a Magyar Tudományos Akadémia Könyvtár és Információs Központ

IMUllER GYÖilll

KÖNYVKÖTÉSZET E 1 BUDAPEST

Digitalizálta

a Magyar Tudományos Akadémia Könyvtár és Információs Központ

1826

' '

ERTEKEZESEK

A MATHEMATIKAI TUDOMÁNYOK KÖRÉBŐL.

A Ill. OSZTÁLY RENDELETÉBŐL

SZERKESZTI

SZABÓ JÓZSEF

OSZTÁLYTITKÁR.

XIV. KÖTET. 1. SZÁM. 1887.

A DINAMIKA

ALAPEGYENLETEINEK

JELENTÉSÉRŐL.

KÖNIG GYULA

LEV. TAGTÓL.

(Előterjesztette a 1\f. T. Akadémia III. osztályának ülésén 1886. ápr. 18-án.)

Ára 30 kr.

BUDAPEST.

KIADJA. A. MAGYAR TUDOMÁNYOS AKADÉMIA.

1887.

Edd ig kü lön meg je len t

ÉRTEKEZÉSEK

a mathema t ika i tudományok

^{r ől.}

Első kötet. - M ásodik kötet.- Harinadik kötet. - Negyedik kötet.

Ötödik kötet.

Hatodik kötet.

I. Konkoly Miklós.Hulló csillagok megfigyelése a magyar korona területénI.rész. 1871-1873.Árn20 kr. - II. Konkoly Miklós. Hulló csil- lagok megfigyelése a magyar korona területén. II.rész. 1874-1876. Ám 20 kr. - III. Az 1874. V. (Borelly-féle) Üstökös definitiv pályaszámitása. Közlik dr. (rrubér Lajosés Kurlünder Ignáczkir. observatorok. 10 kr. - IV. Schenzl Guido. Lehajlás meghatározások Budapesten és Magyarország délkeleti részé- ben. 20 kr. - V. Grube1· Lajos.A november-havi hullócsillagokról 20 kr. - VI. Konkoly Miklós.Hulló csillagok megfigyelése a magyar korona területén 1877-ik évben. III. Rész. Ára 20 kr. - VII. Konkoly Miklós. A napfoltok és a napfelületének kinézése 1877-ben. .Áia 20 kr. - VIII. Konkoly Miklós. Mercur átvonulás a napelőtt. Megfigyeltetett az ó-gyallai csillagdán 1878. május 6·án 10 kr.

Hetedi k kötet.

I. Konkoly Miklós.Mars felületének megfigyelése az ó-gyallai csillag- dán az 1877-iki oppositió után. Egy táblával. 10 kr. - Konkoly Miklós.Álló csillagok szinképének mappirozása. 10 kr. - III. Konkoly Miklós. Hullócsil- lagok megfigyelése a magyar korona területén 1878-ban IV. rész. Ára 10 kr. - IV. Konkoly Miklós. A nap felületének megfigyelése 1878-ban ó-gyallai csillagdán. 10 kr. - VI. Hunyady^{Je ő.} A Möbius-féle kritériumokról a kúp- szeletek elméletében 10 kr. - VI. Konkoly Miklós.Spectroscopicus megfigye- lések az ó-gyallai csillagvizsgálón 10 kr. - VIII. Dr. Weinek László.Az instrumentális fényhajlás szerepe és Vénus-átvonulás photographiai felvételénél 20 kr. - IX. Suppan Vilmos.Kúp- és hengerfelületek önálló ferde vetités- ben. (Két táblával.) 10 kr. - X. Dr. Konek Sándor.Emlékbeszéd Weninger Vincze1. t. fölött. 10 kr. - XI. Konkoly Miklós. Hullócsillagok megfigyelése a magyar korona területén 1879-ben. 10 kr. - XII. Konkoly Miklós.Hulló·

csillagok radiatio pontjai, levezetve a magyar korona területén tett megfigye-

l se ől 1871-1878. végéig 20 kr.- XIII. Konkoly Miklós. Napfoltok meg- figyelése az ó-gyallai csillagvizsgálón 1879-ben. (Egy tábla rajzzal.) 30 kr.- XIV. Konkoly Miklós.Adatok Jupiter és Mars physikájához, 1879. (Három tábla rajzzal.) 30 kr. - XV. Réthy Mór. A fény törése és visszaverése homo·

gén isotrop átlátszó testek lrntárán. Neumann módszerének általánosításával éső t s el. (Székf'. ért.) 1U kr. - XVI. Réthy Mó1-. A sarkitott fényrezgés elhajlitó rács által Vttló ÍOl'gatásának magyarázata, különös tekintettel Fröhlich észleteil'e. 10 kr. - XVII. Szily Kálmán. A telitettőz nyomásának törvé·

ről. 10 kr. - XVIII. HunyadiJe ő. Másodfoku görbék és felületek meg·

határozásáról. 20 kr. - XIX. HunyadyJe ő. Tételek azon cleterminánsokról, melyek elemei adjungált rendszerekele e ől vannak componálva. 20kl'. - XX. D1-. Frölich Izor.Az állandó elektromos áramlások elméletéhez. 20 kr.

ÉRTÉKEZÉSEK

A 1ATHEMATIKAI T DOMÁNYOK ^KÖRÉBŐL.

KIADJA

A MAGYAR TUDOMÁNYOS AKADÉ1VIIA.

TIZENNEGYEDIK KÖTET.

A ill. OSZTÁLY RENDELETÉBŐL

SZERKESZTI

SZABÓ JÓZSEF

OSZTÁLYTITKÁR.

BUDAPEST.

1892.

A M. T. AKADÉMIA

Fdm«ÁIJ

^HlVATA!A

TARTALO I .

1. szám. A <linarnika alapegyenleteinekjele t s ről. lJr. J(öni,qGyulát<JI. 2. Az orthogonalis substitutio együtthatóinak paraméteres értékei.

Huny<Uli Jenöwl.

3. Azorthogonalis substitutio együtthatóinak paramétere értékei. (Folytatás).Hunyadi Jenöwl.

1'. A lánczhidak merevitö tartóinak grafikaiel let ről. (Két rajzlap-melléklettel.) Székfogl.Khe1•ndlAntaltól.

ii. Együttesenle ő elemi mágnesek kölcsönös vonzásai és ta.szí- tásai.FröhlichIúdortól.

, ,

ERTEKEZESEK

A MATHEMATIKAI TUDOMÁNYOK KÖRÉBŐL.

KIA.DJA A MA.GY AH TUD. .K DÉ ..

A III. OSZTÁLY RENDELETÉBŐL

SZERKESZT[

SZABÓ JÓZSEF

OSZTÁLYTITKÁR-.

A D INAM IKA ALAPEGYENLETEINEK JELENTÉSÉRŐL.

KÖNIG GYULA 1. tagtól.

(Előterjesztette a III. osztály ülésen, 1 87. április l '.)

A mozgás á l ta lános d ifferencz iá legyen le te inek ké tség te le·

nü l tapasz ta la t i , vagy jobban - m in thogy tartalmuk a tapasz- ta la t seg í tségével soha k i nem

er t ető

-

szer

je l le- gük van . Magukban fog la l ják az

erő

és a kényszer de f i .n icz ió já t . Az

erő

ped ig nem más , m in t a tünemények leüása és osz tá lyo- zásaczé l jábó l beveze te t t természe t tudomány i ,

lletőle

ismere t tan i segédfoga lom ; és , a m i t kevésbé szok tunk hangsú lyozn i , a kény- szer is i lyen . Bárm i ly rnerkeze t lé tes í tse is a mozgásnak ama módos í tásá t , me lye t kényszermozgásnak nevezünk , ennek köve t- kez tében nemcsak a theore t ikus

szererő

l épnek fö l , hanem a tünemény te l jes le írására még más , akadá lyképen

ő erő

(súr lódás s tb .) fö lvé te le is szükséges . A kényszer- és aka-

l erő

szé tvá lasz tása ped ig sz in tén csak a theor ia segéd- eszköze .

