A vékony lerakódás matematikai modellje

4. Felületszer¶ anyaghiba modellek 61

4.2. Lerakódás válaszjelének számítása

4.2.1. A vékony lerakódás matematikai modellje

A vizsgált elrendezés

Tekintsük a 4.8. ábrán látható elrendezést. Itt egy

σ _s

vezet®képesség¶,

µ ₀

permeabilitású (nem mágneses) anyagból álló munkadarab felületének

S _l

^darab^jához illeszkedve egy

σ _l

^és

µ _l

vezet®ké-pességgel és permeabilitással jellemzett

d _l

^v^astagságú ^lerakódás ^található. ^Feltételezzük, hogy a lerakódásvastagságakisia munkadarabvastagságáhozésalerakódástöbbiméretéhez képest.F

el-tételezzük még azt is, hogy a lerakódás vastagsága nem haladja meg jelent®sen az ECT vizsgálat

során keltett elektromágneses tér frekveniájára vonatkozó behatolási mélységet (a vastagság nem

nagyobb a behatolási mélységnagyságrendjébe es®értéknél).

Vékony héjra vonatkozó impedania típusú peremfeltétel

Örvényáramú elektromágneses terek analízisekor a vezet® anyagból lév®, vékony héjhoz hasonlító

szerkezeteket az irodalomból ismert módon [71 , 72℄ helyettesíteni lehet egy, a héjon belül felvett

felülettel, amelyfelületen azún.impedaniatípusú peremfeltételt írjukel®. Ezen módszerlényegét

a [72℄ irodalmatkövetveröviden összefoglalom.

Jelölje a vékony héjat reprezentáló

S

^felület ^egyik ^és ^másik ^oldán ^található elektromágneses térjellemz®ketrendre

+

^és

−

^fels®^index,^v^alamint^legyen^az

S

^felület^normális ^vektora

n ˆ

^,^amely^a

+

index¶ térjellemz®k felölmutat a

−

^index¶ek ^irányába. ^Ezen ^jelöléssel^a ^vékony^héjat reprezentáló

S

^felület ^két ^oldalán ^lév® térjellemz®k közötti kapsolatot leíró egyenletek (az impedania típusú peremfeltételek)a következ®k [72 ℄:

ˆ

ahol

ω

^a ^szinuszos ^id®beli ^változáskörfrekveniája,

σ

^és

µ

^a^vékony^héj ^anyagának vezet®képessége éspermeabilitása,

d

^a^héj ^vastagsága^és

γ = √

jωµσ

Az el®z® impedania típusú peremfeltétel aztfejezi ki,hogy minden egyes

~r

^pontban ^a ^vékony

héj két oldalán lév® térjellemz®k lokálisan úgy viselkednek, mintha egy síkhullám hatolna egy

d

vastagságú lemezbe.Ez nagyon jó pontossággal megadja az elektromágneses térviselkedését, ha a

héj vastagsága kisi annak többi méretéhez képest és ez a vastagság a héjbeli behatolási mélység

nagyságrendjében van (a vastagság növekedésével sökken a közelítés pontossága). A közelítésnek

említésre érdemes, de még mindig eléggé kis hibája a héj széleinek környezetében van. Mivel a

héjat jellemz®

S

^felület^méretei ^a megfogalmazott feltételek alapján sokkal nagyobbak a beha-tolási mélységnél,ezért ez ahibaa teljeselektromágneses térleírása pontosságának szempontjából

elhanyagolható.

Amennyibena héjvastagságanagyonkisi abehtolási mélységhezképest, a(4.9) ,(4.10)

egyen-letek

tanh(γd) ≈ γd

^közelítés ^alapján ^a ^nagyon ^vékony ^héjra^vonatkozó ^impedania ^típusú

perem-feltételbe mennek át, amelyet széleskörben használnak és az el®z®ekben említett lokális síkhullám

közelítés nélkülismagyarázható.Ezekalapjánmegállapíthatjuk,hogyabemutatott impedania

tí-pusúperemfeltételekakkorhasználhatók,haahéjvastagságasokkalkisebbannakegyébméreteihez

képetésez a vastagság nemhaladjameg abehatolási mélységnagyságrendjét.

