a Magyar Tudományos Akadémia Könyvtár és Információs Központ

Digitalizálta

a Magyar Tudományos Akadémia Könyvtár és Információs Központ

1826

ÉRTEKEZÉSEK

A MATHEMATIKAI TUDOMÁNYOK KÖRÉBŐL.

KIADJA A MAGYAR '.fuDoMÁNyos AKADÉMIA.

A III. OSZTÁLY

RENDELETÉBŐL

SZERKESZTI

SZABÓ JÓZSEF

^I

OSZ1'ÁLYTITKÁH. .

VII. KÖTET. XXV. SZ,Ül. 1880.

A PONTOKBÓL, VAGY ÉRINTÖKBÖL

ÉS A CONJUGÁLT

HÁROMSZÖGBŐL MEGHATÁROZOTT KÚPSZELET

NEMÉNEK ELDÖNTÉSÉRE SZOLGALO

KRITÉRIUMOK.

HUNYADY ^JENŐ

LEV. TAGTÓL.

~ (Előadta a III. osztály tUésén 1880. október 18-án.)

./ (\. .. í ·.

/ '1

t:;_:„ ,.,

• ' - ' " • 'l.i..

! , ..,,, , .,..,, _{t, , , , i!}

r--·

_{, ,}

, . ,,.

_, ^{g ~~~~'J}

1

-e;_

^{Ára 10 ~.:,.._}

6"- . I . A,, ,'

^{tr. „.}

. - ...

^{„ - ~ l}

'" ,

^{t...JJ ,}

1 _\ ·i- _' ,

'1\ ^f;

^f..I; ' ,, t/1 ./ . '

Hl1' ⁱ

^{1i ' ,1}

• (\ • •I 1~

\ '~- ,dl!•i~ .\ :i

\

^~.::x·

. ,-:• ... BUDAPEST, 1881.

~;:·i:·M:

TUD. AKADÉMIA KÖNYVIUADÓ-HIVATALA.

(Az akadémia épületében.)

l

1 1 .

. A PONTOKBÓL, VAGY ÉRINTÖKBÖL

ÉS A CON.TUGÁL1

¹

HÁROMSZÖGBŐL MEGHATÁROZOTT KÚPSZELET

N.EMENEK ELDÖNTÉSÉRE SZOLGÁLÓ

KRITÉRIUMOK .

HUNYA DY .l ~ N Ö

T.F.V.TAGTÓL.

(El adt ~ . oszl;íly ülésén 1880. október l 8-áu.)

BUDAPEST , 1881 .

A :M. T.AKADJ!:MTA RÖNYVKJADÓ-lllVA'l'ALA.

(Az Aka<6min c'•piilrfc'•bcn.)

,

B ndaper,t, 1Rf1. Az At11 (' ~ '11 m r. tári::.ii ·11~· 1l :i i:t .

,

A pontokbó l , vagy ^{i t ől} és a conjugá lt

g ől meghatározott kúpsze le t nemének e ldöntésére szo lgá ló kr i tér iumok .

A

^{ő t ő}

cz im i í . ér tekezésében »A másodfokú görbék és fe lü le tek megha tározásáró l« k i lett mu ta tva , hogy a kúpsze le t egyfé leképen van meghn , tározva egy con jugá l t

M g ől

és ké t pon tbó l , va lam in t sz in tén egy con jugá l t

g ől

és egy ado t t

i tő ől.

Ha a kúpsze le t parabo la , akkor , m iu tán a parabo la négy

lt t l ől

van megha tározva , a parabo la megha tározására szükséges és e légséges ada tok a

^{t ő}

lesznek :

a) A con jugá l t háromszög és egy pon t . b) A con jugá l t háromszög és egy

i tő.

Az a) a la t t i ese tben vagy ké t parabo lá t nyerünk , vagy · egye t sem , a b) a la t t i ese tben ped ig a fe lada t köve te lménye i- nek m indenkor egy parabo la fe le l meg .

A

^{t ő}

sorok czé l ja

^{l ő}

so rbn ,n azon k r i té r i11mok fe lkeresésében á l l , hogy az a a la t t i ada tokbó l m ikor van ké t parabo la megha tározva és m ikor egy sem . rovábbi czé l ja ped ig e soroknak annak e ldön tése :

1.

M i} rn r lesz az egy con jugá l t

g ől

és ké t ado t t pon tbó l megha tározo t t kúpsze le t e l l ips is és m ikor hyper- bo la?

2 . M ikor lesz az egy con jugá l t

g ől

és ké t ado t t

i t ől

mog lm t{ t rozo t t kúpsze le t és m ikor hyperbo la .

M, T. ATC i'.:RT. A MATn. TUD. J<iiH !~ . \'lf.^JL25.^{SZ • . ·} l*

-„- -

BEVEZETÉS .

1 . Legyenek x , y és u , v a currens or thogoná l pon t -és vona lcoord iná ták , továbbá

x;,

y i az i pon t coo rd iná tá i ,

^it·A·,·vk

ped ig a k egyenes vona lcoord iná tá i . Végre még a

t ő

e lö léseke t haszná l juk :

1

V;

1

¹_i

=q_;k

tik

1

¹

Xi Xk

x

X; Xk

Yi

1

Yk

1

=

( ikO) y 1

y ; ¹ (a)

Yk 1

⁼

( ik l)

2 . A

ő

b izonyos azonos egyen le tekre lévén szük - ségünk , azoka t mos t fe j t jük k i .

Ha ugyan is a

t ő

de term inánst :

1

~

l/43

~

5o1 1₁₀₁

J01

'e !"' 1<:-21 l/21 J2 1

. . . . . . . (e)

A PONTOKBÓL VAGY ÉRINTÖKBÖL ÉS A CONJUGÁLTstb.

