a Magyar Tudományos Akadémia Könyvtár és Információs Központ

Digitalizálta

a Magyar Tudományos Akadémia Könyvtár és Információs Központ

1826

, ,

ERTEKEZESEK

A MATHEMATIKAI 'l'UDOMÁNYOK KÖRÉBÖL.

KIADJA A MAGYAR TUDOMÁNYOS AKADÉMIA.

A III. OSZTÁLY

RENDELETÉBŐL

SZERKESZTI

SZABÓ JÓZSEF

osr.TÁL\"TITKÁR .

VII. KÖTET. XXIII. SZÜi. 1880.

VONALGEOMETRIAI

T Pi NUL11f ÁNYO K.

SILBERSTEIN SA_L1\.MONTÚL.

(A III. osztály ülésén 1880. nov. 15. bemutatta Hunyady J. 1. t.)

G)~"'-""~~:.J

-"6l~~- f

BUD A P EST, 1881.

A M. TUD. AKADÉMIA KÖNYVKIADÓ-HIVATALA.

(Az akadémia épületében.)

)

VONALGEOMETRIAI

T ANULMÁNYOK .

SILBERSTEIN SALAMONTÓL .

(A Ill.osztály íilésén 1880. nov. 15. bemutatta HunyadyJ. 1. t.)

BUDAPEST , 1880 .

A M. TUD. D~ KÖNYVKIADÓ-HIVA'l'ALA. Az Akadémia épliletében.

Budapest, 1831. Az A t he na e11 nir.~ . köuyvn yomd&já.

l

Vona lgeométr ia i tanu lmányok .

A vona lgeomé tr iának a lap já t P lücker ve te t te meg 1868- ban meg je len t

l. )

Pon t és s ík u tán az egyenes vona la t venn i térbe l i a lko tó e lemnek , e lég köze l

f

do log , és a gon- do la to t magá t P lücker már 184 :6 -ban fe jez te k i .

²⁾

A vona l- geomé tr iának cs irá i t kü lönben már rég ibb do lgoza tokban lehe t fe l ta lá ln i ; i t t is k ife jezésre ju t tehá tazon törvény , hogy a tudo- mány

f l

a fö l fedezéseke t m in tegy

l .

T isz ta geomé tr ia i specu lá t ió révén Ohas les és Sy lves ter ju to t tak a lakza tokhoz , me lyek P lücker comp lexének megfe le l- nek . Oay ley az egyenes vona lnak ha t coord iná tá já t veze t te be , me lye t P lücker haszná l t és egyá l ta lán a leg jobb ú ton vo l t , hogy egy vona lgeomé tr iá t a lkosson , a m in t ez t mu ta t ja azon kö rü lmény , hogy a térgörbé t m in t vona l - kezd te ana ly t ika i lag tárgya ln i . Mechan ika i v izs - gá la tok (az e lmé le te) is a vona lgeomé tr ia fe lé u ta l- tak ; v iszon t á l ta la é lesz tve lá t juk

f l l

s tád iuma iban a pro jec t iv mechan iká t . Egyenes vona lak rendszere inek meg- v izsgá lására k ivá lóan az op t ika serken te t t. I t t

f l

egy fe lü le t normá l isa inak rendszere jö t t szóba , mer t Ma lus törvénye szer in t egy pon tbó l k i indu ló sugarak (vagy is egy gömb normá l isa inak rendszere) akárhány

f l l l

v iszave rve és akárhány- szo ros közegvá l toz ta tás á l ta l meg törve , m ind ig azon tu la jdonságo t , hogy egy b izonyos fe lü le t normá l isa inak rend- szeré t képez ik . Ezen tu la jdonságo t csak az irregu lar sugarak vesz t ik e l a fénynek kr is tá lyokon á tmene te léné l , a m i

')Neue Geometrje des Raumes, gegründet auf dic Betrachtung cler Linie als Raumelement.

•) System cler Geometrie des Raumes.

M.T. AK. }mT. A MATII. TUD. Kön.1880. VII.^K,23.^sz. l

*

4

SILBERSTEIN SALAMON.

Ham i l ton t á l ta lános sugárrendszerek v izsgá la tára veze t te . Ham i l ton eredménye i t e legans ana lys isse l ad ta

l

Kummer ,

¹⁾

a tárgya t érdekes kapcso la tba hozván a Gauss-fé le görbü le t- mér ték e lmé le téve l . Ugyancsak Kummer ter jede lmes és gaz - dag tartalmú do lgoza to t te t t közzé az

^l

és

sugárrendszerek

l l l ²⁾

me lynek

l

m i t sem von le azon körü lmény , hogy P lücker egy évve l

l

meg je len t ér tekezéséve l a vona lgeomé tr iá t a ma i ana ly t ika i geomé tr ia egy öná l ló és részévé te t te .

Az egyenes vona l a ^{térben négy á l landó á l ta l van meg -}

ha tározva , vagy más szavakka l : a térben

=⁴

sok egyenes vona l van . Kummer sugárrendszere i

⁰⁰²

sok egyenes vona lbó l á l ló geomé tr ia i a lakza tok , me lyek tehá t a tér t ugy há lózzák be , hogy annak m inden pon t ján á l ta lában véges és megha tározo t t számú egyenesek mennek keresz tü l . A sugárrendszer rend jé t az egy pon ton egyenesek száma , osz tá lyá t ped ig az egy s íkban

^f

egyenesek száma á l lap í t ja meg . E szer in t az összes egy pon ton egyenesek egy

^l

és 0 -ad osz tá lyú , e l lenben egy s íko t

l

összes egyenesek egy 0 -ad és

l

osz tá lyú sugárrendszer t képeznek . A sugá r rend - szer s ingu lár is pon t ja i l esznek azok , me lyeken vég- te len sok egyenes mén keresz tü l , me lyek egy kúp fe lü le te t a lko tnak . Ha egy sugárrendszer va lame ly pon t ján

⁰⁰²

sok egye- nes mén keresz tü l , akkor ennek k ivá lasz tása á l ta l - m in thogy maga is sugárrendszer t a lko t , - az. erede t i rendszer rendszáma egygye l le jebb szá l l . A sugárrendszer s ingu lár is s ík ja i azok lesznek , me lyekben a rendszernek vég te len sok egyenese feksz ik , me lyek egy görbé t burko lnak be . Ha ped ig vannak o lyan s íkok , me lyeknek összes egyenese i a rendszerhez tar toznak , akkor ez által a rendszer osz tá lyszáma le jebb szá l l . Kummer t az u to l jára em l í te t t ér tekezésében kü lönö- sen a sugárrendszerek gyu j tó fe lü le te i fog la lkoz ta t ják , me lyek görbe vona lakká fa jú lha tnak . Egy a lgebra i sugárrendszer gyu j tó fe lü le tének azon pon tok mér tan i he lyé t de f in iá l ja , a me lyekben a sugárrendszer egyenese i közü l összees ik .

1) Crelle, 57.k.

•) Abh. der Akad. der Wissensch. zu Berlin, 1866.

)

VONALGEOMÉTRIAI TANULMÁNYOK. 5

Ugyanezen fe lü le te t burko l ják be azon s íkok , a me lyekben a sugárrendszer egyenese i közü l összees ik . A sugár- rendszerek és gyú j tó-fe lü le te ik v iszonyá t je l lemz i azon té te l , hogy a sugárrendszer m inden sugara ké tszer ér in t i a gyu j tó fe lü le te t . De nem m inden , a gyu j tó fe lü le te t ké tszer vona l tar toz ik a sugárrendszerbe , hanem

l

sugárrendszerek ugyanazon gyu j tó fe lü le t te l b irha tnak , vagy más szóva l , a ké t- sze r egyenesek összesége reduc t ib i l is , azaz a lsóbb rend i í rendszerekre bom ló sugárrendszer t képez .

A gyú j tó fe lü le t , m in t em l í tve vo l t , görbékké fa jú lha t , még ped ig vagy csak egy köpenye , vagy m ind a . A gyu j tó görbék a sngárrenc lszer. va lamenny i sugara i á l ta l me tsze tnek . Kummer k imu ta t ja , hogy az

l

renc l i í . sugárrendszerek csak is gyu j tógörbékke l b irnak .

