a Magyar Tudományos Akadémia Könyvtár és Információs Központ

Digitalizálta

a Magyar Tudományos Akadémia Könyvtár és Információs Központ

1826

, ,

ERTEKEZESEK

A J\IATHEMATIKAI TUDOMÁNYOK KÖRÉBÖL.

KIADJA .A. MAGYAR TUDOMÁNYOS .AKADÉMIA.

A III. OSZTÁLY RENDELETÉBŐL

SZERKESZTI

SZABÓ JÓZSEF

OSZTÁLYTITKÁR.

VII. KÖTET. XVIII. SZÁM. 1880.

A MÁSODFOKÚ

GÖRBÉK ÉS FELÜLETEK

(

, , '

MEG HATAROZASAROL.

HUNYADY JEN Ö

LEV. TAGTÓL.

(Előadta a ill. osztály ülésén 1880. október 16-án.)

~T4/'

/--~

/ 1Vr

m

,_5 ••

l '.J.. •

·-,.i-·. \

t;J) '

~KADEMIA) ^{>:t )}

\ ~)Q (°'.;li / ~

.<'~---:(~,:- •. /

'r

_{.._}

^D"

_r

e-,." ,·

_.

- ·-

G) ~~

-'C)~~(5'-

BUDA.PEST, 1880 •

A Jlf. TUD. AKADÉMIA KÖNYVKIADÓ·IllVATALA.

(Az akadémia épületében.)

·e

A MÁSODFOKÚ

GÖRBÉK ÉS FELÜLETEK

I f f I

MEG HATAI OZA AROL .

HUNYADY JENÖ

LEV. TAGTÓL.

(Elöadtaa III. osztály ülésén 1880. október 16-án.)

BUDAPEST, 1880 .

A lf. TUD.AKADÉ~ A KÖNYVKIADÓ-HIVATAJ,A. Az AkaMmi:i é)llllet<'ben.

1 :Budapest, 1880. Az A t h e na e u m r. társ. könyvnyomdája.

1

1

A másod fokú görbék és fe lü letek meghatározásáró l .

Ismere tes , hogy a másod fokú görbe , azaz a kúpsze le t ö t mér tan i

lt t l ől,

a másod fokú fe lü le t ped ig k i lencz mér tan i

lt t l ől

megha tározha tó ; az i t ten

lő d l

kü lönfé le fe l - ada toknak csak a legkevesebb ese tben fe le l meg egye t len egy mego ldás , vagy másképen az ado t t ada tok csak a legr i tkább ese tekben ha tározzák meg a kúpsze le te t , vagy másodfokú fe lü - le te t

t l l ,

és így a szóban fo rgó fe lada toknak a leg- több ese tben több mego ldásuk lesz .

Az ezen fe lada tok közü l a kúpsze le tekné l a leg- ese tek , azaz azok , a me lyekben köve te l te t ik , hogy a kúpsze le t ado t t pon tokon men jen á t és ado t t egyeneseke t ér in tsen - me lyek összesen ha t ese te t adnak - már gyak - rabban m inden tek in te tben és irányban

i l tő

vannak megv izsgá lva . A comp l iká l tabb ese tekben , a me lyekben a kúp -

l ttől

k iván ta t ik , hogy az öt ado t t , á ta lában

l ő

rendü a lgebra i görbé t ér in tsen Ohas les

¹⁾

módszere inek seg í tségéve l me lyeke t

~ t l des camctéristiques«

név a la t t veze te t t be a tudományba , képesek vagyunk a kérdésben fo rgó fe lada tok mego ldásának számá t megha tározn i , így p . 3264 kúpsze le t van , me ly ö t ado t t kúpsze le te t ér in t. A másod fokú fe lü le tekné l m indaz , m i t az em l í te t t fe lada tokró l még a legegysze - ese tekben is tudunk , azaz azokban , a me lyekben köve te l - te t ik , hogy a másod fokú fe lü le t ado t t pon tokon men jen á t és ado t t s íkoka t és egyeneseke t ér in tsen - me lyek összesen negy - venö t ese te t adnak - pusz tán csak a Ohas les - fé le karak ter ist i -

')LáS'd l ő értékezéseit a párizsi académie des science8 1864.és1867.comptes remlus-iben. -

TUD.AK, BRT, A MATII. TUD.K R BŐL. 1880.^{VII. K.}18.^SZ. 1·:(·

4

^{nUNYADY JENÜ.}

kák megha tározására szor í tkoz ik ,

1)

a m i va lóban nem meg-

l ő,

ha meggondo l juk , hogy a másodfokú fe lü le tekné l az ide tar tozó ké t

l

fe lada t , - e fe lü le t megha tározása pusz tán ado t t pon tokbó l , vagy csak

i tő-

íkokbó l - edd ig

i l tő

mego ldásnak még korán tsem ö rvend .

Ezen sorok czé l ja sz in tén kúpsze le t - és másod fokú fe lü le t - megha tározások , ámde más nemü ada tokbó l , m in t az

lő

em l í te t tek .

Elő

k i je len t jük , hogy az itten tárgya l t fe l- ada tok k ivé te l né lkü l o lyanok , hogy a fe lada t ada ta ibó l a kúp - sze le t , vagy másodfokú fe lü le t csak

t l l

van megha - tározva .

Az ezen sorokban tárgya l t k í ipsze le t-megha tározások m ind o ly ese tekre vona tkoznak , a me lyekben a kúpsze le t con- jugált idomokbó l és pon tokbó l , vagy con jugá l t idomokbó l

é

i tő ől,

a másod fokú fe lü le t ped ig con jugá l t idomokbó l é pon tokbó l , vagy con jugá l t idomokbó l és

i tő l

megha - tározandó .

A szóban fo rgó fe lada tok mego ldásáná l az ana ly t ika j módszer t haszná lva , e mego ldásoka t egyen le tek a lak jában nye r - jük , me lyeknek transformá t ió ja á l ta l azoka t a legröv idebb a lak - ban kap juk meg , me ly transformá t iók egyszersm ind a másod - fokú görbék és fe lü le tek con jugá l t idomokra vona tkoz ta to t t egyen le te inek legd irek tebb lehoza ta lá t veze t ik e lénkbe .

Ezen u tóbb fe lem l í te t t körü lményre kü lönösen nagy sú ly t fek te tünk , me ly tek in te tbén ezen ér tekezésnek a kápsze - le tre vona tkozó részében kü lönösen azon tran

~tti a

u ta - lunk , me lyek az

1.

