a Magyar Tudományos Akadémia Könyvtár és Információs Központ

Digitalizálta

a Magyar Tudományos Akadémia Könyvtár és Információs Központ

1826

, ,

ERTEKEZESEK:

A MATHE1\IATIKAI TUDOMANYOK KOREBOL.

KIADJA A MAGYAR TUDOMÁNYOS AKADÉMIA.

A rn.nSZTÁLY RENDELETtBÖL

SZERKESZTI

SZABÓ JÓZSEF

O_SZ'l'ÁL\"1' 1TKÁR.

VII. KÖTET. XXII. ^SZÁ~l. 1880.

RHllílNÁLI~ FUGGnNYH

ÁLTALÁNOS ELMÉLETÉHEZ.-

KÖNIG GYULA.

L. TAGTÓL.

(EHladta a III-ik osztály ülésén 1880. nov. 15.)

,

.

.

'

A

RHLH NHI ^{~ ~ ü} G G ^VÉ NH K

ÁLTALÁNOS ELMÉLETÉHEZ.

KÖNIG GYULA

L. TAGTÓL.

l a III-ik osztAly ülésén 1880. nov. 15.)

BUDAPEST , 1880 .

A M. T. AKADÉMIA KÖNYVKIADÓ·IDVATALA.

(Az Akadémia épUletében.)

Budapest, 1880. Az Athenaeum r. társ. könyvnyomdája.

Véges a la .krendszerek a racz ioná l is függvények e lmé letében .

Ha az

vá l tozók

és függe t len racz ioná l is függvényének , R

R

R"-nek ér téké t

sen megszabva gondo l juk , akkor ugyane vá l tozók bárme ly más függvényének , p l .

F=F (u

u„)

ér téké t o ly

vehe t jük , mely ke le tkez ik, ha az épen fö l ir tbó l és az

R .=R , (H1,. . . , u „ ) ( i= l , 2 . .. n )

rendszerbö l az u-ka t e l im iná l juk . Ez az egyen le t a lgebra i egyen - le t lesz F-re nézve , me lynek együ t tha tó i R

Rn-bö l racz ióná- l is módon vannak összerakva .

De van hason ló a lakú egyen le t , me lynek beveze tése u tán az u

összes racz ioná fü1 függvénye i emez egye t lenegy egyen le t gyöke inek racz ioná l is függvenye i gyanán t

I ly módon a Kronecke1 ·

á l ta l az i ly gyökök függvénye ire nézve megá l lap í to t t fö losz tás t fa jokra á t lehe t v inn i az n vá l- tozó racz ioná l is függvénye ire is . Így az összes ? 'acz iona l is .függ- vényeke t véges s ; ;árnú os;;tá lyba so1 'ozzuk. E;;ek az osz tá lyok egy n függe t len függvénybö l (R

R„ ) áll6 a laprenc lsze1· 1·e vona t- koznak o ly m6don , hogy nz i igyanazon osz tá lyba tar toz6 függvények ii;; a lap1· ends;;e1 · seg í tségéve l bá1· rne ly ik i ik á l ta l mcz ioná l isan

Ez á l ta l szám ta lan módon nyer- he tn i ú . n . véges a takrendsze1 ·eke t , me lyekben még n

ges , függe t len függvény fordú l

az osz tá lyok tó l

1) Monatsb. d. Berl. .A.k. 1879.p.211.

M, T. AK. ÉRT. A l!A.TH. TUD. KÖR.1880. VII.K.22.sz. 1*

4

ü ime t v issza térhe tünk a fa jokhoz , ha az R-ek he lyébe b izonyos specz iá l is függvényeke t , az

symme tr ikus e lemen tár is függvénye i t teszszük .

E tételek még akko1· is érvényesek maradnak, ha nem. az összes 1·aczionalis függvényeket veszszük^J hunem csak azokat}.

'melyek egy bá·1·mikép megszabott föltételnek eleget tesznek.

Csakhogy az i ly » függvényco Ínp lex« már nem tar ta lmaz

d íg

függe t len függvény t és ekkor ennek

az R-ek száma is a lászá l l .

Az adott algebmi alakok rendszerének l l simul- tán inva1·iánsok és cova1·iánsok ily complexet alkotnak ;

és így a egysze rsm inc l bennfog la l ta t ik ama soka t kerese t t té te l beb izony í tása , hogy m ind íg lé tez ik o ly véges a lakrendszer , me ly á l ta l m inden invar iáns és cova r iáns racz io- ná l isan k i fe jezhe tö . Azonban az

i t t csak racz ioná l is és nem egész , a Gordan a b in i i . r a lakokra ado t t , és így az

»egész« k i fe jezés prob lémá ja még ezu tán is ny i l t ké rdés marad , me lyre - úgy remé lem - még lesz a lka lmam v issza té rn i .

I .

Adott egyen letrendszer cso1>or t ja . Legyenek:

R

=R1 (u ,,

R2=R

(u

. „ . (1 . )

az u

menny iségeknek o ly racz ioná l is függvénye i , me lyek egymás tó l függe t lenek , azaz : a me lyeknek függvény - de term inánsa nem tün ik e l . A. e függvények rendszeré t

nevezzük , mer t erre vona tkoz ik ma jd m inden más racz ioná l is függvény

Ha az (1 .) a la t t i egyen le trendszerben a ba lró l á l ló

R

R

R „- t , m in t

semm i fé le megszor í tásnak

a lá nem ve te t t á l landóka t fog juk fö l , akkor ezen egyen le teke t

VÉGES ALAKREND!'\Z. A RACZIO:-IÁLIS FÜGGV. EL:\IÉLET.

5 a,.;

megha tározására haszná l juk , és így á l ta lá- nosságban N

ér tékrendszer t nyerünk az u-kra nézve , me lyek az egyen le teke t k ie lég í t ik . Ezek:

~ ~

. . . . ,

~ ~ •••.,

ii:, ,

s .

t .