Az l rend i í . sugárrendszerek közü l. csak is az b ír egye t:

len egy gyu j tógö rbéve l , me ly a harmadrendü térgörbe összes húr ja ibó l á l l , mer t a harmadrendü térgörbe az egye t len , me ly egy és csak is egy lá tszó lagos

^l

b ir , vagy is me lyné l a tér egy

^l

pon t jábó l csak is egy o ly egyenes húzha tó , me ly a görbé t ké tsze r me tsz i .

Azon negyed renc lü térgörbe , me ly ké t másodrendü fe lü - le t te l jes me tszése á l ta l származ ik , az egye t len , me ly ké t s csak is ké t lá tszó lagos

l

b ir ; enné lfogva az egye t len másodrendü sugárrendszer , me lynek csak egy gyu j tógörbé je van , az , me lynek ké t másod renc lü fe lü le t negyed . rend i í . me tszése szo lgá l t

l.

Kummernek számos té te le i közü l még a

em l í tem meg : A másodrendü sugárrendszerek a he ted ik osz tá- lyon tú l lega lább egy gyu j tógörbéve l b írnak , úgy hogy t isz tán gyu j tófe lü le te t csak inc lus ive a he ted ik osz tá ly ig várha tunk . Ezen gyu j tófe lü le tek negyed rend i 'Lek lévén , me lyeknek e lmé le te még n incs á l ta lánosan· megv izsgá lva , Kummer a másod rend i . i . sugárrendszereke t a he ted ik osz tá ly ig rész le tesen d iscu tá l ja , és ezze l együ t t a negyed rendü . fe lü le tek egy osz tá lyának - me ly szer in te is le t t e lnevezve - e lmé le té t á l lap í t ja meg .

Kummer ezen ku ta tása i nem anny ira módszerük , m in t

eredménye ik á l ta l fon tosak . Az á l ta lá rn ; is ana ly t ika i módszer t

•

6 SILBERSTEIN SALAMON.

i lyen geomé tr ia i prob lémák tárgyalásáraPlücker adta az egye - nesnek m in t térbe l i a lko tó e lemnek beveze tése á l ta l . Tudo- mányos v izsgá la tokban ped ig - m in t már Descar tes is mondo t ta - a módszer a legfon tosabb , m iné lfogva nem Kummer , hanem P lücker az ú j d isc ip l ina mega - lap í tó jának .

Az ön tuda tos törekvés egy vona lgeomé tr iának mega lko- tása fe lé P lückerre l egy ú j geomé tr ia i a lakza to t , a vona lcom- p lexe t , fedez te t te fe l , me ly a lakza t

⁰⁰³

sok

l

á l l . Egy n-ed fokú comp lex ana ly t ika i lag , egy n-ed fokú egyen le t á l ta l ábrázo l ta t ik az egyenes vona l ha t homogén coord iná tá ja közö t t , me lyhez egy a coord iná táka t

f

quadra t ikus fö l té te l i egyen le t járú l . Geomé tr ia i def in í t ió ja szer in t a comp lex o ly rendszere az egyeneseknek , me lyek a térnek m inden ik pon t já- ban egy n-ed kúpo t a lko tnak , vagy a térnek m inden ik s ík jában egy n-ed osz tá lyú görbé t burko lnak be .

Ké t comp lex közös egyenese i egysze rsm ind vég te len sok comp lex - egy, ké t tagú comp lexcsopor t - közös egyenese i és egy =

²

sok

^l

á l ló rendszer t képeznek (Kumme r sugárrendszere) , me lye t Plücker congruen t iának nevez . Egy m -ed és egy n-ed rendü comp lex közös egyenese i egy m 'n -ed rendü és ugyano ly osz tá lyú congruen t iá t képeznek .

Három comp lexnek közös egyenese i egysze rsm ind

⁰⁰²

sok comp lex közös egyenese i és egy sugárfe lü le t a lko tó i t képez ik , me ly 2

m, n,

p-ed ha a comp lexek rendszáma i :

m, n, p.

P lücker az egyenes vona l coord iná tá inak megá l lap í tása u tán a l ineár is comp lexek e lmé le tére tér á t , me lyeknek

l

szö r po lár is v iszonya i t v izsgá l ja . Egy pon tnak a l ineár is comp lexre nézve s ík , v iszon t s íknak pon t fe le l meg , de úgy hogy ezen rec iproc e lemek együ t tes

l .

nu l lsys temá ja .) Az egyenes vona lnak po lár isa a l ineár is

comp lex re nézve ismé t egyenes vona l ; a ké t po lár is közös trans-

versá l isa i meganny ian a comp lex egyenese i közé tar toznak .

Egy egyenes vona l összes transversá l isa i egy spec iá l is l ineár is

comp lexe t képeznek , amaz egyenes t ped ig a spec iá l is comp lex

tenge lyének nevezzük . A vég te len sok comp lex közö t t , me lyek

egy közös congruen t iáva l b írnak , van ké t spec iá l is , me lyeknek

tenge lye i a congruen t ia összes egyenese i ál tal me tsze tnek ;

VONALGEOMÉTRIAI TANULMÁNYOK.

ezeke t P lückerre l a l ineár is congruen t ia ké t d irec tr ixének nevezzük . (K ummerre l az t mondanók , hogy az

l

és

l

osz tá lyú sugárrendszernek gyu j tógörbé i) . A d irec tr ixek po lár is egyenesek a ké t tagú comp lexcsopor t bárme ly ik

~

p lexére nézve .

Három l ineár is comp lex közös egyenese i á l ta lában egy ágú hyperbo lo id a lka tórendszere inek egy iké t képez ik . A

⁰⁰²

l ineár is comp lex közö t t , me lyek egy közös egyágú hyperbo lo idda l b írnak , van vég te len sok spec ia l iscomp lex , me lyek nek tenge lye i ama hyperbo lo id más ik a lko tó rendszeré t ad ják .

A fe lü le tek e lmé le tének vona lgeomé tr ia i fe j - tege tése u tán P lücker á t tér a másodfokú comp lexek e lmé le tére , ho l

f l

a és negyedosz tá lyú fe lü le tek egy b izonyos csopor t ja fog la lkoz ta t ja , me lyeke t aequa tor ia l is és me r id ian fe lü le teknek nevez , közös szóva l comp lex

f l l ~

nek . A comp lex egyenese i egy másodosz tá lyú görbé t burko lnak be a tér egy

^l

s ík jában ; ezen s ík forga tása á l ta l egy egyenes vona l m in t tenge ly körü l ama másodosz tá lyú gö rbe egy fe lü le te t ír le - a mer id ianfe lü le te t . V i lágos , hogy a fo rga tás tenge lye a származo t t fe lü le t egyenese . Ugyanezen fe lü le te t burko l ják be a

comp lex azon kúp ja i , me lyeknek csúcsa i a forgás i tenge ly men tében fekszenek . Ha a fe lü le t egyenese a vég te lenbe távoz ik , akkor a

f l l l

aequa tor iá l is fe lü le t lesz ; ez tehá t o ly comp lexgö rbe á l ta l ira t ik le , me lynek s ík ja önma - . gáva l párhuzamosan ha lad tovább és o ly hengerek á l ta l bur- ko l ta t ik be , me lyeknek o lda la i egy s íkka l párhuzamosak . - A comp lex - fe lü le tek négy pon t ta l , és ugyanenny i s íkka l b írnak , me lynek he lyze té t a

.

egyeneshez képes t P lücker rész le tesen megv izsgá l ja . Ná la egyá l ta lán a comp lexek és comp lex fe lü le tek e lmé le te egymás t kö lcsönösen á t lá tszóbbá és könnyebben

l

tesz ik .