5 a

t ő l

sokszorozzuk :

X4

Y4 ¹

Xa

Ya 1 x y 1

akkor az

g lő t ő

e lhagyása u tán ta lá l juk , hogy :

1;48 l/43

.r:a

1

;01 '101 .Í01

= -(123)(140)+(124)(130) . . . . (d )

;21 1121 .Í21

ha ped ig a (e) a la t t i de term ináns t a

t ő l

sokszo rozzuk , akkor ta lá l juk , hogy :

;43 l/13

.r:a

~1 1/01 .Í01 =

(120)(134) . . . . (e)

;21 1121 .Í21

és így a (cl) és (e) a la t t i egyen le tek összehason l í tásábó l a köve t -

ő

neveze tes egyen le te t nyer jük :

(124)(130)-(134)(120) = (123)(140) . . . . ( f ) és ehhez hason lóan a

^{t ő}

egyen le teke t :

(124)(230)--(234)(120) = (123)(240) }

(134)(230)-(234)(130) = (123)(340) . . . . (g)

1 .

§.

Az 123 háromszögnek con júgá l t és a 4 pon ton

t ő

kúpsze le tsm ·eg egyen le tének megha tározása .

3 . Az

lő t tt

je lö lések me l le t t az 123 há romszög - nek con jugá l t kúpsze le t egyen le té t a

t ő

írha t juk :

!i,1

(023 )

²

+A ,

2

(013)

²

+A ,

3

(012)

²

= ^{O, • . • • (1 )}

me ly egyen le tben

^{},1, }},2,

A,

3

ha tároza t lan paramé tereke t je len- tenek . Annak fe l té te le ped ig , hogy az (1 ) a la t t i kúpsze le t a 4 pon ton is á tmegy , a

t ő

:

A

1

(234)

³

+J ,

2

(134 )

²

+J ,

₃

(124)

²

= 0 . . . . . (2 )

Az (1 ) és (2 ) a la t t i

g l t ől

},

₁

-e t k iküszöbö lve és

}.3

- = _Az -A -va l téve , a

t ő

egyen le te t nyer jük :

6

^{HUNYADY JE~Ö.}

1 ⁽⁰²³ ₍₂₃₄₎ ⁾²

₂

⁽⁰¹³⁾ ₍₁₃₄₎

²₂

1-), 1 ⁽⁰²³⁾ ₍₂₃₄₎

₂²

₍₁₂₄ ⁽⁰¹²⁾² ₎₂

¹

_{! '} ^{= 0} _{. . . . (}

₃₎

me ly a 4 pon ton

t ő

és az 123 háromszögnek con jugá l t kúpsze le tsereg egyen le té t fe jez i k i .

A (3 ) a la t t i egyen le te t még reduká lha t juk , ha az t a

t ő

a lakban h juk :

· )(134)(230)+(234)(130)! )(134)(230)-(234)(130)!- - / . )(124)(230)+(234)(120)! )(124)(230)-(234)(120)1 = 0 . vagy ha i t t még a (2) a la t t i egyen le tekre vagyunk tek in te t te l , akkor a kérdéses kúpsze le tsereg egyen le tének a

^{t ő}

a la - ko t adhatjuk:

l ^{(134)(230) +} (234)(130) ! (340 ) -

-A !(124)(230)+(234)(120)!(240)= 0 . . .

(~

4 . A

t ő

egyen le tek :

(124)(130)-(134)(120)

=

0 \

(124)(230)-(234)(120) = 0 . . . (5) (134)(230)-(234)(130)

=

0

az ( f ) és (g) a la t t i cgyen le tekné l fogva így írha tók : (140)

⁼

0}

(220) = 0

^„„

(6) (340)

⁼

0

me ly egyen le tekben az

1 ~

24 és 34 egyeneseknek az egyen le - te i t isme i jük fe l .

A

t ő

egyen le tek á l ta l k ife jeze t t egyeuesek ped ig - (124)(130)+(134)(120) = 0 l

(124)(230)+(234)(120) = 0 . . . . (7) (134)(230)+(234)(134)

=

0

Az 123 háromszög csúcsa iban ta lá lkozó o lc la lpá rhoz a (6 ) a la t t i egyenesekke l harmon ikusan con jugá l t egyenes pára- kat fe jez ik k i , m i t könnyen be lá tunk , ha a (7) a la t t i egyen le te - ke t az (5 ) a la t t iakka l összehason l í t juk .

Ha , tehá t az 123 háromszögben az 12 és 13 o lda lakhoz :

és az 14 egyenesnek con jugá l t negyed ik harmon ikus t megsze r -

A PONTOKRÓL VAGY í.;mNTÖKBÖr, í.;s A CONJUGALTstb. 7

kesz t jük , me lye t a-vaJ je lö lünk és épen így a 23 , 21 o lda lpár- nak és a 24- nek con jugá l t negyed ik harmon ikus t b -ve l , va la - m in t a 31 és 32 o lc la lpárnak és a 34-nek con jugá l t negyed ik harmon ikus t c -ve l je lö lve , az a , b és c egyenesek egyen le te i a

(7) alatti egyen le tek .

5 . A (4 ) a la t t i kúpsze le tsereg a

t ő

pon tokon megy á t :

[4 ] . . . . (240) = o, (340)

=

0

[24 , c] . . . . (240) = O, (134)(230)+(234)(130) = 0 . [34 , b] . . . . (340)

=

o, (124)(230)+(234)(120)

=

0

[u, c] . . . (124)(230)+(234)(120)

=

o, (

^l

34)(230)+

- \-(234)(130)

A (4) a la t t i egyen le t mu ta t ja továbM , hogy a kérdéses kúpsze le tserege t épen úgy ha tá1 ·ozzák meg a 4 , [24 , c ] , [34 , ú]

és [b, c] pon tok , va lam in t az t a 4 pon t és az 123 con jugá l t háromszög megha tározzák .

