2. Klasszikus mechanika 19
2.4. Egyszerű dinamikai rendszerek
2.4.1. Harmonikus oszcillátor, visszacsatolás, rezonancia
A 2.1.3. szakaszban láttuk, hogy a rezgőmozgás során a helyzetr=A·sin(ωt+φ) módon függ az időtől, így a gyorsulása=−Aω2·sin(ωt+φ), azaza=−ω2r. Az ezt létrehozó erőF =−mω2rkell hogy legyen, tehát az egyensúlyi helyzettől való eltéréssel arányos, és azzal ellentétes irányú. Ezt negatív visszacsatolásnaknevezzük, hiszen az erő az azt „okozó” kitérés ellenében hat. Az ilyen erő a fentiek értelmében rezgőmozgást hoz létre az egyensúlyi helyzet körül, ha a rendszert „kitérítjük”, majd magára hagyjuk. A rendszer ekkor felvett frekvenciája a „sajátfrekvencia”, amelyen magától oszcillál.
Induljunk most visszafelé: abból, hogy egy testre a nyugalmi helyzetéből való ki-térése esetén F = −Dr erő hat. Az erő tehát arányos a kitéréssel, és azzal ellentétes irányú. Ha figyelembe vesszük, hogy a gyorsulás a helyzet második deriváltja, és felírjuk Newton második törvényét, akkor a negatívan visszacsatolt rendszer, a harmonikus oszcillátordifferenciálegyenletét kapjuk meg:
m¨r(t) =−Dr(t), ebből tehát r(t) =A·sin(ωt+φ), ahol ω= rD
m. (2.42) Azω =p
D/ma rendszer saját körfrekvenciája, illetve ebbőlf =p
D/m/2πa saját-frekvencia. Ennek egyszerű következménye az, hogy minél nagyobb az adott kitéréshez tartozó visszatérítő erő (azaz minél nagyobb a D együttható), annál nagyobb lesz a rendszer sajátfrekvenciája. Azonos erő, de nagyobb tömegű test esetében viszont las-sabb lesz a rezgés.
A természetben sokszor fordul elő negatív visszacsatolás (gazdaság, ökológia, kémia, fizika), ezért a fentiekben leírt harmonikus oszcilláció gyakori. A negatívan visszacsatolt rendszereketönszabályozónakis nevezzük, hiszen a rendszerben fellépő erő vagy ha-tás az egyensúlyi helyzetbe való visszatérést segíti. Ilyen rendszerre példa a rugó, amely F =−Drerőt hoz létre. Populációs modelleket is lehet példának hozni: legyen egy faj számára rendelkezésre álló táplálék fix mennyiségű. Ekkor ha alacsony az egyedszám, akkor könnyű a táplálékhoz való hozzáférés, magas a szaporulat. Ha viszont magas az egyedszám, akkor épp emiatt alacsony a szaporulat. Ezen egyszerű modellben az ideális egyedszám körüli harmonikus oszcillációt figyelhetünk meg.3 Hasonlóan a gazdaságban is oszcillációkat figyelhetünk meg, a ciklusok élénkülés, virágzás, válság és pangás egy-másutánjának ismétlődését jelentik. Mindegyik rendszer közös jellemzője az egyensúly felé visszatérítő hatás, azaz a negatív visszacsatolás.
Apozitív visszacsatolásannyiban különbözik ettől, hogy ekkor az erő a kitérés-sel azonos irányba hat. Így minél nagyobb a kitérés, annál nagyobb az erő, így még nagyobb a kitérés, és ezért még nagyobb az erő, és így tovább (ez a pozitív visszacsato-lás lényege). Ennek differenciálegyenletem¨r(t) = +Dr(t) és az így működő rendszerek minden határon túl erősödnének, mert az egyenlet megoldása exponenciális függvény, r(t) =Aeωt, aholω2=D/m. Egy idő után a rendszer fizikai korlátai gátolják a további
3Ez csak személtetése a problémának; valójában használatos, értelmes modell például a Lotka–
Volterra-egyenletek által felállított rendszer, amely ragadozó és zsákmány populációdinamikájának kölcsönhatását írja le.