A peremfeltételek kielégítése másodlagosforrásokkal

A4.8. ábránlátható elrendezésben helyettesítsükalerakódástazzalaz

S _l

felülettel, amelyfelületen a lerakódás érintkezika munkadarabbal. Legyen az

S _l

^felület ^normális ^vektora

n ˆ

^és ^jelölje

közvet-lenül az

S _l

^felület ^felett ^(a ^munkadarabban) és alatt (a munkadarab körüli leveg®ben) található elektromágneses tér térjellemz®it rendre a

−

^és ^a

+

^fels® ^indexek. ^Az

S _l

^felületen ^az ^impedania

típusú peremfeltételeket kellkielégíteni.

A(4.9) ,(4.10)egyenletekszerintmindazelektromos,mindpedigamágnesestérer®sség

tangen-iáliskomponensénekugrania kellaz

S _l

^felület^két^oldalán.^Ezt ^az^ugrást^az

S _l

^síkjában^folyó

K ~ ^e (~r)

felületi elektromos- és

K ~ ^m (~r)

^felületi ^mágneses ^áramokkal ^lehet el®állítani (

~r ∈ S _l

^). ^A ^felületi

ára-moknaksak afelületsíkjábanfolyókomponenseivannak,tehát

K ~ ^e (~r) · n ˆ = 0

^és

K ~ ^m (~r) · n ˆ = 0

^.^Az

impedaniatípusú peremfeltételeketel®lehetne állítanimásfajtamásodlagosforrásokkalis,pl.

el®-állítható lennesupánelektromos felületiáramokkalis,hamegengednénk azt,hogyannaknormális

irányúkomponensei islegyenek [151 ℄, az el®állítás numerikus megvalósítása azonban bonyolultabb

lenne.

Akialakuló elektromágneses teret kétkomponensre bontjuk akövetkez®módon:

E ~ = E ~ ⁱ + E ~ ^l , H ~ = H ~ ⁱ + H ~ ^l ,

^(4.11)

ahol az

i

^fels® ^index ^az örvényáramú vizsgálófej árama, mint forrás által létrehozott tér térjellem-z®it, az

l

^fels® ^index ^pedig ^a ^lerakódást reprezentáló másodlagos források (

K ~ ^e (~r)

K ~ ^m (~r)

~r ∈ S _l

⁾

általgerjesztett tértérjellemz®it jelöli. Az el®z® teret szokták beiktatott térnek, azutóbbit pediga

lerakódás hatására létrejött térnek(tér-perturbáiónak) nevezni.

E ~ ⁱ

^és

H ~ ⁱ

meghatározása már a munkadarabban lév® anyaghibák válaszjelének szimuláiója so-rán is felmerült. Az ott elmondottak alapján, a beiktatott teret valamilyen szokásos térszámítási

problémamegoldásának eredményeként a továbbiakban márismertnek tekintjük.

Alerakódáshatására létrejöv® elektromágneses térmegoldása a következ®egyenleteknek:

rot rot E ~ ^l (~r) − k ² E ~ ^l (~r) = − jωµ ₀ K ~ ^e (~r)δ _S _l (~r) − rot h

K ~ ^m (~r)δ _S _l (~r) i

,

^(4.12)

rot rot H ~ ^l (~r) − k ² H ~ ^l (~r) = k ²

jωµ ₀ K ~ ^m (~r)δ _S _l (~r) + rot h

K ~ ^e (~r)δ _S _l (~r) i

,

^(4.13)

ahol

k ² = − jωµ ₀ σ _s

^ha

~r ∈ V _s

^és

k ² = ω ² µ ₀ ε ₀

^ha

~r / ∈ V _s

δ _S _l

^az

S _l

^felületre ^vonatkozó, ^ún.

felületi Dira-függvény.Ennekdeníióját ésaegyenletekben szerepl®felületi áramokrotáiójának

értelmezéséta [151℄ irodalomban találhatjuk.

