a Magyar Tudományos Akadémia Könyvtár és Információs Központ

:l.ath. O.

qc~ s

.,_ :

Digitalizálta

a Magyar Tudományos Akadémia Könyvtár és Információs Központ

1826

./

, ,

ERTEKEZESEK

A MATHEMATIKAI ~

Kul>JA A MAGYAR TUDOMÁNYOS AKADÉMIA.

A III . 0 S Z T

^Á

LY REND E LE T É B ÖL

SZERKESZTI

SZABÓ JÓZSEF

OSZTÁLYTITKÁR.

VIII. KÖTET. III. SZÁM. 1881.

A BÓLYAI-FELE

A L G 0 R I T H M U S .

DR. FARKAS GYULÁTÓL .

~~~ f)-

B U D A P E S T, 1881.

A M. TUD. AKaDÉMIA KÖNYVKIADÓ-HIVATALA. (Az akadémia épületében.\

A BÓLYAI-.F ELE

A L G 0 R I 1" H M U S .

DR . FARKAS GYULÁTÓL .

(A III. osztály ülésén 1881. febr. 14.beterjesztetteSzily K. r. t.)

BUDAPEST , 1881 .

A M. T. AKADÉMIA KÖNYVKIADÓ•HlVATALA. (Az ~ élJÜletében.)

r~ s 1881. Az At h e nae utnr. társ. könyvnyomdája.

A Bó lya i-fé le a l gor ithmus .

Nevezzük így Bó lya i Farkas á l ta l Ten tamen jának

s

kö te tében a 412 . , 413 . és 414 . o lda lokon

^s

tárgya l t k i fe jezés t , me ly az xm=a + ^{x egyen le tben gyöke redz ik . Ez}

fo lyó lag x= -V ;+x

m

. A jobb - o lda l i x-e t szakada t- lanú l a te l jes jobb-o lda l la l vá l tva fe l , ju tunk Bó lya iva l a lgo - r i thmusához , a m i tehá t nem egyéb , m in t vége t len gyök láncz . Sem Bó lya iná l , sem egyebü t t n incsenek ku ta tva azon fö l té te - le k , me lyek a la t t ez a lgor i thmus va lóban gyöke az egyen le t - nek , származ ik . Dr. Kön ig Gyu la úr te t t f igye lmessé e körü lményre s az i t t eme hézag ném i pó t lá- sá t czé lozzák .

A tárgya lás egyszerüs í tése vége t t az

1.

xm=a+bx

á l ta lánosabb a lakú indu lok k i , és noha az e lér tem eredmények néme lye i más ese tekben is é rvényesek , hogy b izo - nyos tek in te tben k ikerek í te t t egésze t képezzenek , már

sen fö l teszem , hogy

m

pos i t iv egész szám és

a)b

reá l is véges menny iségek. Irjuk

m m

2 .

X2=

~

Ny i lvánva ló lag , x

00

=x ) ha

3.

(xk+1)

⁼

(xk)

k=::t) k=:x>'

és csak is ekko r. Mond juk az e fö l té te lnek e lege t hogy össze ta r tó .

I . M in thogy az

1.

egyen le t m inden gyöke véges , az össze - iar táshoz okve te tl enü l szükséges , hogy az a lgor i thmus ér téke véges legyen . Erre nézve á l l í tom , hogy m>

¹

^{m ia t t az a lgo-}

r i t l imus ér téke m ind ig véges.

ll, T. AK, i;RTEK. A MATH, TUD, KÖRli:IlÖL.188l.VIII. K.3.SZ.

l

^'i<

4

^{l<'ARKAS GYULA.}

B izony í tás . Tegyük fe l , hogy

a

és

b

pos i t iv , és hogy m in - denkor a pos i t iv reá l is gyök szám í tásba , vagy is hogy m in - den egyes gyök je l 0 argume) l tumra lesz vona tkoz ta tva . Ha p reá l is pos i t iv szám és e lég nagy arra , hogy