és 2 . §-ban a (3 ) a la t t i egyen le teke t az (5 ) a la t t i a lakokra , a 10 . §-ban ped ig a (2) a la t t i egyen le te t a (4 ) a la t t i a lakra veze t ték . A másodfokú fe lü le tekre vona tkozó rész t

ill től

ped ig azon á ta lak í tásoka t em l í t jük fe l , me lyek seg í t - ségéve l a 4 . és 5 . §-ban a (3 ) a la t t i egyen le teke t az (5) a la t t i egyen le tek a lak jára hoz tuk . Vé leményünk szer in t , a kúpsze le t egyen le tének transformá t ió já t a con jugá l t háromszögre , négy - szög re és ö tszög re , va lam in t a másodfokú fe lü le t transformá-

1) Zeuthen: »Nouvelles annales cle mafüématiques. U. sér. 7-dik kötet 355. 1.és Schubert értekezését Borchardt Jonrnaljának 71. kötet 366.1. '

>

A MÁSODFOKÚ GÖRBMK ÉS FELÜLETEK MEGHATÁROZÁSÁRÓL. 5

t ió já t a con jugá l t te traéderre és pen taéderre inkább geome tr ia i sze l lemben o ldo t tuk meg , m in tsem ez edd ig azon t isz tán a lge - bra i fe l fogású transformá t iók seg í tségéve l tör tén t , me lyekre bennünke t leg inkább Jacobi , Hesse és Pau l Serre t tan í- to t tak .

Szabad jon azon á l lás t , me lye t ezen ér tekezés fe j tege tése i ez

lő

em l í te t t ma thema t ikusok buvár la ta iva l szemben e l fog - la l , pá rhuzamba á l l í tan i egy más ik á l ta lánosabban ismer t trans- fo rmá t ió -p rob lémáva l .

A másod fokú gö rbék és fe lü le tek transformá t ió jáná l a

őt l

vagy azon u ta t köve the t jük , hogy a

őt l

s az á l ta luk megha tározo t t

ő t ő

geome tr ia i tu la jdon- sága i t

lő t a,

a transformá t ió-prob lémá t geome tr ia i lag szaba tosan je lezzük , vagy ped ig megford i tva a szóban fo rgó mér tan i a lakza tok egyen le te i t hozzuk az úgyneveze t t kanon i- kus a lakok ra , és épen ezen transformá t iók á l ta l veze t j i ik be a kúpsze le tek és másod fokú fe lü le tek e lmé le tébe a

ő

tenge lyeke t . Az ezen é r tekezésben tárgya l t v izsgá la toka t a mos t je lze t t p rob lémáva l párhuzamba á l l í tva , k i je len t jük , hogy azok az

l ő

u ta t köve t ik , m ire nagy sú ly t fek te tünk , m iu tán tek in te t te l arra , hogy az ana ly t ika i geome tr ia

^ől

geome tr ia i d isc ip l ina . , abban igény te len vé leményünk szer in t m indenü t t oda ke l l tö rekednünk , hogy az eszköz t a czé l la l össze nem té- vesz tve , ne az a lgebrának és ana lys isnek enged jük á t a pr im- szerep v ise lésé t , hanem

ől

a tu la jdonképen i czé l t , a geome - tr iá t lép tessük

lőt .

Ezen néze tünknek tovább i támaszá t még azon meg fon to lás is képez i , hogy az ana ly t ika i geome tr ia le tárgya lásáná l az evve l

ll ő

ú ton , könnyen eshe tnénk azon

l ő ,

hogy a geome tr ia ana ly t ika i tan í tásá t pusz tán csak

az a lgebra és ana lys is pé lc la tárává degradá lnók , m i m inden

ese tre a tudomány sze l leméve l a legnagyobb e l len té tben á l lana .

Tagac lha t lan azonban , hogy a más ik irányban ha ladva , számos

a lka lombó l ind í ta tunk a geome tr ia i prob lémák abs trac t ió jára ,

me ly e lvon t fe lada tok mego ldásábó l v iszon t u j néz . pon toka t

nyerünk azon geome tr ia i prob lémákró l , me lyek tu la jdonképen

bennünke t ezen á l ta lános í tó v izsgá la tokra ind í to t tak .

6

^{HUNYADYJENÖ.}

1.Mi lőtt

a

it tt

fe lada tok mego ldá áhuz fognánk . néhány def in i t iónak és je lö lésnek mega lap í tá á t czé l

tar t juk .

¹⁾

Ismere tes , hogy ké t pon t a kúpsze le t s ík jában con jugá l t harmon ikus pó lusnak , vagy röv idebben con jugá l tnak nevez te - t ik , ha e két pon t közü l akárme ly iknek a po lára a kúpsze le tben a más ik pon ton á tmegy ; tovf tbbá ké t egyene con jugá l tnak mon- c la t ik a kúpsze le tben ,ha az egy iknek a pó lu a a má ikán fek z ik .

Va lame ly három zög a kúp ze le t con jugá l t há romszögé - nek nevez te t ik , ha a háromszögnek m inden e úc pára con jugá l t pon t-pár a kúpsze le tben ; sz in tén mondha t juk , hogy ekko r a háromszög és a kúpsze le t con jugá l tak .

Ha a négyszög

ő

csúcsa i con jugá l tak a kúp - sze le tben , az t mond juk , hogy a négyszög és a kúpsze le t con ju- gá l tak .

Ha az ö tszög m indegy ik csúc a a

ő

o lda l pó lusa a kúpsze le tben , az t mond juk , hogy az ö t zög és a kúp- sze le t con jugá l tak .

Ha a négyo lda l (V ierse i t)

ő

o lda la i con ju- gá l tak a kúpsze le tben , az t mond juk , hogy a uégyo lda1 é a kúpsze le t con jugá l tak .

A három-o lda l (Dre ise i t) és az ö t-o lda l (Fünfse i t) egy- rész t , másrész t még a kúpsze le t ugyanazon fe l té te lek me l le t t con jugá l tak , m in t a háromszög és ö tszög még a kúp ze le t.

2 . A térnek ké t pon t ja a másodfokú fe lü le tben con jugá l t harmon ikus pó lusok vagy egyszer i ibben con jugá l t pon tok , ha a két pon t közü l akánne ly iknek a po lár-ík ja a má od fokú fe lü- le tben , a más ik pon ton á tmegy ; két s ík a másodfokú fe lü le tben con jugál tuak monda t ik , ha az egy iknek pó lu a a másod fokú fe lü le tben , a más ikban feksz ik .

Ha a te traédernek csúcsa i , pó lu a i a

ő

te t ra - éder laps íkoknak va lame ly másodfokú fe lü le tben , a te traéder

és a másod fokú fe lü le t con jugá l tnák nevez te t ik .

Ha a pen taéder csúcsa inak po lárs ík ja i a másod fokú fe lü- le tben , a pen taéder

ő

é le in mennek á t , a pen taéder és a másodfokú fe lü le t con jugá l tnak nevez te t ik .

