Lemez alakú munk adarab felületén található lerakódás analízise

4. Felületszer¶ anyaghiba modellek 61

4.2. Lerakódás válaszjelének számítása

4.2.3. Lemez alakú munk adarab felületén található lerakódás analízise

Avékonylerakódásválaszjelénekszimuláiójárakidolgozott modellalapjántörtén®számítások egy

megvalósításaként,számítógépesprogramotfejlesztettem kilemezalakú munkadarabfelületén lév®

lerakódásválaszjelénekkiszámítására. Ebben az alpontban ezenmegvalósítást tárgyalom.

A vizsgált elrendezés

Tekintsük a4.9.ábránlátható elrendezést.Ittegy

d _s

^vastagságú^lemez^alakú ^m^unkadarab^felett^egy

ECT vizsgálófej látható. A munkadarab anyagának vezet®képességeés permeabilitása

σ s

^és

µ 0

^. ^A

lemezegyiksíkjánaktetsz®legesalakú

S _l

felületéheztapadva

d _l

^vastagságú

σ _l

^és

µ _l

elektromágneses paraméterekkel rendelkez®lerakódás található. Célunk a lerakódás jelenlétének következtében

lét-rejöv®ECTválaszjelmeghatározása. Ezenválaszjellehet amágnesesindukióvektorának,illetve a

tekers impedaniájának alerakódásjelenléte következtében létrejöv® megváltozása.

A megoldandóintegrálegyenlet

A 4.9. ábrán látható koordináta-rendszer felhasználásával a (4.19) és (4.20) integrálegyenlet

is-meretlenjeinek és a térvektorok tangeniális komponenseinek

x

^- ^és

y

^-irányú ^rendez®i ^lesznek. ^A

felületiáramokésatérvektorok megfelel®rendez®itjelöljükakövetkez®módon:

K ~ ^κ (x, y) = K _x ^κ x ˆ + + K _y ^κ y ˆ (κ = e, m; x, y ∈ S _l )

~ Γ ^χν _t (x, y) = Γ ^χν _x x ˆ + Γ ^χν _y y ˆ (Γ = E, H; χ = l, i; ν = +, − ; x, y ∈ S _l )

A bevezetettjelölésekkela (4.19) és(4.20) integrálegyenlet a következ®alakú lesz:

Z _l K _x ^e (x, y) + E _x ^l+ (x, y) + E _x ^l− (x, y) = − 2E _x ⁱ (x, y, η), x, y ∈ S _l ,

^(4.26)

lemez alján(mér®fejt®ltávolabbi oldalán)található, valamint

E ~ ^l+ (x, y) = lim E ~ ^l

^és

H ~ ^l

^a^megfelel®^diadikusGreen-függvényeksegítségévelkifejezhet®k

K ~ ^e

^és

K ~ ^m

ismeretében a (4.14) és(4.15) egyenletekhez hasonlóalakban.

Az integrálegyenlet diszkretizáiója

A felírt (4.26) -(4.29) integrálegyenleteket meg lehetne oldani a 3.1. pontban használthoz hasonló,

globális közel® függvényekkel is (megtartva a közelítés azon kedvez® tulajdonságait, amelyeket

fe-lületszer¶ repedések analízisekor az el®z®ekben már tárgyaltam), ha a lerakódás alakja négyszög

alakkal közelíthet® lenne. Szemben a repedések alakjával, a lerakódások alakja a gyakorlatban

rit-kán írható le egyszer¶ geometriai alakkal, így a globális közelítéssel való számítások eredménye a

gyakorlatban sak nagyon korlátozottan lenne használható. Ez az oka annak, hogy a lerakódások

ECT jelének szimuláiójakor az integrálegyenletek megoldásához lokálisközelítésthasználtam.

Osszuk felaz

xy

^síkot ^egy,^akoordináta-tengelyekkel párhuzamos,az

x

^- ^és

y

-irányokban

∆x

^és

∆y

rásállandójúhálóval.Legyenazonráspontoksorszáma

n = 1,2, . . . , N

^,^amelyek^az

S _l

^felületen

belülesnekéslegyenezenráspontokkoordinátái

(x _n ; y _n )

^.^Az^egyesráspontokhoz tartozó közelít®

függvényeketa következ®nek választottam(

n = 1,2, . . . , N

⁾^:

Közelítsükaz ismeretlentlenfelületi áramokat a következ®formában:

= 1,2, . . . , N

⁾ ^felületi ^áramok),^mint ^gerjesztés^általlétrehozott elektromágnesestér térvektorainak tangeniális komponensét

~ Γ ^lκξn _t = Γ ^lκξn _x x ˆ + Γ ^lκξn _y y ˆ

⁽

Γ = E, H

^). ^Ezen térvektorok kiszámíthatók a (4.14)és(4.15)képletek,vagybármelymásalkalmasanválasztotttérszámításimódszersegítségével.