A comp lexek á l ta lános

l l l

P lücker

tüze tesen egy cz ikk szó l , a me ly a l ineár is po lárcomp lexeke t

tárgya l ja . Hogy po lar is függvények alatt m i t ke l l ér ten i , az

az a lgebra i görbék

l l l

e léggé ismere tes , a ho l a s ík

egy

^l

pon t jához egy l ineár is , egy con ikus e tc . po lár is

gö rbe tar toz ik . Ha a pon t magán az ado t t görbén feksz ik ,

8 SILBERSTEIN SALAMON.

akkor po lár is egyenese lesz ama pon tban . Ép i ly ér te- lemben szó lunk po lár is

l l

csakhogy itten egy te t-

l

egyeneshez az ado t t

-

comp lexre nézve nem csak egy po lár is comp lex tar toz ik , hanem vég te len sokJ me lyek egy po lár is congruen t iá t képeznek . Oka ennek az , hogy a com - p lex egyen le téhez még egy a

f

fe l té te l i re lá t ió járú1 . Egy A egyeneshez tar tozó l ineár is po lár is congru- en t ia á l ta lában ké t d irec tr ixxe l b ir , me lyeknek egy ike az A egyenesse l összees ik . Ha azonban az A egyenes az ado t t n -ed

comp lexbe tar toz ik , akkor po lár is congruen t iá jának m indké t d irec tr ixe az A egyenesbe es ik , és ekkor a congruen t ia tangen t ia l is congruen t ia neve t nyer - ana log az egye- neshez a görbékné l . Lesznek az n-ed comp lexnek o ly A egyenese i - és ezek

- )-

congruen t iá t képez- nek - a me lyekhez tar tozó tangen t iá l is congruen t iák o ly sa já tságos módon spec ia l izá lódnak , hogy

l l

s ík lesz , job- ban mondva , a congruen t ia vég te len sok d irec tr ixxe l fog b irn i , me lyek egy s ík sugársor t képeznek , úgy hogy a s íknak összes egyenese i ezen congruen t iába tar toznak . Ama sugársor közép - pon t ja a comp lex s ingu lár is pon t jának , s ík ja a comp lex s ingu - lár is s ík jának nevez te t ik , az A egyenesek ped ig s ingu lá r is egye - neseknek .

P lücker ezen á l ta lános foga lmaka t m ind jár t ér tékes í t i a comp lexek e lmé le tében . I t ten a s ingu lár is pon tok egy

-

és 4-ed osz tá lyú fe lü le te t képeznek , me ly egy - szersm ind a s ingu lár is s íkok á l ta l beb lU 'ko l ta t ik , és me lynek a · s ingu lár is egyenesek a

.

Ezen fe lü le t 16

pon t ta l és ugyanenny i s íkka l b ír és P lücker á l ta l s in - gu lár is fe lü le tnek nevez te t ik .

I t t van azon pon t , a ho l Kummer és P lücker v izsgá la ta i ér in tkeznek , mer t Kummernek gyú j tó fe lü le te , me ly 16 pon t ta l b ír , nem más , m in t P lücker s ingu lár is fe lü le te . Erre - ugy h iszem - K le in Fe l ix f igye lmez te te t t

l l

k i a szóban fo rgó fe lü le teke t beha tóan meg - v izsgá l ta .1)

P lücker ó ta a comp lexek e lmé le te m ind jobban magára

')Zur Theorie der Liniencomplexe des 1-ten u. 2-ten Grades. Math. Auu. II. köt.

VONALGEOMRTRIAI TANULMÁNYOK.

von ta a geome \rák f igye lmé t , és az ú j d isc ip l ina körü l , - m in t- hogy

l

a geome tr ia i fe lfogásra nézve á l ta lában nem

cseké lyebb vo l t m in t a fe lü le tek s ezek közö t t spec iá l isan a sugárfe lü le tek e lmé le tére - már szép l i t tera tura

f l

k i , me lynek i t t

f

mozzana ta i t sem fe j the tem k i , mer t nagyon a de ta i lba veze tne .

Do lgoza tom e lkész í tése a la t t é lénk eszmecserében á l lo t- tam mé lyen t isz te l t tanáromma l , Dr . Hunyady

^J

úrra l , és tán fö lös leges is megem l í tenem , hogy ezen körü lmény igen buzd í tó lag és

f l l

ha to t t reám .

I . Az egyenes vona l coord inátá i .

1.

A vona lgeomé tr ia igen f ia ta l ága lévén a ma i

l

· geomé tr iának , nem csodá lkozha tunk , hogy b izonyos e lem i fe l - ada tok , me lyek ma jdan egy rendszereze t t vona lgeome tr ia

l

fe jeze te i t képezend ik , edd ig k i nem do lgoz ta t tak . Do lgoza tom , mely e h iány t ném i leg pó to ln i töreksz ik , a tör téne lm i beve -

l

el tek in tve , három részre osz l ik . E cz ikkben a mód - szer a lap ja i t - me lyek P lückerné l hosszada lmasan vannak fe j - tege tve - tárgya lom ; a cz ikkben az egyenes vona) . egyen le tének

l

a lak ja ira térek á t , melyek edd ig tudo- másom szer in t fö l nem á l l í t ta t tak , m íg az u to lsó cz ikkben ké t vona l momen tumának geome tr ia i foga lmá t ér tékes í tem , egye - bek közö t t Hesse-nek a Pasca l és Br ianchon té te le ihez ana lóg té te le i t a hyperbo lo idra nézve b izony í tom be a vona lgeomé tr ia módsze re ive l .

2 . J? lücke r magá t az a lko tó e leme t , az egyenes vona la t , ké tfé leképen fog ja fe l : m in t ké t pon t - m in t sugara t - és m in t ké t s ík me tszésé t - m in t tenge ly t . Ennek

f l l

az egyenesnek ké tfé le coord iná tá i t , sugár-és tenge ly coord iná tá i t veze t i be .

Ha

ké t pon t homogén coord iná tá i a té tben , akkor az össze - egyenes homogén sugárcoord iná tá iu l a ha t k i fe jezés egymáshoz va ló v iszonyá t def in iá l juk :

I

10

x1

= l1 m , - l4

m1 x₄

= l

2 m8

- la

m2

SILBERSTEIN SALAMON.

x

2

= l

2

m

4

- l

4

m

2

x

5

= l

8m1-l1ma

xa= la m , - l , ma x6= l1 m9 - l2

m1

Ugyanezen k ife jezésekre ke l l ju tnunk és ju tunk is , ha az

ll

egyenes

l

más ké t pon t jábó l indu lunk k i . Ha ped ig

A1 A2

la J..,

,u1 ,⁰² /la f14

-ké t s ík homogén coord iná tá i , akkor me tszés i vona luknak homogén tenge lycoord iná tá i az

l

ana lóg a lko to t t k i fe jezések

;1=A1f^14-/..4/11 ;2=/..2f1,-/..4f12 ;a=Aaft,-/..4/la

;,=J..2f

1

_{a-/..a /12 ;ö=/..2 ,u1-/..1}

.U2 ;6=Á i

/12-A2f

1

₁

A hat sugárco rd iná ta közö t t egy re lá t ió á l l fenn , me ly az

l1 m1

l2 m2 la

ma

l

4

m

4

l2

l1

la l ,

m1

m2

_=Ü ma

m ,

azonosságbó l o lvasha tó k i . A ba lo lda lon á l ló de term ináns t ugyan is Lap lace té te le szer in t k ife j tve a sugárcoord iná ták de f i - n í t ió jának tek in te tbe vé te léve l :

(xx) = ^x

1

x

4

+x

2

x

5

+x

3

x

6

=0

és hason lóan . . . (1)

e;;) · ; l ;4 + ;2 ;5 + ;3 ;6 = o

Meg jegyzem , hogy az (1) a la t t i re lá t iók csak akkor azonossá - gok , ha v issza térünk az x , és ; , def in í t ió jára pon t coord iná ták- bó l ,

ll l

s ík coord iná tákbó l , e l lenben quadra t ikus fö l té te l i egyen le tek

^{l l}

b írnak , ha csak az t kérdezzük , hogy

re la t iónak tar toz ik 6 menny iség e lege t tenn i , hogy egy egyenes vona l homogén coord iná tá inak legyenek . Az (1 ) a la t t i re lá t io á l ta l az egyenes vona l megha tározására haszná landó coord iná ták száma a

ll

van reducá lva .

