a Magyar Tudományos Akadémia Könyvtár és Információs Központ

Digitalizálta

a Magyar Tudományos Akadémia Könyvtár és Információs Központ

1826

, ,

ERTEKEZESEK

.A MATHEMATIKAI TUDOMÁNYOK KÖRÉBŐL .

KIADJA A MAGYAR TUDOMÁNYOS AKADÉl!IA,

• A III. 0 SZ T

LY RENDEL E T

B ÖL

SZERKESZTI

SZABÓ JÓZSEF

OSZTÁLYTITKÁR.

VII. KÖTET. XIX. SÚ~l. 1880,

TÉTELEK

AZON DETERMINÁNSOKRÓL

MET,YEK ELEMEI

ADJUNGÁLT RENDSZEREK ELEMEIBŐL

VANNAK C01t1PONÁLVA.

HUNYADY JENO

LEV. TAGTÓL.

(Előadta a III. osztály üléséu 1880. október 18-án.)

'

A TA ·

. ).. / 1ln- ~.„

'<(i. 1a.

·- \

*

AKADE!wtr4 ,1~?. i

) ..<\ . 7,,

\ v~

~

(~·;:'--._ --,<< '"·\

BUD A PEST, 1880 •.

'„ ' '---=:..-:.~- ~A ,v-~

,/'\

)

(Az akadémia épületében.)

•

É EI~EK

AZON DETERMINÁNSOKRÓL,

!llEUEK ELEMEI

ADJUNGÁLT RENDSZEREK ELEMEIBŐL

VANNAK COMPONÜVA.

HUNYADY JE Ő

LEV. 'fAOTÓT„

(Előadta a III. osztályülésén 1880. október 18-án.)

BUDAPEST, 1880 .

A 1>I. TUD.AKA J~;1 A KÖNYVKIADÓ-HIVATALA. Az Akadémia l l et~ e .

Budapest, 1880. Az Athenaeum r. tays. köuyrnyomdaja.

Téte lek azon determ inánsokrö l , me lyek e le- me i adjungá lt rendszerek

vannak

componá lva .

Ango l ma thema t ikusok componá l t , vagy össze te t t de ter·

m inánsnak (compound de term inan t) á ta lában az o lyan t neve - z ik , me lyeknek egyes e leme i sz in tén de term inánsok .

E sorokban a componá l t de term inánsoknak egy ik kü lö- nös , edd ig még meg nem v izs ,qá l t neméve l fog la lkozunk, me ly azon de term inánsoka t karo l ja fe l , melyeknek e leme i ké t ad jun- gál t rendszer

vannak componá lva . Ind í tványozom hogy ezen de term inánsoka t kever t ad jungd l t de te1 ·1n inánsoknak nevezzük .

1 . H a

az

e lem együ t tha tó ja az

a11 .••••Cl1n

A=

ant •.•••ann

de term inánshan , akkor Cauchy

szer in t az

rendszer t az

rendszer ad j tmgá l t rendszerének nevezzük . Az

')Sur le Nombre des Valeurs qn'une fonetion peut acquérir, lors- qn'on y permute de toutes les maniéres possibles les quant.ités quelle renferme. Joum. d. l'éc. polyt. 17. Ca!t. 64. 1.

M. TUD. AK, t;RT,ÁMATH, TUD.KÖR~: „ 1880,vn^K,19.^sz. 1

*

4

ad jungá l t rendszer de term inánsának ér téké t Oauchy

ha tá- roz ta meg , az ugyanazon rendszer m inora ira vona tkozó té te l ped ig Jacob i tó l

ered .

Az 1 , 2 , . . . . n számsorbó l m

számo t

~ le e

lehe t k ivá lasz tan i . Jelöljük ezen comboná t ióka t egé - szen.

1 , 2 , . . . . µ azá l l lokka l ; ha

az

r,,._

és ' s1 , s2, .. . s„, comb iná t iókn. ak az· x és y el ő fe le lnek n ieg , akkor legyen az A c1e te i 'm inánsnak

m-ed fokú- par t iá l is de term inánsa :

C.ry

együ t tha tó ja ped ig az A c le term inánsban (me ly n-m-ed fokú) . J egyen

ekkor a

de term ináns-rendszereke t :·

és

Cn C22 • • • • • •C1,tt C21 C22 • • • • • · • •C2{t

Y11 Y12· •••. •·/'J{I Y21 Y22 • · • • • · •1'2,11

Y/11 n12···-Yµ,u

sz in tén a r l jungá l ta , l rnak 11evezhe t jük .

Az ezen ad jungá l t rend-

e e ől

megha túrozo t t ' f i -d ik fokú de term inánsok sokszo ro - zatát sz in tén Cauchy

ha tároz ta meg . Ezen v izsgá la tok vég re

')Azi.h. 82.1. (36)alatti egyenlet.