1) L!tti<l a definitiókatill től Paul Sel'ret : Geo1mitrie<la Direc- tionczimlimunká,iábanaz54.-57.ll,

~ 1

!

t> 1

A MÁSODFOKÚ GÖRBÉK ES FELÜLETEK MEGHATÁROZÁSÁRÓL. 7

Ezekhez hason lóan még a

t ő

e lnevezéseke t hasz - ná l juk :

A térbe l i négyszög és a másodfokú fe lü le t con jugá l tak , ha a négyszögnek m inden csúcsa pó lusa a

t al ő

három csúcsbó l megha tározo t t s íknak a másodfokú fe lü le tben .

A térbe l i ö tszög és a másodfokú fe lü le t con jugá l t , ha az ö tszög bárme ly szögs ík jának

l lő

pó lus az ö tszög szem -

ő

o lda lán feksz ik.

A térbe l i ha tszög azaz a hexagoná l is oc taéder és a má- sod fokú fe lü le t con jugá l tak , ha az oc taéder bárme ly laps ík já- nak pó lusa az oc taéder

ő

laps ík ján feksz ik .

3 . A s íkban a

t t ől

pon tnak homogén v iszonycoor- d iná tá i t x ,

y,

z -ve l , az i pon tnak coord iná tá i t

x;,

y i, z , -ve l és az

·ik

egyenesnek coord iná tá i t ped ig ;ik,

^IJ;k,

' ;k-va l je lö l jük , úgy , hogy

;ik

=

^{YiZk - .lJkZi}

!

t/ik

=

^{Z;Xk-ZkXi • •}

''k= x;yk-XkY•

. (a)

Továbbá az ik egyenes egyenle te ( iko)

=

o . . . . . . . (b) és a

t ő

de term ináns

Xi

Y•

^Zi

Xk Yk Zk

= ^{( ik l) . . . (c )}

X1 y1 Zt

A térben a t t ől pont homogen v iszonycoord iná tá i t x , y , z , p-ve l , az

i

pon tnak coord iná tá i t x;, y i, z;, p i-ve1 , az ik l s íknak a coord iná tá i t, ped ig

; ;ki, t}ikl,';kt,

n ;k1- le l je lö l jük , úgy , hogy

Y• ^{Zi Pi Zi}

P•

^Xi

l

;ikt= Yk Zk pk 11/ikt=- Zk Pk Xk

y1 ^{Zt pt Zt ptXt}

(d)

piXi Y• X; Y• Zi

l

Sikt= Pk ^XkYk ^,1l;k1=-

x„

^{yk Zk}

p1 Xt y1 Xt y1 Zt

8 ^{HUNYADY JENÖ.}

Továbbá az ikl íkna ,k az egyen le te :

( ik lo)

=

o . . . (e) a

t ő

de term ináns ped ig

Xi Y• ^{Zi p i}

Xk Yk Zk pk

₌

( ik lrn) .. . ( f) Xt y1 Zt

p1

x,„ y„ . z,„ p ,„

4 . Legyen a másodfokú görbének az egyen le te pon tcoor- c l iná tákban a

t ő

:

li

11x2 + a22

^y

2 + a88y2 + 2a23yz + 2a13xz + 2a12xy = o . . . (g) akkor az i pon t a (g) a la t t i kúpsze le ten fek z ik , ha:

a i lx:+a22y;+a88z;+2a28y;z;+2a1aX;z;+2a12Xi,1/i

⁼

o , . . . (h) továbbá a (g ) a la t t i kúpsze le tben az i és

k

pon tok con jugá l t harmon ikus pó lusok , ha

au XiXk +a22Y iYk + ^aaaZiZk + ^{aza(y;z1 ,} + ^ykz;) +

^{a a( ~,}

+ ^{Xkz ,)} ( ')}

( ) . „ 1

+a12 x;yk+xky;

⁼

o Legyen továbbá a másodfokú fe lü le tnek az egyen le te pon tcoorc l iná tákban a

t ő:

a11x2+a22y2+a38z2+a44p2+2auxy+2ct1axz+2auyp

^~

. . . (k ) +2a28yz+2a24yp+2a34zp

⁼

o

~

akkor az

i

pon t a (k) a la t t i másodfokú fe lü le ten fek z ik , ha a

t ő

fe l té te l á l l :

a

11

x i + ^ct22Y: +

^{aaa ~}

+ ^{a44p :} + ^2a12x1y: + ^{2 a}

^iaX;z,

+ ^{2 a14X;p , \ . . . (1)} + 2a28y;z; + 2a24.1ji'p1 +

^2a34z;pi

= o { az i és

k

pon tok ped ig a

t ő

fe l té te l me l le t t con j ugá l t harmon ikus pó lusok a (k) a la t t i másodfokú fe lü le le tben : Cl1tXiXk + ClzzYi.lfk + ct33ZiZk+a44p;t '.>k + ^{l l12(X i ,1 .Jk+xky i)} 1

+a i8(x;zk + ^Xkz;) + ^{au (xpk+} XkP•)+a23(y;zk+ykz,) . . . (m)

+a2 ly ;pk+ykp ; )+aa iz;pk+zkp;)

⁼

o

A MÁSODFOKÜ GÖRBÉK ÉS FELÜLETEK MEGHATÁROZÁSÁRÓL,9

1.

§.

A

nuísodfokií görbe ?neghatározása két ponlbúl ésci

conjugált hd1·ornszögböl.

5 . Legyenek az 123 háromszög csúcsa inak coorchuMá i x1, y

1,z1;

x2, y2, z2 és xa ,

ya,

za é a 4 és 5 pon tok coo rd iná f fL i x

_4,Jfo

z

_4;

x

_5,y5

z

5,

keres te t ik azon kúpsze le t egyen le te , me ly az u tóbb i ké t pon ton megy á t és az 123 háromszöghöz con -

jugá l t .

l1egyen a (g ) a la t t i egyen le t a kúpsze le tnek kerese t t egyen le te , akkor a kérdé hen fo rgó kúpszele t a 4 és 5 pon tokon a

t ő

fe l té te lek me l le t t megy á t :

a . :: a ~ aaa : a 4 4

+

^2n13X4Z4

+

^2a12X4.1J4=

o\ ... ⁽¹⁾

a a ~ a ; a 5 5

+ 2ci13x5

^z

5 + 2a12

^x5

y5

⁼

o) Továbbá az

lő t tt

c le f in i t iók szer in t a (g) a la t t i kúpsze le t és az 123 háromszög a

t ő

fe l té te lek mel le t t con j ugá l tak :

rt ¹

1

^:t'

2

^::i'3

+ Ct22Y2Ya + a33Z2Za +

et2a{y2za

+ yaz2) + 2a1a (

~

+xaz2)+2a12(x2ya+xay2)