. . . . . . . (2 . )

az R -eknek b izonyos véges függvénye i , mer t vég te len mego l - dás m ind ig kü lön kapcso la to t té te lez fö l az R-ek köz t , m íg ezeke t te l jesen

hagy tuk .

Az (1 .) a la t t i rendszer mego ldása ismere tes módon m in- d ig az o ly egyen le tekére , me lyek csak egy -egy ismere t len t tar ta lmaznak . Így p . az i i ,-nak l ér téke i t o ly

nyerhe t jük , me ly egyen le t maga a több i

k iküszöbö lése á l ta l származ ik. I ly módon ke le tkeznek a köve t - egyen le tek :

<P₁

(u

N

R

R„)=0 ,

$₂(u2,

R

H

R .)=0 ,

<P„ (u„,

R

R

R„)=0 .

. . (3 . )

Emez egy -egy ismere t len t tar ta lmazó egyen le tek soroza ta te l jesen

az erede t i rendszer mego ldására , mer t benne fog la l ta t ik m inden ér ték , me ly a (2 . ) a la t t i táb láza tban fö l lép , és így leg fö lebb még véges számú k isér le t szükséges arra , hogy az össze tar tozó gyökrendszereke t is meg ta lá l juk . Ké tsége t sem szenved , hogy a rendszer mego ldás i mód ja - i ly módon

te1 jesz tve - még nem te l jes . Ha p . az

számára nyer t egyen le tnek n incsenek

gyöke i , akkor már m ind a több i

racz ioná l is módon k ife jezhe t jük

á l ta l . De tovább i fe j tege tése inke t leg jobban a (3 . ) a la t t i rendszerhez csa to lha t- juk , ez á l ta l ugyan is te l jesen k ikerü l jük ama k ivé te les ese t tárgya lásá t , me ly az

gyökök fö l lépésének fe le l meg , és me ly kü lön tek in te tbe

ha az u

nem öná l lóan , hanem az

akar juk megha tározn i . 1)

1) l gyökök ugyanis l l a 3. alatti egyenletek- ben még akkoris,haazR-eketteljesenfüggetlen mennyiségeknek tekintjük.

j :1

6 ^{KÖNIG GYUT,A.}

A (3 . ) alatti egyen le tekben á l ta lánosságban mos t. még redukcz ió lehe t séges. M in thogy az

menny isé- gek , ez anny i t je len t , hogy a

még ese t leg k ivá lasz tha- tunk o ly a lsóbb fokC t szorzó t , me lynek együ t tha tó i ismé t racz io- ná l is módon vannak összerakva az

Ha ez úgy van , az egyes kü lönvá lasz t juk , kü lön teszszük egyen -

l

zérussa l , és így végre (3 . ) he lye t t

'> i r reduk - t ib i l is« egyen le tek soroza tá t nyer jük :

</i\ ')

o, ^{<P\O) =} o, • • • • •

. ~ =

o,

o, . . .. . _{. . (4 . )}

Ké t i ly egyen le tnek mos t már vagy n incs is közös gyöke , vagy m inden gyökük közös , a m in t ez az irreduk t ib i l i tás e lmé -

l l

közve te t lenül fo ly . Ha a ( 4 . ) a la t t i rendszerben pé ldáu l

egyen le t ugyanazoka t a gyököke t ad ja ,azazaz ugyanegy egyen - le t k-szor fordú l

akkor ez t csak egysze r hagy juk meg ; ez á l ta l o ly egyen le teke t nyerünk , me lyek még a i ö sze,, az e re - de t i rendszernek

i i-ér tékeke t ad ják , de m indegy ike t csak egyszm- .

Ha mos t még az ismere t len je lö léséro az ö zes egyen le - tekben ugyanaz t a haszná l juk , i i- t mu ta tó né lkü l , és az e 'gyen le teke t egymássa l szorozzuk , lesz:

lfJ(u, R1,R2, ••••,R")

= O, .. . . . (5 .)

o ly egyen le t , me ly á l ta lánosságban racz ioná l is bon t- ha tó ugyan , de a me lynek csupa

gyöke van .

Ennek az egy egyen le tnek mego ldása szo lgá l ta t ja az összes ér tékeke t , me lyek a (2 . ) a la t t i táb láza tban

tehá t lényegben megad ja az erede t i leg fö l te t t rem lszernek mego ldásá t .

M inden egyen le thez mos t már ismere tes módon megha -

tározha t juk a hozzá tar tozó he lye t tes í tés i csopor to t , o ly módon ,

hogy m inden

függvénye a gyököknek , me ly e he lye t-

tes í tések a lka lmazása á l ta l nem vá l toz ik , már az R l l R

R „

á l ta l is racz ioná l is módon és megford í tva . Ily cso -

por t - a

ér te lmében - azonban nem csak a

egyen le te t je l lemz i , hanem az erede t i leg ado t t rendszer t is ,

l/f:

1

VÉGES ALAKRENDSZ. A RACZIONÁLIS FÜGGV. EL>IÉLET. 7

a függvények amaz a laprenc lszeré t is , a

az

egyen le teke t képez tük .

Ide csa to lok m ind jár t még egy rendszerünk mego ldására vona tkozó meg jegyzés t , me lyre ma jd ezu tán h iva tkoznom ke l l .

általáno.mígbcin l ~ l áll.

Vezessük be ugyan is az ii , =

fö l té te l t az erede t i leg ado t t rendszerbe ; akkor

egyen le tünk lesz , me lyben csak

ismere t len fordú l

Ezeke t tehá t k iküszöbö lhe t jük , és a k iküszöbö lés eredménye kapcso la to t á l lap í tana meg az R-ek köz t , a m i meg nem fér azza l , hogy ezeke t egymás tó l függe t leneknek 5 , l lap í to t tuk meg .

II .

Az

, , á ltozót tar ta lmazó racz ioná l is függyények yéges számú osztá lyba sorozhatók .