2).De forn:mt.ione-et propriet.atibns cleterminantium. Crelle Journal 22. köt. 11. czik.

3) LásdBaltzer :·Theorie uncl A.nwendnug der Determi,nanten mnnká,iában (3.kiadás) 6.§. R-dik czikkét.

')Az i. h. 102.1. (58)alatti egyenlet.

TÉTELEK A DETERMINÁNSOKRÓL.

5 Franke

úré iva l ér ték e l befe jezésüke t , k i az

em l í te t t

~1- l

fokú de term inánsoka t egyenkén t , va lam in t m inora inak ér téké t ha tároz ta meg .

2 . Á t térve a kever t ad jungá l t de term inánsok megv izsgá - lására , az t az egysze rü ad jungá l t Í ·endsze rek tek in te tbe vé te lé - ve l kezd jük meg . Ezen számban neveze tesen azon kever t ad jun- gá l t de term ináns ér téké t fog juk megha tározn i , me ly az A de ter- m inánsbó l úgy e red , hogy annak

p sorá t (p < ^{n )}

. ai,i ad jungá l t rendszer

p soráva l pó to l juk .

Legyenek / ;

és i ,

- .az 1 , 2 ,· . .

számoknak

p-kén t i comb iná t ió i , va lam in t

és

a M tramarad t n-p-kén t i comb iná t iók , úgy hogy f,

s , és i ,

az 1 , 2 , . . . .

számoknak

per- mu tá t ió i t j e len t ik , végre ped ig ér tsük

és

a la t t ma jd a pos i - t iv , majd a nega t ív egysége t , a m ikén t az f , ^{g , . . . .} 1·,

^és

i ,

permu tá t iók az

2 , . . .

permu tá t ióva l vagy ugyanazon vagy ped ig

osz tá lyba tar toznak , akkor ha

Ct11, • , , ••, , , ••Ct1„

Ctn1... . • . .....ann

úgy ezen és az

szám je lö lése szer in t.

ar, ar, ...:... ar„

a

a

a

„

ar1 ar2 .. : . • • • . .~ . .a,.n as1 as2 • . . .•^{1 • • - • • • •}asn

=A '

')Über Determinenten aus Unterdeterminanten. Borchardt Jour nal 61. köt. 359-355. 11.

6 HUNYADY JENÖ.

(til Cti2 • • • • • . • • • • •a,„

Ukt Ctk2. • • • • • • • • • • akn

E 'A ' =

«v1 a.2 ...

a.„

Ha tehá t EA -ban az

p sort E 'A '

p soráva l pó - to l juk és az i ly kén t származ ta to t t de term in[ tnst 1lt: ^{· . -va l je-}

lö l jük , akkor :

ctatt12 •••••.••••ain

akl ak2• ••.••••••••akn

artltr2• •••••.•.•.•lln1

' . . . . . (1)

a,„

me ly de term ináns ér tékének megha tározására sokszorozzuk az t a

de term inánssa l :

ltil l/.i2• • • · • • • • • • •.l<i·n Ctkl ak2 • • • • • • · • • • •ltkn

;; 'A=

Clu!a„2 ...• • • • · lluu.

' . . . . . . (2)

a.1ltv2••••••••••••ltcn

me ly sokszo rozás eredménye a

egyen le tek tek in te tbe vé te le :

ltx1Cty1+a„2ay2+ ..••..+ctxn Cty

=

(3 )

axiCt.c1 +a„2«,,,2+ ...•..

+a""

=A és a

je lö lés haszná la ta me l le t t :

axi lty1

+a..,2

+ . . . . . .

a,„

4)

ez lesz :

TETELEK A DETERMINÁNSOKRÓL,

A o .

„o„ . . . . o o A

„o . „ , .. o

dr·;

drk . , • . d , .„ clrv • · d , ; dsk • • • • d ,„ c l„ . . . . .

= AP

dru c l, • .. . . d ,u dsv • . • •

a honné t végre köve tkez ik , hogy :

dm drv • • • • dsu dsv • • • · Afy. ·

··

'A '"-

(5)

7

me ly eredmény t , ha meggondo l juk , hogy a jobb o lda lon

du ló cle term in[Lns dr• d

-nak együ t tható ja

A

-ban , a

vet e ő t~tel e

mondha t juk k i : Afg ..

