiányá-ban is megmarad, így az anyag mágnessé válik: ez a ferromágnesség jelensége. (A vas a legismertebb ilyen anyag, innen származik a „ferro-” előtag.) A ferromágnesség az úgynevezett Curie-hőmérséklet fölött (a hőmozgás miatt) megszűnik – a hétköznapi mágnesek esetén ez jóval magasabb, mint a szobahőmérséklet (például vasra 760 ◦C körül van).
Kísérlet: vas mágnesezése
• A normál mágnes vonzza a mágnesezhető anyagokat, például a vasszöget. Ha ennek súlya nem túl nagy, vagy a mágnes elég erős, akkor a gravitáció ellenében meg tudja tartani, akár egy nagyobb vasdarabot is.
• Ekkor a vasdarab mágnessé válik, és vonzani tud más tárgyakat, kis gemkapcso-kat meg is tud tartani.
• Ha elvesszük az eredeti mágnest, a vasdarab is elveszti mágnesességét, a gem-kapcsok leesnek. Mindezen jelenségek magyarázatát lásd alább.
5.3.2. A Lorentz-erő és a mágneses nyomaték
Oersted 1819-ben vette észre, hogy az áram hatással van az iránytűkre, tehát az áram mágneses teret hoz létre. 1892-ben Lorentz megállapította, hogy a mágneses tér is hat a mozgó töltésekre, illetve az áramra. Ez az úgynevezettLorentz-erődefiniálja
tulaj-donképpen a mágneses teret (ahogy azF =qE formula az elektromos teret):
F~ =q~v×B.~ (5.34)
Itt ×a keresztszorzat jele. Az erő tehát akkor maximális, ha a mozgó töltés sebessége merőleges a mágneses térre, nagysága egy sin(α) faktorral csökken a bezárt szög függ-vényében, azazF =qvBsin(α). Ha a sebesség és a mágneses tér párhuzamos, akkor az erő nulla. Ez jelentősen elősegíti a földi élet fennmaradását, hiszen emiatt a világűrből érkező kozmikus töltött részecskéket eltéríti a Föld mágneses tere, egyedül a pólusoknál jelennek meg (ahol a mágneses tér a függőleges), a sarki fény jelenségét létrehozva. Ér-demes észrevenni, hogy a Lorentz-erő mindig merőleges a sebességre, ezért a sebességre merőleges mágneses tér körmozgást hoz létre. Ekkor a Lorentz-erő éppen a centripetális erőt adja. Miután a centripetális erő nagyságamv2/r, ez pedig megegyezik a Lorentz-erő qvB nagyságával, így ezek egyenlőségéből adódik a pálya sugara: r =p/qB, ahol p=mv az impulzus.
Hasonlítsuk össze a fenti (5.34) törvényt azE~ elektromos térqtöltésre hatóF~ =q ~E erejével! Láthatólag nagyon hasonló itt is az erő és a tér kapcsolata, csak egy sebességgel való keresztszorzás megjelenik – az elektromos teret pedig a mágnesesre kell cserélni.
Ha lennének mágneses töltések, azokra éppen fordítva lehetne felírni az erőket – de nincsenek. Azt ugyanakkor a későbbiekben is megfigyelhetjük majd, hogy az elektromos és a mágneses jelenségek alaptörvényei igen hasonlóak, csak néha egy sebességgel való keresztszorzást a mágneses esetben „be kell írni” az adott formulába. Ezt figyelhettük meg fent is, és később, a töltések mágneses tere esetében is.
Megállapíthatjuk azt is, hogy áramjárta vezetőre a benne mozgó töltések miatt Lorentz-erő hat. Minden töltésre egyforma erő hat, így ez összességében q~v×B, ha~ q töltés van összesen ebben a vezető szakaszban. Ha ezt egy~lvektorral írjuk le, akkor itt aq~vvektor aI~lvektorral helyettesíthető (ez az áramról szóló szakasz elején írtakból is látható, de a mértékegységek vizsgálata, azaz a dimenzióanalízis is ezt támasztja alá:
C·m/s = C/s·m). Így az áramjárta,~l vektorral jellemezhető vezetőre ható erő (azaz amelynek hosszal, iránya pedig~liránya)
F~ =I~l×B.~ (5.35)
Ha egy áramjárta hurkot hozunk létre, akkor ennek minden kis szakaszára is a fenti erő hat majd. Miután a hurok önmagában végződik, így az erők összege nulla lesz (hiszen aB-vel való szorzás kiemelhető, ahogy~ Iis, így a kis~lvektorok összegét kell venni, ami a „körbeérés” miatt éppen nulla). Ugyanakkor az erők forgatónyomatéka összesen nem lesz nulla, ahogy azt egy téglalap alakú hurok esetén alább be is láthatjuk. Álljon a hurok αszögben a mágneses térhez képest. Ekkor a khosszúságú oldalakra vízszintes F~k erő hat majd, méghozzá egyforma, de ellentétes irányú. EzenF~k erők hatásvonala is egybeesik (ak szakaszok közepéről indulnak, az őket összekötő szakasszal párhuza-mosan), így ezek forgatónyomatéka is összesen nulla. Azlhosszúságú szakaszokra ható erők azonban különböző vonalban hatnak, így ezek forgatónyomatéka összesen nem nul-la lesz. Ha a forgatónyomatékot a hurok középvonalára (mint tengelyre) nézve írjuk fel, akkor az erőkar nagysága
r= kcos(α)
2 (5.36)
𝐹𝑙= 𝐼𝑙𝐵
5.10. ábra. Áramhurok viselkedése mágneses térben. A jobb oldali ábrán a lapra merőleges mágneses térben elhelyezkedő áramhurok látható, amely oldalaira oldalirányúFkLorentz-erő hat, ezek az erők azonban kiejtik egymást. Ha oldalról vizsgáljuk az áramhurkot, felrajzolhatjuk a másik két szakaszra hatóFlerőt is (középen). Ezek összesen forgatónyomatékot hoznak létre, amelyre az ábrán is szereplőM~ =I ~A×B~ összefüggés lesz igaz.