Ha mos t már az a laprendszerben benn fog la l t R ,

R , (i1

u „ )

( i

1 , 2 , . . . , n )

f i . iggvények segí t ségével az u-knak bárme ly más racz ioná l is függvényé t

F

F( i i

u

u„ )

aka1 juk

akkor

az n+

ma jd : k iküszöbö l jük az

ii„-t és ez által

g ) (F , R l ) R

R„ ) =

a lakú a lgebra i egyen le te t nyerünk F számára , me lynek együ t t- ha tó i ismé t racz ioná l is módon vannak összerakva az

be lá tn i , hogy a k iküszöbö lés á l ta l nyer t

egyen le t N-éd fokú .

Gondo l juk ugyan is , hogy az R-ek va lame ly erede t i leg

ado t t , bárm iképen vá lasz to t t

8 ^{KÖNIG GYOJ,A.}

rendszer á l ta l vannak megh t t tározva , t tkko r az egyen le trend- szerre vona tkozó tárgya lása inkbó l tud juk , hogy az R-ek így megszabo t t ér téke inek , nemcsak ez az egy , hanem 1V ér ték- rendszer fe le l meg ; és ke l l , hogy az egyen le t a m indezeknek egyenk in t

F ér tékeke t szo lgá l tassa .

Legyen az

megszabo t t

rendszernek

gyöke az egyen le tnek :

F

n „ ) .

Más o lda lró l tud juk , hogy

az

cz ikk - ben (5 . ) a la t t fö lá l l í to t t 1JJ(ii)

0 egyen le tnek is gyöke i , még ped ig az

cz ikk végén á l ló meg jegyzés ér te lmében , kü lön- bözó gyöke i . És így tehát az F-e t , m in t a 1JJ ( i i ) =

egyen le t gyöke inek racz ioná l is függvényé t ér te lmezhe t jük . M in t i lyennek , megfe le l nek i a he lye t tes í tések b izonyos csopor t ja , me ly a

egyen le t he lye t tes í tés i csopor t jában bennfog la l ta t ik , es a me ly csopor tnak bárme ly ik he lye t tes í tése vá l toza t lanú l hagy ja az F a lgebra i a lak já t .

Legyenek ezek :

1 , S2 , S2, Sa , . . . .

l

az összes , a lJJ egyen le tnek

csopor to t nyer jük az á l ta l , hogy b izonyos

1 , T , , T

Ta, . . . .

subs t i tucz iókka l szo rzunk . Akkor az F függvénynek a T sub - s t i tucz iók a lka lmazása á l ta l nyer t ér téke i a lgebra i a lak jukra nézve m indanny ian kü lönböznek ugyan , de daczára ennek még lehe tnek köz tük

a né lkü l , hogy ez kapcso la to t á l la- p í tana meg az R-ek köz t .

Legyenek :

1 , Ta, Tb, . .. .

ama subs t i tucz iók-számra nézve p .

me lyek az R -ek te t-

l

vo l ta me l le t t is az F-fe l

ér tékeke t szo lgá l - ta tnak .

Akkor:

1 , 81, S2 , . . . .

Tn, TaSH TnS2, . . . .

VÉGES AJ,AKRENDSZ. A RACt:IONÁLIS FÜGGV.l~ L L . 9

ismé t csopor to t a lko tnak , me lye t az F függvény

csopor t jának lehe t nevezn i . E subs t i tucz iók vá l toz ta t ják ugyan is ese t leg az F a lgebra i a lak já t , de nem ennek ér téké t , ha az ér ték megha tározásáná l tek in te tbe veszszük , hogy

a

1

.P (u ) =

egyen le t b izonyos gyöke i .

Ké t f i lggvény F

és F

i igyw iabbc t az osz lc i lybc t lc ir to zzék , ha a numer ik t ts csopor tJa ugycmaz .

Az így ke le t- osz tá lyok száma véges; mer t a

u ) = 0 egyen le t cso - por t jában fog la l t a lcsopor tok száma is az .

Ké t ugyanabba az osz tá lyba tar tozó függvény mos t már racz ioná l isan k i egymás á l ta l , ha még seg í tségü l vesz - szük az R

R„ ér tékeke t . Ha a két függvénynek a lgebra i és numer ikus csopor t ja összeesik , akkor ez közve te t lenü l v i lá- gos a hason ló függvények

a m in t ez t még Lagrange ad ta ; az á l ta lános ese tben ped ig a Lagrange-fé le té te lek amaz á l ta lános í tásábó l , me lye t Oam i l le Jordan ado t t .

V izsgá lódása ink k i indu ló pon t ja az u

u

i i„ -nek egy

l

vá lasz to t t ér tékrendszere vo l t , és így tehá t e red- ménye ink é rvényesek eme n vá l tozó bárm i ly racz ioná l is függvé- nyére . Ezekre vona tkozó lag k i fe jezve , a nyer t eredmények a

Az

: · u

H„ ·nek m inc len racz ioná l is függvényé t az R , = R , (u1, · u2 , · · ·U n ) ,

( i = 1 , 2 , . . . n )

n egymás tó l függe t len

u lko to t t a laprendsze1Te vona tkozó lag véges számmal

osz tá lyba sorozha t juk , o ly módon , ho ,qy m inden függvény rnczionálisan állítható e lé bc ír - me ly más , ugyanabba az osz tá lyba ta1 · tozó függvény is az R i , R2, . . . Rn a lap f i lggvények c í l ta l .

Ha pé ldáu l m osz tá ly van és m inden osz tá lybó l egy -egy függvény t vá lasz tunk , akkor még

tüs tén t köve tkez- te the t jük , hogy :

').Az ily módon nyel'L osztályokra, valaminL a Kronecker-féle fajokkal való kapcsolatra vonatkozólag1. a •A resolvensek . elméletéhez< czímü értekezés végét.

•) Traité des substitutions., pag. 262.

1₁

!

10

Az n változót tcivtalrncizó raczionális fiiygvények összes- sége l llí rnint néhány ll kiválasztott alaknak raczionális függvénye.