Akiszámítotttérvektoroknakaz

S _l

^felület^két^oldalára^vetthatárártékeinekösszegétmegkaphatjuk a következ®formában:

Γ ^κξn _ζ (x, y) = lim

z→η−0 Γ ^lκξn _ζ (x, y, z) + lim

z→η+0 Γ ^lκξn _ζ (x, y, z),

^(4.36)

ahol

ζ = x, y

A (4.34) és(4.35) közelít® függvényekkel meghatározottismeretlenekethelyettesítsük a (4.26)

-(4.29) integrálegyenletbe ésteszteljükaz így kapottegyenleteketa

t _n (x, y) = 1

∆x∆y f _n (x, y), n = 1,2, . . . , N

^(4.37)

tesztel® függvényekkel. A leírt módon diszkretizált integrálegyenlet a következ® lineáris

egyenlet-rendszert eredményezi: ismeretlenfelületiárams¶r¶ségeknekazintegrálegyenletnumerikusmegoldásakéntkapottközelítése.

Az egyetlen további meggondolásokat igényl® kérdés már sak annak a módszernek a felvázolása,

amelysegítségévelmegkaphatókazegyenletrendszermátrixánakmeghatározásáhozszükséges

E ^exn _x

E x ^eyn

E _y ^exn

E y ^eyn

H _x ^exn

H x ^eyn

H _y ^exn

H y ^eyn

E _x ^mxn

E x ^myn

E _y ^mxn

E y ^myn

H _x ^mxn

H x ^myn

H _y ^mxn

H y ^myn

függvények.

Adott felületi áram által gerjesztett elektromágneses tér kiszámítása

Tekintsüka4.9.ábránláthatóelrendezést.Célunkaz,hogyadott

K ~ ^e

^és

K ~ ^m

^esetébenmeghatározzuk az

E ~ ^l

^és

H ~ ^l

térvektorokat.Ezekmeghatározásakorazábránláthatóelrendezésbenagerjeszt®tekers jelenlétét®leltekintünk.Atérmeghatározásáta2.3.2.pontban leírtakkalanalógmódonvégezzükel

(adott

K ~ ^e

^-hez^tartozó^térmeghatározásavalójábana2.3.2.pontban közölteknekegyolyanspeiális esete,amikor azáram a lemezegyikfelületén folyik,azaz

z ^′ = 0

^vagy

z ^′ = − d

^).

A vizsgált elrendezést a 4.9. ábrán látható módon a következ® három homogén tartományra

bontjuk: (1)

0 < z

^, ⁽²⁾

− d s < z < 0

^, ⁽³⁾

z < − d s

^. ^A tartományokban található elektromágneses térvektorokat afels® indexbe írtmegfelel® sorszámmal különböztetjükmeg. Az egyestartományok

határán akövetkez®folytonossági feltételeketírhatjukfel:

E ~ _t ¹ (x, y, z = 0) = E ~ _t ² (x, y, z = 0),

^(4.42)

H ~ _t ¹ (x, y, z = 0) = H ~ _t ² (x, y, z = 0),

^(4.43)

E ~ ² _t (x, y, z = − d _s ) − E ~ _t ³ (x, y, z = − d _s ) = − K ~ ^m × z, ˆ

^(4.44)

H ~ _t ² (x, y, z = − d _s ) − H ~ _t ³ (x, y, z = − d _s ) = K ~ ^e × z. ˆ

^(4.45)

Az egyes homogén térrészekben felírható az elektromágneses tér kétdimenziós térbeli F

ourier-transzformáltjaa2.3.1.pontbanrészletezettmódon4skalárfüggvénysegítségével.Összesenteháta

12 függvénymegadásával megkapható a térvektorok Fourier-transzformáltja az egész elrendezésre.

Ezen 12 függvényb®l négy nullának tekinthet®, mivel az (1) és (3) térrészek félig nyitottak (lásd

(2.55) -(2.56)egyenleteket),atovábbi8ismeretlenskalárisfüggvénypedigmegadhatóa(4.42) -(4.45)

egyenletek Fourier-transzformáltjainak megoldásaként (az egyenletek Fourier-transzformáltjai zárt

alakban léteznek, ha a felületi árams¶r¶ségek rendez®i zárt alakban Fourier-transzformálhatók).