kitérés, 𝑟(𝑡)
idő, 𝑡 𝑧 = 1.2 𝑧 = 0.3 𝑧 = 0.1 𝑧 = 𝑘
2 𝑚𝐷 𝑚 ሷ𝑟 𝑡 = −𝑘 ሶ𝑟 𝑡 − 𝐷𝑟(𝑡)
2.7. ábra. Test kitérésének időfüggése csillapított rezgés esetén. Látható, hogy az csillapítási hányadostól függ a rezgés lecsengése.
erősödést. Pozitívan visszacsatolt rendszer például egy ritka, de sikeres faj egyedszá-mának változása: minél többen vannak, annál több utódot nemzenek, ezért kezdetben akár exponenciálisan nőhet a számuk. Ugyanígy, egy piaci vákuumban megjelenő válla-lat bevételei is exponenciálisan nőhetnek: a hasznot visszaforgatva nő a termelés, ami tovább növeli a hasznot. Mindkét esetben egy idő után egyfajta telítődés indul be, és megszűnik a pozitív visszacsatolás.
A fentiekben idealizált, súrlódástól, közegellenállástól és egyéb „lassító” erőktől men-tes rendszereket tárgyaltunk. A valóságban ezen csillapító erőket is figyelembe kell venni, amelyek a rendszerben tárolt energia csökkenését, disszipációját eredményezik. Egysze-rűen tárgyalhatóak az úgynevezett csillapított rezgések, amelyekben a mozgást a sebességgel arányos erő lassítja. A megoldandó differenciálegyenlet ekkor
m¨r(t) =−kr(t)˙ −Dr(t), (2.43) és ennek megoldása egyre csökkenő amplitúdójú oszcilláció, ahogy azt a hétköznapi rezgések során láthatjuk.
A differenciálegyenlet megoldása alapján a rezgés amplitúdója az=k/2√
mD csil-lapítási hányadostól függően csökken az időben, ahogy azt a 2.7. ábra mutatja. Mindez azonban csak z <1 esetén igaz, z ≥1 esetén a rendszer oszcilláció nélkül visszatér a kezdeti helyzetébe (méghozzáz= 1 esetén a leggyorsabban). Azhányados a rezgésben tárolt energia rezgési periódusonként elvesztett (disszipálódott) részét jelképezi.
Kényszerrezgésesetén egyωkörfrekvenciájú periodikus rezgető erő hozza létre az oszcillációt. Ekkor a rendszer differenciálegyenlete
m¨r(t) =−kr(t)˙ −Dr(t) +F0sin(ωt), (2.44) Ennek megoldása bonyolult, itt most nem írjuk fel. Azt azonban fontos tudni, hogy adottF0 amplitúdójú rezgetés hatására egy idő után beáll valamekkora amplitúdóval egy oszcilláció. Hogy mekkora maximális rezgési amplitúdó jöhet létre, az a csillapí-tástól és a rezgető erőω körfrekvenciájától függ. A rezgető erőhöz képest az amplitúdó
𝑧 = 𝑘 2 𝑚𝐷
er ős ít és
rezgetés frekvenciája
𝜔0rezonanciafrekvencia
𝑧 = 0.01 𝑧 = 0.02 𝑧 = 0.04 𝑧 = 0.08 𝑧 = 0.12
2.8. ábra. A kényszerrezgés során létrejövő erősítés a rezgetés frekvenciájának függvényében, különböző csillapításokra. Maximális az erősítés, ha a rezgetés frekvenciája megegyezik a rend-szer sajátfrekvenciájával (azaz a rezonanciafrekvenciával). Csillapítás híján ilyenkor az erősítés minden határon túlnő, azaz a rendszer eléri fizikai korlátait.