A tudományos mechan ikának rég i törekvése , a mozgás a lapegyen le te inek t11 r ta lmá t v isszaveze tn i

e szer

törvé- nyekre , a mechan ikának

ú.

n . e lve ire , me lyeke t nemcsak t isz tán ma thema t ika i , hanem egyszersm ind termés7 .e t tudomány i,

l{. T. AK.Kr.T.A MATf{. Tt:o. K ü n1::Rfü.,1 -;, x rv. lC,J.^i:\/., 1

. T. AKADÉMIA

A\trWRI HIYAT

2 _{KŐN GYULA.}

he lyesebben mondva , ismere t tan i szempon tbó l is lehe t in terpre- tá ln i . I ly törvénynek

te te ő

a LAGRANGE-féle mozgás i egyen - le tek rendsze1 ·e is . De m íg ez á l ta lánosságban 3n egymás tó l függe t len á l l í tás t fog la l magában , n incs k izárva annak

le ető

sége , hogy ezeknek he lyé t o ly e lv pó to l ja , me ly kevesebb egy - más tó l függe t len á l l í tás t fog la l magában és így az

llető

pon t- rendszer mozgásának lega lább b izonyos tek in te tben

^{e szer}

le írásá t eszköz l i . Erre természe tesen szükséges , hogy az i ly e l '° -

ől

LAGRANGE egyen le te i

le ezet ető

legyenek . Az á l l í tások (egyen le tek) számának leszá l l í tására max imum-m in imum fö l - té te lek beveze tése k íná lkoz ik a lka lmas módszer gyanán t . Az összes egyen le tek természe tesen egy i l .v

lt tel ől

is leveze the-

tő

ha p . az xi ', y'(,, zi' ^{függvenyek o ly megha tározásá t köve te l-}

jük , hogy

. ((

n

+ ^{( +(m iz ' i- Z i)}

²⁾

i=1

m in imum legyen . De ez - ép úgy mint a v ir tua l is sebességek e lve - ama 3n egyen le tnek csak forma i egyesí tése ; a m iér t is a

et ező e eze től

e l tek in tünk .

A menny iben edd ig i ly e lvek , me lyek a mozgásnak más

jelle ző

és á l ta lános tu la jdonságá t fe jez ik k i , edd ig fö lá l l í t ta t- tak , csak is a mozgások b izonyos neme ire vona tkoznak , azaz csak a

^{ő erő}

természe tére vona tkozó specz iá l is fö l teve- sek me l le t t igazak , és sz in túgy a kényszernek csak

e szer .

ese te i t karo l ják fö l ,

^ő

t . i . a mozgó pon tok he lye i t megszo- r í tó fö l té te lek az

őtől

függe t lenek . Ezekke l szemben e lapok- ban a mozgásnak o ly á l ta lános törvénye i t á l l í tom fö l , me lyek- nek foga lmazása a mechan ika u . n . e lve ihez hason ló ugyan , de a

ő erő

és a kényszerre vona tkozó m inden specz iá- l is

lte stől

függet len , azaz m inden mozgásná l érvényes .

Ezen á l ta lános törvények

ellő

foga lmazására azonban néhány a haszná l t mechan ika i foga lmakka l köze l rokonságban á l ló , de még is ú j foga lma t ke l le t t beveze tnem . Ezeknek rész le-.

tesebb e lemzéséné l a je len a lka lomma l csupán anny ira szor í t-

koz tam , a menny i

elő

k i je lö l t czé lom e lérésére szükséges

lt

I .

ELŐ ETES

MEGÁLLAPÍTÁSOK .

1 . Va lame ly n tömegpon tbó l á l ló rendszernek egy -egy mozgás i á l lapo tá t je l lemezzük , ha megad juk az

^{ő r t} (t)

egy-egy ér tékének

e elelőle

az egyes pon tok* koord iná tá i t

(Xi,

y ; ,

^Zi)

és sebesség i komponense i t

(xi,

y i ,

^zi)

va lam in t végre az egyes pon tok tömegé t

(mi).

Ha a tömegek á l landók , akkor e fö lsoro lásuk a mozgás

^{ll tjelző}

köz t fö lös leges ; ámbár azon- ban erre a fö l tevésre az edd ig ész le l t tünemények v izsgá la tában még nem vo l t szükség , n incs k izárva annak

le etős e

hogy a tömegek b izonyos megha tározo t t módon vá l toznak az

ő el

vagy még á l ta lánosabban a rendszer mozgás i á l lapo táva l . Ép ezért meg jegyzem i t t egyszer m indenkorra - noha ene kü lö- nös sú ly t nem fek te tek - hogy a

^{et ező}

tárgya lások a töme- gekre vona tkozó

r e

i ly á l ta lánosabb fö l tevésre is vona t- koznak , azaz hogy m indenü t t

^mi

a t ,

^Xi,

Y i ,

^{Zi, xi,}

y i , z i te t-

szőle es

de megha tározo t t (poz i t iv

rt

függvényének is

te t ető.

Va lame ly

e s ről

röv iden az t mond juk , hogy a moz- gás i á l lapo t függ ténye , ha ez a t , . . . ,

Xi,

Y i ,

^{Zi, •••,}

x i , y i , z i , . . . függvénye ; az

^mi

tömegeknek kü lön fö lem l í tése me l lözhe tö , mer t ezek vagy á l landók vagy sz in tén a fö lsoro l t menny iségek-

ől

megha tározha tók .

Ha az egyes pon tok gyorsu lás i komponense i meg vannak adva , mint a mozgás i á l lapo t függvénye i :

''Az áttekintés végett ez ettől fogva közönséges er sz koor- clinátarendszert használok; de megjegyzem mindjárt itt, hogy az összes tárgyalások a helymeghatározás módjától egyáltalában függetlenek. Ily általános koordináták használatánál a képletek természetesen bonyolód- nak, a miért is ezeknek bevezetésétellőzte .

1*

11 ( 1 ' 1 )

Xi='Pi

t ' . . . '

^{Xi 'Yi ' Zi '•..' Xi 'Yi ' Zi ' • . • '}

11 ( 1 1 1 )

Yí=c/ii

t ' • . . '

^{Xi 'Yi 'Zi ' •••' Xi 'Yí 'Zi ' • • • '}

11 ( 1 1 ' )

Zi

= 1.i t ' . . . '

^Xi'y,i'^{Zi ' •••'Xi'Yi'Zi' • • . ;}

és ezenk ívü l a rendszer egy mozgás i á l lapo ta ismere tes ,

e ől

(a d ifferencz iá legyen le tek mego ldásáva l) a bárme ly t

ő e e elelő

mozgás i á l lapo t k iszám í tha tó , és a rendszer be lyvá l to- zása a k inerna t ika szempon t jábó l te l jesen le van írva . I ly módon történik a mozgás i tüneményeknek egy

első

összefog la lása á l ta- lános szempontok a lá , a mennyiben m in tegy egy osz tá lyba fog- la l juk össze m indazon mozgásoka t , me lyek ugyanazon d ifferen- cz iá legyen le tek ér te lmében történnek , m íg az egy kü lön megado t t mozgás i á l lapo t , a me lye t

ez ő

á l lapo tnak ^{szok tunk nevezn i ,} bármilyen lehe t .

