6. Modern fizikai bevezető 184
6.1.2. A speciális relativitáselmélet
A téridőtaz őt alkotó pontokon, azaz az eseményen keresztül definiáljuk. Az esemény, mint a téridő egy eleme pontosan ugyanolyan idealizált konstrukció, mint a háromdi-menziós térben a geometriai pont: nincsenek „valódi pontok”, viszont egy nagyon kicsi testet pontnak tekinthetünk, ha úgy gondoljuk, hogy az egyetlen dolog, amit tudni aka-runk róla, az a három koordinátája. Ugyanígy, „eseménynek” hívhatunk egy pontszerű és időben pillanatszerű történést, például egy tapsolást, vagy egy lámpa felvillanását.
Ahogyan a háromdimenziós tér a „lehetséges pontok” összessége, ugyanúgy a téridő a
„lehetséges események” (azaz téridőpontok) összessége.
A relativitáselmélet szerint a téridő úgynevezett Minkowski-féle struktúrájú: ez azt jelenti, hogy két esemény közötti távolság, illetve a köztük eltelt idő másképp függ a megfigyelő mozgásától, mint ahogyan természetszerűleg gondolnánk. Ezt a Minkowski-diagramokkal világíthatjuk meg, amelyekben egy adott megfigyelő szerint érvényes derékszögű koordináta-rendszerben ábrázoljuk a téridőt: a vízszintes tengelyen a teret, a függőlegesen az időt, ahogy a 6.1. ábra is mutatja. A megfigyelő maga azx= 0 pontban tartózkodva mozog előre az időben. Az időskálát úgy állítjuk be, hogy a fénysebesség egy szimmetrikusan („45 fokban”) haladó egyenesnek feleljen meg.
Ha egy mozgó objektumhoz képest szeretnénk a jelenségeket vizsgálni, „be kell ül-ni” az ő koordináta-rendszerébe, és az események hely-, illetve időkoordinátáit
átszá-1 2 3 4
5 1: fel-le sétáló tanár 2: mozgó autó
3: másik teremben ülő hallgató 4: repülő, űrhajó
5: fény
t [i dő]
x [tér]
0 0: órán ülő hallgató
6.1. ábra. A téridő grafikonja, benne különféle objektumokkal. Az ábra azonos a 7.4(a). ábrával.
mítani a mozgó megfigyelő által mért értékekre. Ennek szabályait a relativitáselmé-let szerint aLorentz-transzformációadja meg. Eszerint Minkowski-diagramokon az állandó sebességgel mozgó megfigyelő számára úgy transzformálódnak a tér- és idő-koordináták, hogy az ő koordináta-rendszerében is éppenszimmetrikusan középen legyen a fénysebesség egyenese, ahogy azt a 6.2. ábra mutatja. A térbeli távolságok és az időtartamok mérése ezen tengelyekkel való párhuzamos vetítéssel történik. Az egyik leglényegesebb eltérés a „megszokott” transzformációktól, hogy két téridőbeli esemény között eltelt idő nem azonos a két megfigyelő számára: ezt hívjuk idődilatációnak.
Az események közötti távolság sem úgy változik, mint ahogy gondolnánk: a távolságok Lorentz-kontrakciótszenvednek. Ennek és az időtartamok rövidülésének mértékét is aγ-val jelöltLorentz-faktor,
γ= 1
p1−v2/c2 (6.1)
adja meg, aholv a mozgó megfigyelő sebessége. Ennek nagysága a fénysebesség 10%-a, azaz 30 000 km/s sebesség eseténγ= 1,005. Hav/c= 0,5, akkorγ= 1,1, a fénysebesség 90%-át elérő sebesség esetén azonban márγ = 2,3, míg v/c= 0,999 eseténγ = 22. A fénysebességet majdnem elérő sebességek esetén tehát aγértéke igen nagy, azaz az idő nagyon lelassul, a távolságok pedig nagyon lerövidülnek. A fénysebesség felével mozgó űrhajó tehát az álló megfigyelő szerint körülbelül 10%-kal rövidebbnek tűnik a földi (álló) megfigyelő szerint, mint az űrhajóban utazók szerint. Hasonlóan, amíg a Földön 10 év telik el, addig az űrhajóban ülők szerint csak 9 év: az idő is 10%-kal lassabban telik számukra. Ugyanakkor ez fordítva is igaz, azaz például a földi tárgyak az űrhajós szerint rövidebbek. A 6.2. ábra a távolságok és időintervallumok Lorentz-kontrakció miatt megjelenő relativitását is illusztrálja.
A speciális relativitáselmélet fontos következménye, hogy a sebesség-összeadás törvénye is módosul. Ha egy megfigyelő hozzánk képestv1sebességgel mozog, és egy harmadik objektum (lövedék, hullám, bármi) hozzá képestv2sebességgel mozog, akkor ezen tárgy sebességeszerintünk nem a hagyományos összeg,v1+v2, hanem
v1+v2
1 +v1v2/c2. (6.2)
Ha v1 = 100 m/s és v2 = 100 m/s, akkor tehát az eredő sebesség nem 200 m/s, ha-nem 199,99999999998 m/s. A korrekció ilyenkor tehát nagyon kicsi, de 100 000 km/s és
Dx Dt Dt’
Dx’
6.2. ábra. Mozgó megfigyelő számára egy esemény helye és ideje is módosul, a Lorentz-transzformáció szabályai szerint. Az ábra azonos a 7.4(e). ábrával.