Ezek á l ta l

^{g lő}

a

^{t ő}

té te l t nyer tük :

»Ha az 123 há1 ·omszög 2 és 3 csúcsc iban az azokban ta lá lkozó o lda lpárhoz és az

ill tő

csúcsoka t a 4 pon t ta l össze -

tő

egyenesnek con jugc í l t b és

c

ha i ·mon ik i is vona laka t szer- kesztjük , c ikko i · a 4 pon ton

t ő

és az 123 háromszögnek con jugc í l t kúpsze le tsm ·eg még a 4 pon ton k iv i l l a [24, c] , [34 b]

és [b , c] c l l lanc ló pontokon megy á t .«

6 . Ezen té te l t symme tr ikusabb a lakba,n mondha t juk k i a

^{t ő}

meg jegyzések fo ly tán . :

Az

lő i

szer in t az (123)-ma l sokszorozo t t 24 egye - nes egyen le té t így is írha t juk :

(124)(230)-(234)(120)

⁼

0 a e egyenes egyen le te ped ig

(134)(230)+(234)(130)

⁼

o,

ha mos t e ké t

g l t ől

(230)- t k iküszöbö l jük , akkor a (234)

t ő

e lhagyása ,

t~

a

t ő

egyen le tre jövünk :

(134)(120)+(124)(130)

=

o,

me lyben a;-: ci egyenes egyen le té t fe l ismer jük . M indez az t b izo ·

ny í t ja be , hogy 24 és e egyenesek me tszés pon t ján az a egyenes

8

^{llUNNYAOY JENÖ.}

is á tmegy , m iné l fogva a [24 , c J ^{pon t az [} c, a] pon t ta l pó- to lha tó .

Hason lóképen írha t juk az (123)-ma l sokszorozo t t 34 egyenesnek az egyen le té t a

^{t ő}

:

(134)(230)-(234)(130)

=

0 a b egyenesnek az egyen le te ped ig a

t ő

:

(124)(230)+(234)(120)

=

0

ha ped ig ezen

g l t ől

(230)- t küszöbö l jük k i , úgy a (234)

t ő

e lhagyása után a

t ő

egyen le tre jövünk :

(134)(120)+(124)(130)

=

0 ,

me lyben az a egyenes egyen le té t fe l ismer jük , m i t tz t b izony í t ja be , hogy a [34 , b] pon ton az a egyenes is á tmegy , a m iér t a

[34 , b] pon to t sz in tén [a, b ] -ve l je lö lh e t jük .

Ezen meg jegyzések fo ly tán az

lő i

számban k imondo t t té te l t a

t ő

a lakb :m mondha t juk k i :

I . »Ha az 123 hárornszög m indeg ,q ik csúcsában az abban ta lá lkozó ké t o lda lhoz és c iz

ill tő

csúcscsa l a 4 pon t tc i l össze -

tő

egyeneshez ez i i tóbb inak c01 i j i igá l t negyed ik hcmnon ikus su .gam t sze1 ·kesz t jük , és ezeke t a ) b és c-ve l j e lö l j i ik) c ikkor a 4 ponton

t ő

és c iz 123 háromszögnek con jugc í l t kúpsze le t 4 pon ton k ív í i l még a [b) e j , [c , a] és [a) b] c í l landó pon tokon

megy á t .«

7 . Ezen té te l seg í tségéve l a j e len ese tekben a

l~t

nemének e ldön tésére szo lgá ló kr i tér iumoka t a

Mő i - l

kr i- tér iumokbó l veze the t jük le , és a

t ő

té te leke t nyer jük : II . »Az ado t t pon ton át is va lame ly háromszögnek con - j i igá l tc in vagy ké t pm ·abola lehe tséges ) vagy ped ig egy sem ) a n i ikén t az ado t t pon t ci [b) c], [e) a] és [a ) b ;] pontokkal e,qy i l t t vagy o lyc tn he lyze tben van) hogy ezen pon tok köz i l l bárme ly há l 'om a negyed ike t k izá1 · jc i ) vagy ped ig nem .

III . A ké t ado t t pon tbó l és egy conJ i igc í l t há1 ·omszögbö l megha tározo t t kúpsze le t nemé t a

t ő

dön t jük e l:

JVfegha tározzuk e löszö1 · az egy ik c ido t t pon tbó l és a con -

jngc í l t

^{g ől,}

a [b , c] , [c , a] és [a , b] pon toka t , akkor

ezen pontok és az c tc lo t t ké t pon tbó l rn ind ig négy o lyan t vá lasz t-

ha tm1k k i , ct me lyen ké t pambo la rnegy á t , ha az ö töd1 ' .k pon t

A PON'fOKUór, VAGY tHINTÖKBÖI, }l;S A CONJ OGÁLT stu.

9 m ind a ké t pambo lán be l i i l , vagy pec l ig m ind a ke t tön k ívü l feksz ik a kúpsze le t hyperbo la , ha ped ig az ö töd ik az egyik pambo lc ín be lü l és a más ikán k ív i i l feksz ik , akko1 · a kúpsze- le t e l l ips is .

« ·

2 .

§.

Az fr in töbö l és egy con j i igc í l t hc írom o lda lbó l megha tc íro- zo t t kúpszele tsereg egyen le te . .

8.

Azon kúpsze le tsereg egyen le te , me ly az 123 hfa·om- o lda lunk con jugá l t , a

t ő:

/ ,1 [230 ]

²

+! .2[130]

²

+ / ,3[120]2 = 0 . . . . (1 )

azon fe l té te l te há t , hogy az (1) ala t t i kúpszele t a 4 egyenest ér in t e ez lesz :

/,1

[234 ]

²

+

^/,2

[134 ]2+ /,

3

[124]2 = 0 . . . . (2 )

h<t ped ig az (1) és (2) a la . t t i

g l t ől

A

1

-et e l im in{ t l juk és

),3 ¹

1 t

^„

k k" t

^{1- "}

1

^j.

t

„.

k

),_ = - r . -va eszszu , a · ove Ji_ezo egyen ece nyerJn :

0

\

[230 _[234 ] _]2

²

_L134J [130 ]

²₂^{\ • 1}

~ (120]

²

j -

-

7 • [234 ]

²

(124 ]2 - o, · · · ^{C 3)}

me ly a 4 egyenes t

i tő

és az 123 háromo lda luak conjugált kúpszc le tserege t fe jez i k i . Ezen egyen le t az ( f) és (g) nh t l i egyen le tek tek in te tbe vé te lével , még a

^{t ő}

a lakra hozha. tó :

l [134 ] [230 ] + [234](130] 1 [340 ] +

+l[l24][230]+[234[120]![240] =0 . . . (4 ) 9 . A

t ő

pon tok egyen le te i t :

[124][130]-[134][120]

⁼

0 l

[124][230]-[234][120] = 0 . . . . (5 ) [134][230]-[234][130' = 0

az ( f) és (g) ab t t i egyen le tekné l fogva , a

t ő

nJakrn hozha t juk :

[140 ]

⁼

0 }

[240 ] = 0

^{„ „}

(6 ) [340 ] = 0

me ly egyen le tek

~L

4 egyenes és az 123 háromo lda l oldalainak

me tszéspon t ja i t fe jez ik k i . Je lö l jük ezeke t ci, bés c-ve l .