=

o

llu·'1.r3

+a2

2

y1y

8

+

a33z

1

z8

+2a

28(.if1z8

+yaz1)+2a1

l~t a

. . . (

₂₎

+xaz1)+2a12(x1ya+xay1)

=

o l

a11X1X2

+

^a22.lf1.lfz

+a

⁸³

z

¹

z

²

+ ^{2a23( y1z2} + ^{Y2Z1)+ 2a1a(X1Z2}

+x

2

z1)+2a12(x1y2+x2y1)

⁼

o Ha ped ig a (g ) , (1) és (2) a la t t i

l t ől

a bennük vona losan és

homogénen,lő l am

s tb . á l landóka t e l im i- ná l juk , a ké rdéses kúpsze le t egyen le te , a

t ő

je lö lé s hasz- ná la ta me l le t t :

2yz 2xz 2xy

~ ~ ~

2.1J4Z4

2X4Z4 2X4}f4

~

y;

^{~ 2y5Z5 2X5Z5 2 X5.1J5 - }}_- ⁽_H3^{,,; (}_•„l ⁾_l

X2Xa YaY2 z2z8 J}2Za+yaz2 X2Za+xaz2 X2.1fa+.xay2 X1Xa

Y iYa

z1za y1za+yaz1 X1za+xaz1 X1Ya+Xa.1f1

X1

X2 Y1Y2

Z1 Z2 Y1

Z2

+ .1J2Z1 X1

Zz

+

^{X2Z1 Xi}

^{Y2 + X2Y1}

ez lesz :

x ,:;= ^{o . . . . . . (3 )}

6 . A

K ~:

de term ináns t még á ta lak í tha t juk , ha az t a köve t-

ő

ha todfokú de term inánssa l sokszorozzuk :

0...

;;2:

tJ. ;

~;. a~

; . ~ 11.; '·i

^{t/31,31 ;81;;2al1/3112a}

;,~ 1Ji; ,,; 1/12,12 2;1 2;1 a 211121/ia 2,1 2,12 11i2'13

+

^11ia,12

; ~

;81,31

§12,12

;1 2'1a+;1a,12

;;121/J 2

; I

^21Ji3

+ ;J

^3l/12

„ . . . . . ^{(n ')}

1

2;12;23 1/12,23

+

^1]23,12

2;1s;2a

'~ +

^lfas,1a

me lynek három u to lsó oszlopát 2 -ve l sokszorozva és három u to lsó sorát 2 -ve l osz tva , egy me lynek ér téke :

=

(123)

S")

A. sokszorozás eredménye a

t ő

: (023)2 (013)2 (012)2

(423)2 (413)

²

(412)2 (523)2 (513)2 (512)2

0 0 0 - (123)

²

0

0 0 0 0 (123)2

0 0 0 0 0

0

(123)2

0

=

(123 )G (023)2 (013)2 (012)2

1

(423)

²

(413)2 (412)2 ' '(523)2 (513)2 (512)2

¹

(023)2 (013)2 (012)

²

a honné t végre ered hogy :

K,;~

(123)

²=

(423)2 (413 )2 (412)2 . . . . . ( 4) (523)2 (513)2 (512)•

de term inánsba megy

át,

') Lásd Scholtz : >A kúpszeleten ő hat pont és a hexagrammum mystfoum tétele« czimü értekezésében a (6) alatti egyenletet. (Müegy. lapok II. köt. 68.l.)

--=

A MÁSODFOKÚ GÖRBÉK ÉS FELÜLETEK MEGHATÁROZÁSÁRÓJ,, 11

és így a 4 é 5 pon tokon

t ő

s ' az 123 háromszögnek con - iugá l t kúpsze le t egyen le té t még a

t ő

a lakban írha t juk :

(023)

²

(013)

²

(012)

²

(423)

²

(413)

²

(412)

²

=

^{0 . • . .}

(5) (523)

²

(513)

²

(512)

²

2.§.

A

három pontból és conJ°ugcílt ől meghatá1·ozott kúpszelet.

7 . Legyenek a négyszög zögpon t ja i rend zerén t

J,

2 , 3 , 4 és ezek coo rc l iná tá i x

1,!/1,z1 ;;r2 •••.;

x

3 ..••;x •....,

az ado t t pon tok ped ig 5 , 6 és 7 , me lyeknek coorc l iná tá i x

5,

y

5,z5;

x

6 .•••

és x

7 ••••,

akko r az 5 , 6 é 7 pon tok a (g ) a la t t i kúp- szel e t ke rü le tén feküsznek , ha a

t ő

egyen le tek á l lanak :

ct11

x i

+

a22 y;,

⁺a33z;. +

2a28y5zs

^{+2a, aXszs}

+ 2a12x5y5=01

a11x;+a22y;+a33z!+2a28y6z6 + 2a13x6z6 + 2a12x6y6=o . • . (1 )

a1¹

x ; +a22y;+a38z;+ 2a2a?J1Z1+2a1aX1Z1+2a1 2X1y1=0

az 1 2 3 4 négyszög é · a (g ) a la t t i kúpsze le t az

- ő

számban ado t t de f in i t iók szer in t con jugá l tak a

t ő

fe l té te lek me l le t t :

a11X1Xa +a22!.f1!.fa +aa3z1za+ ct2a(1J1Za +.1J3Z1) + a1a(x1za

I )

1

+xaz1)+a12(x1ya+x8y1)=0 l .„(

₂₎

I a11X2X4 +a22y2y4 +aaaZ2Z4 +a2a (y2z4 + .1J4Z2)+ arn (x2z4 IJ

1 +x4z2)

+a12(x2y4+x4y2)=0

Ha tehá t a (g ) , (1) és (2) a la t t i

l t ől

az

aw ...

menny iségeke t e l im iná l juk , a

t ő

je lö lés haszná la ta me l le t t :

x2 y2 z2 2 yz 2xz 2xy

~

yi

^{~ 2y}5z5 2x5z5 2x5^y5

x :

~ ~

2y

6

z

6

2xsz6 2x6ys

~

y; ^z;

^{2y7Z7 2X7Z7 2X7.7J7}

^{= K , ! : ! .„(o)}

X1 Xa

!h?Ja

z1 Za Y1 za

+

YaZt X1 za

+

xaz1 X1Ya

+

XaY l X2X4 Y2Y4 z2z4 y2z4 + ^y4z2 X2Z4 +x4z2 X2Y4 +x4y2

^J

K ~::

= ^{o .. . . . .} (3 )

a lc iküszöbö lés i

dő,

me ly a neveze t t három pon tbó l és con ju -

gá l t

^ől

megha tározo t t kúpsze le tnek az egyen le te .