Ezu tán v i lágos , hogy a vona lgeomé tr iában m ind ig s imu l - tán a lakokka l lesz do lgunk , igy pé ldáú l egy

l

comp lex egyen le te ·

f ^(x1

^{X2 Xa x, X5 x6)=Ü}

(xx )=O

,

VONALGEOMÉTRIAI TANULMÁNYOK.

11 szóva l 5 homogén vá l tozó a lak ja i he lye t t , 6 homogén vá l tozó s imu l tán a lak ja i v izsgá l ta tnak .

E he lyen még meg akarom

l ~

hogy L ie , Plücker gondo la tá t á l ta lános í tva , egy görbé t , me ly három

l

parametert tar ta lmaz , tek in t a lko tó e lemnek , a m i görbék-

l

á l ló comp lexek v izsgá la tára veze t i .

3.

Az egyenes vona l sugár-és tenge lycoord iná tá i

~

. ezen re lá t io á l l fenn

Xi : X2 :^{Xa :}X4 : X5 :^X6=

;4 : ;5 : ;6 :

^{;i:;2 :;a}

Ez t a b izony í tha t juk be . Legyen az egyenes vona l az

l

és

m

pon tok á l ta l megha tározva és vegyünk fe l ké t

l

p és q pon to t . Az l , m és p pon tok á l ta l megá l lap í- tott s ík coord iná tá i

Z2

la l4 la

Zi

l4

Ai= m2

ma m4

A2=

ma

mi m4

P2 Pa p4 Pa

Pi p4 Zi

l2 l4

Zi

la l2

Aa= mi

m2 m4

A4= mi

ma m2

Pi

P2 p4

Pi

Pa P2 és hason lóan fe jezhe t jük k i az l ,

m,

q egyenesek á la l megha tá- rozo t t s ík

,ui µ2µa

µ

4

coord iná tá i t . A

A

és

,u

s íkok me tszésvo- na la ugyanaz m in t az

l

és

m

pon tok egyenese , tehát ennek tenge lycoord iná tá i :

la-

Zi

l4

Zi Z2

l4

A2 ,ua-Aaf¹

2

=

ma

mi ^'1114 mi

m2 m4 Pa

Pi

p4 P i P2 p4

¹ 'Zi

l2 l4 . la

_Zi

-

m1

m2 m4 ma

mi

Pi

Pz p4 Pa P i ^{p4 etc} =·i ^.

Az ad jungá l t

azonban de term ináns m inor ja iró l szó ló

A2 fta-Aa^fl2=

D .

(li

m4 - l4 m1)

Aa µ1

-J . .

_{1 ,}ua =

D . ( l

2m4

- l

4m2)

A1f12-A2

µ i

=

D .

(Za

m4 - l4 ma ) e tc .

•

té te l szer in t

'„ (2 )

12

SILBERSTE1N SALAMON.

ho l

l1 l2 la l4

¹

D=

^{m1 mz ma rn4}

I

jP1

_{P i q2}

P2

Pa _qa

_p4

_q4 I

A (2) alatti egyen le tek a fön tebb fö l ír t aránysoroza to t fe- jez i k i .

4 . Könnyü k ife jezn i azon fö l té te l t , me ly a la t t ké t egye - nes vona l egymás t me tszi . Ha tározzuk meg az Z,

rnll

leg p , q pon tok á l ta l , és nevezzük a két egyenes t a és f l -nak , akkor hogy az

a

és f l ^{egyenesek egymás t messék , annak fö l té te le ,}

hogy az l,

rn,

p , q pon tok egy s íkban feküd jenek , azaz

l ^Z1

_{m1 m2}^{l2 la} _{11!3m4 _ 0}

l4 I

P i

P2

Pa ^{p4/ -} q1

q2

qa

q41

vagy

f ~:

(a{J)

=

^a4

^f11

^{+ct5 P2+a6 tfa +cti/i4 +a2[i5 +aa}

^P6

^=Ü

^{. .. (3)}

5 . Ha a ( i egyenes t az

l

egyen le t é r te lmében vá l to - zónak tek in t jük , akkor ezen egyen le t az

a

egyenesnek összes transversá l isa i t , vagy ha aka1 juk , magá t az

a

egyenes t áb rá - zo l ja ; . tehá t az

a

egyenes egyen le te P lücker-fé le coo rd iná - tákban .

(ax)

=

^a4

^x

^1+ct5

^x

^2+ct6

^x

^{3+ a1}

^x

^4+ct2:r5

⁺

^a3

^x

⁶

^{=0 . . . (4 )}

I t t természe tesen

(aa)=a1a4+a2a5+a3a6=0,

mer t az a

1

egy egyenes vona lnak coord iuá tá i t je len t ik .

Ha az

a

egyenes egyen le tében a vá l tozóka t egy te t .sz l í- leges f i ^{egyenes coord iná tá i á l ta l he lye t tes í t jük , akkor egy}

( a / l) = a1

^{14

+

^a2

fls +aa /36

+a4

/31 + a5

f12

+

^a6

f:Ja

k ife jezés t nyerünk , me ly nem más m in t a ké t egyenes m in imá - l is távo lságának szorza ta a ké t egyenes ha j lásszögének s inu - sáva l1 azaz

(ap )

⁼

r . s in

^{{J. „}

^.(5)

VON ALGEOMÉTRI.i\I TANULMÁNYOK.

13 Ez t lá tha t juk _ be ; je lö l jünk k i az

«

egyenesen egy l pon to t és

^l Q

távo lságra

^f

pon to t , hason- lóan a f1 ^{egyenesen egy m pon to t és egy}

^{l Q}

^{távo lságra}

f

pon to t , akkor az ezen 4 pon t á l ta l megha tározo t t te tra- eder térfoga tá t ké tfé leképen fe jezhe t jük : egyszer a 4 pon t coord iná tá i á l ta l de term ináns a lakban , me ly k ife j tve a

6

T

^{= Q Q'}

(a{J)

kép le te t ad ja , máskor azon szabá ly szer in t ( lásd Sa lmon tér- mér taná t I , 71 ) , hogy a te traeder 6 -szo ros térfoga ta

l

két á te l lenes é lhosszának és ezek m in imá l is távo lságának , végre a ké t é l ha j lásszöge s inusának szorza táva l , azaz

6T=

f!·

^(!'.r.

s in 0 .

A térfoga to t

^f

ké t formu la összehason l í tása ad ja az egyen le te t .

(a f l ) =? ' .s in 0 egyen le te t .

Az (a{J) = r . s in fJ k ife jezés t a ké t egyenes vona l momen - tumának nevez ik , egy e lnevezés , me ly a mechan ikábó l van á tvéve , ho l momen tumáró l van szó egyenes vona lakra vona t- koz ta tva . (Lásd Zeu then , Ma th . Ann . I .)

6 . Egy a egyenes a1, a2, ^a

³

^{sugárcoord iná tá i - m in t azon -} na l - az

ll

egyenes iránycos inusa iva l arányos menny iségek , még ped ig

cos ax= V _a;+a;+a;

^{0 • 0}

_cos ^ay

cos az= , r / a , .+a ,+a3

^{2 0}

Az

a

és fl ^{egyenesek á l ta l képeze t t szögre nézve}

a1 f11 +a2 f12+aa fls cos a{J- --v

^{:-- :::~}

^a;

^{~ --~ ~}

^{-V f l;+{J;+ f l;}

^-

• 2

(a2 f la-aa fl2)2 + ^{(aa f l1-a1 f la)2} + ^{(a1 f l2-a2 f11)2}

s in a{J

⁼

(a;+a;+a:) ~ )

tehá t a

^l

fö l té te le

[a{J] • a1 f11 +a2 f32+aa fla

=0

. . . (6 )

14

SILBERSTEIN SALAMON.