legyen , ha továbbá

m m m

z

¹

=Ya+bp , z

2

=Ya+bz

1,

z

3

=Y ;+bz

2, •••

teszszük , úgy p>z

1

m ia t t , z

1

>z

2,

e m ia t t z

2

>z

3,

e m ia t t z

₃

>z

₄

s i . t . .Azonban

xk<zk,

és ha

a,b

és a gyökök ségének megszor í tásá t

^~

irunk

xk

he lye t t ,

xk>

moc l .

~

II . Azon ese tek , me lyekben a ( tu la jdonképen há tu lró l k iszám í tandó) gyök láncz bárme ly ik gyökvonásná l imag inár issá vá l ik , k izár ják haszná lha tóságá t . Ez ese teke t már csak ezér t is A több i t így osz tá lyozom :

1.a

pos i t iv ,

b

pos i t iv ,

m

2 .

a

pos i t iv ,

b

nega t iv ,

a>

mod bY a.,

3 ⁴ . ^.

a^a

pos ^nega i t iv ^{t iv} , ^,

b^b

nega ^{pos i} t ^t iv ^iv , ^,

a<

moc l bV

^a,

l

5 .

^a

nega t iv ,

b

nega t iv ,

m

pára

_{...___}

t lan .

Hozzá teszem még , hogy az

1.

és 2 . a la t t i ese tekben , akkor is ,

m

páros , m inden gyök je l 0 argumen tumra lesz vona tkoz ta tva . Ha ugyan is páros m -né l a gyök je leke t

0

he lye t t

mn

argumen tumra vona tkoz ta t juk , ez anny i , m in t

b

és az egész k i fe jezés vá l toz ta tva , a gyök - je leke t 0 argumen tumra vona tkoz ta tn i , odaér tve , hogy ez egy - á l ta , lán lehe tséges , ese tben fe l tevésünknek , hogy t . i . a k i fe jezés m inden pon t jában reá l is , vége szakad .

Fon to l juk meg tov l ibbá , hogy , ha

m

pára t lan ,

xk

f (a ,b ) téve , f ( -a ,b ) = - f (a ,b ) . Ennek köve tkez tében

a 4 . és 5 . a la t t i ese tek nem tar ta lmaznak ú ja t .

A IlÓLYAI-F:f:LE ALGORITllMUS.

5 ) I I . A té t eleke t fogom megá l lap í tan i :

az

1.

alatti ese tben az a lgor i thmus össze tar tó ,

a

2.

a la t t iban , ha va lame ly , kü lönben

s s

véges

k

me l le t t

mx_2k'"-'> - b)

tehá t

a

3.

a la t t i ese tben ucm össze tar tó .

1.

Ir juk

Ha p reá l is pos i t iv szám ,

4. ¹¹¹

11

-v- _1+p - ^<

¹

+ ---.

_ni

Ennek fo ly tán

Dl

(a·2

= ~ <

^X1

+Voi

m m

(.:ra=

-V a+ bx2)- < ^{-V a+ b:r}

¹

+

^bt:o

és igy 4 .

tehá t

m m

(x

₄='=

V ^{a+bxa )} < -V a _+ _ b _ x-

2

+-

^bv0v1

és így 4 .

Fo ly ta tó lag ta lá l juk , hogy

Xk tl

<

^Xk

+

^{Vo'V1V2 • • • Vk-1•}

Behe lyezve ide a

v

ér tékeke t , ~ téve és k issé más rendezés t eszközöl ve , lesz

Másrész t ped ig

Xk+1--Xk

>o.

V i lágos , hogy

(xk+1-Xk )k=oo

=o .

6

^{FARKAS GY\JLA.}

2 . Ir juk b= -b ' ,

s

fon to l juk meg hogy a> l /x

1

m ia t t még inkább

a>b 'x

2,

a>b 'x

3, ••••

N y i l vánva ló lag

m m

o<Va -b ' ; - ; < ^{-Va ,}