Kü lönben á l ta lánosságban nem is lesz szükséges , hogy eme függvények rendszerébe , a me lyek á l ta l már

függ- vény racz ioná l isan va lóban bevegyük m inden osz- tá lynak egy -egy

Ez t könny í i vo lna k imu ta tn i az á l ta l , hogy a hason ló függvényekre vona tkozó fe j tege téseke t fo ly ta tnók ; de ez mos tan i czé lunkra fö lös leges vo lna .

Végü l á l l jon még i t t az a meg jegyzés , hogy az i ly k ife jezés

P2=

Ra t . függv . (F

- m in t m ind ig hason ló a lakokná l -b izonyos ese tekben többé nem lesz é rvényes . Ha az

m in t egy

irány- ban k i ter jed t sokas{ tg ( lVIanu igfa l t igke i t) coord iná tá i t fog juk fe l, akkor az i i-knak e k ivé te les ér téke i egy n -1 mé re tü . soka - ságon feküsznek . Ezek természe tesen ugyanazok , a me lyek re nézve , ha

R

he lyébe visszarak juk az i i -ka t , az

k i fe jezése ana ly t ika i lag ha tároza t lan le sz .

III .

B izonyos fö ltéte l á lta l meghatározott függyénycomp lex osztá lyozása .

Az

függe t len

á l ló a laprendszer he lye t t vegyünk mos t o lyan t , me ly csak

á l l :

R , = R,

1 , 2 , . . . ,

m íg más o lda lró l az u

racz ioná l is függvénye i közü l is csak azoka t v izsgá l juk , me lyeknek már e

függvénynye l Yan az i i-k tó l függe t len a lgebra i re lácz ió juk . Vagy - · a m i ugyanaz , v izsgá l juk az · u -k ama racz ioná l is függvénye i t , me lyek

· m in t gyöke i az o ly a lgebra i egyen le teknek , me lyek -

nek együ t tha tó i az

racz iená l is függvénye i .

VÉGES ALAKRENDSZ. A RACZlONÁLIS FÜGGV. E _L•lÉLET.

11 Röv idség kedvéér t az i ly módon ér te lmeze t t függvények összességé t

nevezem . Az i ly comp lexnek

vonása az , hogy ha

1

függ- vény t veszek

ezek köz t m ind ig van az i t-k tó l függe t len re lácz ió , de nem még

vá lasz to t t függvény köz t . Lá tn i továbbá , hogy az i ly comp lex te l jesen meg van ha tározva , ha a benne tar ta lmazo t t függvények sorábó l

egymás tó l fög- ge t len a lak ismere tes , mer t ezeknek seg í tségéve ' l

va j jon va lame ly ado t t racz ioná l is függvény a comp lexbe tar to- z ik -e , vagy sem? Tehá t m inden

függe t len

á l ló rendszer a laprendszernek

Ha a vá l tozók száma

csak egy n-mére tü comp lex lehe tséges , és ez magában tar ta lmazza az összes ra t ioná l is függvényeke t , me lyeke t

vá l tozóbó l a lak í tha tunk .

Hogy mos t :a,z

cz ikk eredménye i t a jelen ese tre a lka lmazhassuk , m indenek

k iegész í t jük az R

Rk függ- vények a laprendszeré t más

függe t len függvény ;1 , l ta l , me ly azonban az edd ig i fe j tege tések ér te lmében nem tartozhatik többé a comp lexbe . Ez legegyszerüebben úgy tör tén ik , hogy ha az R egyen le tek b izonyos k vá l tozó szer int mego ldhatók , a több i vá l tozónak

l ineár is függe t len függvényé t veszszük . Legyenek ezek :

P;

P ,

( i

1 , 2 , . . . , n -k ) .

Erre az

á l ló a laprendszerre vona tkozó lag mos t ismé t az összes racz ioná l is függvényeke t osz tá lyozzuk . Ha e szer in t F

és

ugyanabba az osz tá ly b::t tar toz ik , . : : tkkor p .

R

Rk, P

P

P„_k által .

Van továbbá

és

számára ké t egyen le tünk, me ly- nek a lak ja : ·

1P'1 (F1 , R 1, . . . Rk)

O

1f12

(F

R

R„) = O,

m íg

s zámára még a k ife jezés érvényes :

1 1

1

1

1

j

12

Ha az F

e k i fe jezése

tar ta lmazná a P-ke t , akkor , m iu tán már R

R

Rk -nak á l landó ér tékeke t tu la j- don í to t tunk , még m inc l ig lehe tne a P-ket vá lasz tan i , hogy F

va lam i

ér téke t nyer jen ; de a

= 0 egyen le t mu ta t ja , hogy R

Rk már megszab ja az F

ér téké t .

l

az köve tkez ik , hogy az

függvénya lak nem is tar ta l- mazza .a P-ke t , és hogy az F

és F

köz t i kapcso la t már i ly

l

egyen le t á l ta l van adva :

F

r (F i , R1 , R

Rk )

Ha az

vá l tozók összes racz ioná l is függvénye i t osz tá lyozzuk , akkor avva l együ t t természe tesen ama racz ioná l is függvények osz tá lyozása is meg tör tén t , me lyek az R

Rk á l ta l je l lemze t t comp lexbe tar toznak . Még ped ig lá tn i mos t már , hogy az u tóbb i függvények osz tá lyozása te l jesen függe t- len a P

P„_" vá lasz tásá tó l ; mer t a ké rdés egysze rüen az , va j jon az

11

(F l l

=

(F 2

R

egyen le tek egy -egy nem reduká lha tó a más ikba

F

=

(F1, R

Rk)

(J r '

R

a lakú transformácz iók seg í tségéve l ; i t t ped ig a P függvények még a kérdés fö l tevésében sem sze repe lnek .

I ly módon az összes racz ioná l is függvényekre é rvényes té te leke t á tv i t tük arra az ese tre , csak az egy b izonyos comp lexhez tar tozó függvényeke t akar juk megv izsgá ln i . Az i ly comp lexekre nézve a té te leke t nyer tük :

A k egymástól füg,qetlenfüggvény

R, = ^{R ,} (u1 . . .

