• Nem Talált Eredményt

2. Klasszikus mechanika 19

2.2. Newton törvényei

2.2.1. Isaac Newton

Isaac Newton annyira jelentős alakja a klasszikus fizikának, hogy életét nagyon röviden itt is összefoglaljuk. Newton 1642. december 25-én született Woolsthorpe Manorban, Angliában, földműves apja halála után három hónappal. Tizenkét és tizenhét éves kora között a The King’s Schoolba járt Granthamben, ahol matematikát nem tanult (de latint igen). 17 éves korában az időközben újraházasodott anyja újra megözvegyült, ezért hazavitték azzal a céllal, hogy (akarata ellenére) a földeken dolgozzon. Iskolai tanára javaslatára azonban visszamehetett, és ekkor már éltanuló lett.

1661-ben nagybátyja ajánlásával felvették a cambridge-i Trinity College-ba. Itt el-sősorban Arisztotelész munkái alapján tanítottak, de Newton modern tudósok ered-ményeit is tanulta, mint például Descartes, Galilei vagy Kepler. 1665-ben felfedezte a binomiális tételt, és elkezdte kifejleszteni matematikai elméletét, amelyet később kalku-lusnakneveztek el. Ezután a cambridge-i iskola a pestis miatt két évre bezárt. Newton ez alatt jelentős fejlődést ért el matematikai munkáival, valamint a gravitáció és az optikakutatása terén. 1667-ben visszatért Cambridge-be, és 1669-ben professzor lett.

Ebben az évben írta meg a De analysi per aequationes numeri terminorum infinitas („A végtelen sorok elemzéséről”) és a De methodis serierum et fluxionum („A sorok és fluxiók módszeréről”) című műveit, amelyek lefektették adifferenciálszámítás és integrálszámításalapjait (a könyvek azonban fizikai megfontolásokon nyugvó leveze-tésekre épültek). Ugyanakkor Leibniz tőle függetlenül szintén kifejlesztette lényegében ugyanezeket a matematikai módszereket, és ezért komoly vita és ellenségeskedés volt közöttük. Ma Leibniz jelölésrendszerét használjuk, a brit matematikusok is ezt vet-ték át az 1800-as években. Newton vitára kész, de nem teljesen jóindulatú természetét illusztrálja Hooke-nak írt levele, akivel szintén vitában állt (optikai felfedezésekkel kap-csolatban): „Ha messzebbre láttam, mint mások, csak azért volt, mert óriások vállán álltam”. Ezzel (az egyébként XII. századi metaforával) sokak szerint nem szerénységét fejezte ki, hanem Hooke alacsony termetén gúnyolódott.

Newton fő műve, a Philosophiae naturalis principia mathematica („A természetfi-lozófia matematikai alapjai”) avagy a „Principia” 1684-87 között íródott. Ebben (noha még nem a maga által kifejlesztett differenciálszámítási jelölést használta, hanem szó-ban fogalmazta meg állításait) lefektette aklasszikus mechanika alapjait, amelyek bizonyos keretek között (nem túl nagy sebességek, nem túl nagy vagy túl kicsi távol-ságok és méretek, nem túl nagy tömegek) máig érvényesnek bizonyultak. Könyvében definíciókat és axiómákat adott meg, majd részletezte a testek mozgásának leírását, be-vezette agyorsulás, atehetetlen tömegés azerőfogalmát, és beszélt a súrlódásról és a gravitációról. Fő cél számára a mozgás okának kutatása volt. A megfigyelőkkel és koordináta-rendszerekkel is foglalkozott, bevezette azinerciarendszer fogalmát is.

Élete második felében politikai pályára lépett, az angol parlament tagja lett, a Kirá-lyi Pénzverde vezetője, 1705-ben pedig (sokak szerint az azon évben tartott választások-kal összefüggésben) lovaggá ütötték. 1727. március 20-án álmában hunyt el Londonban, sírja a westminsteri apátságban található.

2.2.2. Newton három törvénye

A görög természetfilozófia korában azt gondolták, hogy minden mozgás fenntartásához hatásra van szükség, a testek természetes állapota a nyugalom, ezért minden magától megáll. Newton első törvénye alapvetően megújította ezt a világképet, kimondva, hogy

egy test megtartja egyenes vonalú egyenletes mozgását, amíg valami annak megváltoztatására nem kényszeríti.

Ez persze nem minden megfigyelő szerint van így: az induló vonatból nézve a pályaudvar peronján álló bőrönd magától elindulni látszik („hátrafelé”). Azt a koordináta-rendszert (avagy megfigyelőt), ahol a fenti törvény, Newton első törvénye tényleg igaz, inercia-rendszerneknevezzük (a „tehetetlenség” jelentésű latin „inercia” szóból).