»Az

dete i · in inúns egyen lü

wkszo1 ·ozva dr; d

-nc ik együ t tha tó jc íva l l>é 'A

-ben.«

Pé lda . Legyen

Ctu

a12

au

au

A=

aa2

ct41<t42lt43

a44 a4s

a51 Ct52 asal ~ (t55

e11nek a< l jungál t rendszere ped ig ;

8 HUNYADY JENÖ.

CC11 • • • • • • • • •, CC15

A=

és cserél jük fe l A-ban az

és

sor t A '-nak

sorá- va l ,

hogy

U21 CC22CC23 lt24lt25 Ct41 lt42lt43^Ct44 a45

A • '„ „ •

akkor az

leveze te t t té te l ér te lmében

a ho l

A '"" - A21

3 ""---

d41

d21= a21a11 +a22ct12+a23a1a+a24Ct14+a25ll111 d2a

=

d43= Cl41 Cl31

+ ^rt42Ct32

3.

Az

hason ló módon La t[Lrozha t juk meg

Ct91 Ct92 • , • • • • • • Ct9n

au1 llu2.••••••••aun Cto1 Clv2 • • • • • • • •ll1·11

de term ináns é r téké t . , ha az t a

sokszorozzuk .

TÉTELEK A DETERMINÁNSOKRÓL.

<tr1 ltf2.•••••••••arn ag1 a92 •••••••• •a9n

EÁ- ' • • ,....

(6)

as1 as2 ••....•.•a,n

a sokszorozás eredménye ez lesz :

A o .

„o„ . . . o o A . . . . o„ .

o

iAik„.„

A=

p fg . . . . d

d d

dr• d

c l„ ds• . . .

d ,„ d , „ .. . . . A dro d„ • • . • •

= ,,

és inn é t

d ,„ d • . . . . .

eA•k_pfg.„_„„.= ..d_p-1. \

d,-~

d„

. . . . .

( ₇₎

9

Az (5 ) és (7) a la t t i egyen le tek összehason l í tásábó l , ha még u . '

A.-val tesszük , végre a

neveze tes egyen le- te t nym jük :

Aik.„=

J.

pfl„

p

(8 )

a me ly egyen le tben }. vagy a pos ' t iv , vagy ped ig a nega t ív egy - sége t je len t i , am ikén t az 1 , 2 , .. . . n számsornak f ,

1·, s , . . . és i, J.·, •. . u , v , .. . perruu tá t ió i vagy ugyanazon , vagy ped ig

l ő

osz tá lyba tar toznak .

10

4.

Az

és

a la t t i egyen le teke t egymássa l sokszo - rozva , a (

a la t t i és a

je lö lések haszná la ta me l le t t :

C(r:iay1+ax2Uy2+ ....•+ax„ ay„=Oxy=Oyx• ..

(9) ta lá l juk , hogy :

A fg . „ .. A•k . . . .

az az

or; 090 .•.•• o . . . . . o

ofk o

o . • • • o

0

o o .. • • . a,. a ••

d,. „ d ,„ . . · / iJ·,, 0

!

ork o9 k • .

( lü) Afg . _{p•k .} . _{. .} . _. · • A 'k

. .

..

= ^{d ,}

^.

!1

. .

1 ....

Ha továbbá ezen egyen le tben még a

a la t t ira vagyunk tek in te t te l , akkor az t még a

a lakban írhat juk:

cl,.„ c l ,„ ..

( A•k

„.

)2 ⁼

^{c l ,}

^.

1 • 1

o,, o

ork ork . .

5 . Vá lasszunk k i az A rendszerbö l p sor t az A ' r e ndszer- bö l ped ig q sor t , legyenek ezek az

rendszer j , g , . . . és a másod ik rendszer 1·, s,. . ^{sora i , a ho l az} f ,

és 1·, ^{s , . . szá -}

mok egészen

úgy , hogy e ké t számsorban egy vagy több pár

is , lehe t , m in t p . lehe tne

.f, s tb . p és q legyenek a

megszor í tásnak a láve tve :

p+q<n

akkor nyerünk egy kever t ad jungá l t rendszer t , me ly az a e le - meknek

sorá t és az a e lemeknek

sorá t tar ta lmazza , az osz - lopok száma ped ig

azér t az

fe l té te lné l fogva ezen

e d ~e )

TÉTELEK A DETERMINÁNSOKRÓL. 11

p+q-d ik fokú de term ináns t képezhe tünk , me lyek közü l egynek az ér téké t meg fog juk ha tározn i .