( i = 1 , 2 , . . .

által meghcitározott k-méretíl függvénycomplexnek összes függ- vényeit véges szárnmall osztályokba lehet sorozni, úgy hogy minden függvény 1·aczionálisan állítható elé bármely más ugyanabba az osztályba tartozó filggvén.'I/ és az alaprendszei· függvényei által.

VÉGES ALAKRENDSZ. A RACZIONÁLIS FÜGGV. ELMÉLET.

13 Ismé t köve tkezménye e té te lnek még a köve t - is :

Az összes függvények, melyek egy k-mfretü complexie tai·toznak, ?'aczionálisan állíthat6k elé néhány ll kivá(asz- tott alak által.

IV .

Az invar iáns e lmé let a laptéte le .

Legyenek mos t

a lgebra i a lak-vagy a lakrendszernek összes együ t tha tó i és vá l tozó i . Az

függe t len invar iánsok

száma akkor természe tesen nem lehe t nagyobb , m in t

Ismere tes kü lönben , hogy e szám n-né l k isebb . Legyen e szám

és e szer in t

I1 , I2 , · · · . , L ,

az o ly invar iánsok soroza ta , me lyek köz t n incs még az u- tó l függe t len kapcso la t , m íg m inden más invar iáns a lak mos t már I

Ik -hoz o ly egyen le t á l ta l van me ly az erede- t i leg ado t t a lgebra i a lak együ t tha tó i t vagy vá l tozó i t exp l ic i te már nem tar ta lmazza .

Az edd ig iekben

k ife jezésmód szer in t - tehát a tárgya l t a lak összes invar iánsa i bennfog la l ta tnak az I

I

Ik által megha tározo t t függvénycomp lexben .

Osz tá lyozzuk ismé t e comp lexe t a már rész le tesen k ife j- te t t e lvek é r te lmében . - Meg lehe t ekkor , hogy egyes osz tá lyok nem is tar ta lmaznak invar iáns a lako t ; akkor az

osz tá ly t egészen

M inden o ly osz tá lybó l , me lyben vannak inva r iánsok , k ivá lasz tunk egye t , és akkor m ind a több i -

l

az osz tá lybó l - racz ioná l isan I

I2 , .. . Ik és ezen egy á l ta l .

Legyen mos t már

az invar íánsoka t tar ta lmazó osz - tá lyok száma , és i

i

i . , egy-egy invar iáns m inden osz tá ly- bó l , akkor

?'aczionális függvénye a invariánsoknak:

') A szövegben röviden >invariáns«-t mondok, hol tulajdonképen mindig >invariáns vagy covariáns«-t kellene mondani.

14

ho l még lehe tséges az is , hogy az i-k közü l egynehány a tétel ez u to lsó foga lmazása me l le t t fö lös leges .

A kezde tben e lmondo t taknak

- és az igen fon tos - e véges a lakrendszer megá l lap í tásáná l tu la jdonképen nem is haszná l tuk az invar iáns- tu la jdonságo t ; a módsze r , me ly lye l az u to lsó eredményeke t nyer tük , te l jesen é rvényes marad , ha m indenü t t invar iánsok he lye t t o ly racz ioná l is függ -

l

beszé lünk , me lyek va lam i bárm iképen megszabo t t fö l te te l t k ie lég ítenek .

Íg y tehá t k imondha t juk végre a té te l t , me ly a racz ioná l is függvények e lmé le tében nyer t eredménye ink legá l- ta lánosabb k i fe jezése.

JJíindazok a raczionális függvények,rnelyek eleget tesznek valami bárhogyan fogalmazott föltételnek) néhány közölük kel-

l választott alak által raczionálisan ki.

Így p .

nyerünk nem csupán va lame lJ' a lakrendszer invar iánsa i számára , hanem ép i lyen fe le l meg amaz a lakok összességének i s , me lvek p . nem az inva r iánsoka t

ll

d ifferencz iá legyen le teknek , hanem bárm i más i ly d iffe-

rencz iá legyen le teknek fe le lnek meg .

A reso lvensek e lmé letéhez .

Legyenf(x) = 0 va lame ly n-edfokú egyenle t , me lynek gyöke i x

m indanny ian

legyen továbbá G az egyen le thez tar tozó csopor t és ?' e csopor t rend je . Ha F a la t t e gyökök racz ioná l is függvényé t ér t jük , akkor a G-ben bennfog la l ta t ik egy más ik G ' csopor t - tegyük ?'

subs t i tucz ió- bó l á l ló - me ly az F-nek a lgebra i a lak já t nem vá l toz ta t ja . Akkor b ' -nek m indössze

a lgebra i a lak jára nézve

ér téke van :

me lyek számára fö lá l l í tha t juk a egyen le te t :

/ ((z-F1)

(z - F

(z -F , )

0 .

Az így nyer t egyen le t együt th ató i az erede t i egyen le t együ t t- ha tó ibó l racz ioná l is módon vannak összerakva , k iszám í tásukra tehá t kész a lgor i thmussa l rende lkezünk . Ez az F-egyen le t ismere tes módon az e rede ti egyen le tnek reso lvense , o ldó egyen - le te , mer t ha csak egy gyöké t , p . F

-e t ismerem , ez á l ta l az erede t i egyen le t csopor t ja G reduká lva lesz G '- re , és az egyen - le t rend je az erede t i

leszállt ? . 're .

Ha az algebm-i rtlciky'ukm nézve kiilönbözö Fii F2, •••~

értékek szám6rtékilkre nézvP is killönböznek)^(tZF-egyenlet^11iin- clig fr1·eduktibilis.