100 000 km/s esetén már 200 000 km/s helyett 180 000 km/s sebességet kapunk: itt már lényeges a módosulás. A képletből látható továbbá, hogy v2 = c esetén 1+vv1+c
1c/c2 =c, tehátc-hez „bármennyit adva” továbbra is csakc-t kapunk. A fénysebesség állandó, bár-milyen sebességű megfigyelőről nézzük: a matematikai formalizmus ezek szerint valóban tartalmazza azt a szabályt, amelyet mint alapposztulátumot mondhattunk ki a relati-vitáselmélet felépítésekor. Ennek „ára” az volt, hogy a távolságok és az időtartamok nem a megszokott módon viselkednek, amikor mozgó megfigyelőről nézzük ugyanazt az eseménysorozatot.
A speciális relativitáselmélet további fontos következménye, hogy az egyidejűség is relatív: a mozgás sebességétől függ, hogy két, egymástól távoli esemény „egyszerre”
történt-e. Egymáshoz képest mozgó megfigyelők erről mást mondanak. Kiderül, hogy ha két esemény olyan távol van, hogy közöttük csak a fényénél nagyobb sebességgel lehetne
„átutazni”, akkor mindig van olyan, fénynél lassabban mozgó megfigyelő, aki szerint a két esemény egyszerre történik. Olyan is van, aki szerint az egyik előbb történik, mint a másik, és olyan is, aki szerint a másik történik előbb, mint az egyik. Ebből következik az is, hogy a fénysebesség határsebesség: fénynél gyorsabb utazás (sőt akárcsak infor-mációközlés) során „időben visszafelé is haladhatunk”: két távoli esemény idősorrendje megfordulhat. Ezzel az a probléma, hogy egy okozat ismeretében megváltoztathatnánk az okot, azaz megsérthetnénk a kauzalitás elvét, amely szerint az ok előbb van, mint az okozat. Például a meccs végeredményének ismeretében a meccs előtt fogadást tehetnénk, vagy (morbid példával élve) megölhetnénk egy korábban élt egyenes ági felmenőnket, sa-ját megszületésünket megakadályozva (ami ellentmondásra vezetne). Levonhatjuk tehát a következtetést (a gondolatmenet és a szükséges feltételek némi további finomításával), hogy a fénysebességnél gyorsabb információközlés (pláne utazás) nem lehetséges.
Néhány további fizikai mennyiség értelmezése is módosul a relativitáselméletben, jellemzően a Lorentz-faktor megjelenésével. Például az impulzus relativitáselméleti de-finíciója ~p=m~v/p
1−v2/c2, amiv c esetén visszaadja a klasszikus közelítést. Egy mtömegű részecske energiája pedigE=mc2/p
1−v2/c2. Ebből a két képletből
belát-ható, hogy a részecske energiája és impulzusa között a következő összefüggés érvényes:1
pE2−p2c2=mc2. (6.3)
Ez azt is jelenti, hogy a nulla impulzusú (nyugvó) objektum energiájaE=mc2, tehát a tömegtulajdonképpena nyugalmi energiánakfelel meg (egyc2szorzó erejéig). Ezt úgy szoktuk mondani, hogy az energia és a tömeg ekvivalens mennyiségek, a „tömeg-megmaradás” nem lesz többé érvényes, csak az energiamegmaradás, ami ilyen módon a tömeget is magában foglalja. Egymtömegű elektron és antirészecskéje, egy (ugyan-ekkora tömegű) pozitron tehát átalakulhat 2mc2 összenergiájú fotonokká. Ugyanígy, ha valamely kémiai vagy atomi rendszernek van valamekkora kötési energiája, akkor ez a tömegének módosulásával jár. (A kötött rendszer tömege kisebb, mint a részei tömegeinek összege, és a tömegkülönbségnek megfelelő energia távozott annak idején energiafelszabadulás formájában, amikor a rendszer létrejött az alkotóelemeiből.) Ezt majd az atom- és magfizikáról szóló szakaszban is látni fogjuk.
A speciális relativitáselméletnekrengeteg kísérleti bizonyítékavan. Fontos példa a légkörben keletkező kozmikus részecskék (müonok) esete, amelyek olyan rövid élettar-tamúak, hogy fénysebességgel menve is csak körülbelül 660 métert tudnának megtenni (elbomlásuk előtt). Ugyanakkor nagy többségüket észleljük a Földön is, miután átha-ladtak több tíz kilométernyi légkörön. Ez azért lehetséges, mert nagy sebességük miatt számukra a megteendő távolság nagyon lerövidül. Egy másik fontos példa, hogy ha két igen pontos órát összehangolunk, majd az egyikkel egy gyors repülővel „teszünk egy kört”, ez utóbbi óra kevesebbet fog mutatni, mikor újra egymás mellé tesszük a másikkal. Az eltérés mértéke éppen az idődilatációnak megfelelő lesz.