5. Elektromosság és mágnesesség 141
5.1.3. A fluxus és a Gauss-törvény
A térerősségen túl egy másik fontos absztrakt mennyiséget is definiálunk, amely a ké-sőbbiekben igen hasznos lesz számunkra. Ez a mennyiség az adott felülethez tartozó fluxus. A fluxust adott felületre vonatkoztatva definiáljuk, értéke konstans térerősség és sík felület esetén
ΦE =E ~~A=EAsinα, (5.7)
ahol A~ a felület nagyságával megegyező, a felületre merőleges vektor,αpedig E~ ésA~ bezárt szöge. Fontos látni, hogy mivel a térerősség az erővonalak (felületi) sűrűségét adja meg, így adott felület fluxusa a rajta átmenő erővonalak számát adja meg (a merőlegesség mértékével súlyozva). Ha a térerősség változik, vagy a felület nem sík, akkor azA felületet fel kell bontani infinitezimálisdAfelületelemekre, amelyeken már konstans a térerősség, és ekkor
–
5.2. ábra. Egy töltéspár (dipólus) körüli felületek fluxusai. Az 1. számú felület belseje magába foglalja a pozitív töltést, így ennek fluxusa +Q/0. A 2. számú felület belseje a negatív töltést tartalmazza, így ennek fluxusa−Q/0. A 3. és 4. számú felületeken belül nincsen töltés, vagy összesen nulla töltés van, így a Gauss-tétel értelmében ezek fluxusa nulla.
lesz a fluxus definíciója.
A definícióból következik, hogy ha egy zárt felületen belül nincs töltés, akkor a be-menő vonalak ki is jönnek (csak töltésben végződhetnek!), ezért ezen a felületen a fluxus nulla. Gondoljunk el ezek után egyrsugarú gömböt egy Qtöltés köré. Ekkor a képze-letbeli gömbfelület minden kis eleméredA~ párhuzamos a helyiE~ térerősségvektorral, és minden pontbanE=kQ/r2. Emiatt erre a gömbfelszínre
ΦE=
tehát ΦE = Q/0 a gömb sugarától függetlenül. Ez általánosítható nem gömb alakú, de zárt felületre, illetve több töltést bezáró felületekre is. A végső következtetésünk a Gauss-törvény: összesenQbent töltést tartalmazó zárt felület fluxusa
ΦE,zárt= Z
zárt
E ~~dA= Qbent
0 . (5.10)
A fentieket illusztrálandó, az 5.2. ábrán négy képzeletbeli felület fluxusa látható.
A Gauss-törvényből néhány egyszerű „gyakorlati” következmény adódik:
a) Töltött, tömör vezető test esetén a testen belül mindenholE= 0, mivel különben a belül lévő szabad elektronok mozognának (ez a vezető anyag definíciója: benne lényegében szabad töltések találhatóak, amelyek kis elektromos tér hatására is könnyedén elmozdulnak). Emiatt egy tetszőleges, belül elképzelt zárt felületre a fluxus nulla, ΦE = 0. A Gauss-törvény miatt azonban ezen elképzelt felületen belül ekkor nem lehetnek töltések. Ez a képzeletbeli felület tetszőleges, tehát a vezető test belsejében sehol sem lehetnek töltések, ahogy azt az 5.3.a ábra mutatja. Ez azt jelenti, hogy ilyenkor az összes töltés a test külső felületén gyűlik össze (és akár üreges testre is kiterjeszthető a bizonyítás).