Ez t beb izony í tha t juk , k i indu lva abbó l az

me lye t

»

Über ra t iona le Func t ionen von n E lemen ten e tc .« í ér te-

16

kezésemben

beb izony í to t tam , a me ly szerint a G csopor t :r subs t i tucz ió i isomorph @csopor to t adnak az Ji""'i ••••

e lemek köz t , még ped ig úgy , hogy az ekkén t

csopor t az F egyen le tnek csopor t ja . M in thogy ugyan is F

Fk a te l jes er téksoroza t , me ly a G subs t i tucz ió i á l ta l

ke le tkezhe t ik , ke l l , hogy a

csopor tban lega lább egy subs t i tucz ió legyen

me ly á tv isz i az F

-e t a

F

-be . E szer in t az F egyen - let csopor t ja trans i t iv , és így az egyen le t maga nem bon tha tó racz ioná l is azaz irreduk t ib i l is . Ez t az eredmény t még úgy is lehe t k i fe jezn i , hogy az F egyen le t fö lbon tásc t mcz io- nális csak akko i · lehetséges ,

gyöke i vannak .

A .z u tóbb i ese tben tehá t az o ly F ér tékek , me lyeknek

l

a lgebra i a lak juk van , tehá t nem

m inden

· x-re nézve , még is

le sznek , mer t h iszen az erede t i

l l

az

számér téke tu la jdonképen meg van ha tározva .

E fö l té te l a la t t v izsgá l juk meg rész le tesebben a reso lvens tu la jdonsága i t . Legyen az F egyen le tben ké t tovább már fö l nem bon tha tó :

és (z -F

(z -F

(z-11 ' , . ,) (z -F ; )

. . . .

Közve t lenü l lá tn i , hogy ezek vagy csupa

vagy csupa

gyököke t adnak . Mer t kü lönben a közös gyö - kök bennfog la l ta tnának egy racz ioná l is

seg í tségéve l fö lá l l í tha tó egyen le tben és így a fö lbon tha ta t lannak fö l té te le- ze t t ú jbó l szé t vo lnának bon tva .

A k i t mindig ugyanazoka t a gyököke t szo l- gá l taUa .

.Az

ug , ran is még

zk'

+A1

. . . +Ak '

O

a lakban írha t juk , ho l az A-k racz ioná l isak , tehát már egy sub·

s t i tucz ió á l ta l sem vá l toznak . Ha mos t már p . az t a subs t i tucz ió t a lka lmazzuk , me ly F

-e t á tv isz i F ;-be , akkor egy o lda lró l az t

')Math. Armalen XIV. kötet.

A RESOLVENSEK ELMÉLETÉHEZ. 17

a ke l l nyernünk , me ly ,

téve zérussa l , a F

gyökö t ad ja , m íg más o lda lró l e u to l jára k i ir t a lak ja . mu ta t ja , hogy egyá l ta lában nem vá l toz ik . A

F; ^gyök

te há t szükségkép bennfog la l ta t ik már az F

Fk gyökök köz t ; azaz a fö l ir t bárme ly ike szo lgá l ta t ja már az összes gyököke t .

M in thogy e szer in t az összes fö l nem bon tha tó

l

v i lágos , hogy m inden gyöknek sokszorosság i foka . ugyanaz , és így , ha

k

k '

az F egyen le t több tagú}a te l}es } .-ad ik ha tvány , maga a ha tvá- nyozandó a lak ped ig irreduk t ib i l is .

Ha a reso lvens képezéséné l tüs tén t a függvény numer i- kus csopor t jábó l indu lunk k i , és nem az a lgebra i csopor tbó l

akkor a reso lvens több tagú já t m ind jár t

a lak já- ban nyer jük és nem a A.-ad ik ha tványon. Azonban épen arra az ese tre ke l le t t k ife j ten i a v iszonyoka t, ismer jük ugyan az F függvény a lgebra i csopor t já t , de nem a numer ikus cso - por to t . Ado t t egyen le tné l á l ta lánosságban adva van ugyan a csopor t ja , de nem a gyökök numer ikus ér téke ; és így az F függvénynek is csak az algebra i csopor t ja isme- re tesnek .

Va j jon az a lgebra i csopor t egyá l ta lában kü lönböz ik-e a numer ikus csopor t tó l , va j jon a m i ezze l együ t t jár , ez az

nek a lcsopo r t ja -e , az t épen a reso lvens k iszám í tása á l ta l ke l l e ldön tenünk .

Ha egy b izonyos

függvényre és egy b izonyos egyen- le tre vona tkozó lag van kü lönbség az algebra i és a numer ikus csopor t köz t , akkor úgy e függvénynek , m in t az

subs t i tucz iók csopor t jának b izonyos specz iá l is tu l ajdonsága i vannak , me lye- ke t az a lgebra i lag

F ér tékek v izsgá la tábó l k ife j the-

.

L egyenek ezek :

F1 , F

Fk,

F;, F ; , . . . .

F(Á-1)F().-1) v ().-=-1)

1 ' B ' • • •^{.1.1k' '}

M.T. AK. ÉRT. A M.ATH, TUD. KÖR.1880.VII.^K.22.sz. 2*

18

még ped ig úgy irva , hogy az egy sorban á l lók egysze rsm ind számér tékben is kü lönböznek , m íg egy osz lopban a számér tékre nézve

de a lgebra i a lak jukra nézve

ér tékek állanak . Akkor p .

zérus , így tehá t racz ioná l isan van k ife jezve , ennek köve tkez té - ben az ado t t egyen le t csopor t ja csak o ly subs t i tucz ióka t tar ta l- mazha t , me lyek e k i fe jezés értékét nem vá l toz ta t ják . M in thogy ped ig ké t

osz lopban á l ló F kü lönbsége a O-tó l

l

az erede t i leg ado t t egyen le t csopo i · t jc inak m inden subs t i túcz ió ja vagy csak az egy-egy osz lopban á l ló e lemeke t cse - 1·él-i fö l egymc is köz t , vagy pedig az osz lopoka t egészben , azaz az F subs t i tucz iók csopor t ja nem pr im i t fr .