· és a párhuzamosság fö l té te le i

a

₂

f la-aa fl2 =0 aa f l1-a1 fla =0 a1 f ls -as f11 =0 7 . Egy pontnak egyen le té t P lücker-fé le coord iná tákban akarjuk

l ll .

E czé lra k ife jezzük , hogy az

a

egyenes fö l té te l a la t t megyen á t az l pon ton . Ha az

a

egyenes a ).. és

µ

s íkok me tszése , akkor az l pon tra nézve ezen egyen le - tek á l lanak

A1 l1 + .As ls+Aa la+ . l . .4 l4 =0 µ1 l1 +µs ls+µa la+µ4 l4 =0

l

k iküszöbö lés á l ta l nyerhe t jük :

. - la as+ l2 aa+ l4 a.4 =0 la

a1

- l

1

aa + l

4

a.

5

=0 Tek in tsük az egyenes t vá l tozónak , akkor az

( lx)1 = . ^{- l a x2+ l2 xa+l4 X4}

^=Ü

( lx2) = la X t - l1 Xa + l4 Xs

=Ü

egyen le tek az

(xx) =0

k ísére tében azon egyenesek összeségé t fe jez ik k i , me lyek az

l

pon ton á tmennek , vagy ha akar juk , magá t az l pon to t . A há rom egyen le t összefog la lása á l ta l egy

( lx )a= - l2 X1 + l1 x

2 •••

+ l

4

x

6=Ü

egyen le te t á l l í tha tunk e lé , me ly lye l pó to ln i fog juk az (xx)

= ü

egyen le te t . Így a pon tnak egyen le te i P lücker-fé le coo rd iná - tákban:

( lx )1 = . ^{- l a x2+ l2 x}

⁸

^{+ l4 X4 . .} =Ül

( lx)2 la X1 . - l 1 x

^{8 •}

+ l4 x

^{5 •}

=0 . . . (7) ( lx)a = ^{- l2 X1} +z

¹

^x

^{2 • • •}

⁺ l4 x

^6=Ü

Hason lóan fe jezhe t jük k i azon fö l té te leke t , me lyek a la t t egy egyenes egy .A s íkban feksz ik , és á l l í tha t juk e lé a .A s ík egyen - le te t m in t a benne

f

egyenesek összeségé t :

(J .x )4=A4X1 . -Aa xs+A2 Xs =Ül

(J .x )s = A4 X2 . +J .a X4 -.1..i

^xG

=Ü

(J .x)

6

= . . ^{A4 Xa -A2 X4 +A . i x}

^{5 '}

^{=0 . „ (8 )}

VONALGEOMÉTRIAI TANULMÁNYOK.

15 8 . Ha három egyenés egymás t kö lcsönösen me tsz i , azaz m indegy ikök me tsz i a több i akkor vagy egy s íkban fekszenek , vagy egy pon ton mennek keresz tü l . Ez u tóbb i ese t- ben a egyen le tek á l lanak

a3

l

2-a2

l

8

+a , l

4

=0 fla l2- f l2 la+ f l , l , =0 ra l2 -r2 la+r , l , =0

-aa l 1 + a1 la+a

⁵

l

4

=0 - f la Z1 +f l1 la+ f l , l , =0

-rs ^{l1 + r1 la+}

^y5

^{l , =0}

a2

l

1-a1

l

2

+a

6

l

4

=0 fl2 l1-f11 l2+ f16 l , =0 r2 l1 - r1 l2+ra l , =0

Hogy tehá t a három egyenes egy pon ton men jen keresz tü l , annak fö l té te le i :

1

aa a

₂

a

₄

l ^{f rs r2 ls f12 f y l , , =0 Ya "a fla f11 {15}

^{Y1 Y5}

^{"1 a5 =0} Y2 Y1 Ys

^C

^f12

^t2

^{"1 f11}

^as

^{{16 =0} Ha a három egyenes egy s íkban feksz ik , akkor

a6 A2-a5 Aa+e t i }.,, =0 {16 A2- f lr , Aa + {J1 A

4

=0

Y5

A2 -Y r , l . .a+ r1 A., =0

-a6 ),.

1 +a , A .a+a2 ),.

4

=0

- f ls ^{A1 + f l , Aa+a2 1.., =0} -rs ^{A1 + r , Aa+r2 A., =0}

honné t a6

a5 "1

a

5

Ai-a

4

A.

2

+aa A.

4

=0 f15 A i - f l , A-2+ fia A., =0

Y5

l . .1-r , A .2+ ra A., =0

a6 a , "2

^a5a4

^aa

{16 {15 fl1 =0

Ys Y5 Y1 fis f l , f12 =0

YG y , r2 f35 ^{f l ,} fia =0 Yr, y , ra II . Az egyenes vona l egyen le te .

Az egyenes vona l - m in t em l í tve vo l t - négy á l landó á l ta l van megha tározva . Ezen á l landók i t t geomé t - r ia i fö l té te lek á l ta l á l lap í t ta tnak meg , hogy azonban ezen geo - me tr ia i fö l té te lek ana ly t ika i

f l

ne ke l l jen a kerese t t egyenes coord iná tá i t egyenkén t kü lön-kü lön k iszám í tan i , egy l inear is egyen le t hozzá to ldása á l ta l nem anny ira a kerese t t egyenes , m in t inkább az összes egyenesek comp lex je

·i '

..

1

ⁱ

~

16

SILBERSTEIN SALAMON.

á l lap í t ta t ik meg . A hozzá to ldo t t egyen le te t ped ig - rörn l szó lásmódda l é lve - az egyenes egyen le tének nevezem , é r tv - ez a la t t o ly egyen le te t , me ly egy egyenes vona lnak összes trans i versá l isa i t ábrázo lfa .

1.

A kerese t t é egyenes messe az a , {J, r ^{egyeneseke t és}

á l l jon

l

a o ^{egyenesre . Ezen fö l té te leke t a köve t -}

egyen le tek fe jez ik k i :

(aé )=a4

^é1+a5

é

2

+a6

^s3+ai

é4+a2 é

⁵

+a

3 é6=Ü

({h)= f34 é1+rs é2+ f l6 éa+ f i i é4+ f l2

e5+fia

s6=0 (rs)=r4 éa+rs é2+Y6 éa+r1 e4+Y2 és+ra é6=0 [oe] =0

1

e

1

+02 é2+o

⁸

^c

³

⁼⁰

(ee) = ^é 1

^~

é

5

+é

3

é6 =0

Ha x egy vá l tozó egyenes t je len t , me ly az é egyenes t me tsz i (xé )=x 4

^s

1+x

⁵

é2+x

⁶

^é

3

+x1 é4+ r2 é

5

+x

3 E6

=0 A

6 l l

me lyek közö t t az 5-öd ik quad ra t ikus ,1 ) k ikü - szöhö lés á l ta l nyer jük azé egyenes egyen le té t ,

ll l

azon ké t egyenes egyen le te inek szorza tá t , me lyek a k iván t fö l té te leknek meg fe le lnek . Ez egyen le t :

0

(ax) ({Jx) (rx) [ox]

(ax)

0

(a fJ) (ay) [ao]

({Jx) (a fJ) o ^{( f lr) [{Jo] =0}

(rx) (ar) ( fJr ) o ^[ro]

[ ox J [ ^ao] [{Jo] [ro]

0

. . . (1)

3 . A kerese t t

^e

egyenes messe az

^a

és (3 egyeneseke t és á l l jon

l

a r ^és o ^{egyenesek re . E fö l té te lek ana ly -}

t ika i k ife jezése i :

(as )=a 4

^é1

+a

5

é2+a6

^é8

+a i

^é4

+a

²

^s

⁵

^+a

⁸

^s

⁶

⁼⁰

((le)= f/4 é1 + {15 s2+ fJ6 éa + .f11 é4 + f32 é5 + f la é6

=Ü

[ré] = ^{r1 é1 +r2 é2+ra ea}

⁼⁰

. [oé] =

^01e1

⁺⁰²

^é2

^+o

^{3 é3=0}

(se)=c4 ^é1+e5 e2

+ i

₆

s

3=Ü

')Hogy kelljen a;z eliminátiót végeznin-1l f s egy másod- fokú egyenlet között, lásddr. König Gyula tanárúr jegyzetéta

temilapok« II. kötetében.

