5. Elektromosság és mágnesesség 141
5.5. Elektromágneses hullámok
5.5.2. A Maxwell-egyenletek
A fentiekben megismertük az elektromosság és a mágnesesség alapvető törvényeit. Ezek közül a négy leglényegesebbet foglalja össze aMaxwell-egyenletekrendszere. Ezekben felhasználjuk az elektromos és mágneses fluxus, illetve a feszültség
ΦE=
definícióit. (A mágneses feszültséget azért vezettük most be, hogy tömören felírhassuk az alábbi egyenleteket;UBszerepe nem olyan jelentős, mint az elektromosUE feszültségé.) Ezekkel a következő törvények adódnak.
Elektromos Gauss-törvény, zárt felületre: ΦE = Q 0
, (5.57)
Mágneses Gauss-törvény, zárt felületre: ΦB = 0, (5.58) Faraday-féle indukciós törvény, zárt hurokra:UE=−dΦB
dt , (5.59)
Ampère-törvény az eltolási árammal, zárt hurokra: UB=µ0I+µ00dΦE
dt . (5.60)
Ugyanezek felírhatóak töltések és áram hiányában (azaz a I = 0, Q = 0 feltételek mellett), a fluxusra és a feszültségre vett definíciókkal együtt. Ekkor az alábbi, az Eés a B cseréjére szimmetrikus alakot kapjuk:
I
Az egyenleteinket átalakíthatjuk integrálformából differenciális formába, amelyhez kell a ∇ = (∂x, ∂y, ∂z) vektoroperátor fogalma, amelynek három komponense a tér három dimenziója szerinti deriválás. Ebből származtatható a divergencia és a rotáció fogalma, amelyet vektormezőkre6értelmezünk:
• Vektormeződivergenciája: a „forrássűrűség” mértéke adott pontban, azaz a pont körülifelület fluxusa (a vektor felületen vett integrálja) a felület által bezárt tér-fogattal osztva. Ha a vektormező egyfajta sebességet jelképez, akkor ez az adott pontból történő „kifolyás” mennyiségét adja meg („hány erővonal keletkezik” egy kis térfogatban). Ha a vektormező divergenciája negatív, akkor „befolyás” van.
• A divergencia kiszámítása: divE=∇ ·E, azaz a∇vektorral vett skaláris szorzat.
• Vektormezőrotációja: „örvényerősség” mértéke adott pontban, azaz a pont körüli görbementén vett integrál a görbe által bezárt felülettel osztva. Ha a vektormező egyfajta sebességet jelképez, akkor a rotáció éppen azt adja meg, hogy az adott pont körül alakult-e ki örvénylés.
• A rotáció kiszámítása: rotE=∇ ×B, azaz a∇vektorral vett keresztszorzat.
Ezeket illusztrálja az 5.12. ábra, ahol a pirossal rajzolt felületen a kiáramlás adja a divergenciát, míg a kékkel rajzolt görbe mentén történő áramlás a rotációt. Az első esetben mindkettő nulla, a második eset nemnulla divergenciájú (forrásos), a harmadik nemnulla rotációjú (örvényes) mezőt mutat.
A fent definiált mennyiségekre vonatkozik a matematikai Gauss-tétel, amely szerint egyE vektormezőre
I
EdA= Z
divEdV, (5.65)
ha a zártAfelület aV térfogatot tartalmazza. Hasonló állítást fogalmaz meg a mate-matikai Stokes-tételis: eszerint egyE vektormezőre
I Edl=
Z
rotEdA, (5.66)
6A vektormezők olyan függvények, amelyek értéke minden pontban egy vektor.
Örvény-és forrásmentes mező
„Forrásos” mező, azaz div ≠ 0
„Örvényes” mező, azaz rot≠ 0
5.12. ábra. Az ábrán különféle tulajdonságú mezők láthatóak. Örvény- és forrásmentes mező (balra) alakul ki töltésektől távol, időben állandó terek esetén. Ponttöltés közelében (középen) forrásos mező alakul ki, hiszen éppen a ponttöltés lesz a mező forrása. Időben változó mágneses mező örvényes elektromos mezőt hoz létre (jobbra), időben változó elektromos mező pedig örvényes mágneses mezőt.
ha az l zárt görbe az A felületet fogja körbe. Természetesen mindkét fenti összefüg-gés aB vektormezőre is felírható. Ezekkel az összefüggésekkel a Maxwell-egyenleteket átalakíthatjuk, és integrálok helyett a divergencia és a rotáció szerepel majd bennük.7
Az így átírt Maxwell-egyenletek (töltések és áramok híján, azaz vákuumban) az alábbi alakot öltik:
divE= 0, (5.67)
divB= 0, (5.68)
rotE=−B.˙ (5.69)
rotB=c−2E,˙ (5.70)
aholc2= 1 µ00
. (5.71)
Ha végigkövetjük 0 ésµ0 fizikai dimenzióit, kiderül, hogy ez sebesség négyzet dimen-ziójú mennyiség, vagyisc egy sebesség lesz. Ha behelyettesítjük 0 és µ0 (elektromos, illetve mágneses mérésekkel meghatározott) korábban megadott értékeit, kiderül, hogy c≈300 000 km/s.