2 . Sokka l á l ta lánosabb szempon tokra eme lked ik a d ina - rn ika az á l ta l , hogy a mozgás i á l lapo t vá l tozásá t nem a mos leírt módon eszköz l i , hanem tesz i ez t az egyes pon tokra ha tó

erő

azaz szintén nagyságuk és irányuk á l ta l adott menny iségek seg í tségéve l , me lyek tehá t szintén komponense ik , ( . . . X j , Y i , Z j„ .. ) seg í tségéve l

jelle ez ető

ho l e komponensek m indegy ike ismé t a pillanatnyi mozgás i á l lapo t , azaz t , . . . ,

^{Xi, Yi, Zi, •••,}

x i , y i , z i , . . . ^{függvénye . Bárhogy} magyarázzuk is természe t- tudomány i lag ezen

erő

fö l lépésé t és ha tásá t , az , hogy ezen

erő

a mozgás i á l lapo t vá l tozásának oka i , vagy a m in t ez t többny ire szok tuk mondan i , a gyorsu lás oka i , ma thema t ika i foga lmazás- ban anny i t je len t , hogy a gyorsu lások és az

erő

b izonyos á l ta- lános

t r szer

kapcso la tban á l lanak , me lyek ér te lmében X

¹⁷

z , ^{t 'k}

^{ől 11 11 11 ,}

^{t 'k .}

az . . .

i ,^.Lí, i ,.. .

er e e1 az . . . ,

Xi , Yi , Zi •••,

er e e1 k iszám í tha tók és megford í tva , azaz á l ta lánosságban pé ldáu l :

x'!t - - . .

f (

'^t •••'^x·i, ""

^y·

^z·t ' •••'^x'·t'.¹':! ^{/i, iz'·}.' •••'-J^v. ^..1 ' .^-rr.lt'

^{z , )}

t' • • • '

és úgy tovább .

Hogy

ő

ezen összefüggés a gyorsu lás és

erő

kompo-

nense i közö t t , az t közve te t lenü l megad ják ax iomaképen a d ina-

mika a lapegyen le te i , a LAGRANGE-tál származó a lakokban .

A dinamika ezen a lap törvényének i ly t isz tán ma thema t ika i foga l -

mazásáva l ,

el ől

az t , a mit f iz ika i je len tésnek szok tunk

ne1ozn i , a bon)-o lódo t tabb ese tekben al ig olvasha tó k i , a tudo-

A DIKAllllKA ALAPEGYENLETEINEK

JELENTÉSÉRŐL.

5 mány

ejlő se

nem e légedhe te t t meg . A d iman ikának úgyneve- zett á l ta lános cl'IJe i t kutatták , me lyeknek fö lada tá t ta lán köve t-

ező

körvona lozha tjuk .

Ha m indazon mozgásoka t , me lyekné l a gyors i i lás i kompo- nensek a mozgás i á l lapo t és az

erő e se r ő

megha tározo t t függvénye i ,

^{e előre}

m1"nd m in t leh etségeseke t tek in te tbe veszszük , a d inam ika egy- egy á l ta lános e lve '/Jagy a lap törvénye a w lóban

t rt ő

mozgásnak o ly

jelle ző

tu la jdonságá t a#a meg , me ly ennek a több i lehe tséges mozgások sorábó l '!:aló kú :á lasz tá - súra szükséges és

^{ele e ő.}

I ly á l ta lános ér te lemben a lape lv a v ir tuá l is sebességek e lve , ámbá1 · ez forma i je l le gére és tar ta lmára nézve még na- gyon köze l :H l a d ifferencz iá legyen le tek d irek t fö lá l l í tásához ; ilyen a legk isebb akcz ió elvének ké t

l ző

a lak ja , a M .au- PERTu1s -JAcoB I és a LAGRANGE-HAllllLTON-féle a lak .* Hogy ezen u tóbb iak azonban nem o ld ják meg á l ta lánosan a fö l te t t kérdés t , nem szorú l

ő

magyaráza tra . Nem csak a

ll ő erő re

vona tkozó

sz e lte se ől

indu lnak k i , hanem az úgyne- veze t t kényszermozgásnak csak azon ese tei t karo l ják fö l ,

^ő

t isz tán a pon tok koord iná ta i közö t t az

őtől

is függe tlen fö l - té te l van adva .

I ly valóban á l ta lános d inam ika i elv fö lá l l í tásáva l fog la l- koz ik e do lgoza t , me ly e lv egyszersm ind egyszerü végfoga l- mazásában k ie lég í t i azon köve te léseke t , me lyeke t természe tfö l- fogásunk az a lap törvény nevéve l

llete ő

té te lhez kö t ;

sőt

meg van , természe tesen ú j foga lmak beveze téséve l , az a max imum- m in imum té te l alakja , me ly lye l ma nem akarjuk ugyan már a természet czé lszerüségé t b izony í tan i , de me ly még is a tüne- mény leírását mondha tn i

tetszetős

tesz i .

3 . Az i ly a lap törvény tar ta lmának e lemzésében az

első

kér- dés

ter szetszer le

oda irányú l , va j jon vannak-e az á l ta la le ír t mozgásnak invar iáns tu la jdonsága i , azaz - ma thema t ika i fogalmazásban - va j jon van-e a p i l lana tny i mozgás i á l lapo t o ly függvénye , me lynek ér téke m ind ig ugyanaz . H f t

<p

e függ-

, . 1 '

tO 0 0 0 ¹0 'U ¹0

b"

veny Je e es , . . . ,

xi, Yi ,

z i , . . . ,

^{Xi ,Yi , Zi , •..}

egy izonyos

':' Lásd Helmholtz, Berliner Sitz.-Ber. 1887. és i\layer, Leipz. Ber. Nov. 1886.

6 KÖNIG GYULA.

( ez ő

á l lapo t

jelző

akkor e függvényre nézve volna:

(/)(t

^{I , •••,}X.i,

y·

'lJ

z ·

t

x'· y

„ .., i, ,,.,

'· z( )

i'eee -

-(f)(

I

t

⁰, •••,e

x9 y9

l J'l,J l

z9

,J•••J 1

x'-

, J⁰

y'·o

1

z(o )

J t J••• •

Hogy ado t t alaptörvény me l le t t és ado t t

erő

fö l lépéséné l a pon trendszer mozgásának i ly invariáns tu la jdonsága i vannak ;

sőt

hogy ezeknek ismere téve l az egész mozgás ismere tes , az közve te t lenü l belátható; mer t h iszen , hogy a rp függvény a k ife j- te t t fö l té te lnek megfe le l jen , arra szükséges és

^{ele e ő}

hogy cp= Cons t . a mozgás d ifferencz iá legyen le te inek egy

első

in tegrá l ja legyen . Az is v i lágos , hogy ado t t alaptörvény me l le t t , va lame ly

<p

függvény k ie lég í the t i ama köve te lés t , nemcsak b izonyos meg - határozott

erőre szer se

me l le t t , hanem akkor is , ha az

erőre szert

egy b izonyos á l ta lánosabb fö l té te lnek

e elelőle

vá lasz to t tuk . Igy p . ha az alaptörvény az

ú.

n . szabad mozgásé , és az

erő ú.

n .

első erő

a terü letek e lve vagy a sú lypon t e lve ismét a mozgásnak i ly invariáns tu la jdonságá t fe jez i k i .