lesz, így a forgatónyomaték nagysága a két erőből összesen
|M~|= 2|F~l|r= 2|F~l|kcos(α)
2 =|F~l|kcos(α). (5.37) Ezt úgy is megkaphatjuk, ha a forgatónyomaték nagyságát
|M~|=|~r×F~l|=rFlsin(90◦−α) =rFlcosα (5.38) módon számoljuk, hiszen az erő és „karja” 90◦−αszöget zárnak be. Azt is megállapít-hatjuk, hogy azlhosszúságú szakaszokra ható erőFl=IlB(hiszen~l⊥B). Két ilyen erő~ hat, így összesenM = 2Flrlesz a forgatónyomaték, és összesítésben a forgatónyomaték (vektorosan)
M~ =I ~A×B,~ (5.39)
aholA~ a hurok „felületi merőlegese”. Ezt a levezetést illusztrálja az 5.10. ábra.
A fenti forgatónyomaték akkor nulla, ha a felületi merőleges és a tér párhuzamosak, azaz a tér éppen „merőlegesen átmegy” az áramhurok kijelölte felületen. Az áramhurok tehát kis mágneses dipólusként és iránytűként viselkedik, a mágneses tér a saját irányába forgatja őt. Az atomokban „keringő és forgó” elektronok is egyfajta áramhurkot hoznak létre (ez az atomok „spinje”), ez okozza az anyagok mágnesességét. A~µ=I ~Avektort mágneses nyomatéknak(momentumnak) nevezzük, az 5.9. ábra ezt jelöli az atomhoz rajzolt nyíl. Az atomra ható forgatónyomaték ekkor M~ = ~µ×B~ módon írható le.
Ez a forgatónyomaték forgatja be az atom spinjét a mágneses tér irányába, illetve összességében az iránytűt is (az egyes atomoknál „fogva”).
5.3.3. A mágneses fluxus és Gauss-törvény
Az elektromossághoz hasonlóan itt is bevezethetjük amágneses erővonalakfogalmát, amelyekre pontosan ugyanazok a szabályok érvényesek, mint az elektromos erővonalak-ra: irányuk a mágneses tér irányát jelzi, sűrűségük pedig a mágneses tér nagyságát.
Továbbá ugyanúgy bevezethetjük amágneses fluxustis:
sík felületre ΦB =B ~~A, tetszőleges felületre pedig ΦB=
Z B ~~dA. (5.40)
A Gauss-törvény itt még egyszerűbben levezethető. Miután az erővonalak csak töltések-ben végződhetnek vagy azokból indulhatnak, mágneses töltések (monopólusok) viszont nincsenek, így a mágneses erővonalak nem keletkeznek és nem érnek véget sehol: (viszont önmagukba záródhatnak, vagy a végtelenből a végtelenbe tarthatnak). Ezért minden zárt felületbe ugyanannyi erővonal megy be, mint amennyi ki, így zárt felület mágneses fluxusa mindig nulla. Az adódó mágneses Gauss-törvényígy fogalmazható meg:
ΦB,zárt= Z
zárt
B ~~dA= 0. (5.41)
Kísérlet: feszültség keltése mágnes mozgatásával
• Vegyünk egy vezető hurkot, vagy több egymás utáni hurkot, azaz tekercset.
• Mozgassunk a tekercs mellett egy mágnest, változtatva a tekercsnél észlelhető mágneses teret.
• A tekercsben feszültség jön létre, amelyet voltméterrel könnyűszerrel kimutatha-tunk.
• Ez a mágneses indukció jelensége, amelyet a következő szakaszban tárgyalunk.