Az egyenletrendszert tovább egyszerűsíthetjük, és ekkor a következő két hullám-egyenlet alakúdifferenciálegyenlet jön ki:
E¨−c2E00= 0, (5.72)
B¨−c2B00= 0, (5.73)
ahol a két pont az idő szerinti kétszeres deriválást, a két vessző a tér szerinti kétszeres deriválást jelenti, és ezek az egyenletek a térerősségek minden komponensére (Ex, Ey, Ez) külön-külön érvényesek. Fontos továbbá, hogy valójában a kétszeres tér szerinti
7Ezt az átírást úgy tehetjük meg, hogy észrevesszük, hogy az egyes egyenletekben csak térfogati vagy felületi integrálok szerepelnek, méghozzá tetszőleges térfogatra/felületre. Emiatt az integrálandó mennyiségekre is igazak lesznek az egyenletek, azaz kvázi elhagyhatjuk az integrálás műveletét.
𝐸 ⊥𝐵⊥ 𝑘
5.13. ábra. Adott~k hullámszámvektorral (haladási iránnyal) rendelkező elektromágneses sík-hullám elektromos és mágneses tere. A térerősségvektorok merőlegesek egymásra és ~k-ra. A valóságban a kép a polarizációtól függően bonyolultabb lehet, ezt azonban itt nem tárgyaljuk.
deriválás helyett a
∆ = ∂2
∂x2 +∂2
∂y2 +∂2
∂z2 (5.74)
Laplace-operátor jelenik meg, amely a tér minden dimenziója szerinti kétszeres derivá-lások összege.
Miután a fenti egyenletek hullámegyenletek (vesd össze mindezt a 3.3.4. szakasszal), ezek megoldása egycsebességgel haladóelektromágneses hullám, tetszőlegesf frek-venciával és ennek megfelelő λ=c/f hullámhosszal. Az egyesEi ésBi komponensek (i = x, y, z esetére) így viselkednek majd (a fázistól és az úgynevezett polarizációtól eltekintve):
E~ =E~(0)sin(~k~r+ωt), (5.75) B~ =B~(0)sin(~k~r+ωt). (5.76) A Maxwell-egyenletek eredeti alakjából következik továbbá, hogy E és B merőleges egymásra és a haladás irányára (azaz a~khullámszámvektorra, amely a haladási irányba mutat, nagysága pedig |~k|= 2π/λ), továbbá
A hullámviselkedés pedig térben és időben periodikus váltakozást jelent, és a hullám frekvenciája/hullámhossza tetszőleges lehet. Ezt egyenes vonalban terjedő hullám esetén az 5.13. ábrán láthatóknak megfelelően illusztrálhatjuk.
Az elektromágneses sugárzás energiát is hordoz. Kiderül, hogy az intenzitása (azaz a felületegységre eső teljesítmény) arányos az amplitúdó négyzetével:
I= P
A =0cE(0)2
2 =µ0B(0)2
2 . (5.78)
Később (a 6.2.1. szakaszban) kiderül az is, hogy az energiát kvantumok hordozzák, a fotonok. Egy kvantum energiája E = hf, ahol h = 6,62×10−34 m2kg/s, és a fény
az összenergiájának megfelelő számú kvantumból áll, az intenzitás változása esetén a kvantumok száma változik egyedül.
Ahogy már a hullámegyenletről szóló 3.3.4. szakaszban (illetve a (3.52) egyenlet-ben) is láttuk, egy pontszerű forrás esetén a hullámegyenlet megoldása egy, a forrástól bármely irányban távolodva 1/r mértékben csökkenőamplitúdójú hullámot jelent. Mi-vel az intenzitás az amplitúdó négyzete, így pontszerű forrás esetén az intenzitás 1/r2 mértékben csökken. Ez azért sem meglepő, mert a P teljesítményű forrás köré egyre nagyobb, 4r2πfelületű gömböket rajzolva az ezeken észlelt intenzitás
I= P A = P
4r2π. (5.79)