Ezek alapján látható, hogy az elektromágneses tér komponenseinek Fourier-transzformáltja az

el-rendezés bármely pontjában megadható, így numerikus inverz Fourier-transzformáió után a

tér-vektorok ismegkaphatók atérbármely pontjában. Megjegyzem,hogyamennyiben a felületi

áram-s¶r¶ségek rendez®izárt alakban Fourier-transzformálhatók, a térvektorok rendez®i is zártalakban

kifejezhet®k bármely

z =

^állandó ^síkban.

Aelektromágnesestérmeghatározásának menete nagyonhasonló abbanazesetbenis, amikor a

felületiárams¶r¶ségekalemezfels®(

z = 0

⁾^síkjában^folynak.^Ekkor^sak^a(4.42) -(4.45) folytonossá-gifeltételekváltoznakúgy,hogyatangeniáliskomponensekugrásáta

z = 0

^és^azokfolytonosságát pediga

z = − d _s

^síkban^kell ^el®írni.^Látható ^tehát, ^hogy^abemutatandó módszerminimális változ-tatás utánalemeztetejéntalálható lerakódásanalízisére isalkalmas,ígyezenesetrészletezésévela

továbbiakban nemfoglalkozom.

Aleírteljárássaltehátmeghatározható a(4.38) -(4.41)diszkretizáltintegrálegyenlet

együttható-inak kiszámításához szükséges elektromágneses térvektorok rendez®i. Értelemszer¶en a

Γ ^κξn _ζ (ζ =

= x, y, Γ = E, H)

^térvektor ^rendez®je megkapható, a

K ~ ^κξn = f _n ξ ˆ (κ = e, m, ξ = x, y n =

= 1,2, . . . , N)

^felületi ^áram,^mint ^forrás ^hatására létrehozott térb®l. A gyakorlatban elegend® sak egy

n

^esetében^(egy ^adott^ráspontban ^lév®^gerjesztés^esetében)meghatározni a térvektorokat, mi-vel a többi ráspontban lév® gerjesztéshatására létrejöv® teret az

x

^és^az

y

^v^áltozók eltolásával, a síkbeliszimmetriakihasználásávalmegkaphatjuk.Aszámításokat egyszer¶sítiaz,hogyaválasztott

f _n

^közelít® ^függvények ^esetében ^létezik ^a ^felületi ^áramok rendez®inek Fourier-transzformáltja, így analitikusan léteznek atérvektorok rendez®inek Fourier-transzformáltjaiis.

A leírt számítások elvileg és a gyakorlatban is jelent®sen egyszer¶bbek, mint a 2.3. pontban

leírt áramdipólus-s¶r¶ség terének meghatározása. Ennek oka, hogy az itt adódó térvektorok nem

szingulárisak és nins szükség a

z ^′

^szerinti integrálásra sem, mivel a forrás egy adott

z =

^állandó

síkban van.

Azelmondottakalapjánmegállapíthatjuk,hogyavékonylerakódásECTválaszjele,aránylagkis

számításiigény¶ésnumerikusansembonyolult eljárássoránmeghatározható afentebbleírtmodell

és annak numerikus megvalósítása során. A számítások hatékonyságát demonstrálja az is, hogy a

bemutatott, szinuszos gerjesztésre kidolgozott számításokat azok gyorsaságának köszönhet®en

ki tudtam terjeszteni impulzus gerjesztés¶ anyagvizsgálat szimuláiójára is úgy, hogy a szinuszos

számításokhozkidolgozottmódszersegítségévelazid®függvényspektrumátpontonkénthatároztam

meg.Azimpulzusüzem¶ECTválaszjelénekmeghatározásárakidolgozottmódszerta[112 ℄

irodalom-ban közöltem, és mivel ez szigorúan véve nem része az értekezés téziseinek a módszer lényegét

a F.2.függelékben foglalom össze.

−20 −10 0 10 20

4.10. ábra. Négyszögalakú lerakódások válaszjelei amikor a gerjeszt®tekersközéppontja az

x = 0

egyenes menténmozog.Számított impedania-változás abszolútérték(), valós (

− −

⁾ ^és^képzetes

rész (

− · −

^).^Mért impedania-változás abszolútérték(

◦

^),^valós ⁽

×

⁾^és^képzetes ⁽

+

⁾^rész

In document Szi (Pldal 80-84)

Lemez alakú munk adarab felületén található lerakódás analízise

4. Felületszer¶ anyaghiba modellek 61

4.2. Lerakódás válaszjelének számítása

4.2.3. Lemez alakú munk adarab felületén található lerakódás analízise

d s

σ s

µ 0

S l

d l

σ l

µ l

x

y

K ~ κ (x, y) = K x κ x ˆ + + K y κ y ˆ (κ = e, m; x, y ∈ S l )