I t t azonban

elősz r

azt kérdezzük , va j jon ado t t a lap tör- vény rnel l et t vannak -e a mozgásnak a

^{ll ő erő}

nagyságá tó l é s irá nyá tó l egé szen függet len i ly invar iáns tu la jdonsága i 7 Hogy i lyenek á l ta lánosságban n incsenek , azt a

le e szer

ese tek is mu ta t ják . Á l l jon pé ldáu l e rendszer egy pon tbó l és legyenek a gyorsu lások és

erő

közö t t fönná l ló összefüggések :

rnx" = X , rny" = Y , rnz" = Z ;

Ha

<p (t,x,

y,

z, x',

y ' ,

z'),

hol rp -nek n incs iden t ikusan á l landó ér téke, a mozgás i á l lapo t tó l független vo lna , ke l lene , hogy legyen :

__!_ _m

( J._rp_

_íJ.v'

A+

^v

^J._rp_

^íJ!)'

y + ^J._rp_

^íJz'

z) + !.!P... x

^íJ.i·

' + ^J._rp_

^íJyi

.!

¹

+ !.!P...

^íJz

z ' +

}._<p_ _^{íJt - '}

0 az X , Y , Z ^{bá rm in< ! függvénye i is a mozgás i ; á l lapo tnak . Te -} há t , m in thogy X , Y, Z zérus is lehe t , vo lna

!.!P...x

_íJ.v

' + ^!.!P...y

_íJy

^' + !.!P...z•

_íJz

+ ^{J._rp_ =}

_íJt

⁰

^(a.)

és kü lön

ílcp

x

^íJ<p

y

^íJ<p

z

-í_.vJ, +-í_yJ'

+01

_az ^{=Ü. (b.)}

De ez u tóbb i egyen le t

tetszőle es

X , Y, Z-re csak úgy á l lha t

A DINAllIIKA L E E LETE NEK JELENTÉSÉRŐL. 7

fönn , ha

⁸₈<p,,8

8^<p,, ,

iden t ikusan 0 ; tehá t ke l lene , hogy

<p .v y z

tisztán az

x,

y ,

z,

t ^{függvénye legyen . De e me l le t t az}

(a)

csak 1 h t . ^d t .

t'

h

Brp Brp Brp Brp .

0 h

ugy e e

^I

en

^I

as , a

(!.e'

8 / j' Bz' T t is , azaz a <pamoz- gás i á l lapo t

jelző t

nem is tar ta lmazza , - rngy is t i sz ta á l landó .

Az a lap törvény b izonyos specz iá l is vá lasz tásáná l azonban lé tezhetnek i ly invar iáns függvények . Legyen p . az

erő

és gyo r - su lások közö t t i kapcso la t a

et ező

:

mx"

=

X

^xX

+ ^yYz

^Z

+

^m(.1:'2

+

^y'2

+

^z'2)

a.·2+y'+z2 X ,

m i y

11 =

y _

.i:X

+ Yy +

x

^:z

-

+ +

^y-

;n + ( . ' v

z-

: ⁺

^y'2

⁺

^z'2)1

y ,

11 _

z

^.vX

⁺

^{y Y}

⁺

^zZ

⁺

^{m (.r'"}

mz - -

^.r2

+

^Y2

+

^z2

Ha e 3 egyen le te t

x,

y , z-,e l szorozzuk és összead juk , közve te t lenü l lá tn i , hogy az X , Y, Z

rt e től

függe t lenü l m ind ig :

xx¹¹

+ ^yy" +

^zz11

+ ^{x '}

²

+ ^{y '}

²

+ ^{z '}

²⁼

^{O ;}

azaz xx' + ^{yy '} +

^zz'

most i ly invar iáns függvénye a mozgás i á l lapo tnak . Ugyan i ly je l-

le

függvény még , mint a d ifferencz iá lás közve te t lenü lmu ta t ja:

t

^(x2

+ ^y

²

+

^{z - (xx'}

+ ^{yy '} +

^zz')

^{t .}

Ha e függvények á l landó ér téké t t A ^{és tB-ve l je lö l jük ,}

még lá tn i , hogy

x

²

+ ^y

²

+ ^z

²⁼

^{A t} + ^B;

azaz az ama d ifferencz iá legyen le tek je l lemez te mozgásná l a mozgó pon t és a koord iná ták

ez ő

pon t ja közö t t i távo lság négyze te az

ő el

arányosan vá l toz ik. Nem egészen konek t k ife jezésmód tehá t , hogy - m in t gyakran o lvassuk - amaz egyen le tek o ly pon t mozgásá t ábrázo l ják , me ly egy ado t t gömb- fö lü le ten kényszerü l maradn i . Ez csak akkor igaz , ha egy b izo- nyos (a

ez ő

mozgás i á l lapo tban

xx'

+ ^{yy '} +

^zz'

^{zérussa l}

e e lő.

e je ze ő

még , hogy ama d ifferencz iá legyen le tek nem

KÖNIG GYULA.

haszná lha tók (a jobbo lda l e lvesz t i szám tan i ér te lmé t) ha o ly moz- gás i á l lapo tbó l indulunk k i , me lyné l x

=

0 , y

=

0 , z

=

0 . De ba . nem a d ifferencz iá legyen le teke t , hanem

a,

mozgás invar iáns tu la jdonságá t veszszük

első

k i indu ló pon t gyanán t , ekkor xx ' + ^{yy '} + ^{zz ' m ind ig 0 , és így} + ^y

²

+ ^z

²

^{is m ind ig 0 , azaz}

a pon t egyá l ta lában nem vá l toz ta tha t ja he lyze té t .

4 . E mef! jegyzés is arra u ta l , hogy a mozgás a lap törvé- nyének megá l lap í tásában

elősz r

is a mozgás invar iáns tu la j - donsága i

^{erese ő .}

^{A tapasz ta la t szer in t}

^{l ző}

^törvények szer in t tör tén ik mozgás . Ha az

llető

mozgásnak n incs invar iáns tu la jdonsága , szabad. mozgásnak ^{nevezzük ;} kényszermozgásnak , ha a mozgás i á l lapo t b izonyos függvénye i i ly invar iáns j e l legüek . Ha

_sii1

és

\C'l

i ly invar iáns

jelle

függvények , akkor az F bárme ly vá lasz tásáná l F'

_(sii1,

cp, i ) is ilyen; a mozgás összes inva- r iáns tu la jdonsága inak fö lsoro lásáná l tehá t az o ly

Sol '92' ...'Sok

függvényekre szor í tkozha tunk , me lyek közö t t nincsen F (

sii1 ,9'1. ,•••

sii

k) =O

a lakú kapcso la t .

E ől

az is köve tkez ik , hogy

(n

pon tbó l á l ló rendszerné l) az egymás tó l függe t len invariáns je l legü függ - vények száma 6n-né l nem lehe t nagyobb , mer t kü lönben a koord iná ták fo ly tonos vá l tozása azaz fo ly tonos mozgás nem lé te- sü lhe t . Ugyanezen okbó l nem lehe tnek az egyen le tek o lyanok , hogy a sebesség i komponensek. e l im inácz ió ja u tán 3n-né l több függe t len egyen le t maradna a koord iná ták és az

ő

köz t és úgy tovább .