12

^{HUNYADY JF.NÖ.}

8 . Az (o ) a la t t i de term ináns t még á ta lak í tha t juk , ha az t a

t ő

ha todfokú de terrn inánssa l sokszorozzuk :

;,; IJ,;~.; l/ ~ ;12S12 ;121/i2

;,; 11,;~'~ 11zas2a ;2aS2a S2a112a

~ ~ 1/s~ ~:t~ l/ 4~ 4 ~ 4~ 4 ~a4// 4 _{„ „} „.(p )

;,~

11,;

^~.; 4~ 4 ;14sl4 ;1411u

~,; IJ,;s,; l/24S24~ 4 ~ 4 / 4

; ,; 11,;

^{~.; 11}ias1a ;13S1a ~ ia

A sok ·zorozás eredménye a

t ő

:

(012)

²

(023)

²

(034)2 (014)

²

(013)2 (üU)2 (512)

²

(523)2 (534)

²

(514)

²

(513)2 (524?

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

(712)

²

(723)

²

(734)

²

(714)

²

(713)

²

(724)

²

0 0 0 0 (124)(324) 0 0 0 0 0 0 (213)(134)

= (234 ) (134) (124) (123) (012)

²

(023)2 (034)

²

(014 ) : :, (512)

²

(523)

²

(534)2 (514)

²

(612)

²

(623)

²

(634)2 (614)

²

(712)

²

(723)2 (734)

²

(714 ) : l A (p) a la t t i de termináns értékét legeg :y · ze r l í .hhen

úgy

puha tol juk ki , ha az t a

t ő l

sokszorozzuk :

\X3X4 YaY4 Z3Z4 .1J3Z4+.1J4FaJ'3Z4 +x4z3 X3y4

+ ^,l'4.IJ31

¹

X1X4

y i

.1/4 z1Z.t Y1Z4+ .1f4?;1 X 1Z4+ X4z1 X1Yrht·.1.l/1

X1X2Y1Y2 z1z2 !)1?;z+Y2·ö1 X1z2+x2z1 X1Y2+J.'2,1/1

(q )

1X2Xa YzYa ZzZa !)2Z3

+

^{.lfaZ2 Xz?.'3}

+

^{X3Z2 X2'!}3}

+

^{.rJ!/2 '' · '}

:t'1Xa .1/1.1/a z1za!f1Za+!faZ1.1\za+xaz1 X1Ya+,1·a.l/11

1 X2X4.1/2!/4 Z2Z4 !)z.?4. +.1f4Z2 X2Z4+X4Z2 X2,lf4+.l'4,lj2

me lynek ér téke a

t ő

:

- (234) (134) (124) (123) ;(1

a (p) és ( q ) a la t t i de term inánsok sob :zorozásának eredménye pec l ig :

(234)

³

(134)

⁸

(1Ú )

³

(123 )3 , és

így

a (p) a la t t i c le term inánsnak az ér téke ez :

- (234)

²

(134)

²

(124)

²

(123)D

')L. Amüegyet.emilapokIT.kötetének256. lapjána 3:l, feladatot.

A 1ÚSODFOKÚ GÖRBÉK l~ FF.T.ÜI,E'rEK MEGilATAROZÁSARóL. 1~

a

i ől

• ( •g re az

lő i t'l

fogva

~ t i ,

hogy

K,;gI

^{(234)(13-±)(124)(123)=-1(01 2)2( ) ( 4)~ (014)2}

(512)2(523)2(534)²(514)2, J

(612)²(623)²(634)²(6l4)2„.C

4)

(712)²(723)²(7 34)²(714)²¹

a m iér t n,z 5 , 6 , 7 pon tokbó l és az l 2 3 4 con jug{ i l t n( 'gyszüg-

l

meg l1n , 'cá rozo t t

^{~ t}

egyen le té t a

^{T t ő}

írha t juk :

(012)²(023)²(034)2 (014)2

(312)²(523)²(534)²(514)²

(612)2 (62:3)²(634)2 (614)2 =⁰ .••.(5) (712)2 (723)2 (734)²

(714)

²

8 .

§.

A kú1Jsze le t megha tc írozc ísa

^a

con jugá l t

^ől

és ntSgyszögbi:Jl .

9 . Legyenek az

123

háromszög szögpon t ja inak coord iná- tú i x

_1,y1,

z

_1;

x

2 ••••;

x

₃....;

a

4567

négyszög csúc a inak coord iná tá i pec l ig x

4,

y

4,

z

4;

x

_{5 •}^•••,

x

6 ••••,

x

7 • .••,

akkor a (g) alatti kúpsze le t , a

4567

négyszögnek conjugált a

^{t ő}

fe l té te lek me l le t t :

rcll X4Xn+ C122.l/4Y6 + a33Z4Zn +

a2a (y4zs

+ ynz4) + a1a(X4Zn \

+xnz4)+a12(x4y5+x5y4)=0 ...

(1 )

anX5X7+a22.1Js!/7 + a33Z5Z7 + a2a(y⁵z7+

y1z5)

^+arn(X5Z1 + X7Z5) + Cl12( ^X5y7+ X7y5)=⁰

az

123

háromszög ped ig szintén a (g) a la t t i kúpsze le tnek con- jugá l t , ha a

^{t ő}

fe l té te lek állanak:

a1ⁱXzXa+ a22.lf2Ya + a⁸³z2zs⁺ + ^X3z2) a2a(y2za ^{+ a12} + yaz2^(X2.lfa)⁺

+

^XsY2ll1a⁾(x2za^=O

l

anX1Xa+a22Y1Ya+aaaz1za+a2a(y1za+y3z1)+a13(X1Za ...(2) +xaz1)+a12(:i:iya+XaY1)=01

rtnX1X2+a22Y1Y2 +aaaZ1Z2 +a2s(Y1Z2 + y2z1)

+

^a1a(X1Z2

+x2z1)+a12(x1y2+X2.1J1)=0

ezér t az

123

háromszögnek és a

4567

négyszögnek egy ine j í í . leg

con jugá l t kúpsze le tnek az egyen le té t úgy kap juk meg , hogy a

(g) , (1 ) és (2) alatti

l t ől

az

^ctn

sa t . menny iségeke t

e l im iná l juk . A k iküszöbö lés eredménye a

t ő

je lö lé

haszná la ta me l le t t :

14

^{HUNY ADY ENŐ.}

1

x2 y2 z2

2yz 2xz 2xy x4x6 Y-tY6 z4z6 y4z6

⁺

y6z4

X4ZG +

x6z4 X4y6

+ XGY4

X5X1 YsY1

.