Ha tározzuk meg tehá t a

p+q -d ik fokú de ter- m inánsnak az ér téké t :

D=

a,1^{aT2 • • •ctrp+q} a,1a,2• • ••a,₁^,+q

ar1 ar2 . • • • • cirp +q a91

a

,„ . ⁽¹²⁾

me ly czé lbó l az t még a

ír juk :

Uri Ur2 • • •Urq Urq+l · • • • •Urptq Urp+q+l • • • • • Ctru a.ia,2 •.,a,9 a sqtl . •.^,Ctsptqa,1^{,+q+I• ••••}a,„

ltf!ar2 .••cir9 llfqf1 • ••••ltfptqltfii+q+1 • ••.

a,,,

D ci

a

a

a

a

0 0

0

u

u

^{1 0 0 1}

Ha továbbá az 1 , 2 , . . • n számokbó l a

q szá -

mo t vá lasz t juk k i : 1·, ^{s, .. . . a}

^{n -q számo t} i ,

j e lö l jük és

a la t t vagy a pos i t iv , vagy ped ig a nega t iv egysége t

ér t jük , a m ikén t az r , s , .• . .

permu tá t ió az 1 , 2 , . . . . n

permu tá t ióva l ugyanazon vagy ped ig

osz tá lyba tar-

toz ik , akkor

12

l!Á=

HUNY ADY JENÖ.

a.-1

a,„

a;1 a;2 •••a;q a;1+1 • •••.a;p+1 ct;li+1 +1 • ••.•

a;,.

au ak2 · ••Clkq Ctk1+1 • • " · • akfit-1 Clkp+P+l • . • . akn

és ha a (13) a la t t i de term ináns t ezen de term inánssa l sokszo- rozzuk , akkor a (4) a la t t i je lö lés t tekintve találjuk , hogy :

2A .D=

A 0

0 dgr drr

0 . ' . ' . . . . 0

·A . . . . . . . o

O„ .„ . . A drs · . . • . . . 0 dg„ . - · . . . . 0

0 0

0 dri dg;

0 „

„

'„ .0 0 „ „ . „ „ „ .0,

0 „ .

„ „ 0 dgk drk

Clrptq+l lls11tqtl• • · Clrptq+2 Clsptqt2 • • •

ltiptq+l Clk1>+1+1 Cliptq+2Ctkptqt2

és így meg továbbá :

drk · •• : . ·

dgk• ••.. .

Cliptq+l Clkptqtl Cliptq+2Clkp-tqt2

vagy ha inég a jobb o lda lon á . l ló n -q -d ik fokú de term inánsnak

al/1+1+

1 -gye l szorzo t t p + ^{1-d ik ,}

+

+ 2 -ve l sokszorozo t t p

2 -c l ik ,

s tb : sOTát az

· sorbó l , továbbá az ct

1 '+1 t-i-gye l sokszorozo t t

1-d ik az

+ 2-ve l sokszorozo t t p+2-d ik s tb . sor t , annak má-

sod ik sorábó l k ivon juk és így tovább , akkor , m iu tán a ( 4) a la t t i

egyen l tné l fogva :

TÉTELEK A DETERMIN ÁNSOKRÓL.

(7 x·y - [a„,,+q+l llyp+q+1

+ . . . . . +

^ay„J

=

ax i

+ .. . . +

^{d 'xy=d 'yx , .. . (14)}

az

végre ta lá l juk , hogy : d 'r• d 'rk .. . . •. •.

d 'gi

aip+q1-i akp+9+1 lli1>+q+2 Clkp+9+2

' '

.. . (15)

l .3·

me ly egyen le tben

hogy

a 'pos i t iv , vagy -negatív egysége t je len t i , a m ikén t r , s , .. . . 1·,

^{permutátió az 1 ,} 2 , . . . . n permu tá t ióval ugyanazon , vagy ped ig

osz -

tá lyba tar toz ik .

Azon fe lvé te lnek , hogy p+q>n , egy o lyan kever t ad jun- gá l t rend ze r fe le l meg , me lyben a sorok száma nagyobb az

l ~ számáná l , ha teM t ezen n (p + ^{q) efemböl az}

( ~ )

lehe tséges n-ned ik fokú de term inánsoka t képezzük , akkor azok közü l bárme ly ik is o lyan lesz , hogy annak értékét a 2-d ik szám szer in t megha tározha t juk .

6 . V izsgá la ta inkban tovább ha ladva , azon f '·d ik fokú ke - ver t ad jungá l t de term inánsokra térünk á t , me lyek e leme i az 1 . számban ér te lmeze t t c„y és

vannak com - poná lva .

Je lö l jük a

rendszer de terminánsát A„ , -me l , a nék ie ad- jungált r xy rendsze rnek , tehá t az A m-nek adjungált de term inánsá t ped ig A 'n-m· me l , továbbá legyenek . fq .. . és i , k , .. . az 1 , 2 , . . µ számsornak

p-kén t i comb iná t ió i , r , s .. . és u , v .. . a

számok , vég re

és

a pos i t iv , vagy nega t iv egy - ség a m ikén t az f,

s, .. . ^{és i ,}

^{v .. . permu tá t iók}

az 1 , 2 , . .

pennu tá t ióva l vagy ugyanazon vagy ped ig kü lön-

ő

osz tá lyba tar toznak , akkor

, r l

, .