jelentősen felerősödhet, különösen akkor, ha a rezgetés frekvenciája közel van a rendszer ω0 =p
D/m saját körfrekvenciájához: ez arezonancia jelensége. Ezt úgy érthetjük meg, ha a hinta példájára gondolunk: ha mindig a jó pillanatban lökjük meg, akkor mindig gyorsítunk rajta kicsit, ezért a rezgés amplitúdója nagyon nagyra nőhet, kis
„lökdösés” hatására is. Gondolhatunk egy jó ütemmel rázott fára is: ha a fa saját „len-gésének” frekvenciáját eltaláljuk, igen nagy kilengésre kényszeríthetjük. Az erősítés az 1/p
(2zω0)2+ (1−ω2/ω20)2 alak szerint írható fel, ahol z = k/2√
mD továbbra is a csillapítási hányados,ω0=p
D/mpedig a rendszer sajátfrekvenciája. A 2.8. ábrán lát-hatjuk az erősítés csillapítás- és frekvenciafüggését. Az erősítés nő, ahogy ω közeledik ω0értékéhez (hiszen ekkor a gyök alatti kifejezés egyre kisebb), azaz egyre inkább elta-láljuk a rendszer sajátfrekvenciáját.4 Nagyon kis csillapítás esetén ekkor extrém nagy erősítés léphet fel, azaz a rendszer eléri a fizikai korlátait (összedől, eltörik satöbbi). Ez a rezonanciakatasztrófajelensége.
Kísérlet: rezonancia létrehozása
• Szemeljünk ki egy rögzített, de rezgésre képes tárgyat: a tábla, egy pad, egy oszlop megfelelő lehet.
• Próbáljuk meg kilengetni, különféle gyorsasággal és erősséggel megmozgatva.
• Állapítsuk meg, hogy magára hagyva milyen frekvenciával rezeg tovább.
• Vegyük észre, hogy ezen a sajátfrekvencián rezgetve igen kis erősségű hatással is nagy kilengés érhető el.
4Az erősítés valójában akkor a legnagyobb, ha a rendszer éppen azωr =ω0
√1−2z2 rezonancia-frekvencia értékét veszi fel, amely kis csillapítás (z1) esetén körülbelül megegyezik a rendszerω0
sajátfrekvenciájával.
2.4.2. Közegellenállás
A csillapító erők egyik jó példája aközegellenállás, amely bizonyos körülmények között a sebességgel arányos, azzal ellentétes irányú erőt hoz létre:F ∼ −v.5 Ha a közegellen-állási együtthatóα, akkor az erő
F =−αv. (2.45)
A légkörben való zuhanás során a sebesség egyre nő, emiatt viszont a légellenállás is egyre nő. Ha a légellenállás éppen megegyezik a gravitációs erővel, kiejtik egymást.
Ekkor tehát a testre ható erők összege nulla, azaz egyenletes mozgás jön létre. Ennek feltétele tehátF =mg−αv= 0, innen a zuhanás határsebessége
vmax=mg
α . (2.46)
Az esőcseppek ezen jelenség miatt nem ütnek lyukat az esernyőkbe (vagy annak híján a fejünkbe): azs=at2/2 ésv=atösszefüggésekből egyenletes gyorsulás eseténv=√
2sa sebességet érnének el. Ezért 1000 m magasságból 10 m/s2 gyorsulással zuhanva körül-belül 140 m/s, azaz körülkörül-belül 500 km/h sebességük lenne. Ehelyett sokkal korábban beáll egy egyenletes sebességük, és azzal érnek földet.
Nagy sebességeknél azonban a sebesség négyzetével arányos erő lép fel, pontosabban ekkor a közegellenállás
F = 1
2ρcAv2 (2.47)
nagyságú, ahol c a test alakjára jellemző arányossági tényező, A a tárgy sebességre merőleges felülete (keresztmetszete),ρa közeg sűrűsége.6Az alaktényező 0,1–1,0 körüli szám („áramvonalas” testre 0,05 is lehet, autók esetén 0,3 körüli, kockára 1,05). Autókra acAszorzat 0,5−1 m2körüli értéket vesz fel, tehát av2előtti tényezők szorzata 0,3–0,6 kg/m nagyságrendben van, azaz a közegellenállási erő összességében 10 m/s (36 km/h) sebességnél 30–60 N, míg 30 m/s (108 km/h) esetén 270–540 N, és 50 m/s (180 km/h) esetén 750−1500 N. Ekkora erőt kell tehát kifejtenie az autónak, ha a légellenállás ellenében egyenletes sebességgel akar haladni.