10

^{HONYADY JENÖ.}

.A

^{t ő}

^{pon tok pedig:}

[124][130]+[124][130] -0 \ [124][230] + [234 ][120]

=

o

^r'„

[134][230]+ [234][130] = 0 (7) az 1 , 2 , 3 o lda lok végpon t ja ihoz és az a , b,

e

pon tok1 rnk con ju - gá l t negyed ik harmon ikus pon toka t fe jez ik k i . A (7 ) a la t t i pon - tokat a ' ,

1)

és c ' .-ve l je lö l jük .

10 '. A ( 4 ) alatti

g l t ől

k i te ' tsz ik , hogy

^a,

kérdéses kúpsze le tsereg a 4 egyenesen k ívü l még

b ' e ' , be ' : és c l )

g től

ér in te t ik .

A be ' és b 'c egyenesek aa ' pon ton mennek á t , m i t a köve t -

ő

b izony í tunk be . A (123)-ma l sokszorozo t t b pon t- nak az egyen le té t így irha , t juk :

[124][230]-[234 J[120] = 0 a e ' pou tna .k az egyen le te ped ig :

[134][230] + [234 ][130]

=

0

lu t ped ig ezen két

g l t ől

[230]- t k iküszöbö l jük , akkor a

t ő

egyen le te t nyer jük . :

[124][130]+[134][120] = 0

me ly a a ' pon tnak az egyen le te és így lá t juk , hogy a b, e ' és

(t

pon tok ugyanazon egyenesben feküsznek . Hason lóképen b izo - ny í t juk be , hogy a e , b ' és a ' pon tok is ugyanazon egy egyenes - ben fekszenek . M indezeke t a

t ő

té te lben fog la lha t juk össze .

IV . »A 4 egyenes t fr in iö és az 123 há1 ·0111o lda lnak con - Jngá l t kúpsze le tsereg a 4 egyenesen k ív i l l még a b 'c ' , c 'a ' és a 'b '

egye i ieseke t é i ' in t i .

«

Ezen té te l seg i tségéve l a kérdésben fo rgó ese tekben a kúp - sze le t nemé t a

^{Mő i - l}

kr i ter iumok seg í tségéve l dön t - he t jük e l .

V . J} f ind ig van egy pwrabo la , me ly egy egyenes t ér in t

és e gy ado t t háromo lda lnak con jngá l t .

A PONTOKBÓL VAGY ÉRINTÖKBÖL ÉS A CONJUGlLT stb.

11 VI . A ké t ado t t egyenes t

i tő

és a háromo lüalnak cou - jugált kúpsze let nemé t a

t ő

dön t jük e l :

.Megha tározzuk m indenek

lőtt

az egy ik egyenes t

i tő

rs a háromo ldalnak con jugá l t parabo lá t, azu tán a háromo lda l olda la inak a , b, e me tszés pon tj a i t ezen

i tő ,

va lam in t még m inden o lda lon a két végpon thoz és az a , b , e pon toknak cou - jugált negyed ik harmon ikus a ' , lJ, e ' pon toka t , akkor , ha

a ) H a a másod ik egyenes nem . me tsz i a par abo lá t ,

<t

kúpsze le t e l l ips is vagy hyperbo la , a m in t ugyanazon egyenes az a , b, e, a ' , b ' , e ' , pon toka t pára t lan vagy páros számban vú- lasz t ja el .

b ) H a ped ig a másod ik

^{g ~}

a parabolá t me tsz i , akko r a kérdéses kúpszele t e1 l ips is vagy hyperbo la , a m in t ugyan t tzou egyenes az a , b, e , a ' , b ' , e ' pon toka t páros , vagy ped ig pára t lan számban vá lasz t ja el .

F elhn , szná lom ez a lka lma t a

t ő i

ér t eke zésemben : ))A

Mő i - l

kr i ter iumokró l a kúpsze le tek elmé - le tében«

lő d l

számí t ási h ibák és egyébb tévedések hely - re igaz í tására .

A szóban fo rgó érte kezés 8 . lap ján

lő d l

meg- jegyzés :

Az

^{l ő}

mér tan is mere tes

^{t t l ől}

köve tkezik , hogy az x

5,

y

5

pon t az

^{ill tő}

parabo lán k ivü . l , vagy be lü l feksz ik , a m in t,

és úgy sz in tén a (6 ) ah t t t i parabo lá,n k ívü l , vagy belü l , a m in t

.-Á ~ o,

hely t e len . Annak eldön tésé re , hogy az; 5 pon t mely ik helyzeté -

né l lesz; a kúpsze le t h iperbo la és me ly ik he lyze téné l el l ips is a

szóban fo rgó ér t ekezés (4 ) a la t t i fe l té te le i szo lgá lnak . A m i t k i

kel l mu ta tn i az , hogy az

l ő

fe l té tnek

g l lől g

az 5 po i+ t

vagy m ind a két parabo lán k ívü l , vagy ped ig m ind a ké t para-

bo lán be lü l feksz ik . Az

^{l ő}

fö l té te l ké tségk ívü l akkor köve t-

kezik be

₁

ha a

^{t ő}

k i fe jezések :

12 ^{HUNYADY JENÖ.}

(125)(345)-J .1(145)(235) = (145)(235)(} .-J .1) }

(125)(345)-J ,2(1 .45)(235)

=

(145)(235)(} ,-7 ,2) • ' . . ( l i) vagy egy ide jü leg p9 is t ivok , vagy ped ig egy ide jü leg nega t ivok .