Ezekalapjánamegfelel®diadikusGreen-függvényekkel(2.11)felírhatóalerakódáshatására

lét-rejötttér-perturbáió,amelykifejezésepéldáulamunkadarabonbelül(

~r ∈ V _s

⁾^a^következ®^formában

adódik:

E ~ ^l (~r) = − jωµ ₀ Z Z

S l

G ^e (~r | ~r ^′ ) · K ~ ^e (~r ^′ ) d~r ^′ − Z Z Z

V l

G ^e (~r | ~r ^′ ) · rot h

K ~ ^m (~r ^′ )δ _S _l (~r ^′ ) i

d~r ^′ ,

^(4.14)

H ~ ^l (~r) = − σ _s Z Z

S l

G ^m (~r | ~r ^′ ) · K ~ ^m (~r ^′ ) d~r ^′ + Z Z Z

V l

G ^m (~r | ~r ^′ ) · rot h

K ~ ^e (~r ^′ )δ _S _l (~r ^′ ) i

d~r ^′ ,

^(4.15)

ahola

V _l

^térfogat ^magában^foglalja ^az

S _l

^felületet.^Hasonló^módon^kapható^meg^azelektromágneses tér-perturbáió a munkadarab körül lév® leveg®ben is sak ebben az esetben más Green-diádokat

kell használni.

V _l

^térfogatra^vett ^integrál ^az integrandusbanlév® rotáióelvégzésével adott esetben egy-szer¶síthat®, azesetlegesegyszer¶bbalak függalerakódásfelületénekgeometriájától(sík

S _l

^felület

esetébenpl. jelent®sen egyszer¶södikaz integrál)[151 ℄. Ezzelaz egyszer¶sítésselnem foglalkozunk,

mivel hasonlóan a repedések válaszjelének analízisekor használt eljáráshoz az integrálegyenlet

numerikus megoldása során élunk a diszkretizálással kapott elemi gerjesztések által keltett tér

meghatározása. Ezt a 2.3. pontban közölt módszerhez hasonló eljárással fogjuk meghatározni, így

a Green-függvényekre és az integrálok kiértékelésére expliit módon nins szükségünk. A

lerakó-dásmatematikaimodelljének magalkotása során számunkra egyenl®re sak az a lényeges, hogy

E ~ ^l

és

H ~ ^l

kifejezhet®

K ~ ^e

^és

K ~ ^m

ismeretében és egyenl®re nem foglalkozunk ezenszámítások esetleges numerikus nehézségeivel.

A lerakódást leíró integrálegyenlet

A feltételezéseinknekelegettev®lerakódásjelenléte hatására a vizsgálófejáltalkeltett

elektromág-nesestérúgymódosul,hogyazkielégítseaz

S _l

^felületen^el®írt^impedania ^típusúperemfeltételeket.

Alkalmazvaaz elektromágneses tér (4.11) szerinti felbontását az

S _l

^felület^két^oldalán ^lév® ^térre,^a

megfelel® térvektorokat a következ® módonfogjukjelölni:

E ~ ⁻ = E ~ ⁱ⁻ + E ~ ^l− , H ~ ⁻ = H ~ ⁱ⁻ + H ~ ^l− , E ~ ⁺ = E ~ ⁱ⁺ + E ~ ^l+ , H ~ ⁺ = H ~ ⁱ⁺ + H ~ ^l+ .