Z5Z1 YsZ1+y1zsX5Z7 + X7Z5 XsY1+X1Ys

l =

^{.vll.l28t456'\}(r·) X2X3Y2YaZ2ZaY2Za+YaZ2X2za + X3Z2 X2Ya

+

^{XaY2 .}

x1x8

y

1

y

3 z1z8

y

1z3+yaz1X1za+xaz1 X1Ys+xay11 X1X2 Y1Y2 z1z2 y1z2+y2z1 X1z2+x2z1 X1Y2+X2Y1

ez lesz :

K12a,4567=

0 . . . . . (3 )

10 . A háromszög és négyszögnek

id l

con jugá l t kúpsze le t egyen le té t transformá t iók á l ta l még ké t neveze tes a lakra hozzuk . Ha neveze tesen

lő

az (r) a la t t i de term ináns t a (n ') de term inánssa l sokszorozzuk , a sokszorozás eredménye ez ese tben a

^{t ő}

lesz :

(023)

²

(013)

²

(01 -2 )

²

(234)(236) (134)(136) (124)(126) (235)(237) (135)(137) (125)(127)

0 0 0 - ( 123)

²

0 0

¹⁼

0 0 0 0 (123)

²

0

¹

0 0 0 0 0 - ( 123)

²j

=

(123)

⁶

(023)

²

(013)

²

(012)

²

(234)(236) (134)(136) (124)(126) (235)(237) (135)(137) (125)(127)

a

i ől

köve tkez ik , ha még a (n ') a la t t i de term ináns ér téké t ( l . a 6 . számo t ) tek in te tbe vesszük , hogy :

K

_123, 4567

(123)

²=

(023)

²

(013)

²

(012)

²

(234)(236) (134)(136) (124)(126) . . . ( 4 ) (235)(237) (135)(137) (125)(127) és ezér t az 123 háromszögnek és az 4567 négyszögnek egy ide - jü leg con jugá l t kúpsze le tnek az egyen le té t még a

t ő

a lakban nyer jük :

(023)

²

(013)

⁹

(012)

²

(234)(236) (134)(136) (124)(126) = 0 . . . . (5) (235)(237) (135)(137) (125)(127)

11 . Az (r) a la t t i de term ináns t még úgy is transformá l-

ha t juk , hogy az t a

t ő l

sokszorozzuk :

(045)

²

(056)

²

(067)

²

(047)

²

1

~ i::s ~

0 0 0 0 - (457 ) (567 ) 0

^CD :>;"^'-<i::s ^{: >};;::

0 0 0 0 0 - (456 ) (467 ) µ...

^{,_...,.. p CD ;- >-}

"'

- _{" '}

^{,... 0}

(245)(345) (256)(356) (267)(367) (247)(347)

^{0p;- „~ . .s;o„ ..-c+-Cl>'-~ 0..g}

1

(145)(345) (156)(356) (167)(367) (147)(347) "

_0N

'

.::::: ct>" p;- p.^CD;-^' 0::q

(145)(245) (156)(256) (167)(267) (147)(247)

^{1-:i 0}N_!">'

..,

~

^,...

^{c:T f,_C>/'rr cnl::t -l,•/W1;1 - 1c""I''rr 10 _ if.,,, U)'rr tcn Ol"rI 10\" c (J"",r1 UI'rf i}o^C:p:·:

= (567) (467) (457) (456) (045) _(245)(345)

²

(256)(356) (056)

²

(267)(367) (067)

²

(247)(347) (047)

^{2 CD p}

"

^{CD 1-:i}

'

^{... '}

^,...

^<;;<O

_

^'>

,

^-'00

"

^N

. '

^''O

^.., -

!"> ^{- ...=:: ':<T;;;,'r,.:. , <T~..::::} ~ t:i ~t ~ ~ t : ~ I: ~l:; ^{'r <T'r <T}:;tcl ^{..=:::-=:::'r <Tgl:'rI <T..::::}t^c!.r^i.'rllo^{l l:d}

=

^{l?:I• ::q} 1?;1-

(145)(345) (156)(356) (167)(367) (147)(34 7 ) s

_Cl>'

^,... _{" '}

^{~ ~}

s

^{~ ..::::} ~..:::: ~ ...=:: ...=:: ^a> "i

(145)(245) (156)(256) (167)(267) (147)(247)

^i::s >!>-- l : l.Ql~Q)Qtl l ,.

O'> ~t;' ^{0>-1-1-:tCDClt l."l}

'-<_CD : _-:i <T'r <T'r <T'r <T'r <T'r <T'r t' '-''-'

.,...

^{l l}0>-1^{.Qtl l .}-:t--10> cn^{C ~} C:::

CD "" ^{CD t'}

a m iér t , ha még az (s ) a la t t i de term ináns ér téké t f igye lembe vesszük, ta lá l-

^{NCD ... ~ <;;<}

13

^{1-:i l l .<rrr <rrrQ <rrrl ilr.Q)rr <rrr tI~ rrr t?;I}

.,,

juk , hogy

⁰⁰e+-_o^CD _" '^-:-ⁱ'

..,, s· :cr

^0'.1

^g

^-

^;r

^1-

:cr

^1-:

^g;r

^tQ

^g

^lQ

^;r

^l

^p

^{l."l ::q}

" '

^{i::s CD -1-1-1CD Q1} is:

,...

K12

8,4667

(567)(467)(457)(456)

=

@ ..,

^~

°

^O'>

'

^{00CD' IJO> 'r\"}--Qtl l .Q)QI~ ^{-1!J'rr -1!/'rr -1(j"rf'lCD /'rr lcn /'rr} ~^{>l."l i;}

(045)

² ( 5 )~

(067)

²

(047)

^{2 1 '--'}

„

~ ~..:::: ~ ~..::::

p;-

. •

^c(^:Tt>' ^{~CD li-1 -1i -1.CDQt~ O> Qf}

.,, ^>

(245)(345) (256)(356) (267)(367) (247)(347)

^{1 ....}

(6)

^o<:! _CD

.,...

^{: p}(o^;t>"^-' l:d 0

>-·

(145)(345) (156)(356) (167)(367) (147)(347)

CD ^{p;- 0}

-

^{. :>·'1}

(145)(245) (156)(256) (167)(267) (147)(247)

₀^N_.

.., _"'

_;...

p;- ~ ::0

o: .._, _0-

és ezér t az 123 háromszögnek és a 4567 négszögnek egy ide jü leg con jugá l t

^CD e+-^{<:! ;:-'}

kúpsze le t egyen le té t még a

^{t ő}

a lakban is írha t juk :

^p_Cf' ^;-

,....

° '

16

^{IIUNYADY JENÜ.}

(04 7 )

²

(056)

²

(245)(345) (256)(356) (145)(345) (156)(356) (145)(245) (156)(256)

(067)

²

(047)

²

(267)(367) (247)(347)

(167)(367) (147)(347)

= ⁰ ••. . (

7) ( l 6 7)(267) (147)(24 7)

¹

4 .