Ha megfelelő koordináta-rendszert, azaz inerciarendszert választunk, akkor tehát a mozgásállapot megváltozása csak kölcsönhatás eredményeként következhet be. Egysze-rűen látható, hogy inerciarendszerek egymáshoz képest nem gyorsulhatnak, hiszen ha tennék, az egyik szerint nyugvó, magára hagyott test a másik szerint gyorsulna. Ezért néha azt mondjuk, hogy az inerciarendszerek „nem gyorsuló” koordináta-rendszerek, ami valamelyest pongyola fogalmazás, hiszen valójában egymáshoz képest nem gyorsul-nak.

Gyorsuló koordináta-rendszerben viszont természetesen elmozdulhatnak tárgyak ma-guktól, ezekben nem érvényes Newton első törvénye (és a többi is csak módosított formában lesz az). Ilyen a gyorsuló lift, repülő, autó, vagy az éppen elinduló vonat:

a padlóra rakott bőrönd magától elgurul/felborul. Ezt részletesebben a tehetetlenségi erőknél tárgyaljuk.

Newton első törvényének fenti megfogalmazása tehát mintha kicsit „körkörös hi-vatkozás” lenne. (Hol érvényes a törvény? Válasz: inerciarendszerben. Mi az inercia-rendszer? Válasz: ahol érvényes Newton első törvénye.) Valójában azonban mégis ki-mondható pozitív tartalmú állítás, a következőképpen:létezik olyan rendszer (amit ak-kor inerciarendszernek hívhatunk), amiből nézve egy magára hagyott test megtartja egyenes vonalú egyenletes mozgását. Ebből persze, mint láttuk, következik, hogy egy inerciarendszerhez képest egyenes vonalú egyenletes mozgást végző másik rendszer is inerciarendszer.

Egy konkrét inerciarendszert nem is olyan egyszerű megnevezni: a Föld eleve forog és kering, de a Naprendszer is kering a Tejútrendszer középpontja körül. Az ezekhez rögzített koordináta-rendszerek nem inerciarendszerek! A gyakorlatban elhanyagolható az ebből adódó hatás, jó közelítéssel igaz, hogy a Földön a magukra hagyott tárgyak nem mozdulnak meg maguktól.

Newton második törvényeazt is megadja, hogy mi történik, ha egy testet „nem hagyunk magára”, azaz valamilyen módon hatunk rá. Ekkor a test gyorsulni kezd, és a testre ható erő arányos a test gyorsulásával, azaz

F~ =m~a, vagy ha több erő is van, akkor X

i

F~i=m~a. (2.25)

Mindez csak inerciarendszerben igaz.

A fenti definíció tulajdonképpen azm-mel jelölt tömeg definíciója is. Ez a test állandó tulajdonsága, amely a „gyorsíthatóságát befolyásolja”, azaz a tehetetlenségét jelenti. Az egyenletbenF az erőt jelöli, ez a mennyiség hozza létre a gyorsulást. Mértékegysége a N (newton). Egy test akkor tarthatja meg mozgásállapotát (azaz akkor nem gyorsul), ha a rá ható erők összege nulla. A test egyensúlyának feltétele tehát a P

iF~i = 0 egyenlet, és ekkor a = 0. Vegyük észre, hogy ebből természetesen következik az első törvény: pontosan akkor nincsen gyorsulás, ha nincsen erő sem (vagy ezek összege nulla).

Ez a legfontosabb mechanikai törvény, minden mechanikai probléma esetén ebből kell kiindulnunk.

Fontos ugyanakkor látni, hogy nem inerciarendszerben magától megmozdulhat egy tárgy: gyorsulhat erő nélkül, mert itt nem érvényes ez a Newton-törvény sem. Hogy mégis használhassuk, illetve hogy „megmagyarázzuk” az erő nélküli gyorsulást, beve-zetünk képzeletbeli erőket, amelyeket figyelembe lehet venni a tényleges erőkön kívül.

Ezen képzeletbeli erők a tehetetlenségi erők,~a-val gyorsuló rendszerben a tehetetlen-ségi erő nagysága −m~a. Egy gyorsuló rendszerben, ha csak a tehetetlenségi erő hat a testre, „kívülről” nézve nem gyorsul, de „belülről”, a gyorsuló rendszerből nézve igen, mivel „kimozog” alóla a koordináta-rendszer. A belülről nézett gyorsulása ekkor éppen a rendszer gyorsulásának az ellentettje, tehát−a. Ezt pedig csak egy−maerő okozhatná, ha érvényes lenne a második Newton-törvény. Ezért vezetjük be egy ilyen erő létezését.