A

^{t ő}

b izony í t juk , hogy az

^a

a la t t i k i fe jezések m ind ig ugyanazon

lő l ,

va lahányszor az 5 pon t az (5 ) és ( 6 ) a la t t i parabo lákon k ívü l , vagy azokon be lü l feksz ik . Vegyük fe l a k i tüzö t t czél e lérésére , hogy az 5 pon t a 23 egyenesben feksz ik , azaz , hogy

(235)

⁼

o,

akkor az (a ) a la t t i k i fe jezések egymás közö t t g lő lesznek és a

^{t ő}

mennek á t :

(125)(345) ;

dc m iu tán a 23 egyenesnek sem az (5) ,sem a (6 ) a la t t iparabo- Úva l a 2 és 3 pon tokon k ívü l egyéb közös pon t ja n incs , azér t a 23 egyenesnek bárme ly más pon t ja vagy m ind a ké t parabo- lán k ívü l , vagy ped ig m ind a két parabo lán be lü l feksz ik . M iu - tán teM t ezen ese tben az a a la t t i k ife jezéseknek

lő l i

ugyan - azok , mer t h isz egymássa l

^{g lő ,}

azér t ugyanaz fog á l lan i , ha az 5 pon t a 23

^{g ől}

k i lép a né lkü l , hogy a ké t para- bo la közü l az egy iké t á tha ladná .

.A"' id . é r t . 11 . lap ján

lő d l

jegyze t e le jén

P > _{0 .f} ^\7 < ^{0 hyperbo la} l ^\7 > ^{0 parabo la}

.A 12 lapon

lő d l

'V-ra vona tkozó ér tékekben ennek ke l l á l lan i ,

\7 = ! ⁽¹⁴⁵⁾

³

⁽²³⁵⁾

³

(234)(134)(124)(123)7 .(7 .+ 1) vagy l-nak a (9) ahttti

g l t ől dő

érr téké t he lye t- tes í tve :

1 (145)(2 35)(2 34)(134)(124)(123)(125)(345) . \7 = 4 ! (125)(345) + (145)(235) j

vagy hct még ész revesszük , hogy :

(125)(345)+(145)(235) = (135)(245)

A PONTOKBÓL VAGY ÉRINTÖKBÖL ÉS A CONJUGÁLTstl>. ]

3 am in t az t az id . he lyen leveze t tük , akkor végre :

V '

=

~ (234)(134)(124)(123)(125)(345)(135)(245)(145)(235) Az id . h . 7 számában [13 . l . ] yr-ra vona tkozó meg jegyzé - sek mé lyebb megfon to lásoka t igénye lnek , m in tsem ott tör tén tek , a m iér t a

t ő t

ke l l

lő ta i.

(A háromszög terü le te az o ldal ak coord iná tá ibó l) . Ha az ik l háron io lda lban az i , k, l o lda laknak szemben

ő

csúcsa inak coorc l iná tá i t x; ,

y;;

Xk yk és x1 y i - le l je lö l jük , továbbá legyen :

u , x;+v; y; + .1

=

p; l

Uk

Xk+Vk yk+ 1 = pk , . . . . (e )

Ut

X1+ t '1 y1 +1 = p1

akkor ezen is az (a) és (b) a la t t i je lö lésekné l fogva : ( ik l) [ ik l ]

=

P• Pk p1, . . . . (2)

me ly egyen le tbe ( ik l) de term ináns az (1 ) a la t t i egyenl e tné l fogva vagy + ^{2 t , vagy - 2 t , am ikén t az ik l- i körü l írás pos i t iv ,}

vagy nega t iv .

Annak e ldön tése , hogy a (2 ) kép le tben 2t

i ő lő ll l dő,

tehá t p ; pk p

1

sokszorozmány és [ ik l ]

lő l től

függ . Kü lönösen lényegesnek mu ta tkoz ik az [ ik l ] de term ináns

lő l

megha tározása , m i t a kü lönfé le lehe tséges fe lvé - t e lek me l le t t a

t ő

megfon to lások seg í tségéve l fogunk e ldön ten i .

Ha a háromszögö t akár a szögpon tokbó l ír juk le , akár ped ig az o lda lakbó l , akkor e ké t

li

m ind ig ugyanazon

t l ,

me ly

g g ől

köve tkez ik , m iu tán ( ik l) de ter- m inans pos i t iv körü l irásáná l sz in tén pos i t iv , hogy ekkor az [k l ] de term inans pos i t iv , vagy nega t ív , am ikén t P• pk p1 sok- szo rozmány

^{lő l}

pos i t iv , vagy nega t ív . Ha e l lenben az 1 :k l- i körü l írás nega t ív , akkor ( ik l) is nega t ív lévén , az [ ik l ] de ter- m ináns pos i t iv , vagy nega t ív , am ikén t p ; p1, p1 sokszorozmány 7

,nega t iv , vagy pos i t iv . Ha á ta lában

ux+vy+ l p

ekkor p lő l csak úgy vá l tozha t ik meg , ha az (x.1;) pon t az

14

^{HUNYADY JENŐ.}

(i1, v ) egyenes egy ik o lda láró l a más ikára megy . Ha neveze te_

sen (x

=

o, y

=

o) tehát az (x , y) pon t a coord iná tarendszer o

dő t a,

akkor p = + ^{1 , p tehát pos i t iv és így tehá t á ta lá-}

ban , ha az (xy ) pon t az (u , 1;) egyenesnek azon o lda lán feksz ik , m in t a me lyen a

_dő t,

akkor p pos i t iv , ha ped ig ezze l e l lenben az (xy) pon t és az o

dő t

az (u , v)

g től

e lvá lasz ta tnak , akkor p nega t iv . Ez t már mos t a

p;pk 171

sokszorozmányra a lka lmazva , ta lá l juk , hogy ez m indenkor pos i - t iv , ha az o dő t a háromszögön be lü l feksz ik . Az ik l o lda lak a s íko t hé t részre osz t ják , me lyek közü l az

l ő

a há rom - szögön be lü l i rész , a több iek ped ig a csucsok és az o lda lak fe le t t eme lkednek . Ha továbbá az o

dő t

egy a csúcsok fe le t t i s íkrészben feksz ik , akkor a fen tebb i sokszo rozmány sz in tén pos i - t iv , ha ped ig az o

dő t

egy ikében az o lda lak fe le t t eme l -

dő

s íkrészben feksz ik , akkor az nega t ív .