14

eA„ =

és

,s'A'u- m

=

HUNYADY JENÖ.

Cf1 Cf2 • • • • • • • •Cfµ Cgt Cg2 • , • • , • • , , Cgµ

Crt Cr2 • • • • • • • • • Crµ Cst Cs2. • •••••••c,µ

Y i l

Y•µ

Ykl Yk2 ••••' •••Yk,U

y„1 y„2 ...•...•y„µ

Yt>l Yv2 •••••' ••Yvµ

. . . ⁽¹⁶⁾

. . . (17)

Je lö l jük végre azon kever t ad jungá l t de term ináns t , me ly

:A,,.- ől

ered , ha ennek

sorá t a nék ie ad jungá l t e 'A '„_ , . de term ináns

p soráva l pó toHuk

,

· -va l ,

hogy :

y;1 7;2 · .••. • •••y;µ,

Yh1 /'k2• ••.••••Yk.1'·

Dfg^pik„ . ^...=

(18)

Cr1 Cr2, •,• • • • • .e,.µ Cs! Cs2. ,

. .

7 . A

p•h„

. de te l 'm ináns ér téké t a

ha tá- rozha t jukmeg .Fe l téve ,hogy

<

^{m i t e lérn i m ind ig le -}

he tséges , akkor a k i tüzö t t czé l e lérésére sokszorozzuk meg a

' (18) a la t t i de term inás t a

TÉTELEK A DETERMI ÁNSOKRÓL.

C;1 C;2 • • • , • , •••C;,u Cu Ck2 • • • • • ••••Ckµ

C„1 Cu2 • · • • • • • • •Cuµ

Cvl Cv2 • • • • • • • • • Cvµ

a sokszorozás eredménye a vet e ő egyenleteknél fogva: Cx1Y:rt+Cx2Yx2+ • • • ·•

+c„,u

( lg)

C:rtYyt+c„2yy2+··•·•+exµYxµ= O

és a

e.ry=c.,.₁Cy,+cx, c9,+..••.+exµCyµ=eyx• ..

(20) ez lesz :

A 0 . . . . . o . . . . . ⁰

O

A . .

.o .. . . . o

s'Dfg ....

P

A„ =

es; esk ••••esu esv ' ••

e,.„ ..•. es„ ....

vagy ha

még

a ho l

n -1 . n -2 . . . . . . m , v

2

.

. .

. .

•

•

15

')Lásd Cauchy az i.h. 100. és 101. 11.

2) Lásd Borchardt Journaljának 61-dik köt.etében 355.1. a (6) alatti egyenletet. MegjegyzenclB, hogy ezen képletben esetiinknek megfe- lelöleg ni-et fel kell cserélni n-m-mel.

:~ I' I"I·

•..+ •I

1i' ¹

16 HUNYADY JENÖ.

akkor ta lá l juk , hogy :

erv .•••

Dfg_pi ._k...._.

=

₍₂₁₎

A f /L : ^{de term inánsnak az • ér téké t még más a lakban}

nyer jük , ha a (18) ala t t i de term ináns t a

sokszo - rozzuk:_

EA'n-m -

Yr1 Yf2 .•••...•·Yrµ Yg1 Yyi • • • • • • • .-Ygµ

Yr·l Yr2 • • · • • • • •Yrµ

Ys l Ys2 • • • • • · • • • Ys,u

a sokszorozás eredménye ez ese tben a (19) alatti egyen le tek tek in te tbe vé te léve l és a

je lö lés haszná la ta me l le t t

ez lesz :

E.f E;9, •••,f.;„ l!;s •••• Ek[ l!kg , , . • , l!kr Eb

ED

p•k.

. . A '„_ , , .

vagy még :

tD

p•k .

.

.

0 „ . . . A

0 0

„ .„1

A .. .

E;f f.;g • • .'•

- .„

Ekf Ekg. • • • •

TÉTELEK A DETERMIN ÁNSOKRÓL.

17 vagy ha , még tek in te tbe vesszük , hogy

A '„_ ,„

akkor véare

D

f

de term ináns ér téké t a

a lakban nyer jük .

E;r E;9, • • ••

D(9··p•k„ ·.=é

A

(23)

A · ~ t::

de term ináns ér téké t a (21) és (23) a la t t i egyen- le tekben ké t féle a lakban uye i jük , ezen egyen le tek közü l vagy

vagy ped ig a másod ika t haszná l juk , amiként

>

vagy ped ig p<v , m iu tán i lyen módon az A

m inden ese tben a legmagasabb ha tványban nyer jük .