Jó példa erre a forgó koordináta-rendszer, amelynek minden pontja a középpont felé gyorsul (ez a centripetális gyorsulás), így ezzel ellentétesm·a tehetetlenségi erő „jön létre”: ez a centrifugális erő. A tehetetlenségi erőket részletesebben a 2.3.1. szakaszban tárgyaljuk.

Newton harmadik törvénye a következőképpen foglalható össze:

Ha egy test erővel hat egy másikra, akkor a másik ugyanakkora, ellentétes irányú erővel hat az elsőre.

Ez utóbbit ellenerőnek hívjuk, a törvény tehát az erő-ellenerő törvényének is nevezhető.

Ezen törvény figyelembevételére is szinte minden mechanikai probléma esetén szükség van. Például az asztalon nyugvó tárgyat a súlyának megfelelő erővel tartja azt asztal (tehát a tárgy tényleg nem gyorsul, nem esik át az asztalon), így tehát a tárgy is ugyanekkora erővel nyomja az asztalt. A padló nyomja felfelé a rajta álló embert, az ember pedig lefelé a padlót. A Hold vonzza a Földet, a Föld pedig ugyanekkora erővel vonzza a Holdat. A puska nagy erővel gyorsítja a golyót – de a golyó is visszalöki a puskát ugyanekkora erővel, az pedig a lövészt.

2.2.3. Newton törvényeinek egyszerű alkalmazásai

Newton első törvényét például egyenes vonalú egyenletes mozgás esetén alkalmazhatjuk:

ilyen mozgás esetén nincs gyorsulás, így Newton törvénye alapján az így mozgó tárgy-ra nem hathat erő. A második törvénnyel előrejelzést is tehetünk: állandó erő esetén egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló mozgás jön létre. Miután tapasztalataink szerint a Földön magukra hagyott (elengedett) testek állandóa=gnehézségi” gyorsulással zuhannak lefelé, ezért Newton második törvényéből adódóan rájukF =mgerőnek kell hatnia. Ezt nevezzük nehézségi erőnek, vagy másképp az adott test súlyának.

Kétdimenziós mozgásokban is alkalmazhatjuk a második törvényt: ha F~ állandó (mint például egy hajítás esetén), akkor~aállandó. Ha tehát csak a függőlegesen lefelé mutató mg nehézségi erő hat a testre, akkor a gyorsulásvektora is függőleges, nincs vízszintes komponense: vízszintesen tehát egyenletes mozgást végez az elhajított test.

Egy másik példa az egyenletes körmozgásé, itt (ahogy korábban láttuk) a gyorsulás (a centripetális gyorsulás) a középpont irányába mutat, nagysága pedig |a| =ω2R =

|v|2/R. Ilyen mozgást Newton második törvénye alapján csak olyan erő okozhat, amely mindig a középpont felé mutat, és nagysága pedig

Fcp=mRω2. (2.26)

Ha ilyen összefüggésben beszélünk róla, a körmozgást „okozó” erőtcentripetális erő-nek hívjuk. Minden körmozgást végző testre összesen éppen ekkora erőnek kell hatnia, ezért végezhet körmozgást. Hogy mi fejti ki az erőt, az már a konkrét példa kérdése, de lehet például a kötél (pörgetett tárgy esetén), a gravitáció (műholdak, bolygók mozgása) vagy a biztonsági öv (kanyarodó autó esetén).

Kísérlet: gravitációs gyorsulás mérése

• Hasonlóan a korábbi kísérlethez, itt is ejtsünk le egy tárgyat néhány méter ma-gasságból, és többen is mérjük meg a zuhanási idejét, stopperrel történő mérés esetén a reakcióidő szerepére ügyelve.

• Az átlagos zuhanási időből – egyenletes gyorsulást feltételezve – számítsuk ki, hogy mekkora volt a gyorsulás.

• Vessük ezt össze az ismert nehézségi gyorsulási értékkel, és a tárgy tömegét is ismerve határozzuk meg a gravitáción kívül fellépő (közegellenállási) erő nagy-ságát.