Ezeke t m ind egybeve tve , az [ ik l] de term inans

^{lő l t}

a

t ő

szabá ly ha tározza meg :

»Az i) le) l egyenesek vona lcom ·d iná tá ibó l megha tározo t t [ ikl] de term ináns ik l- i pos i t iv kör í l l frásná l fogva positiv , vagy nega t ív (nega t ív köd l l frásná l ped ig , neya t iv vagy pos i t iv) a m ikén t az o

dő t

vagy a háromszögön be lü l és a csúcsok fe le t t

l dő

s t lc1 'észekben , vagy ped ig az o lda lak fe le t t eme l -

dő

s ík részekben feksz ik .«

A

t ő

megv izsgá l juk az [1"kl] de term ináns vá l tozásá t , ha az ik l háromo lda lnak o lda la vá l toz ik . Ezen vá l tozásná l az l egyenesnek a

^{t ő}

ke l l ügye lnünk , hogy 1 -szö r a körü lha ladás iránya vá l toz ik és hogy az l egye - nes á t lép i-e az ( ik) és az o pon toka t .

Ha az l egyenes az (i7c) és o pon tok egy iké t á t lép i , a más iká t ped ig nem és ped ig úgy , hogy a kö r í í lha lac lás iránya ne vá l tozzék , akkor o az ú j háromo lda lban az

ll ő

he lyze - te t nyer i és így [ ik l ] az

^{lő l t}

megvá l toz ta t ta , De ha az l egyenes vá l tozásáná l egyszersm ind az i lc l - i körü lha ladás irá- nya is vá l toz ik , akkor o nem lép á t az

ll ő

he lyze tbe (•s igy [üd ]

^{lő l}

sz in tén vá l toz ik .

Ha továbbá az l egyenes he lyze tének vá l tozásáná l az ( ik)

A PONTorrnóL VAGY ÉRINTÖKBÖL ES A CONJUGÁLTstb.

15 és

o

pon tok közü l vagy m iud a

ttőt

á t lép i , vagy ped ig egy i - ké t sem , akkor o he lyze te vagy az

ll ő

megy á t , vagy ped ig uem , a m iu t az ik l i körülhaladás iránya is vá l toz ik , vagy megmarad , mos t tehá t [ ik l]

lő l t

megtartja .

Ezekné l fogva az l egyenes vá l tozásáná l a , z [ ik l]

lő

lére nézve a

t ő

eredmény t nyer jük :

Ha az ik l há1 ·omo lda lban az l egyenes he lyze té t , vá l toz- taYa és ezen vá l tozásná l vagy az ( ik) vagy ped ig az o pon to t á t lép i , akko i · az [ ik l] de te1 'm ináns .

l~ l

vá l toz ik , ha ped ig az l egyenes az

lő

neveze t t ké t pon t közü l , vagy m ind a

tt t

á t lép i , vagy pedig egy iké t sem , akkor az [ ik l] de term ináns

^lő

je lé t meg tar t ja.

Ez

lő t tt

meg jegyzések szer in t v-nak az

lő

lé t már mos t a

t ő

megfon to lások seg í tségéve l dön t- jük e l .

Ha tározzuk meg m indenek

lőtt

az 1 , 2 , 3 , 4 egyenese- ket

i tő

parabolát s hagy juk meg á l landóknak az 1 , 2 , 3 , 4 egyeneseke t , ho lo t t az 5 egyenes he lyze té t vá l toz ta t juk . Enné l- fogva tehá t a 'V ér tékben

lő d l

(234)(134)(124)( 12 3)

t ő

nem fog vá l tozn i , cle a

t ő t ő

; (12 5 )(345)(13 5)(245)(145 )(2 3 5 )

vá l tozás t fog szenvedn i. M indazon háromszögökben , a me lyek- nek ezen de term inánsok megfe le lnek , az 5 egyenes képez i az egy ik o lda l t és az 1234 te l jes négyszög

12 , 34 , 13 , 24 , 14 , 23

csúcsa i képez ik az 5 o lda lnak

ő

csúcsoka t .

Ha már mos t az 5 egyenesnek o lyan kezde t leges he lyze -

t ől

indu lunk k i , me lyné l az

lő

fe lsoro l t ha t pon t vn .la .- menny ien az 5 egyenes egy ik o lda lán feküsznek és mos t ::tz 5 egyenes t o ly he lyze tbe veze t jük á t , hogy az az

12 , 34 , 13 , 24 , 14 , 23

pon tok közü l az egy iké t , p ; az 12- t á t lép i , akkor ha az 5 egye -

nes ezen vá l tozásáná l az az o pon to t á t nem lép i , az [125] de ter-

m inánsnak az

lő l

megvá l toz ik , ho lo t t a több i ö t de tenn i-

nánsnak az e l i í je le vá l toza t lan marad , m iné lfogva 'V-nak ::tz

]6

HUNY ADY .JENÖ.

lő l g~ lt i . Ha ped ig az 5 g ~ az

o

pon to t á t lép i , akkor [125]-nek az

lő l

vá l toza t lan marad , ho lo t t a több i ö t de term inansnak az

^{lő l}

megvá l toz ik . Ugyanez fog tör ténn i va la .hányszor az 5 egyenes a szóban forgó ha t pon t közü l bá r- mely iké t lép i á t .

^{E ől}

az köve tkez ik , hogy va lahányszor az 5 egyenes az 1234 te l jes négyszög csúcsa inak bárme ly iké t lép i á t , m indanny iszor "V -nak az

^{lő l}

megvá l toz ik és így fe l téve , hogy az 5 egyenes ezen vá l tozásáná l az 1234

g ől

megha tározo t t parabo lá t á t nem lép i , úgy va lahányszor az 5 egyenes az 1234 te l jes négyszög egy ik csúcsá t

tl~ i,

m indany - ny iszor az 1 , 2 , 3 , 4 , 5 g ől megha tározo t t kúpsze le t

lli i ől

hyperbo lába , vagy megford í tva hyperbo lábó l e l l ip - s isbe fog á tmenni .

Hogy mos t az

^dő

kúpsze le t nemé t vég legesen e ldön t - hessük , ismernünk ke l l az 5 egyenes b izonyos he lyze téné l a kúp . szelet nemé t .