1 -

Pé lda . Legyen

a1 b1

d i b2 C2 d2

A=

fl3ba

C3 da

C4 d4 akko r , ha röv idség kedvéér t

s tb . ennek együ t tha tó já t A-ban ped ig

vel je lö l jük , akkor

1 ca _{c4 d4} da / =(a1 ^{b2 ) ' -}

(a1b2) (a1c2) (a1d2) (b1c2) (b1d2) (c1d2 ) (a

(a1c

(a 1d

(b1ca ) (b1da ) (c1da ) A _ (a1b4) (a1c4) (a1d

(b1c4) (h1d4) (c1d4 )

2-

(a2b3) (a2c

(a

d

(b2ca ) (b2da ) (c2da) (a2b4) (a2c4) (a2d4) (b2c4)

(riab

(a

c4) (a

(bac4 ) (bad4 ) (cad4 )

l(,TUD. AK.~:R , A MATll. TUD. KÖ'lf:nör,,1880.^{vrr. K.}19.^{sz. 2}

fl

~

~

·~

18 ^{HUNYADY JENÖ.}

\

(a

b2)' (a

c2) ' (r11d2) ' (b1c2) ' (b1d2 ) ' (c1d2) ', (a

b3) ' (a1ca ) ' ( r t1 r la ) ' (b1 :a ) ' (b1da ) ' (c1da ) ' i

A '

(a

b,i.)' (a1c4) ' (a1d4) ' (b1c .S (b1d4) ' (c1d , i ) ' l

2

(a2b

(aac2)' (rr2da) ' (b2ca) '

(c2r la) '

1

(r12b4)

(a2c4) ' (a2d

(b2c4) ' (b2d4) ' (c2d4 ) '

1 (

a

i \) ' (a

c4) ' (

(bac. i) ' (bad4)

cad4) '1 ezen ese tben tehá t n=4 , m=n -m=2 , ,u=6 , v=3 .

Ha Arben a 2 . 4 . és 6 . sor t a

1 . 3 . és 5 . so r f tva l pó - to l juk , úgy m iu tán e%en e e tben p=3 és 1 1=3 , tehát

(21) a la t t i egyen le te t fog juk a lka lmazn i , me ly szer in t taW juk , hog · :

1

(a1b2 . ) ' (rz1c2) ' (rz1

(h1c2) ' (b1d2)

(c1d2)

J

(a

(n1c.i) ' (ri ₁

(b1c4) ' (b1d4) ' (c 1r74) '

D OIG 1

(azU4) ' (a2C, i) ' (r tzr l4) ' (b2C4) ' (b2d4)

(c2d4 ) '

a , , .= (a1b2) (ci1c2) (a1d2) (b1c2) (b1d2) (c1d2)

(a1b

(r1

c4) (a1r l4) (b1c4) (b1rl4) (c1d4)

a ho l :

: (a2b

(a2c

(a2d

(b2c4) (b2d4) (c2d4 ) ) e12

e16

eza

C34 eaG

e12 = (a1b2 ) (a 1 ba) + (a1 c2)(a1 ca) + (a1d2 ) (n1da)+ (b1 c2)(b1da) + (b1 d2)(b1 da )+ ( C1 d2)( C1 da )

eu

= (a1b2)(a2ba) + (a1 c2)( rz2ca) + (a1d2 ) (a2da ) + (h1 c2)(1 '2ca) + (b1 d2)(b2da) + ( C1 d2 ) ( c2da)

e1G = (a1b2 ) (aab4 ) + (a 1 c2 ) (aac

+ (a id

) (a

d

+ (h1c2) (bac

+ (b1r l2 ) (bad4 ) + ( C1d2)( C3d4)

eza

= (a1ba ) (a1b4 ) + (a1 ca ) (a1 c4) + ( r t1da)(r t1

+ (h1 ca)(lJirl4) + (b1da)(b1d4) + ( c1da ) (c1d4)

ea4

(a1b4 ) (a27 Ja) + (a1 c4 ) (a2ca ) + (a1d4 ) (a2da ) + (h1 c

)(h2 ' la) + ( c1 d4)(b2da) + ( C 1 d4 ) ( c2da)

eaG = (a1 b4)(aab4) + (a1 c4 ) (aax4 ) + (a1d4 ) (aa•l 4) + (b1c4)(bac2) + (b1 d4)(bad4) + ( C1r]4)( cad4)

~=~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~

+ (b1 da)(b2d4) + ( C1 da ) ( c2d4)

e

5 = ( a2ba)( a2b4) + ( a2ca ) ( a2c4) + ( a2da)( a2d4) + (b2ca ) ( /12c4) + ( b2da)(b2d4) + ( c2da)( C2d4)

e

(a

) (a

b4) + (a2c4 ) (aac4) + (a2d 4)(a

rl4) + (b2c

) (úac4 )

+ (b

d4)(bad4) + (r2c74)( C3rl 4)

TÉTELEK A DETERMINÁNSOKRÓL.