azaz

Ennek a lapján

azaz

Ennek a lap ján

m m m

-v- _{a-b 'x1} -- _{< -V a -b 'x} --

₃

_{< Y a -b 'x} -

_2,

azaz

Igy ha ladva , ezen hármas

s

soroza thoz ju tunk :

1 x1>xs>x5> . . · 5 . x2<x4<x6< . . .

x1>x

2

<xa>x4<x

5

>x6< . . . . Vezessük be a röv id í téseke t :

A 4 . alatti

s

fo ly tán

m

(X1

⁼

-v ^{~ +b 'x1) <x2+X1 tl · 1,}

tehá t

m m

(x

3=

-V a -b 'x

2)

< ^{-Va-b 'x}

¹

^{+b 'x}

¹ⁱⁱ¹

A ~~ ALGORlTHMUS.

és így 4 . tehá t

m m

(x

₃

= Y a-b 'x2) < ^{y ·a----b- , x_}

₃

^_+_b-'x_

₁

^_u_

₁^;

és így 4 . tehá t

m m

(x5= Ya -b 'x4 ) <

^~

és így 4 .

Ekkén t fo ly ta tva ta lá l juk , hogy

{

X2k-1-X2k

<

^{X1(U1U3 • •0U2k-3):U2k-1J}

X2k+1-X2k

<

^{X1(U1U3 • • • U2k-1)-.}

7

A jobb -o lda lok /c -nak növeked téve l o végér tékhez fognak köze ledn i , ha va lame ly véges

h

me l le t t

b 'x2h

-

_a-

- b, -

_X2h-1

<

^m.

Ugyan is a

b 'x2h

_{, =}

b '

_X2h^l-m

a-bx21 i-1

ic len t Í tás a lap ján ezen fö l té te l így is formu lázha tó :

b'

- <x211m-l,

m

Ámde fo lyó lag még inkább

b' . b'

- < x2(11+1)

m - i ,

^{- <X2(h+2)}

m-1 ,

m m

M in thogy továbbá 5 .

X2k-1-X2k

>o,.

b izonyos , hogy ha a mondo t t fö l té te lnek elég van téve , (xk+1 )k=oo= (xk )k=«>·

Hogy va j jon á l l-e ez tágabb fö l té te l a la t t is , az tovább i

kutatást igénye lne .

8 ^{FARKAS GYULA.}

· 3 . Ny i lvánva ló lag

x

₁=m~ s

m m

x

₂

= Ya -b 'x

₁ ^~

m

m _ ___ \/--m ___

pos i t iv , xa= Va -b 'x2= a+b 'Yb 'x i -a

továbbá , m in thogy a<b 'x

1

m ia t t még inkább a<b 'x

3,

m m

x

₄=

Y

~~

nega t iv ,

m

m - - - \/ m - --

pos i t iv ,

Xs=

Ya -b 'x4= a+b 'J lb 'x

8

- a m in thogy a<b 'x

1

m ia t t még inkább a<b 'x

5,

m m

x

6

=Va -b 'x

5

~

m

m __

\ j

^{m ___}

^{pos i t iv ,}

x₇

= ^{Ya -b 'x}

6

= \ c i+b '} ib 'x

5

- a

s igy t . Fe lvá l tva pos i t iv és nega t iv ér tékek köve tkeznek . E sze - r in t csak úgy

s

össze tar tás , ha az ér tékek o vég - ha tár fe lé köze lednének . Ez azonban nem tör ténhe t ik , mer t , m in t már lá tók , inkább , m in t a< b 'x

1

á l l , hogy

a< b 'x2k- l ·

Edd ig kü lön megje lent

ÉRTEKEZÉSEK

a ma thema t ika i ^~ kö rébö l .

E I s k ö t e t .

1. Sz i1y Kálmán. A mechanikai ho-elmélet egyenleteinek általános alakjáról. Székfoglaló. 10 kr.

n .

Hunyady A pólus és a polárok.A viszonyos polárok elve 20 kr. III. Vész János A. Biztosit>isi kölcsön (új életbiztosítási nem) . 20 kr. IY.Kruspér István.ASchwerdt-féle Comparator módosított alkalmazása 10 kr. V. Vész JánosA.Legrövidebb távoloka körkúpon. Székfoglaló . 10 kr. VI.Tóth Ágoston. Az európai nemzetközi fokmérés és a körébe tartozó goedaetai munkálatok 20 kr.