b) Töltött vezető gömb elektromos tere a gömbön belül tehátE = 0. A gömb köré rajzolt A = 4R2π felületű (képzeletbeli) gömbfelszínen a fluxus ΦE = Q/0 = 4πkQértéket vesz fel, ahonnan
Ebent= 0 ésEkint= ΦE A =kQ
R2, (5.11)
𝐸 = 0 ⇒ ΦE,A= 0
5.3. ábra. A Gauss-törvény néhány következménye. Tömör vezető testen belül egyensúlyi hely-zetben nincsenek töltések, legfeljebb a felszínén (a). Vezető gömb tere belül nulla, kívül olyan, mint egy ponttöltésé (b). „Csúccsal” rendelkező objektum körül (kisResetén) igen nagy elekt-romos tér alakulhat ki (c). Üreges vezető belsejében állandó külső tér esetén sem alakul ki elektromos tér, azaz Faraday-kalitka alakul ki (d). Hosszú egyenes vezető (e) és nagy síklap (f) elektromos tere is kiszámítható a Gauss-törvény segítségével.
ahogy azt az 5.3.b ábra mutatja. Ez azt is jelenti, hogy az elektromos tér a gömbön kívül olyan, mintha a gömb helyett az origóban ülő azonos töltésű ponttöltésünk lenne.
c) Csúcshatás: az éles csúcs kis gömbgént viselkedik, itt tehát E = kQ/R2, a csúcshoz nagyon közel (kisResetén)Enagyon nagy lehet, ahogy azt az 5.3.c ábra mutatja. Ez adja a villámhárító működésének alapját: a csúcs nagy elektromos tere ionizálja a levegőmolekulákat, így vezetővé válik a levegő, a villám árama inkább arra fog „folyni” a levegőben, mint máshova.
d) Elektromos térbe helyezett üreges vezető test esetén viszont az következik ebből, hogy az üregben nem lehet elektromos tér sehol! Ez a Faraday-kalitka, ahogy azt az 5.3.d ábra mutatja. Ezt majd a potenciál definíciója segítségével vezetjük le.
e) Egyλ[C/m] lineáris töltéssűrűséggel töltött vezeték elektromos tere a köré rajzolt (képzeletbeli)rsugarú,lhosszúságú hengerrel számolható, ahogy azt az 5.3.e ábra mutatja. Ennek csak a palástján van fluxus, hiszen a végein található síkokon nem megy át a térerősség, hanem éppen párhuzamos azokkal. A palást felszíne A = 2rπl, az ezen belüli töltés Q = λl, innen a Gauss-törvény (ΦE = Q/0)
f) Egyσ [C/m2] felületi töltéssűrűséggel feltöltött síklap elektromos tere ugyanígy (képzeletbeli hasábbal) megkapható. Ennek csak a lapjain van fluxus (hiszen az oldallapjai párhuzamosak a térerősséggel), és ha ezek felszíne A, akkor a bezárt töltésQ=Aσ, ahogy azt az 5.3.f ábra mutatja. Emiatt a fluxus ΦE=Q/0, és a
térerősség
Esíklap=ΦE 2A = σ
20
, (5.13)
azaz konstans (a kettes szorzó amiatt van, hogy összesen kétszer A felületünk van). Két ellentétes töltésű lap között a térerősség ennek kétszerese,
Ekét síklap= ΦE
A = σ 0
. (5.14)
Ezt az elrendezést hívjuk kondenzátornak. Azt is mondhatjuk tehát, hogy az ilyen kondenzátorbanE térerősség eseténQ=EA0 töltés jelenik meg.
Kísérlet: alufóliába tekert mobiltelefon
• Az alufólia elég jó vezető, így a belsejében az elektromos térerősség nulla. Ez sztatikus (időben nem változó) esetre vonatkozik, de eléggé megzavarja a mobil-kommunikáció során küldött jeleket is (amelyek persze térben és időben változó elektromos tér formájában terjednek).
• A fóliába tekert telefont hívva az nem lesz kapcsolható: a fólián belül nem tud jeleket fogadni és küldeni.
• Egy réteg fólia nem biztos, hogy elég, éppen a nagy frekvencia és a tér „behatolási mélysége” miatt.
• Az alufólia elég hamar kilyukad, ami szintén „elronthatja” a kísérletet (a lyukon át mégis bejut a jel).