19 2-d ik pé lda . Ha pec l ig .A

-ben a 3 . és 5 . sor t

1 . és 4 . so rúva l pó to l juk , akkor m ive l p=2 és 11=3 , a (13) a la t t i egyen - le tné l fogva ta lá l juk , hogy :

a ho l :

1

,

(a1b2 ) ' (a1c2 ) ' (ct1d2) ' (b1c2) ' {b1d2 ) ' (c1cl2) ' ( a2ba ) ' (a 2c

(a2d

(b2ca) ' (b2cla) ' ( c2d

(a1b2 ) (a1c2 ) (a1d2 ) (b1c2) (b1d2) (c1d2) i (a1ba ) (a1ca ) (a1da ) (b1ca) (b1da) (c1da ) (a 2ba) (a 2ca) ( ct2' Za) (b2ca) (bd , a) ( c2da) (aab4 ) (aac4 ) (aad4 ) (bac4) (bad4) (cad4)

=A . é1a é15 \

1

é34 é45

é13=

(n1b2 ) ' (a1b4) ' + (a1 c2) '(a 1 c

+ ^{(rr1d2) '(a1d} 4) ' + (b1c2) '(b1 c4) '

+ ^{(b1 d2) '(b1 d4) '} + ( ^{C1d 2 ) ' (}

^{cl4) '}

<15 = (a1b2) ' (a2b4 ) ' + ^{(r t} 1c2) '(a1 c4) ' + ^{(a1r l4) '(a2d . i) '} + ^{(b1 c2 ) ' (b2cJ )}

+ ^{(b1d2 ) ' (b2d , i}} + ^{(c1d2 ) ' (c2( l4) '}

<a1 =

(a

b4) ' (a2ba ) ' + (a1c4) ' (a2ca ) ' + ^{(a1d ... ) ' (n2da ) '} + ^{(b1 C4) '(b2ca)} + ^{(b1 d4 ) ' ( b2cla) '} + ( ^{C1 d4) ' (e 2d aY}

04

5 = ( et2b

) ' (a2b4 ) ' + ^(a

c3) ' (a2c4 ) ' + ^{(cr2c ls) '(a2d4) '} + ^{(b2ca) '(b2c4)}

+ ^{(b2c7 a) ' (b2cl4) '} + ( ^{C9d3) ' ( C9d4) '}

8 . Ha tovább .1 i : 'A„ , -ben az

p sor t i : .A '„_ ,„

sor iva l pó to l juk , akkor az

(18) a la t t i je lö lés tel e ~;~:::

lesz , úgy , hogy :

rr1 rr2. · · · · · · ·Yrµ

y91 y92 •.••..••y9µ

„.

(24) D ik . . . •

pfg.„

=

Cul Cu2~ • · • • • • Cuµ Cvt

Co2 • . . • • • • •

és ha ezen de term ináns t a

sokszorozzuk :

J '

, 1 '

• 1

20 ^{HUNY ADY JENÖ.}

Cft Cf2 • • • • • • Cfft CgJ C92, . , ••, Cgft

C.-1 Cr2 • • • • • • Crµ Csl Cs2 • • • • • • •Csµ

akkor a sokszo rozás eredménye , a (19) és (20) a la t t i egyen le te- ket tek in te tbe véve ez lesz :

A o.

o„ . .

o ^{A .}

o o„ .

Dik ..._

Epfg ...Ám=

eru egu • • .. eru esu • ero egv. • .• erv esv •••.•

e,.,, esu ••••

= Ar.^erv eso ....

a honné t m iu tán A , , .=A" , még köve tkez ik , hogy :

eru esu .•••

Dik_pfg._.•·_•·

=e . A

(25)

me ly egyen le te t a (21) a la t t iva l összehason l í tva , a

meg jegyzésre mé l tó egyen le te t ta lá l juk : D

'k

·

·

·=

(26) .

me lyben éé '=A té te te t t és így

vagy a pos i t iv , vagy ped ig a

nega t iv egysége t je len t i , a m ikén t az fg .. .

és

permu tá t iók vagy ugyanazon , vagy ped ig

osz tá lyba

tar toznak . Továbbá még

hogy a (26) a la t t i

TÉTELEK A DETERMINÁNSOKRÓL. 21

egy en le t a (8}a la t t i egyen le te t , m in t spec iá l is ese te t magában fog la l ja .