Tegyük fe l , hogy az 5 egyenes az 1 , 2 , 3 , 4

g ől

megha tározo t t parabo lá t nem me tsz i és hogy az 1 2 3 4 te l jes négyo lda lnak m ind a ha t csúcsa az 5 egyenes egy ik o lda lán feküd jék , akkor k imu ta t juk , hogy a kúpsze le t nem lehe t e l l ip - s is. Mer t ha ö t egyenes egy e l l ips is t ér in t , akkor ezen

i tő

a s íko t egy te l jesen bezár t és egy vég te len nagy részre osz t ják , me ly s íkrészek m indegy ikének azon tu la jdonsága van , hogy annak m indegy ik pon t jábó l m ind az ö t

^{i tő}

höz juthatunk a né lkü l , hogy azok közü l az egy iké t

^{tl ő ,}

de egy i lyen síkré sz t az em l í te t t ö t egyenes ezen he lyze tük - ben nem képeznek , mer t m inden pon tbó l , m in t pé ldáu l a para- bo lán be lü l

^ő

pon tokró l ,

^{l ől}

az 1 , 2 , 3 , 4

^{i tő}

juthatunk az 5 egyeneshez , annak je len leg i he lyze téné l a né l - kü l nem ju tha tunk , hogy az

^{l ő}

négy egyenes közü l egy iké t á t ne-

l ő .

Ha tehá t az 5 egyenesnek

t t ől g

he lyze te van , 11kkor vezessük á t az t ezen he lyze tbe és legyünk f igye lemme l

p "V jegyvá l tása ira . A m in t azu tán a jegyvá l tások páros , vagy , pára t lan számnak , akkép le sz az

^dő

kúpsze le t hyperbo la : vagy e l l ips is .

Möb ius kr i ter iumá t tehá t a

t ő

mondha t juk k ii

Az ö t ad ott egyenes közü l bárme ly négye t k ivá lasz tva

m ind ig van egy pambo la , me ly a négy egyenes t ér in t i , és

A PONTOKBÓL VAGY ÉRINTÖ:rnöL ÉS A CONJUGÁLTstb. 17

a) Ha az ö töd ik egyenes nem me tsz i a parabo lá t , akkor a kúpszefe t e l l ips is , vagy hyperbo la , a m in t az ö töd ik egyenes az

l ő

négy egyenes h :ü me tszéspon t já t pára t lan , vagy páros számban vá lasz t ja e l .

b) Ha ped ig az ö töd ik egyenes a parabo lá t me tsz i , akkor az e l l ips is , vagy hyperbo la , a m in t az ö töd ik egyenes az

l ő

négy egyenes ha t me tszés pon t já t páros vagy páratlan - szám - ban vá lasz t ja e l .

Ha vég re az ö töd ik egyenes a parabo lá t ér in t i , akkor az maga fe le l meg a fe lada t köve te lménye inek .

· A szóban fo rgó ér tekezésem , me ly sz in tén néme t ford í- tásban

~l t

meg Borchardt: Journa l für d ie r . u . a . Ma th . cz imü fo lyó ira t 89 . kö te tében , Durége prága i egye tem i tanárnak

al ~l at

szo lgá l ta to t t a

^{t ő}

cz imü ér tekezésének közzé - té te lére : Über d ie von Möb ius gegebenen Kr i ter ien e tc . (S i t igber . der k . Akac l d . W iss . zu W ien II . Ab th . Bd . 82) , me lyben Durége az ér tekezésemben

^{lő d l}

h ibáka t he lyre igaz í t ja .

Pusz tán csak a tényá l lás cons ta tá lása m ia t t em l í tem meg , hogy már magam is az

-~ tala

te t t he lyre igaz í tásoka t m ind észreve t tem , k ivéve az i t ten

lő

fe lhozo t t tévedés t , me ly á l l í tásom igazo lására több he lyben tar tózkodó

i ő

h iva tkozha tom .

M.T. AK. ÉRT. A MATH, TUD. KÖR.1880. VIT.R.25.sz. 2*

Edd ig kü lön megjelent

ÉRTEKEZÉSEK

a ma thema t ika i tudományok körébö l . .

E 1 s ö k ö t e t .

L Sz i 1 y Kálmán. A mechanikai hö-elmélet egyenleteinek általános alakjáról. Székfoglaló. 10 kr. II. Huny ady^{J ő} . .A. pólus és a polárok. .A. viszonyos polárok elve 20

k r .

III.Vész János A. Biztosítási kölcsön (új életbiztosítási nem) . 20 kr. lV. Kruspér István. A Schwerdt-féle Comparator módosított alkalmazása 10 kr. V.Vész J.ános .A.. I:iegrövidebb távoloka körkúpon. Székfoglaló. 10 kr. VI. T 6t h .A.goston. .A.z európai nemzetközi fokmérés és a körébe tartozó goedaetai munkálatok 20 kr. VII. K r u s p ér István. .A. párisi meter-prototyp . 1O kr. VIII. König Gyula . .A.z elliptiktii ^{gg ~} alkalmazásáról a magasabb

foku egyenletek elméletére . 20 kr. IX. M ur ma n n Ágost. Európa bólygó elemei, annak tíz l ő észlelt szem- benállása szerint 20 kr. X.Sz i1y Kálmán ...A:. Hamilton-féle elv és a mechanikai ő- l l t máso-

dik tétele . 10 kr.

XI. Tó t h Ágoston. .A. földképkészités jelen állása, a mint az képviselve volt az antwerpeni kiállításon. Két táblával 20 kr.

Másod ik kö te t .

I.::\1 ur ma n n Ágost. Freia bolygó feletti értekezés 30 kr. II.Kruspér István. .A. comparatorokról 10 kr, III. Kr us p ér István. .A. vonásos hosszmértékek összehasonlítása folya-

dékban 10 kr.

IV. FesztV. .A. közlekedési müvek és vonalok 20 kr. V.M ur ma n A.. Az 1861. nagy üstökös pályájának meghatározása 20 kr. VI.Kruspér J.A párisi levéltáriméter-rúd . 10 kr.

Harmad ik kö te t .