§.

A kúpsze le t rnegha tá1 ·ozása egy pon tb6 l és ké t conjugált

ől.

12 . L egyenek az ado t t pon t coord iná tá i x

9,

y

9,

z

9

az 1234 és 5678 négszögök csúcsa inak coorc l iná tá i pedig x1, y1, z 1 ; . .

. . . x

_8,

y

8,

z

8,

akkor a (g) a la t t i kúpsze le t a 9 pon ton a köve t-

ő

fe l té te l me l le t t megy á t :

; a ; a ~ a a a a a =

o . . . (1) továbbá a (g) a la t t i kúpsze le t az 1234 és 5678 négyszögöknek con jugá l t , ha a

t ő

fe l té te lek ál lanak :

+x

³

z1)+a12(X1Ya+xay1)=0 (2) r iux1xa+a22Y1Ya +assz1za a a( ~'a ) a ( a a11X2X4 +a22Y2Y4 +aaaz2Z4 +a2a (Y2Z4 +y4z2) +a1a (X2Z4 ' ·

+x4z2) +a12(x2y4 +x4y2)=0 a11X5X1 + ag2y5y1 + a3az5z1 + a2a (y5z1 + y1zs) +arn (X5Z1 ~

+ x7z5) +a12 (XsY1 +x1y5)=0 . . ( 3) an X6Xs + ag2Y6Ys + aasz6zs + a2a (y6zs + Ysz6 ) + a13 ( XGZs

+ x8z6) +a12(X6Ys +xsy6 )=o

és így a 9 pon ton

t ő

még az 1234 és 5678 négyszögöknek con jugá l t kúpsze le t egyen le té t nyer jük , ha a (g) , (1) , (2) és (3 ) a la t t i

l t ől

az a-ka t k iküszöbö l jük . Az

dő

egyen le t a

t ő

je lö lés haszná la ta me l le t t :

1

~

y2 z2 2yz 2xz

2xy

x ; y; z; 2y9z9 2x9z9 2x9y9 X1 Xa y 1 y3 Z1 zs Y1 za + ysz1 X1 zs + X3Z1 X1Ya + XaY1 X2X4 Y2Y4 Z2Z4 Y2Z4 +y4z2 X2Z4 +x4z2 x2y4+x4y2 x

5

x

7

y5y7 z5z1 y 5z1 + Y1Z5 X5Z1 + x1z5 X5Y1 + ahYG I

XoXs YGYs zozs y6zs + YsZG XsZs + XsZo XoYs + XsYs ez lesz :

K,."„,. c1s

⁼

o .• . . . . ( 4 )

me ly , am in t már em l í te t tük ,a kérdéses kúpsze le tnek az egyen le te .

~

.., 13 . A (4) a la t t i kúpsze le tnek az egyen leté t még mása lakokban is nye i jük , ha a ( t) de term ináns t

? ^{transformá l juk ,} sokszorozzuk tehá t ezen czé lbó l

lő

a ( t) a la t t i de term ináns t a (p) a la t t iva l , akkor a sokszo -

~

rozá eredménye ez le sz :

l<·

=

:'

!>-

(012)

²

(129)2

0 0

1

(125)(127) (126)(128)

(023)

²

(239)2

0

(235)(237)

0

(236)(238)

(034)

²

(014) ' (349)

²

(149)

²

0 0 - (124)(234) 0

0 0 0 - (123)(134)

(345)(347) (145)(147) (346)(348) (146)(148)

~ ~ ~ ~

=

(234) (134) (124) (123) (129)2 (239)2 (349)2 (149)2 (J 25)(127) (235)(237) (345)(347) (145)(147) (126)(128) (236)(238) (346)(348) (146)(148) :;; és ha még a (p) a la t t i de term ináns ér tékére (1. a 8 . számo t) vagyunk tek in te t te l , úgy ta lá l juk , hogy

K, ~ ,;

(234)(134)(124)(123)

=

1

(012)2 (023)

²

(034)

²

(014)

²

= - ⁽¹²⁹⁾

²

⁽²³⁹⁾

²

^{(349)2 (149)2}

(125)(127) (235)(237) (345)(347) (145)(147) . . . . . (5)

(126)(128) (236)(238) (346)(348) (146)(148)

1 1

18

^{HUNYADY ENŐ.}

és ezér t a 9 pon ton

t ő

még az 1234

éq

4567 négyszögek- nek con jugá l t kúpsze le t egyen le té t a köve tk

ő

írha t juk :

(012)

²

(023)

²

(034)

²

(014)

^{2 .}

(129)

²

(239)

²

(349)

²

(149)

^{2 -}

(125)(127) (235)(237) (345)(347) (145)(147) - o . . .. (G) (126)(128) (236)(238) (346)(348) (146)(148)

Ugyan i lyen módon a kérdé e l„úp ze le te t még más egyen le t á l ta l fe jezhe t jük k i ; az á ta lak í t í t leveze té e ez

~ t

ben fe les leges vo lna , m iu tán az az

^{lő i}

egé . zen hason ló és abbó l ered , ha a kérdésben forgó négy. zögöke t egymá kö- zö t t fe lcseré l jük . A neveze t t kúp · ze le t egyen le té t ez ese tben még így is írhatjuk :

1

(056)

²

(067)

²

(07 )

²

(05 )

²

(569)

²

(679)

²

(789)

²

(589)

^{2 - ~}

(156)(356) (167)(367) (178)(378) (158)(35) - o „ . . ( I) : (256)(456) (267)(567) (278)(478) (258)(45 )

5 .

§.

A másod fokú, felület megha tározása há1 ·om pon t l iú l és egy conjugált te traéde1 ·bü l .

14 . Legyenek az 1234 tetraéder csúcsa inak coo rd iná tá i

X1,

y1,

z1, p1 ;...

x4,

^y4,z4,

p

4,

az 5 , 6 , 7 pon tok coo rc l iná tá i ped ig x

5,Ysi

z

5, p5;

sa t., akkor ez u tóbb i pon tokon a (k ) ah t t i másodfokú fe lü le t a

t ő

fe l té te lek me l le t t megy át:

a1 ix;+a22Y; +a

aa ~

+ ^a44p1+2a

¹

^2x

^5y

5 + 2a13x5z

⁶

+

^{2a14X5ps •}

+

^2a2aY5Z5

+

^2a24y5p5

+ ^{2aa4hPs =o}

a ~ a ~ aaa ; a44 ;

+ ^2a

¹²

^x

⁶

^y6 + ^2a

¹³

^x6z6 + ^2aux6p6

^(l)

