F elületi áramdipólus-s¶r¶ség tere - Adott áramdipólus-s¶r¶ség elektromágneses tere

2. Az értekezésben felhasznált összefüggések 19

2.3. Adott áramdipólus-s¶r¶ség elektromágneses tere

2.3.4. F elületi áramdipólus-s¶r¶ség tere

Azértekezéskés®bbirészeibenazel®z®ekbenbemutatott eredményeketafelületszer¶repedés(2.29)

integrálegyenletének megoldásához ishasználni fogom. Ennek érdekében tekintsük azt akés®bbiek

szempontjábólfontosesetet,amikor azelektromágneses térforrásaalemezenbelülaz

x = 0

^síkban

elhelyezked®felületiáramdipólus-s¶r¶ség,amelysak

x ˆ

^irányúáramdipólusokbóláll.Legyenateret gerjeszt®áramdipólus-s¶r¶séga következ®alakban felírható:

P ~ (x, y, z) = p ^y (y)p ^z (z)δ(x)ˆ x.

^(2.95)

A kés®bbiekben az

x ˆ

^irányú ^elektromos ^tér ^Fourier-transzformáltjának kifejezése lesz érdekes szá-munkra a

− d < z < 0

tartományban. Ez (2.93) felhasználásávalfelírható:

E _x (α, β, z) = X

adott felületi áramdipólus-s¶r¶ség gerjesztés hatására kialakuló elektromágneses tér többi

kompo-nenseis.

A(2.96)kifejezésegyolyanelektromos térFourier-transzformáltja,amelyvégtelennéválikazon

a felületen, ahol a felületi áramdipólus-s¶r¶ség nem zérus (az

x = 0

^sík ^azon pontjaiban, ahol

p ^y (y)p ^z (z) 6 = 0

^). ^Az ^ilyen szinguláris pontok helyett ezen pontok közvetlen környezetében lév®

pontok térer®sség értékeit kell majd használnunk, pontosabban megfogalmazva, a továbbiakban

ezenpontok helyetta

x→±0 lim E _x (x, y, z) = lim

x→+0 E _x (x, y, z) = lim

x→−0 E _x (x, y, z)

^(2.97)

határértéket számítjukki.Ezen határérték megkapható akövetkez®képlet kiértékelésével[153 ℄:

x→±0 lim E _x (x, y, z) =

E _x (x, y, z) + 1

σ p ^y (y)p ^z (z)δ(x)

x=0

=

= F xy ⁻¹

E _x (α, β, z) + 1

2πσ p ^y (β)p ^z (z)

x=0

,

^(2.98)

ahol

E _x (α, β, z)

^a^(2.96) kifejezésseladott. Ahatárérték fentimódon történ® kiszámításaösszefügg a (2.29)integrálegyenlet szingulárisintegráljának Hadamardfélevégesrész[45 ℄gyelembevételével

történ® kiértékelésével [46,152 ℄.

A felületszer¶ repedés válaszjelének

szimuláiója

Ebben a fejezetben a felületszer¶ repedés válaszjelének számításához kapsolódó kutató-fejleszt®

munkám eredményeit foglalom össze. Ezeket az eredményeket az értekezés els® tézisében (lásd 6.

fezetet) fogalmaztammeg.

Els®ként aztaszámítási módszert tárgyalom, amelyegy nemmágneses,lemezalakú

munkada-rabban elhelyezked®, a lemez felületére mer®leges síkban lév®, téglalap alakú, felületszer¶ repedés

analízisére dolgoztam ki.A módszeralapján írtprogram eredményeivel demonstrálom, hogyaz

al-kalmazott eljárás nagyon gyors, hibája kell®en kisi és numerikusan stabilis, valamint azt is, hogy

a számítások soránlehet®ség vana megoldáshibájánakbeslésére.