2.4.3. Kényszererők és súrlódás
A felületek között fellépőnyomóerőúgynevezettkényszererőtípusú erő, ugyanis ép-pen akkora értéket vesz fel, hogy megakadályozza az egyik felület (test) „beszakadását”
a felületbe. Síklapra helyezett m tömegű tárgy esetén Fny =mg nagyságú nyomóerő lép fel, ugyanis éppen ekkora erőre van szükség, hogy kiegyenlítsük a testre ható gra-vitációt. Van többnyire egy maximális lehetséges értéke, amely felett mégis beszakad a felület. Ez a maximális érték azonban függhet a felület nagyságától is (ezért nem süllyed
5Az állítás alacsony sebességek esetén igaz, ha a test körüli áramlás lamináris, és nem turbulens.
Később látni fogjuk, hogy a közegellenállási erőt az úgynevezett Stokes-törvény adja meg ilyen esetek-ben.
6Ekkor a test körüli áramlás turbulenssé válik, emiatt már nem lesz érvényes a Stokes-törvény.
be a hóba a nagy felületű síléc, míg a kis felületű láb igen; lásd még a szög és a fal vi-szonyát).7 Hasonló kényszererő a kötélerő és a tartóerő, amelynek maximális értéke az adott anyag szakítószilárdságától függ (lásd még a rugalmasságról szóló szakaszban).
A tapadás (amelyet néha tapadási súrlódásnak is neveznek) is egy kényszererő, értéke éppen akkora, hogy a test a felülethez tapadjon, azaz ne csússzon meg. Van ugyanakkor egy maximális lehetséges értéke, ez az Fny nyomóerővel arányos, az ará-nyossági tényező pedig aµ0tapadási együttható. Az alábbi állítás igaz tehát a tapadási erőre:
Ft< µ0Fny. (2.48) A tapadási együttható értéke az érintkező anyagokra jellemző állandó. Gumi és aszfalt között 0,8, míg vas-vas viszonylatban körülbelül 0,25 a tapadási együttható. Ez utóbbi
„hajtja” a vonatot, míg az előbbi az autót: a kerék súrlódás híján úgy forogna, hogy az alja hátrafelé mozdulna el (a teteje pedig előrefelé). A tapadás ezt az elmozdulást gátolja meg, ami végeredményben egy előrefelé mutató erő.
Egyφszögű lejtőn megcsúszás akkor következik be, ha a tapadási erő nem tud elég nagy lenni ahhoz, hogy ellentartson a gravitáció lejtővel párhuzamos komponensének, azaz haFt,max< mgsinφ. Mivel azonban
Ft,max=µ0Fny=µ0mgcosφ, ezért a megcsúszás feltétele (2.49) µ0mgcosφ < mgsinφ, azaz µ0<tanφ. (2.50) Ebbőlφismeretébenµ0mérhető, ahogy az alábbi kísérletben azt meg is tesszük.
A tárgyak felületei között mozgás esetén egy másik típusú erő lép fel, a súrlódás (amelyet a tapadástól megkülönböztetendő csúszási súrlódásnak is nevezhetünk). Ez egy, a nyomóerőhöz kapcsolódó csillapító jellegű erő, amely azonban nem függ a sebes-ség nagyságától, csak az irányától: azzal ellentétes irányba mutat. Ez az erő a súrlódó felületek közöttiFnynyomóerővel arányos. Az arányossági tényezőµ, a súrlódási együtt-ható, és ezzel az erő így írható fel:
Fs=µFny. (2.51)
Néhány példa csúszási súrlódási együtthatóra: fa-fa: 0,5, acél-acél: 0,1, acél-jég: 0,01. A súrlódási és a tapadási együttható többnyire µ0 > µ módon viszonyul egymáshoz, az érintkező anyagokra jellemző állandó mindkettő.