VJI. Kruspér István. A párisi meter-prototyp 10 kr. VIII. König Gyula. Az elliptikai függvények alkalmazásáról a magasabb

foku egyenletek elméletére . 20 kr. IX. M ur ma n n Ágost. Európa bólygó elemei, annak tiz s észlelt szem- benállása szerint 20 kr. X. Szi 1yKálmán.AHamilton-féle elv és a mechanikai elmélet máso-

dik tétele _ 10 kr.

XI.Tóth Ágoston.Aföldképkészités jelen állása, a mint az képviselve volt az antwerpeni kiállitáson. Két táblával 20 kr.

Másod ik kö te t .

I.M ur ma n n Ágost. Freia bolygó feletti értekezés 30 kr- II. Kruspér István.A comparatorokról 10 kr"

III.Kr us p ér István.A vonásos hosszmórtékek összehasonlitasa folya·

dékban 10 kr

IV. Feszt V. A közlekedési müvek és Vc>nalok 20 kr·

V. Mur ma nA.Az1861.nagy üstökös pályájának meghatározá$a 20 kr VI. Kr uspé r J.A párisi levéltári.méter-rúd . lokr·

Harmad ik kötet .

I.V éez János A.rmin. Adalék a visszafutó sorok elméletéhez. . 1

o

kr. II. Konkoly Miklós. Az ó-gyallai C3i!lagda leírásas aqban történtnap- foltok észlelése néhány spectroscopicus észlelés töredékeivel. 1872. és 1873. Három táblával. 40ki. III. Kondor Gusztáv. Emlékbeszéd Herschel János k. tagfölött . 10 kr. IV. B. Eötvös Loránd. A rezgések intenzitása, tekintettel a rezgés. forr·ísnakéA azs mozgására . l L• kr. V.Réthy~ ó r. A Diffractio elméletéhez . 12 kr. VI. MartinLajo s. Az csavarfelületek. - A vízszintes szél- kerek elmélete. Két értekezés 1 frt VII. Réthy Mór. A kerületre redukálható s ~ elméletéhez 15 kr. VHI. Ga1g ó c zyKár o1y. Emlékbeszéd Vállas Antal k. ~ felett. 1Okr.

Negyedik kö te t .

I.S ehulh o f Lipót. Az1870.IV.sz. Üstökös definitív pályaszámitása 10 kr. IL S ehu l h o f Lipót. Az 1871. fI.,z.Üstökösdefinitiv pályaszámitása.10 kr. III. Szil\' Kálmán.A elrnélet m>Í.sodik f(hétele,levezetve az s

• 1 Okr.

IV.Konkoly Miklós.Csillagászati megfigyeléseim 1874 és Hl75-ben. 50 kr.

V.K'. o n k o 1 y Miklós. Napfoltok megfigyelése az ó-gyall,ai csillagdában 40 kr. VI. Huny adi A kúpszeleten hat pont feltételiegyenletének

alakjairól . . 20 kr. VII. Réthy Mór. A három homogén tér(u. n._nem euklidikus) siktan. trigonometriája. 20 kr. VIII. Réthy Mór. A propeller és peripeller felületek elméletéhez. 30 kr. IX. Fest Vilmos. Temesi Reitter Ferencz emléke 10 kr.

Ö töd ik kötet .

I.K o u dor Gusztáv. Emlékbészéd Nagy Károly r. tagfelett • 10 kr. lI. Ken e s s e y Albert. Adatok folyóink vízrajzi ismeretéhez , 20 kr. TII. Dr. Hoitsy Pá1. Csillag-észlelés a kelet.nyugot vonalban (egy szám.