A fejezet további részében vázolom azt a moduláris számítási környezetet, melynek

segítsé-gévelkülönböz® általánosan alkalmazott számítási módszert lehetösszekapsolniannakérdekében,

hogyhatékonyabbanlehessenegyesörvényáramúanyagvizsgálatiproblémákatszimulálni.Amódszer

megvalósításakéntbemutatomaztaszoftvert,amelyneksegítségévellemezalakúmunkadarabokban

lév® felületszer¶repedésekválaszjelétlehet számítani. Eza megvalósításvégeselem módszert

hasz-nál az örvényáramú fej terének számítására,és az integrálegyenleten alapuló módszert használja a

felületszer¶ repedésvisszahatásának szimuláiójára. A említettrendszertaz LGEP munkatársaival

együttm¶ködve valósítottam meg.

A fejezetben bemutatott számítási eljárások felhasználásával részt vettem az MTA-MFA-ban

megvalósított Fluxet típusú, örvényáramú mér®fej fejlesztésében. Ennek során egy módszert

dol-goztam ki,amely segítségével mágneses szenzorok örvényáramú mérésekhez alkalmaskalibráióját

lehet végrehajtani. A fejezetvégénrövidenezt akalibráiósmódszert mutatom be.

3.1. A felületszer¶ repedést leíró integrálegyenlet megoldása

Bemutatom azt a számítási módszert, amellyel meghatározható a 3.1. ábrán vázolt ECT mérés

válaszjele. A vizsgált munkadarab egy

d

^vastagságú ^végtelen kiterjedés¶ lemez. A lemez anyaga homogén, nem mágneses (

µ = µ 0

^,^a ^vákuum permeabilitása) anyag, amelynek vezet®képessége

σ

Az anyaghiba egy nagyon vékony,

b

^{hosszúságú} ^és

a

^mélység¶, ^téglalap ^alakú ^repedés, ^amelyet ^az

x = 0

^síkban^az

S _c

^felület^ír^le. ^A ^3.1. ^ábrán^látható elrendezésben avizsgálófej egytekers,amely szinuszosan változó

ω

körfrekveniájú árammal van táplálva és amelynek impedania-változását tekintjükazanyaghibaválaszjelének.Amódszera2.2.2.pontbanleírtakfelhasználásávalalkalmasaz

ábránvázoltnálsokkalbonyolultabb,szinuszosárammaltáplált, tetsz®legesgeometriájúvizsgálófej

ECT válaszjelének szimuláiójára is. A bemutatásra kerül® számítási eljárást a [106 ℄ irodalomban

tettem közzé.

38 3.Afelületszer¶ repedésválaszjelének szimuláiója

3.1.ábra. ECT vizsgálófejegy felületszer¶repedést tartalmazó lemezfelett

3.1.1. Az integrálegyenlet alakja az adott geometriánál

A repedés válaszjelét a felületszer¶ repedésekre vonatkozó integrálegyenlet (2.29) (lásd még a 2.2.

alfejezetet)megoldásávalhatározommeg.Ez azintegrálegyenlet azadottelrendezésrevonatkozóan

a következ® alakú: Green-diád (2.11) megfelel® eleme,valamint

y, z, y ^′ , z ^′ ∈ S _c

p(y, z)

^a^repedést reprezentálófelületi áramdipólus-s¶r¶ség

x

^-irányú^rendez®je^és

E _x ⁱ (x, y, z)

^a ^beiktatott^elektromos ^{térer®sség}^(a ^tekers

árama általahibamentes lemezbe indukált elektromostér)

x

^-irányú^rendez®je.

3.1.2. Az integrálegyenlet diszkretizálása

Keressüka (3.1) megoldását akövetkez®függvénysoralakjában

p(y, z) ≈

ahol

f _y ^m (y)

f _z ⁿ (z)

^az

S _c

^felületen értelmezett élszer¶en megválasztott függvények. Az integrál-egyenlet numerikusmegoldása soránhatározzuk megaz ismeretlen

p _mn

együtthatókat.