Ezen az a lapon mos t már o ly

függvény t képezn i , me lynek szc irnér téke i i igyanaz ok , m in t az F-é i , de o ly kü lönb- ségge l , hogy a <IJ-k a lgebra i a lak jukra nézve is

lesz - nek , m ihe ly t ér tékük1 ·e nézve

Ez a

<IJ ₁₌

T

(F

F + ', + ' . . . + F

o .- i))

a tovább i ér téke i ped ig :

<IJ __{2 - }}_

l_

(F

+ ^.J.'

^. + . . . + ^F2

^,

1( , D (/.-1))

< IJ , ,=T F1 .„+Fk ,+ . . . +.J. '1." .

Közve t lenü l lá tn i , hogy W1, <P

-nek ugyanaz az ér téke , m in t F

F

-nek , még ped ig a <P-k ugyanazon subs t i tucz iók á l ta l mennek á t egymásba , m in t az F numer ikus ér téke i .

Kronecker va lame lr egyen le t gyöke inek racz ioná l is függ- vénye ire vona tkozó lag fa jokra való fö losz tc is i ika t

á l lap í t ja meg :

Ké t függvény u , q ,11anabba a fa jba té toz ik , ha m indegy ik

a más1 'k á l ta l racz ionc i l isan

Ez t az ér te lmezés t fö l -

A RESOLVENSEK ELMÉLETBHEZ

19 cseré l jük azonban a

tüs tén t k iv i lág l ik a fa jok véges száma .

M inc lama függvények , me lyeknek ugyanaz a numer ikus csopor t fe le l meg , egy fa jba tm · toznak . Ha ugyan is <p és '!jJ racz ioná l isan k i egymás á l ta l , akkor numer ikus cso - por t juk m ind ig ugyanaz ; mer t <p= R ( '!jJ

köve tkez ik , hogy o ly subs t i tucz ió , me ly nem vá l toz ta t ja '!jJ-t a g ; - t is vá l toza t la- nú l hagy ja . M in thogy ez ped ig megford í tva is á l l , ke l l , hogy a

p és '!jJ csopor t ja ugyanaz legyen . De hogy a ké t ér te lmezés t va lóban m ind ig fö l lehes sen cseré ln i, még a té te l t ke l l beb izony í tanunk :

Ha p és '! jJ-nek i igyanaz a nurner i 'kus csopor t ja, akkor mcz ioná l isan k i egymás á l ta l .

Ha rp-t ugyan is ado t tnak veszszük , akkor az egyen le t csopor t jában csak azok a subs t i tucz iók maradnak , me lyek p- t vá i toza t lanú l hegy ják . De akkor az i ly módon a laku ló ú j cso- por t subs t i tu t ió i a '!jJ-t sem vá l toz ta t ják , tehá t ez racz ioná l isan lesz . Hason lókép a '!jJ ad junkcz ió ja racz ioná l issá tesz i a p- t is . (Cam i l le Jordan , Tra i té des subs t i tu t ions , p . 262 .)

Lá tn i ez a lapon , hogy a

ér tekezésemben ado t t osz tá lyozása a racz ioná l is függvényeknek is je l-

l

Az u

u

vá l tozók ké t racz ioná l is függvénye az R

R„ c i laprendszerre vona tkozó lag ugyanabba az osz tá lyba tar toz ik , ha az o t t k i fe j te t t iJ i(u , R1 , . . . R„)

0 egyen le t b izonyos n gyökének függvénye gyanán t tek in tve , ugyanabba a fa jba so1 ·ozandó .

l

k i tün ik , hogy tehát nemcsak az egy osz tá lyba tar tozó függvények racz ioná l isan k i egymás á l ta l az a laprendszer seg í tségéve l , hanem hogy megford í tva ké t függ - vény , me ly re nézve ez á l l , m ind ig egy és ugyanazon osz tá lyba tar toz ik .

Ha vég re mos t az R

R„ a laprendszer számára b izo - nyos specz iá l is függvénya lakoka t veszünk , t . i . az u

ú . n . e lem i symme tr ikus függvénye i t , akkor az így megá l lap í to t t osz tá lyok á tmennek az á l ta lános n-edfokú egyen le tre vona t- kozó fa jokba .

2*

1

L

1

Edd ig kü lön megje lent

ÉRTEK· EZÉSE·K

a ma thema t ika i tudományok kö rébö l .

E l s ö kö t e t .

I.Sz i 1y Kálmán. A·mechanikai l l egyenleteinek általános

l· o

II. Huny ady . A pólus és a

III. Vész János A. Biztosítási kölcsön (új életbiztosítási nem) . 20 kr. IV.Kruspér István. A Schwerdt-féle (Jomparator módosított alkalmazása 10 kr. V. Vész János A. Legrövidebb távolok a körkúpon. Székfoglaló. 10 kr. VI. T 6t h Ágoston. Az európai nemzetközi fokmérés és a körébe tartozó

goedaetai munkálatok , 20 kr. · VII. Kruspér István. A párisi meter-prototyp . 10 kr. VIII. König Gyula. Az elliptikai függvények alkalmazásáról a magasabb

foku egyenletek elméletére . 20 kr. IX.Mur ma n n Ágost. Európa bólygó elemei, annak ti,zl észlelt szem-

benállása szerint . 20 kr. X. Szi1yKálmán.AHamilton-féle elv és a mechanikai l l máso-

dik tétele . . · . 10 kr. XI.Tó t h Ágoston. A földképkészités jelen állása, a mint az képviselve volt az antwerpeni kiállításon. Két táblával . 20 kr.

Másod ik kö te t .

I.Mu r ma n n Ágost. Freia bolygó feletti értekezés 30 kr. II.Kruspér István. A comparatorokról 10 kr. III. K r n s p ér István. A. vonásos ~ összebasonlitasa folya- dékban , . . . . .. • . . ·, 10_,kr. IV.Fe ·sztV.A közlekedési müvek és vonalok 20 kr.