+ ^2a2aY6z6 + ^2a24Y6P6 + ^2aa4zsp5=0

aux i+ a22y i+

aaa ; a ~ 2a12

x ,y

7

+2a13x1z1+2au .X1P1

+2a2aY1Z1+2a24Y1P1+2aa4z1p1=0

és a (k) a la t t i másodfokú fe lü le t az 1234 te traéc lernek con ju-

gá l t , ha a

l< t ő

fe l té te lek á l lanak :

aux1x2 +a22Y1Y2+aaaz1z2 +a,u,P1P2+ a12(x1

y2 +x2y1)+a1

a(x1z2+x2z1)

+au(x1p2+x2p1)

+ a2a(Y1z2+y2z1)

. +a24(Y1P2+Y2P1)+au(z1p2+z2p1)=0 J

a11 X1 Xa

+

^{a22Y1Ya + aaaz1za}

^{+a44p1 pa} +

a12(x1ya+xay1) +

a1a(

X-1

za +xaz1) +a ,

4(X1Pa +

Xap1)

+ a2a(Y1Za + Yaz1) /

+a24(y1pa+

YaJJ1 )+aa4(z1pa

+zap1)=0 \ a11X1X4

+a22y1

y4 +

Cl33Z1Z4 +n44p1p4 +a12(X1!f4

+x4y1) +a13 (X1Z4

+x4z1) + aH(x1p4 +x4p1) + a2aCy1z,

+y .z1)

1(3) +cc24(1J1P4 + y4p1)+aa4(z1p4

+z4p1)=0 ) C lnX2xa+a22y

²

y

8

+aaaz2za -+c i44p2pa+a12 (x2pa+xap2 ) + · · · · · · · . · · · · . ·. . . . . . . . ... · · · · · · · · · · · · · _

^o

c i11x2x4+ . . .

+cc12(x2y4+x4y2)+ · · ^{„ · · · · „ „ ·„ „ „ „ „ „ ....„ „ ..·„ „.„ · . ..}

- o a11x

³

x

₄+ + a₁₂(x₈y4 +

x4ya )

+ ..····... ·· ··· ·· ··. ... . .... . ... ...

=o és ezér t az 5 , 6 és 7 pon tokon

t ő

még az l 234

t

traédernek con jugá l t má oc l fokú fe lü le t egyen le té t nyer- jük , ha a (k ) , (1) és (2) a la t t i

l t ől

az a

11

a t . menny iségeke t k ikü zöbö l jü1 . Az e l im iuá i ió eredménye a

t ő

je lö lés haszná la ta me l le t t .

x2

y2

z2

p2

2xy x; yij ~

p i i 2x

6y5

xg

y6 ~ ~ 2x6yG

x;

y;

^{~ ~}

^2x7y7

2xz

2X5Z5 2x6z5

x1x2 y1y2 z1z2 p1p2 x1y2+x2y1 x1z2+x2z1 X1Xa

Y1Ya

z1za

P1Pa X1Ya+xay1 x1za+xaz1 X1X4

Y1Y4 z1z4 P1'P4

x1y4 +x4y1

X2X3 X2Ya+xay2 X2X4 Xz!}4+X4!J2

2x5p5

2xp

2xGp6 2x7p7 X1P2+X2P1 X1Pa+xap1

,, ~

. . . .. . . . . .

2yz

2,ljóZ6 2y6zG 2.IJ7Z7

2yp

2y5p5

2.1/6P6 2'!/7P1 Y1P2+.Y2P1

Y1Pa+YaP1

„ .

(3 )

2zp 2z5p5 2z6pG

.~

Z1P2+z2p1

Z1Pa+zap1

-F - „

~ '

..

^{„ ..}( )^u

15 . A (3) a la t t i másodfokú fe lü le t egyen le té t más a lakban az (u) a la t t i de term ináns á ta lak í tásábó l nyer- jük , ha az t a

t ő

t izedfokú de term inán a l sokszorozzuk :

:;,;

_\:

. ' 11,;.

~.;.

: i r , ; ,

^\::;2341/234 :; 4~ t ^:;234'1'234 / 4~ 4 ^1/234'1'234 ~ 4 4

Sa•¹ 5341l]341

:;,;, :;41211u2

:;,:. :; ~

2;23,;3u 21]2!J4.'1j3o~ 4~ 4 27t2341ta•1~ a /a ~a I ~a ~ ~a ~a ~ 4 ~ :l4 'a4 ~a4 ' a l/ : ~a : ~ a ']2a,1l'au+1]a41n·2s•~ 4 l'a ~a, ' a 2:;2a4:;412 • • • S2a41/,m + :;412'/234 • • • • • ,(v) 2:;284:;123 S2a41Ji23+ :;1231/234

2;341S412 sa4111412+;412'la41 2;341;123 :;3411/123+ ;1231/341 2:;,U2:;123 :;41211123 +:;1231/412

me lynek

l ő

négy sorát

ttő l

sokszo rozva ,

l ő

négy osz lopá t ped ig 2 -ve l e losz tva , könnyen be lá t juk , hogy az a

ő t ő i

ér tekezésében »A másodfokú fe lü le tek e lmé le téhez« 23 . lap ján

lő d l

(17) alatti de term i- náns tó l nem kü lönböz ik ,*) az u tóbb inak ér téké t ped ig ugyano t t ta lá l tuk , hogy

(1234)

¹⁵

A sokszorozás eredménye a

t ő

:

*)Ért, a math. tud. körébí51 VII. köt. V. szám,

(0234)

²

(2345)

²

(2346)

²

(2347)2

0 0 0 0 0 0

(0134)

²

(0124)2 (0123)2 (1345)

²

(1245)2 (1235)

²

(1346)

²

(1246)

²

(1236)

²

(1347)

²

(1247)

²

(1237)

²

0 0 0 - (1234)2 0

0

0

0 0 0 0 (1234)

²

0

0

0

0 0

0

0 - (1234)

² 0

0 0

0 0 0 0 - (1234)

²

0

0

0 0

^{0 0}

0 0

0

0 0 0

= (1234)12 (0234)

²

(0134)

²

(0124)

²

(0123)

²

(2345)

²

(1345)2 (1245)2 (1235)

²

(2346)2 (1346)2 (1246)

²

(1236) 2 (2347)

²

(1347)2 (1247)

²

(1237)2

0 0

és így míg a (v) alatti determináns értékét tekintetbe véve találjuk, hogy

F,::J ⁽¹²³⁴⁾

³

= (0234)2 (0134)

²

(0124)

²

(0123)2 i

(2345)

²

(1345)2 (1245)2 (1235)2

¹

(2346)2 (1346)

²

(1246)

²

(1236)2 ... (4) (2347)

²

(1347)

²

(1247)

²

(1237)2

0 0

0 0

0 0

0 0

(1234)

²

0

0 - (1234)2