Afentiközelítés melletta (3.1) integrálegyenlet a következ®alakú lesz:

M

élszer¶enmegválasztottvalósérték¶függvényekkelteszteljük.Eredményülakövetkez®

K · L

egyen-letb®l állólineáris algebraiegyenletrendszerre jutunk:

M

Ezen egyenletrendszert mátrixosalakban felírva:

A p = b,

^(3.5)

egyenletetkapjuk,ahol amátrix ésa vektorok elemeia következ®k:

A

(k−1)L+l,(m−1)N +n =

= Z Z

S c



jωµ ₀ lim

x→±0

Z Z

S c

g(x, y, z | x ^′ = 0, y ^′ , z ^′ )f _y ^m (y ^′ )f _z ⁿ (z ^′ ) dy ^′ dz ^′



 t _kl (y, z) dydz,

^(3.6)

p

(m−1)N+n = p mn ,

^(3.7)

(b) _(k−1)L+l = Z Z

S c

E _x ⁱ (x = 0, y, z)t _kl (y, z) dydz.

^(3.8)

b

oszlopvektorelemeiaz irodalombólismertvalamilyen módszersegítségévelmeghatározható (lásd az 1.4.1. pontot). Ez a tekersben folyó áram által az anyaghiba nélküli lemezben gerjesztett

elektromos tér

x

^-irányú rendez®jének meghatározását jelenti az

S _c

^felületen. ^Mivel ^ez ^a

térszámí-tási problémanem jelent különösebb nehézséget, ezért ezzel nem foglalkozunk részletesen.Gondot

a tér szingularitása miatt az

A

^mátrix ^elemeinek ^(3.6) kiszámítására szolgáló képlet numerikus kiértékelésejelent, ezérta továbbiakban ezenproblémára konentrálunk.

A(3.5)egyenlet megoldásávalmegkaphatóka

p mn

együtthatók,amelyeksegítségévelfelírhatóa

p(y, z)

^felületi áramdipólus-s¶r¶séget közelít® függvény (3.2) . Ha a közelít® éstesztel® függvények száma megegyezik, azaz ha

N · M = K · L

^, ^akkor ^az ^egyenlet egyértelm¶en megoldható. Ez a választás a szokásos,de az egyenlet bizonyos értelemben vett optimálismegoldását meglehet adni

akkor is, amikor az túlhatározott(

N · M < K · L

⁾ ^v^agy alulhatározott (

N · M > K · L

^).

3.1.3. A Közelít® és a tesztel® függvények megválasztása

A 3.1. ábránlátható elrendezésben négyféletípusú repedéselhelyezkedést különböztethetünk meg.

Ezek a 3.2. ábrán láthatók (mindegyik repedés vastagsága

x

^-irányú ^mérete elhanyagolható).

Azt a repedést, amelya lemez fels® oldalávalérintkezik bels® repedésnek hívják, ennek rövidítése:

ID. A rövidítés az angolinner defet kifejezésb®ladódik, amiazt fejeziki, hogya repedésa lemez

azon bels®oldalántalálható,aholavizsgálófejiselhelyezkedik.Amásikrepedéstípust,amelyik

a lemez alsó részéhez satlakozik, küls® repedésnek nevezik, ennek rövidítése: OD, az angol outer

defet kifejezésb®l. Megkülönböztetik még a eltemetett repedésnek nevezett típust, amely repedés

mindegyikoldala alemezbelsejébentalálható, ésazátmen® repedést,amelyalemezteljes

kereszt-metszetén áthatol, így alemezmindkét felszínévelérintkezik. Az egyesrepedésekmeghatározására

szolgáló paraméterekjelentése leolvashatóa 3.2. ábráról.