Nézzünk meg egy konkrét példát: a súrlódási erő hatását egy test φ meredekségű lejtőnvaló csúszása esetén. Ekkor az első feladatunk rajz készítése és az erők felírása.
A megoldás kulcsa azerők felbontásaegy lejtővel párhuzamos, illetve arra merőleges komponensre. A lejtőre merőleges irányban nincs mozgás (hiszen ekkor „felszállna” vagy
„beszakadna” a test), de a lejtővel párhuzamosan igen: ebből adódóan a merőleges erők eredője nulla kell hogy legyen, míg a párhuzamos erők eredője nem – éppen ez utóbbira vagyunk kíváncsiak. Bontsuk tehát fel az erőket erre a két komponensre. A nyomóerő csak a lejtőre merőleges irányban hat. A súrlódás csak a lejtővel párhuzamos irányban hat. A gravitáció viszont mindkét irányban hat, tehát ezt tényleg két komponensre kell bontani:
Fg,⊥ =mgcosφésFg,k=mgsinφ. (2.52)
7Valójában a nyomástól függ, és adott súlyt tartó felület esetén a nyomás a súlyerő osztva a felülettel.
𝑚𝑔 𝐹𝑔,∥= 𝑚𝑔 sin 𝜙 𝜙 𝐹𝑔,⊥= 𝑚𝑔 cos 𝜙
Mivel ⊥irányban nincs gyorsulás:
𝐹ny = 𝐹𝑔,⊥= 𝑚𝑔 cos 𝜙
A ∥az erők eredője határozza meg a gyorsulást:
Σ𝐹∥ = 𝜇𝑚𝑔 cos 𝜙 − 𝑚𝑔 sin 𝜙
2.9. ábra. Lejtőn mozgó test viselkedése a súrlódás figyelembevételével. A gravitációs erőt a lejtőre merőleges és azzal párhuzamos komponensekre kell felbontani. Előbbi a nyomóerővel éppen megegyezik majd, ez garantálja, hogy a test a lejtő felszínén maradjon. A párhuzamos komponens és a súrlódási erő fogja meghatározni a (lejtővel párhuzamos) gyorsulást.
A nyomóerő merőleges a lejtőre, tehát a gravitációs erő megfelelő komponensével ki kell egyenlíteniük egymást (mivel ebben az irányban nincs gyorsulás). Ebből adódóan
ΣF⊥=Fg,⊥+Fny= 0, azazFny=mgcosφ (2.53) Ebből meghatározható a súrlódási erő:
Fs=µFny=µmgcosφ. (2.54)
Ez az erő a lejtővel párhuzamos, lassítja a test mozgását. A gravitáció lejtővel párhuza-mos komponense (Fg,k) pedig gyorsítja a testet, a súrlódási erő ellenében. Ezért tehát a lejtővel párhuzamos erők eredője, az irányokat is figyelembe véve:
ΣFk=Fs+Fg,k=µmgcosφ−mgsinφ (2.55) A test lefelé gyorsul, ha ΣFk > 0; lassul, ha ΣFk < 0; és egyenletesen csúszik, ha ΣFk= 0. Az egyenletes csúszás feltétele innenµcosφ= sinφ, azazµ= tanφ. Ha ennél meredekebb a lejtő, a test gyorsulva csúszik, ha kevésbé meredek a lejtő, akkor pedig lassulva. Mindezeket a 2.9. ábra illusztrálja.
Kísérlet: megcsúszás lejtőn
• Készítsünk lejtőt könyvek, tálcák vagy hasonló merev lapok segítségével.
• Helyezzünk el ezen egy tárgyat, és vizsgáljuk meg, milyen meredekség esetén csúszik meg.
• A meredekséget folytonosan változtatva (és például okostelefonos szögmérővel mérve) határozzuk meg a megcsúszás szögét.
• Ebből számítsuk ki a tapadási együtthatóját!