Kétdimenziós mozgások

A tér harmadik dimenzióját „kihagyó” mozgások kétdimenziósak, ekkor a mozgás síkja az x, y sík. A két irányban történő mozgás független egymástól, ezért kétdimenziós mozgások két darab egydimenziós mozgásból rakhatók össze.

Egyszerű eset, ha a gyorsulásvektor állandó (azaz a nagysága és az iránya is), de nem párhuzamos a kezdősebességgel, ekkorhajításrólbeszélhetünk. Így mozog egy eldobott kő, egy eldobott dartsnyíl, a megütött teniszlabda. A kezdősebességet így írjuk fel:

~

v0= (vx, vy) = (|~v0|cosα,|~v0|sinα). (2.16) Azαitt tehát a kezdősebességnek azxtengellyel bezárt szöge.

Válasszuk meg a koordináta-rendszert úgy, hogy a gyorsulás azy irányba mutasson (például egy tárgy elhajítása esetén a gyorsulás függőleges, legyen tehát ez azy irány, míg az xa vízszintes irány). Ekkor tehát azxirányban egyenletes mozgás,yirányban lefelé mutató, egyenletes gyorsulás alakul ki:

x(t) =x0+vxt=x0+|~v0|cos(α)t, (2.17) y(t) =y0+vyt+a

2t²=y0+|~v0|sin(α)t+a

2t². (2.18)

Egy ilyen „hajítás” esetén gyakran feltett kérdés, hogy az eldobott tárgy milyen messzire repül, mekkora sebességgel ér földet, és mennyi repülés után. A kérdés megválaszolásá-hoz meg kell határozni a kezdőpozíciót: legyen ez az origó, az~r₀= (x₀, y₀) = (0,0) pont.

A vízszintes mozgás egyenletes, tehát a földet érésxkoordinátája (melyetd-vel jelölünk, ez az elért „messziség”) ést_f időpontja között teljesül, hogyd=v_xt_f. A mozgás teljes idejét, tf-et a függőleges mozgásból határozhatjuk meg: ha a hajítás egyhmagasságú épületről történt, akkor földet éréskor az y koordináta értéke −h, hiszen a kezdőpont volt az origó. A gyorsulás valójában lefelé mutat, tehát negatív előjellel vehetjük, a megoldandó egyenlet innen −h = vytf − ^a₂t²_f. Ezen formula segítségével kísérletet is végezhetünk: a repülési idő és távolságok mérésével a gyorsulás meghatározható. Fon-tos tapasztalat, hogy a Föld felszínéhez közel szabadon elengedett tárgyak gyorsulása g = 9,81 m/s² (a valóságban ezt a gyorsulást csökkenti a közegellenállás, ahogy látni fogjuk, illetveg értéke csekély mértékben a földrajzi koordinátáktól is függ). A hajítást illusztrálja a 2.2. ábra.

𝑥₀, 𝑦₀ = 0,0

𝑑, −ℎ

−ℎ

𝑑 𝑥 = 𝑥₀+𝑣_0,𝑥𝑡 𝑦 = 𝑦0+𝑣0,𝑦𝑡 +𝑎

2𝑡² Ԧ

𝑎 = 0, −𝑔 𝑎 = 𝑎_𝑦= −𝑔

A földet éréskor:

𝑑 = 𝑣_0,𝑥𝑡

−ℎ = 𝑣0,𝑦𝑡 −𝑔 2𝑡²

2.2. ábra. A hajítás kinematikája. Az ábrán látható módon kaphatjuk meg, hogy egy adott irányban adott sebességgel elhajított labda (tömegpont) milyen messzire repül. A gondolatme-net kiindulópontja, hogy a két dimenzióban független a mozgás, tehát a földet érésig megtett vízszintes út a függőleges zuhanás idejéből kapható meg.

A kétdimenziós mozgások másik egyszerű esete a körmozgás. Itt a pont pályája egy kör, amelynek definíciója szerint|~r|=R= állandó (ha célszerűen az origót a kör középpontjába tesszük). A pont helyzetét azx ésy koordináta megadása helyett egy szöggel is definiálhatjuk, azaz megadhatjuk a helyet polárkoordinátákban:

~r(t) = (Rsinα(t), Rcosα(t)). (2.19) Definiálhatjuk továbbá aszögsebességetmint az időegység alatti elfordulást:

ω= dα

dt. (2.20)

Egyenletes körmozgásrólbeszélünk, haωállandó. Ekkor aT periódusidő (teljes kör, azaz 2πmegtételéhez szükséges idő) és a szögsebességω= 2π/T módon függ össze. Az adott helyzethez tartozó szög pedig a szögsebesség állandósága miattα(t) =ωt. A hely, a sebesség és a gyorsulás pedig:

~

r(t) = Rsin(ωt), Rcos(ωt)

, (2.21)

~v(t) = ˙~r(t) = (Rωcos(ωt),−Rωsin(ωt)), (2.22)

~a(t) = ˙~r(t) = (−Rω²sin(ωt),−Rω²cos(ωt)). (2.23) Innen könnyen belátható, hogy~r⊥~v, hiszen a~r·~vskalárszorzatuk nulla (a komponen-sek szorzása és összeadása alapján). A sebességvektor nagysága is könnyen kiszámítható:

|~v(t)| =ωR = állandó, és miután ez a helyre merőleges, azaz kerületi irányú, kerüle-ti sebességnek nevezzük. Szintén belátható, hogy ~a(t) = −ω²~r(t), azaz a

gyorsulás-Ԧ𝑟 = 𝑅 cos 𝜔𝑡 , 𝑅 sin 𝜔𝑡 Ԧ

𝑣 = −𝑅𝜔 sin 𝜔𝑡 , 𝑅𝜔 cos 𝜔𝑡 Ԧ

𝑎 = −𝑅𝜔

sin 𝜔𝑡 , 𝑅𝜔

cos 𝜔𝑡 Ԧ𝑟 = 𝑅, 𝑎 Ԧ = −𝜔

Ԧ𝑟

Ԧ

𝑎 = −𝜔

𝑅 , 𝑎 Ԧ ∥ Ԧ𝑟 Ԧ

𝑣 = 𝑅𝜔, 𝑣 Ԧ ⊥ Ԧ𝑟 𝑅

2.3. ábra. A körmozgás kinematikája. Látható, hogy míg a hely-, sebesség- és gyorsulásvekto-rok iránya egyenletesen forog, addig hosszuk állandó, és a kör sugarából és a szögsebességből adódik.

és a helyvektor párhuzamosak. Előbbit (azaz körmozgás esetén a kör középpontja felé mutató gyorsulást) centripetális gyorsulásnak nevezzük, nagysága pedig

|~acp|=ω²|~r|=ω²R. (2.24) Mindezeket a 2.3. ábra illusztrálja. Az is belátható, hogy az egyenletes körmozgást végző test x(t) ésy(t) koordinátája is éppen harmonikus rezgést végez, hiszen például x(t) =Rsin(ωt); és itt a szögsebesség éppen a körfrekvenciával egyezik meg.

Az egyenletes körmozgásra jó példa a Föld Nap körüli keringése. Ennek során körül-belül 365 nap alatt tesz meg egy teljes kört, szögsebessége tehátω= 2π/(365 nap), azaz körülbelül 2·10⁻⁷1/másodperc. Az ehhez tartozó sebesség a pálya átlagosan 150 millió kilométeres sugarát figyelembe véve körülbelül 30 km/s, azaz 100 000 km/h! Ekkora átlagos sebességgel mozog tehát a Föld a Nap körüli pályáján. Érdemes azt is megemlí-teni, hogy a Föld saját tengelye körüli forgásának szögsebessége 2π/nap, a Földnek az egyenlítőnél vett 6378 km-es átlagos sugarával számolva ebből 463 m/s, azaz körülbelül 1700 km/h sebesség adódik. Ekkora sebességgel mozgunk tehát a Föld tengelye körül – az egyenlítőnél, máshol a kisebb sugár miatt a földrajzi szélesség koszinuszával szorzott érték adódik.

Nem egyenletes körmozgás esetén lehetszöggyorsulásrólis beszélni, ennek definí-ciója értelemszerűenβ=dω/dt=d²α/dt². Haβ6= 0, akkor van érintőirányú gyorsulás is, ezt a_⊥ módon jelölhetjük, és nagysága |~a⊥| = Rβ. Változó módon gyorsuló kör-mozgást végez például az inga, amelynek függőlegessel bezárt szöge α=α₀cos(2πt/T) szerint változik.

Érdemes hozzáfűzni, hogy a szögsebességre (és a szöggyorsulásra is) sokszor vektor-ként tekintünk, amely a forgástengely irányába mutat, a jobbkéz-szabály szerint (azaz ha jobb kezünk behajlított ujjai irányába történik a forgás, akkor~ωa hüvelykujjunk irá-nyába mutat). A szögsebesség vektor jellegét is figyelembe véve a sebességre a~v=~r×~ω összefüggés lesz érvényes az egyszerű v = Rω helyett – mivel eddig síkbeli mozgásról beszélünk, az~rvektor mindig merőleges volt a forgástengelyre, ezért a két felírás egyen-értékű. Általánosabb esetben, nem síkbeli körmozgás esetén azonban már a vektoriális összefüggést kell figyelembe vennünk: ilyen kerül elő például a forgó Föld felszínén való mozgások tanulmányozásakor.