Afelületi áramdipólus-s¶r¶ségleírásáraolyanközelít® függvényekethasználok,amelyek tartója

azegész

S _c

^felület, ^azaz

− b/2 ≤ y ≤ b/2

^és

− q − a ≤ z ≤ − q

^(átmen®^és^IDrepedéseknél

q = 0

^,^OD

repedésre pedig

q = d − a

^),^ezen^a ^felületen^kívül ^értékük^nulla.^Az^ilyen tulajdonsággalrendelkez®

közelít®függvényeketglobálisközelít®függvényeknekhívják.Továbbijellemz®jeaválasztott

közelí-t® függvényeknekaz,hogyazok egyeséveliskielégítik azáramdipólus-s¶r¶ség

x

^-irányúrendez®jére (

p

⁾ ^vonatkozó peremfeltételeket (2.26) , (2.27) , ami az adott esetben azt jelenti, hogy a következ®

feltételeket kell kielégíteni:

f _y ^m (y = − b/2) = f _y ^m (y = b/2) = 0

^,⁽

m = 1,2, . . . , M

^), ^v^alamint ^ID

re-pedésre:

f _z ⁿ ( − a) = 0

^és

^∂f _∂z ^z ⁿ

z=0 = 0

^,^OD ^repedésre^:

f _z ⁿ ( − d + a) = 0

^és

^∂f _∂z ^z ⁿ

z=−d = 0

^,^eltemetett

repedésre:

f _z ⁿ ( − q) = f _z ⁿ ( − q − a) = 0

^,^átmen® ^repedésre^:

^∂f _∂z ^z ⁿ

z=0, z=−d = 0

^,⁽

n = 1,2, . . . , N

^).

p(y, z)

közelítéséttrigonometrikuspolinomalakjábankeresem,ígyaleírtmeggondolások alap-jána(3.2)egyenletbenszerepl®függvényeketakülönböz®típusúrepedésekesetébenakövetkez®knek

választottam.

y

3.2. ábra. Akülönböz® típusúrepedések ésazokleírásáraszolgáló paraméterek jelentése

Mindenrepedéstípusnál(

− ₂ ^b < y < ₂ ^b

^),

Tesztel®függvényeknek akövetkez®, az

S _c

^felületet ^lefed®,^egymásba^nemátlapolódó,impulzus függvényeket használom: biztosítható, hogy a tesztel® függvényekszáma megegyezzen aközelít®függvények számával, ígya

diszkretizáltintegrálegyenlet

A

együtthatómátrixa

M · N

^sorból^és^oszlopból^állókvadratikusmátrix lesz.

3.1.4. Az együtthatómártix elemeinek kiszámítása

A

^mátrix ^elemeinekkiszámításához induljunkkia2.3.4.pontban leírtakból.Ezekalapján(2.96) és(2.98)segítségévelfelírhatóaz

mn

^index¶^közelít®^függvény,^mint^forrás⁽

p ^y = f _y ^m

p _z = f _z ⁿ

⁾^által

gerjesztett

E _x ^mn (x, y, z)

^elektromos ^{térer®sség}^az

x = ± 0

^síkokban ^(mivel

E _x ^mn (x, y, z) x

^-ben ^páros

függvény, ennek értékei az

x = +0

^és ^az

x = − 0

^síkokban megegyeznek egymással) a következ®

formában:

f _y ^m (y)

^.^Látható,^hogy^azalkalmazott

f _z ⁿ

^közelít®^függvények(3.10) -(3.13)esetében a

z ^′

^v^áltozó ^szerinti ^integrálanalitikusan kiértékelhet®.

A

együtthatómátrix elemei a tesztel®függvényekkel szorzottelektromos térer®sség integrál-jaként kaphatók meg:

Amennyiben (3.19) kifejezésbenfelseréljük az inverz Fourier-transzformáiót ésa

z

^szerinti

integ-rálást, akkor akövetkez®kifejezésre jutunk:

A

A (3.18) egyenletb®l látszik, hogy a felhasznált közelít® és tesztel® függvények esetében az inverz

transzformálandó függvény,

sak az

α

^és

β

^független ^v^{áltozóktól} ^függ ^és ^zárt ^alakban el®állítható. Mindez annak köszönhet®, hogya

z ^′

^és^a

z

^szerinti^integrálokanalitikusankiértékelhet®k. NumerikusansakazinverzF ourier-transzformáiótés eztkövet®en az

y

^szerintiintegrálást kell elvégezni.