9 . Ha a {17 ) a la t t i de term ináns t a (24) a la t t iva l sokszo - rozzuk, akkor a

egyen le te t · nyer jük :

D•k ...

n•k . . .

l/g„

„

Yi1 y;2 •••y;µ Ykt Yk2 ••·Ykf'

Crt Cr2 • • •Crµ Cst Cs2 • ••C,µ

rr1 rr2· · ·Yrµ

y y1 yy2 • • ·Yyµ

Cul Cu2. • •Cuµ Cv1 Cv2. , •Cvµ

vagy ha a k i jelö l t

végrehaj t juk és a (19 ) , (20) a la t t i egyen le teke t tek in te tbe vesszük , akkor még továbbá :

t;r _E;9.,•••O 0 ..•,

Ek[ likg• . ,.•Ü Ü Dfg„. Dik„.=

P

0 0 . . . .

és így végre a

neveze te ! l egyenl e te t nyer jük:

eru erv ••.•

Dfg„. Dik„.- Bsu

p•k„.'pfg ... - ^{esv •••• Egk' • •'}„.

(27 )

a

még a {26 ) ala t t i egyen le t t e k in tetbe vé te le u tán ez t nyer jük :

eru erv .•

(

p

' )2

„

)2= }.,

Ef; Efk, • E9; Eyk, •

„.

{28)

és ha végre e en egyen let , vagy a {21 ) a la t t i , vagy ped ig a {23)

22

alatti egyen le t te l e losz t juk , akkor a

egyen le teke t nyer jük :

é[i

Dfg

p•k

. .

.

Av-1• .

é/'k •••1 égk ••••

1:'

eru e,.v ....f esv .•..

1

'

1

me ly egyen le tek a (23) a la t t i és (21) alatti egyen le tekke l azonosak .

10 . Az 5 . számban k ife j te t t á ta lánosabb v izsgá la toka t a (6) számban megkezde t t v izsgúJa tokra is k i te1 jesz the t jük , me ly v izsgá la tokka l ezen ér tekezés t befe jezzük .

Vá laszunk k i az A „ ,

p sort a A'„-111 rend -

e ől

ped ig

sor t , legyenek ezek az

rendszer f ,

^és

a másod ik rendszer 1·, s , . .. sora i , (az j ,

és r , s, . . . számok egészen

úgy , hogy e két szám orban egy , vagy több pf tr

is lehe t , m in t p . lehe tne

f ^{s tb. ) , továbbá .}

legyenek p és q a

megszor í tásnak a láve tve : p+q<1 -1 ,

akkor nyerünk egy kever t con jugá l t rendszer t , me ly a

e le - meknek p sorá t és a r ^{e lemeknek q sorá t tar ta lmazza , a rend-}

szer osz lopa inak száma ped ig ,u, ^{azér t tehát az}

^{fe l té te l-}

né l fogva ezen

p

+ ^{q -d ik fokú de term ináns t képezhe tünk , me lyek közü l egynek}

az ér téké t mos t megha táTOzzuk .

Legyen

TÉTELl'K A DETERM:lNÁNSOKRÓL.

23

Yr1 Yr2 • · • • • ·/'r,fl Ys1 Ys2 •. • · • •/'.\U

LÍ=_{cri C/2• •••• · •C}

_,u. . . . ⁽²⁹⁾

Cg1 Cg2 •••••••Cgµ

n ,kko r a L1 p + ^{q-d ik fokú de term ináns t még n,}

^,11-dik

fokú de term ináns a , lak jában írha t juk :

LÍ=

Yrl{'r2···Yrq {'rqtl••·Yr11tq Yr1>fqt1•••Y1p í'sl Ys2• • •/'sq Y sqf-1• • •Y.<1>tq '}'sptqtl•••/'sµ

Cfl C{'2 •••Cfq C(qtl · •.Cfp+q Cfptqt1••• crµ Cyt C92. • •Cgq Cgq+l •••Cgp+q C9ptq+1 • • • • gµ.

0 0 . . . . 0 0 . . . . . 0 1 0 . . . . . 0 0 „ . . 0 0 . . . . . 0 0 1 . . . . o

.. . ⁽³⁰⁾

Vá lasszuk k i továbbá az 1 2 . . . µ számsorbó l az 1·, s .. . S7 .Ím1oka t a

,u -q sz í tm p ed ig legyen i ,

akkor e ah t t vn .gy a pos i t iv vagy ped ig

nega t iv egysége t ér tve ,

m i- k én t az r , s , .. . i , k:, . . . permutátió az 1 , 2 . .

permu tá l ióva l u gyanazon , vagy ped ig

osz tá lyba tar toz ik .

e A " '

CrJ C„2 •••Crq Crq+l •••C1·p+q Crp+q+ 1 • • •Cr,u Cs1 Cs2 • • • Csq Csqtl• • •C.,11+q Csp+q+ 1 • • •Cs,u

1C;i Ci2• • .C;q Ciqtl , .Ci11+q Ci11tq+1•••C;µ Ct..iCk2 · ••Ckq Ckq+l • • •CA·11+11 Ckp+q+l • • •CAp