^(4.16)

Figyelembe véve,hogya beiktatotttértangeniális komponense folytonos az

S _l

^felületen ^(azaz

E ~ _t ⁱ⁻ = E ~ _t ⁱ⁺ = E ~ _t ⁱ

^,^és

H ~ _t ⁱ⁻ = H ~ _t ⁱ⁺ = H ~ _t ⁱ

^, ^ahol^a

t

^index ^a ^vektortangeniális komponensét jelöli),a (4.9) ésa (4.10) impedania típusú peremfeltételek az általunk vizsgált konguráióra akövetkez®

alakú lesz:

jωµ _l σ _l

^és

~r ∈ S _l

^.^Az ^egyenletek ^tov^ább egyszer¶södnek, ha a tangeniális térjellemz®k ugrását a felületi áramokkalfejezzükki akövetkez®módon:

γ _l

Fejezzük ki az egyenletekben szerepl® ismeretlen térjellemz®ket a (4.14) és (4.15) alakban adott

módona diadikusGreen-függvények segítségvel,gyelembe véve, hogy

E ~ ^l+ (~r) = lim

ahol

~r +

^és

~r −

^az

S _l

^felület ^egy ^pontjára ^a ^pozitív ^és ^a ^negatív ^felületi ^normális ^vektor ^irányában

történ® közelítés határértékét jelöli.Ígya (4.19) és(4.20) egyenletek a

K ~ ^e (~r)

^és

K ~ ^m (~r)

⁽

~r ∈ S _l

⁾

is-meretlenekrevonatkozóanintegrálegyenleteketalkotnak,amelyintegrálegyenletekismertgerjesztése

E ~ ⁱ (~r)

^és

H ~ ⁱ (~r)

^beiktatott^tér.^Ezek^az integrálegyenletek avékonylerakódásáltalam kidolgozott felületi modellje.

Azimpedaniatípusú peremfeltételeketaz irodalomban mármásokalkalmazták vékony

lerakó-dás ECT válaszjelének végeselem módszeren alapuló szimuláiójakor [70℄. Az általam közölt

mód-szer újdonsága az,hogya matematikai modelltintegrálegyenlet formájában fogalmaztam meg, így

az illeszkedett a tématerületen dolgozó kutatók többsége által használt eszközrendszerbe. Ennek

következtében a felületszer¶ repedések analízisekor használt numerikus megoldáshoz hasonló

mó-don tudtam avékony lerakódások ECT válaszjelétszámítani, kihasználva azeljáráshatékonyságát

és egyéb kedvez® tulajdonságait. Ennél is fontosabb az az el®ny, hogy a kapott integrálegyenletet

összekapsolvaafelületszer¶repedés3.fejezetbentárgyaltmodelljével,módnyíltolyanelrendezések

hatékonyvizsgálatárais,amelybenalerakódássalszennyezettmunkadarabbanfelüleszer¶repedésis

található (err®lazeljárásróla4.3.pontbanlesz szó).Továbbiel®nyt jelent,hogyamegfogalmazott

modellalapján,avékonylerakódásválaszjelénekszimuláiójáraiskifejleszthet®egy,a3.3.pontban

bemutatott moduláris számításikörnyezethez hasonló szimuláióseljárás.

In document Szi (Pldal 76-79)

4. Felületszer¶ anyaghiba modellek 61

4.2. Lerakódás válaszjelének számítása

4.2.1. A vékony lerakódás matematikai modellje

σ s

µ 0

S l

σ l

µ l

d l

S

+

−

S

n ˆ

+

−

S

ˆ

ω

σ

µ

d

γ = √

jωµσ

~r

d

S

tanh(γd) ≈ γd

S l

S l

n ˆ

S l

−

+

S l

S l

S l

K ~ e (~r)

K ~ m (~r)

~r ∈ S l

K ~ e (~r) · n ˆ = 0

K ~ m (~r) · n ˆ = 0

E ~ = E ~ i + E ~ l , H ~ = H ~ i + H ~ l ,

i

l

K ~ e (~r)

K ~ m (~r)