~ Γ χν t (x, y) = Γ χν x x ˆ + Γ χν y y ˆ (Γ = E, H; χ = l, i; ν = +, − ; x, y ∈ S l )

Z l K x e (x, y) + E x l+ (x, y) + E x l− (x, y) = − 2E x i (x, y, η), x, y ∈ S l ,

E ~ l+ (x, y) = lim E ~ l

H ~ l

K ~ e

K ~ m

xy

x

y

∆x

∆y

n = 1,2, . . . , N

S l

(x n ; y n )

n = 1,2, . . . , N

= 1,2, . . . , N

~ Γ lκξn t = Γ lκξn x x ˆ + Γ lκξn y y ˆ

Γ = E, H

S l

Γ κξn ζ (x, y) = lim

z→η−0 Γ lκξn ζ (x, y, z) + lim

z→η+0 Γ lκξn ζ (x, y, z),

ζ = x, y

t n (x, y) = 1

∆x∆y f n (x, y), n = 1,2, . . . , N

E exn x

E x eyn

E y exn

E y eyn

H x exn

H x eyn

H y exn

H y eyn

E x mxn

E x myn

E y mxn

E y myn

H x mxn

H x myn

H y mxn

H y myn

K ~ e

K ~ m

E ~ l

H ~ l

K ~ e

z ′ = 0

z ′ = − d

0 < z

− d s < z < 0

z < − d s

E ~ t 1 (x, y, z = 0) = E ~ t 2 (x, y, z = 0),

H ~ t 1 (x, y, z = 0) = H ~ t 2 (x, y, z = 0),

E ~ 2 t (x, y, z = − d s ) − E ~ t 3 (x, y, z = − d s ) = − K ~ m × z, ˆ

H ~ t 2 (x, y, z = − d s ) − H ~ t 3 (x, y, z = − d s ) = K ~ e × z. ˆ

z =

z = 0

z = 0

z = − d s

Γ κξn ζ (ζ =

= x, y, Γ = E, H)

K ~ κξn = f n ξ ˆ (κ = e, m, ξ = x, y n =

= 1,2, . . . , N)

n

x

y

d _s

S _l

d _l

σ _l

µ _l

K ~ ^κ (x, y) = K _x ^κ x ˆ + + K _y ^κ y ˆ (κ = e, m; x, y ∈ S _l )

~ Γ ^χν _t (x, y) = Γ ^χν _x x ˆ + Γ ^χν _y y ˆ (Γ = E, H; χ = l, i; ν = +, − ; x, y ∈ S _l )

Z _l K _x ^e (x, y) + E _x ^l+ (x, y) + E _x ^l− (x, y) = − 2E _x ⁱ (x, y, η), x, y ∈ S _l ,

E ~ ^l+ (x, y) = lim E ~ ^l

H ~ ^l

K ~ ^e

K ~ ^m

S _l

(x _n ; y _n )

~ Γ ^lκξn _t = Γ ^lκξn _x x ˆ + Γ ^lκξn _y y ˆ

S _l

Γ ^κξn _ζ (x, y) = lim

z→η−0 Γ ^lκξn _ζ (x, y, z) + lim

z→η+0 Γ ^lκξn _ζ (x, y, z),

t _n (x, y) = 1

∆x∆y f _n (x, y), n = 1,2, . . . , N

E ^exn _x

E x ^eyn

E _y ^exn

E y ^eyn

H _x ^exn

H x ^eyn

H _y ^exn

H y ^eyn

E _x ^mxn

E x ^myn

E _y ^mxn

E y ^myn

H _x ^mxn

H x ^myn

H _y ^mxn

H y ^myn

K ~ ^e

K ~ ^m

E ~ ^l

H ~ ^l

K ~ ^e

z ^′ = 0

z ^′ = − d

E ~ _t ¹ (x, y, z = 0) = E ~ _t ² (x, y, z = 0),

H ~ _t ¹ (x, y, z = 0) = H ~ _t ² (x, y, z = 0),

E ~ ² _t (x, y, z = − d _s ) − E ~ _t ³ (x, y, z = − d _s ) = − K ~ ^m × z, ˆ

H ~ _t ² (x, y, z = − d _s ) − H ~ _t ³ (x, y, z = − d _s ) = K ~ ^e × z. ˆ

z = − d _s

Γ ^κξn _ζ (ζ =

K ~ ^κξn = f _n ξ ˆ (κ = e, m, ξ = x, y n =

f _n

z ^′