A mozgás á l ta lános a lap törvényének fö lá l l í tásáná l tehá t azon

elte s ől

ke l l k i indu lnunk , hogy kényszermozgás tör tén ik , me lyné l az összes egymás tó l függe t len invar iáns

^jelle

függ - vények

9_{1, sii2 •}.••Sok·

A szabad mozgds esete ebben m in t specz iá l is eset benn fog la l ta t ik , _ ha a sii függvények száma , k

=

0 vagy hci az összes

^<p

függvények m in t á l landók vannak megadva .

Ama néha kénye lme t len je l lemzésé t a kényszernek , hogy

a

<pi, •••, <pk

függvények ér téke minden mozgás i á l lapo tná l ugyan-

az , fö lcseré l jük még avva l , hogy e függvények te l jes d ifferen-

cz iá lhányadosa az

ő

szer in t zérus . E d ifferencz iá lhányados -

a

et ező

o lda lon rész le tesen em l í te t t ese t k ivé te léve l ,

ő

A DINAMIKA ALAPEGYENLETEINEKJELENTÉSÉRŐL. $1

az invar iáns függvény csak is a koord iná ták és az

^ő

függ- vénye -

ⁿ

gyorsu lás i komponensek l ineár is függvénye , m íg az együ t tha tók a mozgási ál lapo t függvénye i . Ezen egyen le tek , me lyeke t röviden a kényszer egyen le te inek nevezünk , a köve t-

ező

vagy röv iden össze fog la lva :

(A;ixi' + ^{B i jy i '} + ^{Cijzi ')}

⁼

^{U j .}

1=1

( j

=

1 , 2 , .. .

k)

I t t természe tesen :

A .. _

₁ ^B<pi

B-· _

^B<pi

C· · _

^B<pj

J - 8.i;i, , \1 -

ay; ,

^{lJ -}

az; ,

B<p· na<p B<p· a<p·

U

_J

·= -

_Bt ¹

+

_i=

^A

_i

^-

_a.1·; ^1:t:i

+ - )

_By;

^Yi + -

_az

)

_i^Zi.

A kényszernek közönségesen egyedül tek in te tbe vet t ese te , az , hogy a pon tok koord iná tá i és az

^ő

köz t ál l fönn egy vagy több

(/) ( •.•, X; ,

y ; ,

Z; , •.•,t)=Ü

alak ú egyen le t. A mos t

elő tt

fö l tevéseknek ez csak specz iá l is ese te, e kkor az o ly mozgás t v izsgá l juk , me lyre nézve :

\' B<P , a<P , a<P ') a<P .A a:v. Xi

+

^ay.

^Yi +

^{az.Z; + -a-,}

t=1 • t t t t

és

'ri( ) [ (B<P , B<P , a<P ')

B J

(p •••,xi,

Yi ,

zi ,...

t -

^{.A -}_{8 ..} xi

+ -

_{8 .}

^Yi + -

8 .zi

+ - ^t

a mozgás invar iáns tu la jdonsága i t

j elle ző

függvények . Ekkor még az a k ivé te les do log tör tén ik, hogy a m inden egyes

^{J ől}

képeze tt ké t invar iáns függvény csak egy kénysze regyen le te t szo l- gá l ta t . T . i .

( _ax.

^x('t

+

a<P '.' ay.

Y i + ^!..!!...

^az.

z'.')

¹

⁺

^IJl=

⁰

^,

1=1 t t t

ho l

IJ!

részle tes a lak ja közve te tlenü l fö l írha tó .

II . NÉHÁNY ÚJ MECHAK IKA I FOGALOM BEYEZETÉSE . 5 . A megelö zökben k i je lö l t czé l e lé résére néhány ú j mecha- n ika i fogalom bevezetése szükséges. I lyen

elősz r

is a pontrend- szer sebességvál tozás i, vagy röv idebben gyorsul ás i ene rg iá ja , me ly eln evezéssel a

11 mi

(x i '

²

+ ^{y i '}

²

+

^zi'2)

i=l

k i fe jezés t k ívánom j el lemezn i , ha n pon tból ál ló rendszerre l van do lgunk, és e rendszer i -e c l ik pon tjá nak tömege m i , e pont gyorau lás i komponensei x i ' , y i ' , z i '.

Ha a közönséges megál lapí tások szer in t a

nmi

(x i

²

+ yi

²

+ ^{z i}

²⁾

i=!

k ife jezés ( vagy ennek fele , a m i egy r e megy) szo lgá l a mozgas1 vagy helyv ál tozás ene rgiá jának mérésére , al ig szorú l má r indoko- lá sra , hogy az

^elő

fö l ir t a lako t azon «energia» mérésére hasz - ná l juk , mely lye l a sebesség vál tozása vagy a gyorsu lás tör tén ik . Kü lönben a pon trendszer e gyorsu lás i energ iá ja egyenesen m in t egy más ik pontrendsze r közönséges (mozgás i ) energ iá ja ábrázo l- ha tó . H a ugyan is o ly pon trendszer t képze lünk , me lyben az i-ed ik pon t koord iná tá i m ind ig az

elő

pon trendszer i-e d ik pon t jának sebesség i komponense i , akkor az

^első

pon trendszer egy meghatározo t t mozgásának a másod ik pon trendszernek is megha tározo t t mozgása fe le l meg , és az u tóbb i pon trendszer mozgás i energ iá ja m inden egyes

ő t e e lő

az

első

pon trendszer gyorsu lás i energiá jáva l .

6 . Ugyanazon az ú ton , me lyen a mozgás i energ iá tó l a

gyorsu lás i energ iához ju to t tunk , a m i tnka foga lmábó l is ú j foga l -

ma t vezethe t i . luk le . Erre vonatkozó lag azonban nehány röv id

A DINAMIKA ALAPEGYENLETEINEK JELENTÉSÉRŐL. 11 előle es

meg jegyzés szükséges , a menny iben nem á l landó

^erő

ese tére a munka def in icz ió ja a közönséges tárgya lásokban nem egészen sz igorú. Vá l tozó

erő

ese tében a

L1t. ő e

végze t t munka ugyan is csak

e zel tőle

def in iá lha tó , me ly megkö- ze l í tés h ibá já tó l csak akkor szabadu lunk , ha a

L1t őr sze et

m inden ha táron tú l k isebb í t jük és a munká t összeg , azaz ha tá- rozo t t in tegrá l a lak jában fe jezzük k i . A munka á l ta lános ér te l- mezése a

L1t őt rt r

néz \e - ha nem is szok ták ez t i ly módon k ife jezn i - va lóban a

^{et ező}

Ha a

L1t őt rt

kezde tén az i-ed ik pontra ha tó

erő

X i, Y i ,

Zi,

és ezen

ő

a la t t az i-ed ik pon t koord iná tá inak vá l tozása i

LÍXi, L1yi ,L1Zi,

akkor a ha tó

erő

á t lagos mun- kája a

L1t ő

a la t t anná l pon tosabban lesz megadva az

^(XiJXi

+

^riLÍYi

+

^ZiJZi)

^{x őe s}

,;iti=1

k ife jezés á l ta l , m iné l k isebb a

L1t ^{őt rt}

á t lagos munka alatt ér tve az

őe s e

végze t t munka nagyságá t , ha az

őe

ség a la t t végze t t munka

^{ző se}

az

^{ő el}

arányosan tör tén t vo lna , azaz úgy hogy

e e lő ő e e e lő

nagyságú munkn le t t vo lna k ife j tve ; az arányosság i

t ező

az lévén , me lyné l a a

L1t ő e

ugyanazon munkaképzés tör tén ik , m in t a va ló ág - ban . Ez a szám tan i ér te lme annak , hogy a d t

ő ere z l

e elelő

munka e lem

(XidXi

+

^ridyi

+

^ZidZi).