~r ∈ S l

E ~ i

H ~ i

rot rot E ~ l (~r) − k 2 E ~ l (~r) = − jωµ 0 K ~ e (~r)δ S l (~r) − rot h

K ~ m (~r)δ S l (~r) i

,

rot rot H ~ l (~r) − k 2 H ~ l (~r) = k 2

jωµ 0 K ~ m (~r)δ S l (~r) + rot h

K ~ e (~r)δ S l (~r) i

,

k 2 = − jωµ 0 σ s

~r ∈ V s

k 2 = ω 2 µ 0 ε 0

~r / ∈ V s

δ S l

S l

~r ∈ V s

E ~ l (~r) = − jωµ 0 Z Z

S l

G e (~r | ~r ′ ) · K ~ e (~r ′ ) d~r ′ − Z Z Z

V l

G e (~r | ~r ′ ) · rot h

K ~ m (~r ′ )δ S l (~r ′ ) i

d~r ′ ,

H ~ l (~r) = − σ s Z Z

S l

G m (~r | ~r ′ ) · K ~ m (~r ′ ) d~r ′ + Z Z Z

V l

G m (~r | ~r ′ ) · rot h

K ~ e (~r ′ )δ S l (~r ′ ) i

d~r ′ ,

V l

σ _s

µ ₀

S _l

σ _l

µ _l

d _l

S _l

S _l

S _l

S _l

S _l

S _l

K ~ ^e (~r)

K ~ ^m (~r)

~r ∈ S _l

K ~ ^e (~r) · n ˆ = 0

K ~ ^m (~r) · n ˆ = 0

E ~ = E ~ ⁱ + E ~ ^l , H ~ = H ~ ⁱ + H ~ ^l ,

K ~ ^e (~r)

K ~ ^m (~r)

~r ∈ S _l

E ~ ⁱ

H ~ ⁱ

rot rot E ~ ^l (~r) − k ² E ~ ^l (~r) = − jωµ ₀ K ~ ^e (~r)δ _S _l (~r) − rot h

K ~ ^m (~r)δ _S _l (~r) i

rot rot H ~ ^l (~r) − k ² H ~ ^l (~r) = k ²

jωµ ₀ K ~ ^m (~r)δ _S _l (~r) + rot h

K ~ ^e (~r)δ _S _l (~r) i

k ² = − jωµ ₀ σ _s

~r ∈ V _s

k ² = ω ² µ ₀ ε ₀

~r / ∈ V _s

δ _S _l

S _l

~r ∈ V _s

E ~ ^l (~r) = − jωµ ₀ Z Z

G ^e (~r | ~r ^′ ) · K ~ ^e (~r ^′ ) d~r ^′ − Z Z Z

G ^e (~r | ~r ^′ ) · rot h

K ~ ^m (~r ^′ )δ _S _l (~r ^′ ) i

d~r ^′ ,

H ~ ^l (~r) = − σ _s Z Z

G ^m (~r | ~r ^′ ) · K ~ ^m (~r ^′ ) d~r ^′ + Z Z Z

G ^m (~r | ~r ^′ ) · rot h

K ~ ^e (~r ^′ )δ _S _l (~r ^′ ) i

d~r ^′ ,

V _l

S _l

V _l

S _l

E ~ ^l

H ~ ^l

K ~ ^e

K ~ ^m

S _l

S _l

E ~ ⁻ = E ~ ⁱ⁻ + E ~ ^l− , H ~ ⁻ = H ~ ⁱ⁻ + H ~ ^l− , E ~ ⁺ = E ~ ⁱ⁺ + E ~ ^l+ , H ~ ⁺ = H ~ ⁱ⁺ + H ~ ^l+ .

S _l

E ~ _t ⁱ⁻ = E ~ _t ⁱ⁺ = E ~ _t ⁱ

H ~ _t ⁱ⁻ = H ~ _t ⁱ⁺ = H ~ _t ⁱ

jωµ _l σ _l

~r ∈ S _l

γ _l

E ~ ^l+ (~r) = lim

S _l

K ~ ^e (~r)

K ~ ^m (~r)

~r ∈ S _l

E ~ ⁱ (~r)

H ~ ⁱ (~r)