V.Mnr ma nA.Az 1861. nagy üstökös pályájának meghatározása 20 kr. VI. K r u s p érJ. A párisi levéltári. méter-rúd • l0 kr.

Harmad ik kö te t .

I.Vész János Ármin. Adalék a visszaflltó sorok elméletéhez..10 kr. II.K o n k o 1y Miklós. Az ó-gyallai csillagda leirasas abban történtnan- foltok észlelése néhány spectroscopicus észlelés töredékeivel. 1872. é_s 1873. Három: táblával. , • •· 40 kt. III. Kondor Gusztáv. Emlékbeszéd Herschel János k. tagfölött • 10 kr. IV. B„ Eöt v ö s Loránd. A rezgések intenzitása, tekintettel a rezgé!,

-forr;í<nak és a:i: l l mozgására . lvkr. V. Réthy Mór. A Diffractio elméletéhez . , 12 kr. VI. Martin Lajo s. Az erömütani csavarfelületek. - ·Avízszintes szél-

kerdk elmélete. Két értekezés • • • • . . • . • 1 frt VII. Réthy M ó r. A kerületre redukálható l l l ~ elméletéhez

· 15 .kr.

VIII. G a 1g6ezy K á r _o 1 y.~ l Vállas Antal k. tagfelett. 10 kr.

Negyed ik kötet . · ·

I.S ehu 1h o f Lipót. Az 1870. IV. sz. Üstökös definitív pályaszámitása 10 kr. II. S ehu 1hofLipót.Az1871.II.s.z.Üstökös definit1v pályaszámitása.10 kr. III. Szi1 y Kálmán. A elmélet második ~ l levezetve azl l

· 10 kr.

IV. K o n k o,I y Miklós. Csillagászati megfigyeléseim 1874 és 1875-ben. 50 kr.

V. Konkoly Miklós. Napfoltok megfigyelése az ó-gyallai csill:gdábHn 40 kr. VI. Huny adi Jenö. A kúpszeleten iekvö hat pont feltételiegyenletének különbözö alakjairól . 20 kr. VII. Réthy Mór. A három méretü homogén tér(u. n. nem euklidikus) siktan. trigonometriája. . 2 O kr. VIII. Réthy Mór. A propeller és peripeller felületek elméletéhez. 30 kr. IX. Fest Vilmos. Temesi Reitter Ferencz emléke 10 kr.

Ö töd ik kö te t .

I.Kondor Gusztáv. Emlékbeszéd Nagy Károly r. tagfelet: • 10 kr. II. Ken e s s e y Albert. Adatok folyóink vízrajzi ismeretéhez . 20 kr. III. Dr. Hoitsy Pá1.Csillag-észlelés a kelet-nyagot vonalban (egy szám-

táblával.) 30 kr.

IV. Huny ady . A kúpszeleten hat pont feltételi egyenletének különbözö alakjairól. (Folytatás a IV. kötetben ugyane czim alatt meg- jelentértekezésnek.) • - 10 kr. V. Huny ady . Apollonius feladata a gömbfelületen . 10 kr. VI. Dr. Gruber Lajos. 2417 Cassiopeiae kettös csillag mozgásáról . 10 kr. VII. Martin Lajos. A változtatási hánylatalkalmazása a propeller-fölület egyenletének lefejtésére. . 20 kr. VIII. K o n k o 1 y Mikl ~ A teljes holdfogyatkozás 1877. február 27-én és az 1877. (Borelli)I.számu üstökös szinképének megfigyelése az ó-gyallai

csillagdán. • 10 kr.

IX. Konkoly Miklós. A napfoltok sa nap felületének kinézése 1876-bim (három képtáblával.) . 40 kr. X. Konkoly Miklós. 160 álló csillag szinképe. Megfigye!tetett az

ó-gyallai~ ll 1876-ban 20 kr.

Ha tod ik kö te t .

I.Ko n k o 1 y Miklós. Hulló csillagok megfigyelése a magyar korona területén.1. rész. 1871-1873. Ára . 20 kr. II. Konkoly Miklós. Hullo csillagok megfigyelése a magyar korona területén.

n .

III.Az 1874. V. (Borelly-féle)

t f

a

IV. Schenzl Guido. Lehajlás meghatáro7.ások Budapesten és Magyar- ország délkeleti részében. 20 kr. V.Gruber Lajos. A november-havi hullócsillagokról . 20 kr. VI. K o n k o 1 y Miklós. Hulló ll~ megfigyelése a magyar korona terü-

letén1877-ik évben. III. Rész. Ara . • . . . . . . 20 kr. VII. K o n k ol y Mi kl ó s. A napfoltok és a napfelületének kinézése , 1877-ben. Ára . . • . . . . 20 kr. VIII. K o n k o 1 y Mik l ós. Mercur átvonulása a nap.l . Megfigyeltetett az ó-gyallai csillagdán 1878. május 6-án 10 kr.

He ted ik kö te t .

1. K o n k o lyMiklós. Mars felületének megfigyelése az ó-gyallai csil!Ag- dán az 1877-iki oppositió után. Egy táblával. . 10 kr. II. Konkoly Miklós. Alló csillagok szinképének mappirozása. 10 kr. Ill.K o n k o lyMiklós. Hullócsillagok megfigyelése a magyar korona területén 1878-ban. IV. rész. Ára . . . 10 kr. IV. K o n k o 1y Mik 1 ó s. A nap felületének megfigyelése 1878-ban az ó-gyallai csillagdán. • . . 10 kr. VI. Huny ady JenCT. A Möbius-féle kritériumokról a kúpszeletek elmé-

letében . 1O kr.

VII. Konkoly Mik 1 ó s. Spectroscopicus megfigyelések az 6-gyallai csil- lagvizsgálón . . 10 kr.

VIII. Dr. Wein e k Lás z 1ó. Az instrumentális fényhajlás szerepe egy Vénus-átvonulás photographiai felvételénél 20 kr.

Budapest, 1881. Az Athe n a e u m r.tars. köuyvnyomda,ja.