VONALGEOMÉTRIAI TANULMÁNYOK.

17 me lyekhez járú l

(xi:)

=

^{X4 E1 +x5}

^E2+x6

^{i:a+x1 i:4}

^+x2

^{i:r;+xa '°6 =Ü}

m in t annak k ife jezése , hogy a vá l tozó x egyenes t az i: egye nes transversá l isának akarjuk tek in ten i . Az e l im ina t ió ered- ménye i t t :

X4

X5

X6

X1

X2 X3

·a4as a6 ai a2 aa

(34 f3s fl6 fl1 fl2 fia

^=Ü

Y1 Y2 Ya 0 0 0

11

81 82 83 0 0 0 0 0 0 / '283

' ~

Y182 me lye t a a lakra hozha tunk :

[rx J [ ^8x J ^{(y8x4 )}

[ay] [aS] (y8a

4) =Ü

[ /3r J ^{[ (38] (r8 fJ4)}

ho l a je lö lések ér te lmezésére á l l jon :

Y2

83 =

1'2

8a - ra 82

Y1 Y2 Ya (y8x4) = 8

1

8

2

8

3

X4 X5

X6

„

.(2)

„.

(3 )

Ha a y egyenes t az a-va l és /3 egyenes t a 8-va l e j t jük össze , akkor i : azon egyenessé lesz , me lyben az a és /3 egyene- sek m in imá l is távo lságá t mé i jük és ekkor az i: egyenes t az a és f3 ^{egyenesek közös norrná l isának nevezem . Ké t} egyenesnek az

l

szer in t á l ta lában csak egy közös normá l isa lesz , me lynek egyen le te P lücker fé le coord iná tákban :

vagy

X4 X5

X6 X1

^Xg

Xa a4 a5

^a6

a1 a2 aa fJ4 fis {16 f31 fl2 ^f1a

_=Ü

a1 a2 a3 0 0 0 f11 f32 f3a 0 0 0 0 0 0

a2fÍa

a i l1 a1f32

[ xa J [ ^{x/3] ( x}

⁴

^{a f3)}

[aa] [a(3] (a4af3)

^=Ü

[ af3] [{J /3] ( f i

4

a ( i )

. . . (4)

. . . (5)

M. T. AK. BRT, A MATH, Tun. Kiin.1880. VII.^K,23.^sz. 2

18

SILBERSTEIN SALAMON.

3 . Fe lá l l í tandó azon r ^{egyenes egyen le te , me ly keresz tü l}

megy az l pon ton és me tsz i az

a

és

(1

egyenes t . E czé lra az l pon t egyen le te i t

(lr)1== -lar2+l2Ya+l4 Y4 =0 (lr)2

=

^{la ·r1 -l1ra +l4 Ys =0}

(lr)a=--Z2 Y1 +l1

Y2

+l4 Y6 =0

össze ke l l fog la lnunk a me tszés fö l té te le ive l :

(ay)s=a4 Y1 +as Y2+a6 Ya+«1 y4+a2 Ys+aa Y6 =0

( { ly )=

(14 Y1 +fls Y2+fl6 Ya+f3; y4+f32Ys+13a Y6 =0 (xr)

=

^{X4 «1+xs r2+x6 ra+x1 Y4 +x2 rs+xa Y6 =Ü}

me ly ha t

^{l l}

a r egyenes egyen le te P lücker-fé le coo r - d iná tákban :

Ez egyen le te t úgy fogha t juk fe l m in t fö l té te l t , me lye t a r

egyenesnek k i ke l l e lég í ten ie , hogy az

a,

(3, és x ^{egyeneseke t}

messe . A (7 ) a la t t i egyen le t tehá t az egyágú hyperbo lo id egyen - le te homogén pon tcoord iná tákban , ha

l,

a fu tó coord iná ták , m ia la t t x , á l landók .

4 . Ezután igen azon egyenes egyen le tének fe l - á l l í tása , me ly a ), s íkban feksz ik és az

a

meg {J egyeneseke t me tsz i , mer t csak az

l

fe lada t

l

három egyen le te a } , s ík egyen le te i á l ta l

(A.y)4=A4 Y1 -A.a rs+},2 Y6 =0

( ),y )5 = · ^{A4 Y2} +A.a

^Y4 -.A.1 Ys=0 (J,y)6= . ·

A4 ra-A2 Y4 +A i

Ys- · =0

l .

Tehá t a r egyenes egyen le te P lücker-fé le coor·

d iná tákban :

VONALGEOMÉTRIAI TANULMÁNYOK.

19

/,4

0 0 0

-f,3 /,2

0 A4 0

^},3

0 --A .1

0 0

^},,! -/,2

A.1 0 =0 . . (8) a.1

^lt5aG

a1

^{a2 Ct3}

fl5 (35 (36 fJ1 (12 fla

X4 X5 X6

^X1

X2

^X3

vagy ( l . a)4 (A.(3)4 (A.x)4

(A.g)6 (A.{1)5 ( A.:c )5 =0 .(9) (A.a )6 ( A.{1)6 ( A.x )6

I t t x-e t á l landónak tek in tve , e l lenben A.1 homogén s íkcoord i- ná táka t vá l tozóknak véve , ez egyen le t nem más m in t az

a

fJ és x egyenesek á l ta l megha tározo t t egyágú hyperbo lo id egyen le te homogén s íkcoord iná tákban .

5 . Keressük azon r egyenes egyen le té t P lücker-fé le coo r - d iná tákban , me ly á tmegy az l pon ton , me tsz i az

a

egyenes t és

l

a fJ egyenesek re . E fö l té te leknek a 6 egyen le t ád k ife jezés t :

( l r )1 =0 , (A.r)2 =0 (A.r)a =0 [ f3r ] =0 (ay) =0 (xy) =0 ,

l l

a

y

egyen le te .

vagy

0

-l3 l2

l4

^{0 0}

la

0 -l1 0

l4 0 -- l2

l1

0

0 0

l4

/31

^/32

^fla

^{0 0 0}

a4 a₅ ct6a₁^~ a3

X4

^{X5 x6 X 1 X2 X3}

f l 1 ( la )1 ( lx )1

/32 ^(Za) 2 ^{( lx)} 2 ⁼⁰ fJa ^{( la)}

³

^{( lx)}

³

=Ü . . (10)

. . . (11) Ha a fJ egyenes t az

a

egyenesse l összee j t jük akkor az

l

egyen le t a megy á t :

a1

( la )

1

( lx )

1

a2

( la)

2

( lx )2

⁼⁰

a

8

( 'a )

8

( lx)a

^{• „}

⁽¹²⁾

2*

~

'

-

20 SILBERSTEIN SALAMON.

és ez azon normá l is egyen le te , me lye t az l pon tbó l az

a

egye - nesre bocsá tha tunk .

6 . Az

l

pon tbó l az egyenesre bocsá tha tó normá l is ta lp pon t jának homogén pon tcoord iná tá i , a m in t ez könnyen meg - áJ lap í tha tó , .

m

1

=a ; Z

₁+a1

a

2

l

2+a1a2

l

3

+ (a

3

a

5

- a

2

a

6)

l

4

m

2=

a

2

a

1

Z

1

+a ; l

2

+a

2

a

2

l

3

+ (a

1

a

6

- a

2

a

4)

l

₄

1118 = a₃a₁l₁+a₃a₂l₂

+a ;

l₂

+ (a

2 ~ - a₅₎l₄

~ ~ ~ ~~

. . . (13)

Legyen mos t adva négy egyenes

a,

{J, y, o ^{és egy pon t}

l ,

l

a

f l l

egyenesekre bocsá to t t normá l isok ta lp- pon t ja i legyenek : m

1

n

1p, q.