^{Ha ezu tán}

az t mond juk , hogy a t

^{ő t}

végze t t munka (vagy pon to- sabban a t

^{ő t}

végze t t á t lagos munka)*

. .A

n^(Xixi

+ ^{Y íy i} +

^Zdi)

^x

^{őe s}

1=1

ez röv idebb k ife jezése annak , hogy ezen a lak a

t-töl

t +

^L1t-ig

^ter-

je ő őt rt e elelő

á t lagos munkát anná l pon tosabban fe jez i k i , m iné l k isebb a

Llt;

mer t

n (

_XT

Ll

_t

:v;

+ ^l

r

^iT

Llyi

^t + ^ZiLJ

Llz; )

^{t - . .A}

n (

^{X ix;}

r '

+ ^{Y íY i}

'

+ ^Z;z; „ ' )

1=1 !=1

0 lesz , ha l im .

L1t =

0 .

':' Minthogy tévedést ő tr >onatkozó mtmká.nál nem fordul- hatelő azátlagosjelző rövidség kedvéért ki is hagyható.

1'2 KÖNIG GYULA.

A

t ő t

végze t t munkának ezen

l tel ez s ől

azu tán közve te t lenü l fo ly , hogy a

t₀

- tó l

t-igterje ő ő e

vég - ze t t munka

. f

t

^{CXxi + Y iy i + Z iZ ' i)d t}

t u

l zt

te t tük i t t , m in t

ő

a sebess _ ég (az

őe s

ben befu to t t ú t) foga lmá t á tv iszszük

őt rt r l ő tr

a

t ő t el

sebesség sz in tén anná l pontosabban fe jez i k i a

t től

t +

^Llt-igterje ő őt rt e elelő

á t lagos ( t . i . az

ő

egységre reduká l t) u ta t , m iné l k isebb a

Jt.

Ennek

e elelőle

a

_i=n₁

(X i x i + ^{Y i y i} + ^{Z iz i) k ife jezés-}

nek

^{z lszer}

lesz kü lön neve t adnak ; Jegyen ez az

^erő

sebes- sé g i úr iá l ja . A név indoko l1ísára szo lgá l jon , hogy ÜLAusrus a hason ló a lka tú .

_{1= 1}

.:6

n^(XiXi

+ ^{y i Y i} + ^{z i}

^{Zi) sze et}

^az

^erő

^{v ir iá l-}

jának nevez te . E szer in t az

erő

sebe ssé g i

r j

a t

ő t

ban nern más m in t az

erő e

a

l ő t

úgze t t munká jának

ere ez l s

az

^ő

szer in t .

Az

^{erő e}

munká ja abbó l á l l , hogy támadás i pon t jának , a mozgó pon tnak he lyé t sa já t irányában . . .-á l toz ta t ja ; e munká t azér t pontosabban ismé t he lyvá l tozás i munkának mondha t- juk . - Ismét egészen természe tesnek lá tsz ik , hogy az

erő

ama ha tásá t is , me lyné l fogva támadás i pontjának , a mozgó pon tnak sebességé t sa já t irányában vá l toz ta t ja , azaz ehhez egy az

erő

irányáva l

^{e e ező}

irányú sebesség i komponens t csa to l , mun- kának nevezzük , de megkü lönböz te tésü l a közönséges munká- tó l , sebe ssé gvá l tozás i vagy röv idebb1m gyorsuk ís i munkának.

E szer in t a

. .a

n

^{(X ix i '} + ^{Y iy i ' +Z iz i ')}

t=l

k ife jezés t nevezzük az

erőre szer

gyorsu lás i

^{r j}

a t

A DINA:IHK ..\. ALAPEGYENLETEINEKJELENTÉSÉRŐL. 1il

ő t

a

ől

azu tán a

t₀

- tó l t - ig

^{terje ő ő z e}

vég·

ze t t gyorsu lás i munka :

és a gyorsu lás i v ir iá l ismé t a t

ő t

végze t t gyorsu lás i munka d ifferencz iá lhányadosa az

ő

szer in t .

7 . Végre még egy ú j foga lom

ezete ő

be , me ly azonban már nem ke le tkez ik többé ismer t foga lmakbó l az á l ta l , hogy ezeknek mega lko tásáná l a sebességeke t fo lcseré l jük a gyorsu lá- sokka l . Ez a

et ező.

Ha ismé t egy n pon tbó l á l ló rendszer- né l az i ed ik pon tnak tömege

111;

és az i-ed ik pon tra ha tó

erő

komponense i X ; , Y i , Z ; , akkor képezzük e k ife jezés t

melyet az

erőre szlr

(a pon trendszerre vona tkozó) m ergema- já nak k ivánok nevezn i . Ezen e lnevezés t, me lye t Sz1LY

KÁLl\IÁN

bará tom a ján lo t t , azér t ta lá lom kü lönösen jónak , mer t azon a lak va lóban a ha tó rendszernek azon tu la jdonságá t je l lemz i , me lynek a mozgó rendszerben az energ ia fe le l meg . Lega lább b izonyos tek in te tben e k ife jezés az erörendszernek ha táskepes- ségé t fe jez i k i tek in te t . te ! a pon trendszerre , a me lyre ha t ; az ú j e lnevezés azonban szükségesnek lá tszo t t a ha tás , akcz ió , in- t e nz i tás s tb . szavak sokszoros , más ér te lemben

t rt ő

haszná- la ta miatt .

Ha egy pon to t képze lünk , me lynek tömege

e e lő

a pon t- r endszerben fog la l t n pon t tömegének összegéve l ,

]f=rn1

+

^1ll:2

+ . . . +

^1nn'

akkor m ind ig lehe t egy R ^nagyságú

^erőt

^{fö lvenn i , úgy hogy} ezen

erő e

az M. tömegü pon tra vona tkozó energémá ja

e e lő

;,z

erőre szer e

a pon trendszerre vona tkozó energémá jáva l ,

ha. t . ^{i .} R -e t ^{úgy ha tározzuk meg , bogy}

KÖNIG GYULA.

azaz

ho l te rmésze tesen a négyze tgyök poz i t iv

előjele

vá lasz tandó . Ha a pon trendszer csak egy pon tbó l á l l , R nem más ,

mint

az

ere ő

nagysága ; kü lönben is indoko lva lesz , ha R-e t az

^erő

rendsze r (abso lu t) nagyságának nevezzük .

Az

erőre sz e r

komponense i R seg ítségével k i fe jezve lesznek :

ho l azu tán : és még :

n

.]/1i(a²

+ /

¹

+

^{r = 1'}

i=l 1 t i

ha a gyakrabban elő r l v iszonyszámoka tµ i-ve l je lö l jük . Az

ai,

f3i, n együ t tha tók összessége , me ly az épen fö l ir t re lácz iónak ta r toz ik elege t tenn i , az

erőre szer

egy másod ik tu la jdonságá t je l lemz i , me ly egy

^erő

ese tében á tmegy ennek irányába , és me lye t á l ta lánosságban az

erőre szer

d ispoz icz ió - jának vagy irányza tá nak akarok nevezn i . Ez megad ja az egyes pon tokra ha tó

^erő

nagyságá t , az egész

erőre szer

nagyságá- hoz v iszony í tva , t . i .