táblával.) 30 kr.

IV.Htiu y ady A kúpszeleten hat pont feltételi egyenletének különbözil alakjairól. (Folytatás aIV. kötetben ugyane czim alatt meg- jelentértekezésnek.) . · 10 kr. V. Huny ady Apollonius feladata a gömbfelületen . 10 kr. VI. Dr. Gruber Lajos. 2411 Cassiopeiae kettös csillag mozgásáról. 10 kr. VII. Mart i n Lajos. A változtatási hánylat alkalmazása a propeller-fölület egyenletének lefejtésére. 20k.f.

VIII. K o n k o 1 y Mik ~ A teljes holdfogyatkozás 1877. február 27-én és az 1877. (Borelli) I. sllámu üstökös színképének mi>gfigyelése az 6-gyallai

csillagdán. • 10kr.

IX. K o n k o 1 y Miklós. A napfoltok s a nap felületének kinézése 1876-ban (három képtáblával.) . 40 kr. X. K o n k o 1 y Miklós. 160 álló csillag színképe. Megfigyeltetett az

ó-gyall ai rsillagdán 1876-ban Z0 k r.

Hatod ik kötet .

I.K o n k o 1 y Miklós. Hulló csillagok megfigyelése a magyar korona területén. I. rész. 1871-1878,Ára . 20 kr. II. K o n k o 1y Miklós. Hnllo csillagok megfigyelése a magyar korona területén. II. rész. 1874-1876. Ára . . . . . . . • 20 kr. III. Az 1874. V. (Borelly-féle) Üstökös definitív pályaszámitása. Közlik dr. Gruber Lajos és Kurlander Ignáczkir.observatorok.lOkr. IV. Schenzl Guido. Lehajlás meghatározások Budapesten és Magyar-

ország délkeleti részében. 20 kr. V.Gruber Lajos. A november-havi hullócsillagokról . 20 kr. VI. K o n k o 1yMiklós: Hulló csillagok megfigyelése a magyar korona terü-

letén 1877-ik évben. III. Rész. Ára . . . • . . 20 kr. VII. K o n k o 1 y Mik 1 ó s. A napfoltok és a napfelületének kinézése

1877-ben.Ára 20 kr.

VIII. K o n k ol y Mi k 1 ó s. Mercur átvonulása a nap elött. Megfigveltetett az ó-gyallai csillagdán 1878. május 6·án 10 kr.

Heted ik kötet .

I.K o n k o lyMiklós. Mars felületéneK megfigyelése az ó-gyallai csillag- clan az 1877-iki oppositió után. Egy táblával. . 10 kr. II. K o n k o 1 y Miklós. Alló csillagok színképének mappirozása. 10 kr. Ill.K o n k o 1 y Mik 1 ó s. Hullócsillagok megfigyelése a magyar korona -területén 1878-ban. IV. rész. Ára . . . • . . . 10 kr. IV. K o n k o 1 y Mik 1 ó s. A nap felületének megfigyelése 1878-bRn az ó-gyallai csillagclán. 10 kr. VI. H u nya cl y Je n ll. A Möbius-féle kritériumokról a kúpszeletek elmé-

letében . 10 kr.

VII. K o n k oly Mik 1 ó s. Spectroscopicus megfigyelések az ó-gyallai csil-

Jagvizsgálón 10 kr.

VIII. Dr. Wein e k László. Az instrumentális fényhajlás szerepe egy ___yénus-átvonulás photographiai felvételénél 20 kr.

fh1dapest, 1881. Az A tbe naeum r. társ. könyvnyomdája.

/

'

'

1