5.3.4. A mágneses indukció
A fenti kísérlet azt mutatja, hogy változó mágneses tér hatására feszültség jön létre egy (hurok alakú) vezetőszál két vége között. A legegyszerűbb példa az, ha a fentiek-nek megfelelően mágnest mozgatunk egy tekercsben, vagy ha egy tekercset mozgatunk helyfüggő mágneses térben. Egy zárt hurok alakú, A felületet körbezáró vezetőben a mágneses tér változása során indukált feszültség nagyságát a Faraday-törvény adja meg:
Uind=−dΦB
dt =−AdB
dt, (5.42)
illetve a feszültség definícióját ismerve Z
zárt
Edl=−dΦB
dt =−AB.˙ (5.43)
Ha nem egy áramhurok van, hanemN darab, azaz egyN menetes,A keresztmetszetű tekercs, akkor minden egyes hurkon a fenti feszültség indukálódik. Végeredményben a teljes tekercsen létrejövő feszültség is N-szer akkora lesz:
Uind=−NdΦB
dt =−NdΦB
dt =−N AdB
dt. (5.44)
Váltakozó B = B0sin(ωt) mágneses tér esetén Uind = −N AB0ωcos(ωt) feszültség indukálódik a tekercsben, azaz az indukált feszültség amplitúdója ekkorU0=N AB0ω módon függ össze a mágneses tér amplitúdójával.
A tárgyalt jelenségetindukciónaknevezzük. Ha a létrejövő (indukált) feszültséget hasznosítani akarjuk, akkor áramot kell termelnünk („hajtanunk”) vele. Ez az áram vi-szont mágneses teret hoz létre (ahogy azt majd a következő szakaszban láthatjuk): ez a létrejövő mágneses térfékezi azt a mágnest, ami a feszültséget indukálta, azaz negatív visszacsatolás jön létre. (Például ha egy mágnest mozgatunk egy tekercsbe befelé, növel-ve ezzel a mágneses teret, akkor a tekercsbeli mágneses fluxus nönövel-vekedése feszültséget indukál a tekercsben, aminek hatására áram folyik majd benne, és az ez által keltett mágneses tér fékezi a mágnesünk befelé haladását.)
Ezt a negatív visszacsatolást Lenz-törvénynek nevezzük, és ezt fejezi ki a fenti egyenletekben a negatív előjel. A Lenz-törvényt precízebben úgy fogalmazhatjuk meg, hogy az indukció során létrejövő hatás ellentétes az őt létrehozó okkal. Tehát a mágneses tér változása feszültséget indukál, a feszültség áramot kelt, ami mágneses teret hoz létre, és ez a létrejövő mágneses tér gyengíti az eredeti mágneses teret. Ha nem lenne mínusz előjel, azaz az indukált áram által keltett mágneses tér hozzáadódna az eredetihez (és erősítené azt), akkor az még nagyobb indukciót hozna létre, az még nagyobb mágneses teret, és így tovább: pozitív visszacsatolás jönne létre. Másképpen megfogalmazva „in-gyen” tudnánk áramot termelni: egy alacsony súrlódású kereket jól megpörgetve és rá mágnest szerelve.
A valóságban éppen az a lényeg, hogy az indukált áram által keltett mágneses tér fékezőereje ellenében végzett munkánk alakul elektromos energiává. Ezt használja ki rengeteg hétköznapi eszköz, többek között a dinamó vagy a generátor: ez a forgási ener-giát (amelyet egy kerék vagy egy turbina forgása szolgáltat) feszültséggé, azaz elektro-mos energiává konvertálja. A hibrid és az elektroelektro-mos autók fékezéskor működésbe lépő energia-visszanyerő rendszere így működik (ahogy például a Forma1-ben a KERS, illet-ve MGU-K rendszerek is). A buszok és kamionok elektromos fékezőrendszere, a retarder is áramot termel a mozgási energiából, de nem feltétlenül hasznosítja azt; e rendszer előnye, hogy nem koptat annyi alkatrészt, és a fékezőhatás jobban szabályozható.
Az indukció elvét használva működött régen (a GPS elterjedése előtt) a biciklik sebességmérője is (a generált feszültség a kerék forgásával, azaz a sebességgel nő). Az indukciós főzőlap működésének az alapja pedig az, hogy egy elektromágnes változó mágneses teret kelt, ez feszültséget indukál az edény aljában, amiben ez áramot indít (ezért nem működik a főzőlap tetszőleges edénnyel), az áram pedig az edény aljában hőleadással jár, tehát az edény felforrósodik.
Érdemes végül megemlíteni egy kiegészítést. Ebben a szakaszban az indukció jelen-ségéről beszélünk, amikor a mágneses tér változása elektromos teret (így feszültséget) generál. A látott, Uind = −NdΦdtB törvény azonban más kontextusban is igaz: ha a mágneses tér időben állandó, azonban magát a tekercset fizikailag mozgatjuk (esetleg szűkítjük-tágítjuk) úgy, hogy emiatt változzon a fluxus, akkor is ezen képlet által meg-adott feszültség keletkezik a vezetékvégek között. Ehhez nem kell változó mágneses tér által keltett elektromos térről beszélni, elég, ha tudjuk, hogy a vezetékben álló elekt-ronokra a vezeték mozgatása miatt mágneses térben erő hat, és emiatt áram is fog indulni.