Hogy ez a négy pon t egy s íkban feküd jék , annak fö l té te le

m

₁

m

₂m3

m

₄

111 n2 118 n4

p i P2 Pa p4

1

q1 q2 q3 q4

=Ü

( . . . 14)

me ly egyen le t a ^{(13) alatti egyen le tek tek in te tbe vé te léve l ho l ,}

a ta lppon t coord iná tá i m in t az l pon t coord iná tá inak l inea r is függvénye i vannak fe l tün te tve , a geomé tr ia i té te lnek ad k ife jezés t :

-Azon pontok mfrtani helye, l l 4 adott egyenes1·e bocsátott no1·málisok talppontjai egy síkban f ekszenek1 egy hm·madrendü felületet képez.

7 . Azon egyenes egyen le te a me ly az A. s íkban feksz ik az

a

egyenes t me tsz i és a {J egyenesre

l :

A40 0 0 -A3- A-₂ 0 A₄0 },3 0 -·A₁ 0 0 A₄

-A

₂ },₁ 0

f11 f32 (33

0 0 0

a

4

a

5

a

6

a

1 a₂

a

3 X 4 X5 X6 X1 X2 X3

vagy á ta lak í tás á l ta l

-Aa f32+A2 fla (J .a)4 (Ax)4

=Ü

Aa fl1-A1

f3a (J .a)5 (J .x)4

=0

-A2 f31 +J .1 fl2 ( la ) . ; (A.x)G

. . . (15)

. . (16)

VONALGEOMÉTHIAI TANULMÁNYOK.

21 Továbbá igen fe lada t , azon egyenes egyen le té t meg - á l lap í tan i me ly az l pon ton megy keresz tü l és az

a

meg fi

egyenesekre

l .

Ennek egyen le te :

vagy

0--la l2 l40 0 la 0 -Z₁ 0 Z₄ 0

-Z

₂ Z₁ 0 0 0 Z₄

0 0 0 ^{=Ü ...}(17) a:1 az aa

fl1 ^{fl2 fla}

^{0 0 0}

a1 fl1 ^{( lx ) i}

¹

a2 fl2 ( lx )2

=Ü

as

f3a ( lx )a

„

.(18)

III . Egyenes vona lak momen tuma i .

Hé t egyenes vona la t 1. 2

7•6

= 21 fé lek. épen lehe t párosá- va l össze fog la ln i , e huszonegy pár ugyanenny i momen tuma közö t t egy re lá t ió á l l fenn , me lye t vona lgeome tr ia i tárgya lásná l igen az á l ta l nyerünk , képezzük a ké t

l

de term ináns szorza tá t : a

1

a

2a3a₄

a

₅a₆

0

fl1 ^{fl2 fla f l , f ls fls}

⁰

Y1 Y2 Ya y, Ys Ys 0

01 02 03 04 05 (56

0

é1 é2 é3 é4 é₅ é₆0

P1 P2 Pa p4 Ps Ps

ü

1/J1 1/J2 1/Ja 1/J4 1/Js 1/Js

⁰

a4 a5asa:1 a:2as

0 (34 fis Ps fl1 ^{fl2 fla·O}

Y4 Ys YsY1 Y2 Ya 0

04 i55 06 01 02 03

0

é4 é5 85 81 82 830

<p4

Ps Ps · Pi Pa Pa ü 1/J4 1/J5 1/Js 1/J1 1/J2 1/Ja

0

m i á l ta l a re la t ió t nyer jük

0 (a:fJ)

(ay ) (ao )

(aé)

(arp) (a1jJ) (a/ 3) o (Pr ) (fli>) ((3é) ({Jp) (fli/J) ( ay) ( / lr)

0

(yo ) (yé) (y<p) (r i /J)

(ao ) ( /Jo) (yo ) o ^(&) (<>cp) (81.fJ)

⁼

o .. ^{(1 )}

(aé) ({Jé) (ré) (oé) o (é<p) (éi/J)

(a<p) ((3<p) (rcp) (op ) (é<p) o (<pi/J)

(a"fJ) ((31.fJ) (r i /J) (i51fJ) (é l / ' ) (<ptp) o

22

SILBERSTEIN SALAMON.

Könnyen be lá tha tó , hogy 8 vagy több soros de term inánsoka t vévén a lapú l , hason ló re la t ió t veze the tünk le 8 ,

^{ll l}

több egyenes momen tuma i közö t t . Az ép leveze te t t re lá t ióbó l m in t közös forrásbó l több formu la származ ta tha tó le .

1.

Egy l ineár is comp lex ö t egyenes vona l á l ta l lévén megha tározva , ha t egyenesnek egy fö l té te l t ke l l k ie lég í ten ie , hogy egy azon l ineár is comp lexbe tar tozzék . E fö l té te l ugyan 6 l ineár is egyen le t k iküszöbö lés i

á l ta l

^f

k i , cle ennek négyze tre eme lése á l ta l a a lakban á l l í tha tó

l :

0

(a{J) (ay) (ao ) (aé) (aep) (a{J)

O

((3y) ( f lo) ((Jc) ({lep) (ay) (f lr) o (ro) (re) (rep)

=O

(ao ) ((30) (yv ) o ^(oc) ) · · · (

2)

(ac ) ((3c) (yc ) (oc)

0

(Mp)

(aep) ((lep) (ycp) (oq ) (crp)

0

ho l az egyes e lemek geomé tr ia

^{l l}

b írnak .

2 . Hogy ö t egyenes vona l egy közös transversá l issa l bh jon , arra nézve egy fö l té te lnek ke l l fenná l lan ia , me lye t

ta lá lunk meg . Legyen

a,

{J,

y, iJ, ^é

az ö t egye- nes , továbbá

1jJ

ezeknek közös transversa l isa és ep egy egészen

l

egyenes vona l , akkor e hé t egyenes vona l közö t t (1) szer in t a re la t io á l l fenn :

0

(a{J) (ay) (av) (ac) (acp)

0

(a(3) o ^{({ ly )} (fJo) (!3c) ((3cp) o

(ay) ({ ly )

O

(yv) (yc) (ycp)

0

(av ) ((Jo) (ro) o (oc) (oep) o

⁼⁰

(ac ) ((3:;) (yé ) (vc)

0

(ccp)

0

(aep) ({Jcp) (yep) (ocp) (ccp)

0

(cp"/J)

0 0 0 0 0 (

C/' 1/-')

0

vagy (cp1fJ)

^2•

R=O

és m in thogy (ep"/J) e l szükségképen

l

R ; tehát a kerese t t fö l té te l :

0

(a(3) (ay) (ao ) (aé) (a /J) o ^{( f3 r ) ({Jo)} ((3é) R

=

(ay) ( f lr) o ^{(ro) ( ré )}

⁼⁰

(ao ) ((30) (ro) o ^(oé)

(aé) (r3c) (yé ) (oc)

0

. . . (3)

VONALGEOMÉTRIAI TANULMÁNYOK.

23

3.

Négy egyenesnek á l ta lában két közös transversa1 isa van , me lyek egyen le te inek szorza tá t a á l1 í t - b :ü juk

^{l .}

Legyen a, (3,

y,

8 a négy egyenes ,

^é

és rp ké t közös transversa1 isuk és

x

egy vá l tozó egyenes , me ly ez u tóbb iaka t me tsz i , akkor az (1 ) alatt re lá t ió a lap ján az

^é

és cp egyenesek egyen le te inek szorza ta :

0 (

a(3) (a y ) ( a8) ( ax) ( a(3)

0

((3r) ((18) (( lx) (ar) ( f3 r )

O ^~)

(rx)

=0

( a8 ) ((38) (yi5)

0 (

/ fx ) (ax ) ({3x) (rx) (8x ) 0

. . . (4)

Ha az egymásu tán egyenesek egymás t me t- sz ik azaz :

(a(3)

=0

( (3 r )

=0

(ro)

=0

(8a )

=0,

akkor a négy fö lve t t egyenes egy térbe l i négyszöge t képez és két közös transversá l isuk azon ké t egyenes me ly lye l együ t t egy te traedernek h3 , t é lé t képez ik . A te traeder ké t á te l le- nes é le egyen le te inek szorza ta tehá t a több i négy é l á l ta l k ife jezve :

0 0

(ar)

⁰

(ax)

0 0 0

((38) ((3x) (ar)

0 0 ⁰

(rx)

0

CJo)

0 0

(ox ) (ax) ((3x) (rx) ( i5x)

0

vagy a de term ináns t k ife j tve és (ay ) ({38)-va l osz tva :

((38) (ax ) (rx) + (ar) ((3x) (8x )

=0 ^„

.(5) 4 . Az

(1)

a la t t i formu lábó l továbbá leveze the t jük az egyágú hyperbo lo id egyen le té t P lückerfé l-e coord iná tákban , me lyre K le in más ú ton ju to t t . Legyen

a,

{3, y három egyenes vona l , me lyek más három a ' , {3',

y'

egyenesek á l ta l me tsze tnek és x egy vá l tozó egyenes , me ly az u to lsó hár- ma t me tsz i ; akkor e hé t egyenes közö t t

(1)

szer in t a köve t -

re lá t io á l l fenn :

/

1 1

24

vagy

SILBERSTEIN SALAMON.