és az i-ed ik pontra ha tó

erő

ir ányának cos inusai t , a me lyek

Az . . .

ai, /3i ,

n , ... számok röv iden az i rányza t együ t t-

ha tó i legyenek . Tek in te t te l a közö t tük fönná l ló kapcso la tra ,

A DINAll:IKA ALAPEGYENLETEINEK JELENTÉSÉRŐL. 15

csak ké t o ly. irányzat van , me lyné l az ado t t a i , b i ,

^Ci

számok , az ir ányza t úszonyszáma i , me lyekre nézve t . i .

· • • : O.i :

,h :

^{Ti :···}= ··.:Cli :bi : Ci : •••,

mer t ekkor ho l

Ké t o ly irányza t , me lyné l a

e elelő

együ t tha tók m in- d ig csak az

előjel e

kü lönböznek ,

e e lő j elle

de e l len te t t ér telm í l . ( Egy

^{erő l}

e l len te t t irányok .)

M inden

erőre szer

megadha tó az

^{elő e}

szer in t nagy- sága és irányza ta á l ta l .

. Va lame ly . . . , X i , Yi , Z i , . ..

erőre szer

(S) (e szó t az edd ig haszná l t ér te lemben véve ) fö lbon tha tó k parcz iá l is rendszerre vagy k ( tágabb ér te lemben ve t t) komponensre , ha k o ly

erőre szert

á l lap í tunk meg:

hogy

Ekkor 81 , . . . , 8k az 8 fö lbon tásábó l ke le tkeze t t , vagy megford í tva 8 az 81 . . . 8k (geome tr ia i) összeté te léné l

elet ező ere ő erőre szer.

Bárminök is a v izsgá l t pon trendszernek , me lyre azon

erő

rendszerek ha tnak , sebessége i vagy gyorsu lása i , közve te t lenü l lá tn i , hogy a parcz iá l is

erőre szere

sebesség i vagy gyorsu lás i v ir iá l jának és tehát munká iknak is összege nem más , m in t az

ere ő

rendszer v ir iá l ja i l l . munká ja .

Ellenben a parcz iá l is

erőre szere

ene rg f>má inak összege

á l ta lánosságban nem

e e lő

az

ere ő

rendszer energémá jáva l .

16

De m inden

erőre szer

to tbon t ha tó egy és csakegy megha- tározo t t módon ké t o ly parcz iá l is rendszerre , hogy az egy ik rend- sze rne k ado t t jc llegü irányza ta* legyen , és a ké t parcz iá l is re nd- szer energémá i11ak összege az ado t t rendszer enérgémá já i:a l

e e lő.

E fo l té tel tudn i i l l ik megad ja ama parcz iá l is rendszer nagyságá t is . Ebben az esetben ama parcz iá l is rendszer t a re ndszer komponense az ac lo t t irányza tban . I t t már a kompo - nens szó t a közönséges

sz e

ér t e lemben ha zná l juk , úgy hogy az ér telm ezés egy

^erő

ese tében az

llető erő e

ado t t irányba

^eső

kompon ensét adj1:1.

Adva . lé vén az irányza t , az

első

re ndszernek csak nagy - sága vá lasz tha tó még úgy , hogy a je lze t t köve telés t k ie lég í tsük . Legyen ez R ' , akkor

X i = R 'a i , Y i

⁼

R ', J i , Z i

=

R 'n ,

és termé sze tesen

Tehá t az energérnára vona tkozó fö l té te l k i van e leg í tve , ha :

n ₁

+

^y_i²

+

^z_,¹²

+ ^.:;3

^nX'.112

+

^y,112

+ z(

ⁱ¹²⁼

^A

^{11 y-:!}

^{_ _}

^{l i __..l.. ,}

z !

^,

i=l 111i i=l 111i 1- 1 111;

vagy is , ha M-me l szorzunk, ho l i smét ;}]

=m₁

+ ... + ^{mn ,}

'2 n;, T f ,2 2 --- - •>

R +

_i=

^{_ ..Óµi(Xi}

_l

^-R

^fli

^{+Y; -R ', Ji + zi -R 'r i - )}

⁼

-- _₁₌₁...c.J,11 1.Ll .... · ( ''l.i!!

+

^lr i

+ ^{Z- l)}

ⁱ

és így végre :

2R '

^2-

2R '

_{1= 1}

.A

11

µ i CXa i + ^{Y i: 7i} + ^{Z;r i)}

⁼

o .

Ha tehá t e l tek in tünk az R ' = 0 formál is mego ldás tó l , me ly va lóban nem ád fö l bon tás t , mer t ekkor m inden X i

^J

y ; ' z; is

':' Ezentúl, na aüott irányzatról van szó, millllig adott .JPllt'!Jll irányzntrte ő.

! f:

A DINAMIKA ALAPEGYENLETEINEKJEL ENTÉSÉRŐL. 17

e l tün ik, lesz :

R '

=_i=

A

n_l

^{µ i} (Xia i + ^{Y i} 3i + ^{Z irD .}

Ha R ' ezen ér téke poz i t ív , akkor ama komponens ir ány- za tának együ t tha tó i . . . a i , /J'i, r i , .. . , nagysága R ' ; ha R ' nega tiv , akkor e l len te t t

rtel

irányza t vá lasz tandó , me ly- nek együ t tható i . . . . , -a .i , -(3i, - r i , . . . , ^{m íg a komponens}

nagysága - R ' . Ha R '

=

0 , akkor az t mond juk , hogy az

ll ető

ir ányzatban az

erőre szer e

n incs komponense , azaz nagy - sága, és evve l együtt m inden benne fog la l t

erő

nagysága 0 .

9 . Az ado t t

^{j elle}

ir í l .nyza tnak

^{e elelő}

komponens kü lönben az energéma foga lmának a lkalmazása n élkü l a munka (akár a közönséges, akár a gyorsu lás i munka) seg í tségéve l is

rtel ez ető.

Az . . . X i, Y i , Z i , . . .

erőre szer e

komponense az . . .

ai,

fh, n . . . ^{együ t tha tóknak}

e elelő j elle

irányzatban nem más m in t azon

erőre szer

me lynek irányza ta a mos t meg- ado t t , és me lynek sebesség i v ir iál ja ,

ő

a 1:sebességi kom- ponensek

haj hfJi hy';

.. . ,

_rn

_ ,

_m

_ , _ , . ..

111

(hol h egy kü lönben közönbös arányossági

t ező

ugyanaz, mint az . . . ' x i ' y i ' z i ' . . .

erőre szer .

Ha e komponens nagyságát ismé t R '-ve l je lö l jük, e szer in t

n a'.2

+

^.

+

^rh(X.a'·

⁺

^y..Q'.

⁺

^Z.y'")

A R ' h

^{i " i i}

=

^{i i i"i 1 ,}

i=t mi i=l 111

ha tehá t h-va l osz tunk és M-me l szorzunk,

n n

R '

_i=

A

_l^fli

(a i

²

+ ^/3i

²

+ ^{r i}

²⁾⁼

^{R '=}

_i=^{A /}_l^li

^{(X ia i} + ^{Y1/3i+Z iri),}

úgy m in t

elő .