I.Vé sz János Ármin. Adalék a visszafutó sorok elméletéhez. . 10 kr. II.K o n k o1y Miklós. Az ó-gyallai coillagda leírásas abban történtnap- foltok észlelése néhány spectroscopicus észlelés töredékeivel. 187'.l. és 1873. Három táblával. 40 kr. Ill.Kondor Gusztáv. Emlékbeszéd Herschel János k. tagfölött . 10 kr. IV. B. Eötvös Loránd. A rezgések intenzitása, tekintettel a rezgés. forrásnak és az l lő mozgására . ll'kr. V. Ré t h y M ó r. A Diffractio elméletéhez . 12 kr. VI. Martin Lajos.Azertimütani csavarfelületek. -Avízszintes szél- kerék elmélete. Két értekezés · 1 frt VII. RéthyM6r, A kerületre redukálható l l t- g l ~ elméletéhez

. , 15 kr.

VUI. G a 1 gócz y Kár o 1y. Emlékbeszéd Vállas Antal k. tagfelett. 10 kr.

Negyed ik kö te t .

I.S chu 1 h o f Lipót..A.z 1870. IV. sz. Üstökös definitív pályaszámitása

, 10 kr.

II.S chu 1hofLipót.Az1871.II.sz.Üstökösdefinit1v pályaszámitása.10 kr. III.Sz i1y Kálmán . .A. ő elmélet második őt t l , levezetve az l ő ől

10 kr. IV. K o n k o 1 y Miklós. Csillagászati megfigyeléseim 1874és1875-ben. 50 kr,

V,. K o n k o 1 y Miklós. Napfoltok megfigyelése az ó-gyallai csillagdábHn 40 kr. VI. Huny adiJ ő. A kúpszeleten ő hat pont feltételi egyenletének

l ő alakjairól • 20 kr.

VII. Réthy Mór. A három_méretü homogén tér(u. n. nem euklidikus) sikt:rn. trigonometriája. 2okí-. VIII. Réthy l\1ór. A propeller és peripeller felületek elméletéhez. :JO kr. IX. Fest Vilmos. Temesi Reitter Ferencz emléke 10 kr.

Ö töd ik kötet .

I.K o n do r Gusztáv. Emlékbeszéd Nagy Károly r. tagfelet: . 10 kr. II. Kenessey Albert. Adatok folyóink vízrajzi ismeretéhez • 20 kr. IIL Dr. Hoitsy Pá1.Csillag-észlelés a kelet-n)'lilgot vonalban (egy szám-

táblával.) 30 kr.

IV.Huny adyJ ő. A kúpszeleten ő hat1.Jont feltételi egyenletének l ő alakjaiÍ:ól. (Folytatás a IV. kötetben ugyane czim alatt meg- jelentértekezésnek.) . ; 1O kr. V. Huny adyJ ő. Apollonius feladata a gömbfelületen . 10 kr. VI. Dr. Gruber Lajos. 24'1 Cassiopeiae ttő csillag mozgásáról . 10 kr. VII. Martin Lajos. A változtatási hánylat alkalmazása a propeller-fölület egyenletének lefejtésére. 20 kr. VIII. KonkolyMi l ~ A teljes holdfogyatkozás 1877. február 27-én és az 1877. (Borelli) I. s:;.ámu üstökös i ~ megfigyelése az ó-gyallai csillagdán. . 1O _kr. IX. Konkoly Miklós. A napfoltok sa nap felületének kinézése 1876-ban (három képtáblával.) . _ . ' 40 kr. X. K o n k o 1 y Miklós. 160 álló csillag színképe. Megfigyeltetett az

ó-gyallai. "·•illagdán 1876-ban 20 kr.

Hatod ik kötet .

I.Ko n k o 1 y Miklós. Hulló csillagok megfigyelése a magyar korona területén. I. rész.1 1-1 ~. Ára . 20 kr. II. K o n k o 1yMiklós. HulÍo csillagok megfigyelése a magyar korona területé11. II. rész. 1874-1876. Ára . . . . . • . • 20 kr. III. Az 1874. V. (Borelly-féle) Üstökös definitív pályaszámitása. Közlik dr. Gruber I, aj o s és K u r lan der I g ná ez kir. obse·rvatorok. 10 kr. IV. S ehe n z 1 Guido. Lehajlás meghatározások Budapesten és Magyar-

ország délkeleti részében. ' 20 kr. V. G r u be r Lajos. A november-havi hullócsillagokról . 20 kr. VI. K o n k o 1 y Miklós. Hulló csillagok megfigyelése a magyar korona terü-

letén1877-ik évben. III. Rész. Ára . • . . . . . . . 20 kr. VII. K o n k o lyMi kl ó s. A napfoltok és a napfelületének kinézése

1877-ben. Ára 20 kr.

VIII. K o n k o 1 y Mik l ó s. Mercur átvonulása a naplőtt. Megfigveltetett az ó-gyallai csillagdán 1878. május 6-án 10 kr.

Heted ik kötet .

I.K o n k o 1 y Miklós. Mars felületének megfigyelése az ó-gyallai csillag- dán az 1877-iki oppositió_után. Egy tábláv.al. . 10 kr. II. K o n k o 1 y Mik lóE.-Alló csillagok színképének mappirozása. 10 kr. III. K o n k o 1 y Mik 1 ó s. Hullócsillagok megfigyelése a magyar korona területén 1878-ban. IV. rész. Ára. . . . . • . . 10 kr. IV.Ko n k o 1 y Mik 1 ó

s.

^{A nap felületének megfigyelése 1878-ban az}

ó-gyallai csillagdán. . . • . 10 kr. VI. H u n y a d y J e nő. A Möbius-féle kritériumokról a kúpszeletek elmé-

letében . . 10 kr.

YII. K o u k oly Miklós. Spectroscopicus megfigyelések az ó-gyallai csil-

lagvizsgálón 10 kr.

VIII. Dr. Wein e k Lás z 1ó. Az instrumentális fényhajlás szerepe egy Vénus-áfvouulás photographiai felvételénél • • . . 20 kr.

Budapest, 1881. Az A tbe n a e nm r. társ. köoyvnyomdaja.