0

(a(3) (ay) (ax) (a ,8)

0

((Jy) ((Jx) (ay) ({ ly )

0

(yx) (ax) ( ( lx ) (yx)

0

0 0 0 0

0 0

0 0 0 0 0 0

0

(a '(J ') (a 'y ' ) (a ' f l' )

0

((3' y ' ) (a 'y ' ) ( (3'y ')

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 ^=Ü 0

(a ' f1 ') (a 'y ') (a '(3 ')

0

({3 'y ') (a 'y ') ((J 'y ')

0

0

(a{ / ) (ay ) (ax ) ( a(J)

0

({ ly) ( f ix) (ay) ({ ly)

0

(yx) (ax) ((Jx) (yx)

0

=Ü

és m in thogy az

l

e l nem (mer t ez nem más m in t ((J 'y ') (y 'a ') (a '{J ') =0 vo lna , a m i az t tenné , hogy az a ' , {J',

y'

egyenesek közü l egymás t me tsz i ) szük - ségképen

0

(a

1

3) (ay ) (ax) (a{3)

0

({ ly) ((Jx) (ay) ({ ly )

0

(yx) (ax) ((Jx) (yx)

0

=Ü

. . . (6)

és ez lesz a ké tágú hyperbo lo id egyen le te a vá l tozó x, P lücker- fé le coord iná tákban .

5 . Hesse a Cre l le J ourna l 24 kö te tében a Pasca l és Br ianchon té te le ihez ana log té te leke t á l l í to t t fe l a ké tágú hyperbo lo idra nézve . Az á l ta la geomé tr ia i lag beb izony í to t t ké t té te l t i t t ana ly t ika i lag akarom leveze tn i . Legyen

a,b, e

három egyenes vona l , me ly az egyágú hyperbo lo id egy ik a lko - tórendszerébe tar toz ik , még az

a',b',e'

egyenesek a más ik a lko- tórendszerbe tar tozzanak , akkor

a a' b b'

,

G G

egy a hyperbo lo idra fe l ír t ha tszög á te l lenes o lda la inak tek in t- me lynek egymasu tán o lda la i

a e' b a' e b'

E ha tszög o lda la ibó l a három térbe l i négyszöge t

teszszük össze

VONALGEOMJ!;TRIAl TANULMÁNYOK.

b

e'

b '

e e a' e' a a b' a' b

25

me lyeknek m indegy ike ké t d iagoná l issa l b ír , és ezeke t pá i :on - k in t összeá l l í tva je lö lünk

o o'

I': 1:'

<p

g /

akko r e d iagoná l isok egy ik csopÓr t ja : o,

^1:,

^{<p egy pon ton}

megy ke resz tü l , m íg más ik csopor t ja () ' ,

^{1:', (/",}

egy s íkban fek - sz ik . E té te lek beb izony í tására tek in tsük ezen 6 egyenes t

b

e

b '

e'

d

e

ho l

d

és

e l

a éi és éi'

ll l 1:

és

^1:'

egyenesek- nek és legyen ).. egy he ted ik egyenes me ly a

b

e

d

e

egyeneseke t me tsz i , akkor a hé t egyenes közö t t fenná l ló re la t io szer in t , a fe lada t köve te lése inek tek in te tbe vé te léve l :

0

(be)

0 0 0

(be)

0

(be)

0 0 0 0 0 0 0 0 0

(b 'e ' )

0

(b 'e ) (b 'J..)

0 0

(b 'e ')

0 0 0

(e ') . .)

=Ü

0 0 0 0 0

(de )

0

(be)

⁰

(b 'e) 0 (de )

0 0 0 0

(b ') .) (e 'J ,)

0 0 0

vagy k i fe j tve

(be)

²

(b 'c ' ) (b 'A) (c 'J..) (de )

^2=Ü

V i lágos , hogy a ba l o lda lon á l ló köz t az

l

négy - nek egy ike sem e l , mer t ez az t je len tené , hogy o ly egyenesek me tsz ik egymás t , me lyekné l a me tszés

l

k i van zárva ; enné l fogva

(de)

=0

Ha ép így járunk e l a

ll l

e .a' e'

a

b'

a' a e

f

b f d

. „ (7 )

*

26

SILBERSTEIN SALAi\lOY.

egyenesekke l , ho l f ^közös

^l

^a cp és cp' egyeneseknek , akkor ezen egyen le teke t kap juk

(ca)

2

(c 'a ' ) (c ' f t ) (a 'µ )· (e f)

²

=0 (ab )

²

(a 'b ' ) (a 'v ) (b 'v) (fd)

²

=0 ho lµ és v a e a ' e j

ll l

ab ' f d

je le n t ik , akkor m in t fenn , úgy i t t is közös transversa l isa i t

~f)

=0

( fd) =0 ^{. . . (8 ')} A (7) és (8) a la t t i egyen le t az t fe jez i k i, hogy az

e,f,

d egye - nesek egymás t kö lcsönösen me tsz ik , tehá t vagy egy pon tou mennek keresz tü l vagy egy s íkban fekszenek . Hogy m ikép á l l i t t a do log , az t a Voss á l ta l k ife jeze t t e lv dön t i e l , me ly így hangz ik :

. »Ha az egész a lakza t , me lyre v izsgá la tunk vona tkoz ik , önmagában duá l is , akkor az egyik ese tnek (hogy t . i . egyene - seknek egy pon ton ke l l keresz tü l menn iök) ép anny iszo r ke l l beá l lan ia m in t a más ik ese tnek (hogy t . i . egyeneseknek egy s íkban ke l l feküdn iök) Egy kü lönös kr i ter ium a lka lmazása , (m in t a m i lyen t tény leg levezet tem) fö lös legessé vá l ik , me ly körü lmény a vona lgeomé tr ia i v izsgá la toka t gyakran igen egy-

.

Ez e lv a lka lmazása közve t lenü l úgy in terpre tá l ja a (7 ) és (8) a la t t i egyen le teke t , a m in t ez t Hessének té te le i köve te - l ik . A b izony í tás vo l ta mu ta t ja , hogy az

l

té te leknek ana ly t ika i leveze tésére tény leg a vona lgeomé tr ia szo lgá l ta t ja a

l l

eszközöke t .

6 . Adva van ké t egyenespár

a,b

és

e, d,

me lyeknek közös normá l isa i legyenek

e

és J. ^{Megha tározandó e ké t közös nor-}

ma l isnak momen tuma . Az

e

és f egyenesek egyen le te i a meg-

l

cz ikkben (5) a la t t vannak fe lá l l í tva , ezeke t i ly a lakban akar juk írn i

e4 x1+e5 x2+e6 x3+é1 x4+e2 x5+ea X6

=0

f4 x1+fs X2+fG xa+f1 X4+f2 xs+fa x6

=0 akkor a kerese t t momen tum

(ef) =

e1f6+e2fs+eaf6+e4f1 +esf2+e6fa

Úgy lá tsz ik , hogy a szám í tásba ~ 'fe l ke l l