I ly irányú sebességek me l le t t az

elő

. . . X i ', Y i ' , Zi ' , .. . ve l jelzett

erőre szer

nem végez munkát; a je lenség o lyan , mintha

csak ama komponens végezne munká t , m iér t is e komponens

M. T. AK. ÉRT. A MATH. TUD. KÖRÉB ŐL. 1887.XIV. K.1.SZ. 2

18 _{KÖNIG GYULA.}

ezen á l ta lános í tásban is az

llető

irányza tnak

e elelő

munka-

ző

komponens .

Hason ló módon ju tunk ismé t e komponenshez , ha a sebes - ségek és he lyvá l tozás i munka he lye t t a gyorsu lásoka t és a gyo r - su lás i munká t harnná l juk .

10 . Ha adva vannak va lame ly

erőre szer

komponense i azon irányza tokban , me lyeknek je l legé t az

D1) ...

ai1 , f l i1 , ri1, · · ·

Dk) . . . a ik , /3i k , rik , . . .

együ t tha tók je l lemz ik , akkor egyszersm ind ismere tes m inden komponens , me lynek irányza tá t a

. • . , l1ai1 + . . . + ^{lka ik , l1Pi1} +

^.„

+ ^{lk/ 3 i k , l1} n1 + ... ^{+ lk r ik , . . .}

együ t tha tók je l lemz ik . Me r t ha ama komponensek nagysá.g tt

R1 , . . . ^{Rk ,} akkor az u tóbb ié :

R

=

l1R1 + . . . + ^{lkRk .}

Az l

1 •••

h számok , hogy az u tóbb i k ife jezések irányzat együ t tha tó i legyenek , természe tesen ke l l , hogy k ie lég í tsék a

et ező

egyen le te t

. ."]

n

µ i (

(l1ai1

+ ... +

^haik)2

+

^(ltfÍit

+ . . . +

^lkfJik)2

+

t=l

+

^(lin1

+ . . . +

^hnk)2)=1.

M in thogy ezen összeg m ind ig poz i t iv , az u

1 ..•Uk

számok

tetsző

leges

re szer ől

egy U

ellő

megha tározása me l le t t

a fe l té te lnek

^{e elelő}

számok rendszere lesz .

Ha a szóban

l ő

D

1 , •••,

Dk i rány : t :a tok együ t tha tó i

o lyanok , hogy az u

1 u'l,...Uk

számoknak lega lább egy o ly

vá lasz tásáná l . ho l nem m inden u zérussa l

e e lő

A DINAMIKA ALAPEGYENLETEINEKJELENTÉSÉRŐL. 19

U1ail

+ . · . +

^1tkUik

⁼

^Ü,

U1pí1

+ · · · +

^1lk}ik

⁼

^0,

lt1Tii

+ .. · +

^Uk7ik

⁼

^0,

(i

= ^{1 , 2 . . .}

ⁿ⁾

akkor az t mond juk , hogy a D

1, •••,

Dk irányza tok nem füg- ge t lenek egymás tó l . Ekkor ugyan is bárme ly

erőre szer e

a

D1, ..•,

Dk irányza tokba

^eső

komponense i sem függe t lenek egymás tó l, hanem ha e komponensek nagysága R1 , . . .

Rk,

akkor :

U1R1

+ . . . +

^UkRk

=

⁰

ho l u

1 •••,uk

az épen fö l ir t egyen le trendszernek egy gyökrend- szere , m ely nem csupán 0-okbó l á l l .

Ha e l lenben ezen egyen le trendszer t más ér tékek , mint u1 = 0 , .. . ,

^itk

= 0 nem e lég í t ik k i , a D i . . . Dk irány zatok egymás tó l függe t lenek ; ekkor ugyan is vannak m ind ig o ly

^erő

rendsze rek , melyeknek a D i , . . . , Dk irányza tokba

^eső

kompo- nense i

tetszőle ese

válasz to t t R

1, •••,

Rk nagyságúak .

Ennek b izony í tására csak az

^{je ze ő}

meg , hogy az ér te l - mezés szer int a D

1,

D! , . . . Dk i rányza tok egymástó l füg - ge t lenek vagy sem , a mint e k sorbó l és .3n osz lopbó l ál ló ma tr ixbó l

1U11' iJJJ'

r11 ' • · · , an i , p

^{nl ,}

^{rn i}

ez ető re

de term inánsok köz t le galább egy van, me ly nem 0 , vagy ped ig e

re

de te i·m inánsok m ind

elt e .

Az

első

ese tben a

e el elő

. . . X i, Y i, Zi , . . .

e rőr e

szer megha tározására szo lgáló egyen le trendszer :

R1 =

^X1a11

+ ^Y1ti11 + ^Zm1 + .. · + ^Xnan1 + ^{Yn1n i} + ^{Znrn1 ,}

Rk

=

X1a1k

+ ^Y1}1k +

^Z1r1k

+ . ·. +

^Xnrink

+

^Yn11nk

+

^Znrnk,

me ly ekkor tény leg az B , . . . , Hk bárme ly ér téke iné l megold-

ha tó, még ped ig 3n-k·szorosan ha tároza t lan .

20 KÖNIG GYULA.

A m in t

e ől

lá tn i , több m in t 3n egymás tól függe t len irányza t egyá l ta lában nern lehe tséges; de 3n egymás tó l függe t - len irányza t vég te len sok- módon á l lap í tha tó meg . ^{Továbbá :}

Ha adva van va lame ly

erőre szer e

3n egymás tó l füg- ge t len frányza tba

^eső

komponense i 'nek nagysága , akkor az

^erő

rendszer te l jesen meg van ha tározva .

Ezen u to lsó á l l í tás csak specz iá l is ese te a

et ező

több- -szö r haszná landó á l ta lánosabb té te lnek . ·

11 . Ha az 81 , . . . 8k eró 'rendszernek frányza ta i D1 , . . . D,, egymás tól függe t lenek , m ind ig létez ik egy és csak egy o ly 8

^erő

rendszer , me lyne lc irányza ta D nem függe t len a D1 , . . . , D „ irányza tok tó l , és me lynek a D

1, .•.,

D1.- irányza tokba

^ső

kom- ponense i épen az 81 , . . . ,

^kerőre szere .

Az 8

1 , •••,

8k rendszerek nagyságá t és irányza tá t úgy j e lö lve m in t

elő

ha tov i í ,bbá a kerese t t S rendszer nagysága

J1 ^{és irányza tának együ t tha tó i :}

..., l1''-i1

+ ... +

^haik,

^{l l 9il} + ... +

^lk.3ik,

^l1n1 + ... +

^hnk,...,

ho l még

:

n

]p i (

(l1rJ.i1

+ . . . + h

^aik)2

+

^U1

^{9 i l} + . . . + h ^{/ 3;k)}

²

+

i=l

+

^(lm1

+ . . . +hm)

²

)= 1 ,

1.)

az R.

1,

l

_{1 ,} •••,lk

megha tározására az u to lsó egyen le t mel le t t , a fö lada t ér te lmében még lesz :

/1i (R(l111.i1

+ . . . +

^{hrJ.ik) Uij}

+

^R(l1/li1

+ · · · +

^lk,-Jik)/lij

i=1

+

^R(l1r;1

+ . . .

^+lkr;k)riJ)

^{=R i ,}

( j =

^{1' "],' ...'k)}

vagy is

11

l1 _i=l(

+

^/3i1,Bij

+n i

^Tii)+···+

n . l

+ h

^.°LJ.11i(r1.ikUij

+

^/3ikr3ij

+

^{rikTij) - -R '}

i=l

( j = ^{1 ' 2 . . . 'k) .}

(2.)