2.2.4. Lendület és tömegközéppont

Newton második és harmadik törvényének fontos következménye, hogy bevezethetjük a lendületfogalmát, illetve beláthatjuk annak megmaradását. Newton egyenlete alapján F =ma, azazF =mv. Eszerint egy ∆t˙ idő alatt ható átlagos erő

F =∆(mv)

∆t , (2.27)

azaz azmvmennyiség időegység alatti megváltozása. Ezt nevezzük el impulzusnak vagy magyarul lendületnek:

p=mv , tehátF =∆p

∆t , innen ∆p=F∆t. (2.28) Az impulzus standard mértékegysége kgm/s. Egy 36 km/h (10 m/s) sebességű, egyton-nás autó impulzusa például 10 000 kgm/s, míg egy 180 km/h (50 m/s) sebességű, 100 g tömegű teniszlabdáé 5 kgm/s.

Alkalmazzuk most Newton harmadik törvényét. Eszerint két tárgy kölcsönhatásuk soránF, illetve−F erővel hat egymásra. Ha külső erők nincsenek, akkor az impulzusok megváltozása: ∆p1 = F∆t és ∆p2 = −F∆t. Innen az összimpulzusuk megváltozása

∆p = ∆(p1+p2) = ∆p1+ ∆p2 = 0. Azaz az összimpulzus változatlan, másképpen:

p1+p2 = állandó. Ez az impulzusmegmaradás törvénye, amely igen nagy jelen-tőségű törvény a fizikában, minden körülmények között érvényes marad (még a kvan-tumfizika és a relativitáselmélet világában is, ahol sok más törvény megkérdőjeleződik vagy módosul). Ebből adódik, hogy egy falon/földön azonos sebességgel, rugalmasan visszapattanó labda által átadott impulzus ∆p= 2mv, mivelmv lendületből−mv lesz.

A labda által kifejtett erőhatás az impulzusátadás sebességétől függ, mivelF = ∆p/∆t.

Az előző bekezdés végén említett teniszlabda tehát 10 kgm/s impulzust ad át a Földnek, amely körülbelül 6·1024 kg tömege miatt ekkor 10−24 m/s nagyságrendű sebességgel kezd ellenkező irányú mozgásba. Ez persze lényegében elhanyagolható. (Ugyanakkor száz év alatt annyi teniszlabdát pattintanak le világszerte, hogy annak akár hatása is lehetne – vagy nem? A következőkben erre is választ kapunk.)

Az impulzusmegmaradás szerint tehát két tömegpont eseténm1v1+m2v2= állandó, azaz ugyanannyi minden pillanatban. Ezt úgy is írhatjuk, hogym1r˙1+m2r˙2= állandó, azaz:

m1

∆r1

∆t +m2

∆r1

∆t = ∆(m1r1+m2r2)

∆t = állandó. (2.29)

Ez tehát azt jelenti, hogy ha bevezetjük a tömegközéppontrtkp= (m1r1+m2r2)/(m1+ m2) helyét és azm=m1+m2 össztömeget, akkor:

m∆rtkp

∆t =mvtkp= állandó. (2.30)

Ez azrtkphely jelöli ki a rendszertömegközéppontját, amely háborítatlanul mozog, egyenletes mozgást végez, ha nem hat a rendszerre kívülről semmilyen erő. Ennek oka az, hogy a rendszeren belül ható, belső erők nem tudják megváltoztatni a rendszer összesített impulzusát. A fentiekben ezt két tárgyból álló rendszerre vezettük le, de természetesen általánosságban is igaz. Tehát valójában akárhány labdát is pattintunk le a Földön, a Föld és a rajta lévő összes tárgy összesített tömegközéppontja akkor sem mozdul el sosem. Egy mozgó labda esetében is fontos ez: benne az atomok és molekulák mozgásban vannak, kölcsönhatnak, de a tömegközéppont úgy mozog, mint ha a labda egy pont lenne. Ezért kezelhetjük a sok pontból álló rendszereket is egy tömegpontként, ha csak az „egészében” való mozgásra vagyunk kíváncsiak.

Kísérlet: tömegközéppont mozgásának vizsgálata

• Egy mérőszalag mellett vizsgáljuk meg két labda egydimenziós mozgás során történő ütközését.

• Néhány időpillanatban vizsgáljuk meg a tömegközéppont helyzetét.

• A helyzetek különbségéből következtessünk a sebességre.

• Ha az ütközésen kívül minden egyéb hatás elhanyagolható, akkor a tömegkö-zéppont várhatóan állandó sebességű mozgást végez. Ellenőrizzük, hogy ez így van-e.

Buszból Kívülről

𝒂 > 𝟎 𝒂kívülről = 𝟎

2.4. ábra. A tehetetlenség illusztrációja: a fékező buszból nézve a bőrönd „magától” gyorsul, míg kívülről nézve a busz lassul, a bőrönd pedig egyenes vonalú egyenletes mozgást végez.