Sokmáslehetségesközelít®függvényesetében iskiértékelhet® a(3.21)integrálanalitikusan,így

a bemutatott módszer egyéb,alkalmasanválasztott függvényekeseteibenis használható.

3.1.5. A szakaszonként lineáris közelítés használata

A globális közelít® függvények alkalmazását megel®z®en a 2.3. szakaszban leírt módszer

felhasz-nálásával, megoldottam afelületszer¶ repedésre vonatkozó (2.29) integrálegyenletet lokálisközelít®

függvényekkelis.Eztamegoldásta[105 ℄irodalombanközöltem.Akés®bbiekbenbemutatásrakerül®

numerikus példák némelyikénél leggyakrabban összehasonlítás éljából ezeket az eredményeket

isbefogommutatni.Azemlítettmegoldástszakaszonként lineárisközelítéssel kapottmegoldásként

fogom hivatkozni. Ezen megoldásnál a

p(y, z)

^függvény ^(3.2) közelítésében a közelít® függvényeka következ®k:

Tesztel® függvényként a területre normált közelít®függvényeket alkalmaztam, ezekalapján:

t _kl (y, z) = 1

Látható, hogy a (3.22) -(3.31) közelít® és tesztel® függvények esetében is kiértékelhet®k a

z

^és

z ^′

^szerinti ^integrálok analitikusan, tehát az

A

együttható-mátrix elemeire kapott (3.20) formula nem lesz elvileg bonyolultabb. A különbség abban áll, hogy az elektromos térer®sséget közelít®

függvénysortagjainak a spektrális éstérbeli viselkedésekedvez®tlenebb lesz aglobális közelítéshez

képest(térbengyorsanváltozók,spektrálisanpedignagysávhatárúaklesznekaközelít®függvények)

ésnagyobbszámúközelít®függvényszükségesazonospontosságeléréséhez.Atapasztalatokalapján

a szakaszonként lineáris közelítés alkalmazásával nagyobb odagyeléssel és hosszabb számítással

kapható hasonlóan pontos közelítés, mint a globális közelítéssel. Ezen felül a megoldás hibájának

besléseis sokkalnehezebba szakaszonként lineárisközelítés használatakor.

3.1.6. A globális közelítésen alapuló megoldás értékelése

Felületszer¶ repedéseknek a (2.29) integrálegyenlet megoldására támaszkodó analíziséhez az

iro-dalomban eddig olyan megoldásokat közöltek, amelyekben az ismeretlent impulzus függvényekkel

közelítették [46℄, illetve én közöltem a már említett megoldást szakaszonként lineáris közelítés

fel-használásával[105℄.Ezekbenamegoldásokbanaközelít®függvényektartójaegy-egykisinytéglány

S c

^felületen. ^Ebb®l^adódóan^az^egyes^sorfejt®^tagokhoz^tartozó

E _x ^mn (y, z)

^függvény^nagyon

mere-dekenváltozó,numerikusannehezenkezelhet®függvény.Abemutatottmódszerbenhasználtglobális

közelít® függvények el®nyei az el®z®ekkel szemben az,hogy:(i)

E _x ^mn (y, z)

^egy ^aránylag ^símán

vál-tozó függvény, amelynek mind a spektrális,mind a térbeli tulajdonságai kedvez®ek, (ii) a közelít®

függvények egyesével iskielégítik az

S _c

^peremén ^el®írt peremfeltételeket, így a közelítés a peremen pontos, és (iii) a

p(y, z )

^függvény ^aránylag ^kevés ^taggal ^(kis

N

^és

M

⁾ ^is ^jól közelíthet®. További el®nyeaközölt megoldásnak,hogy(iv)segítségéveltöbbnyirebesülhet® azECTválaszjelrekapott

megoldás hibája is. Hasonlóhibabeslés alokálisfüggvényekkel valósorfejtésesetében nemismert.

Összességében megállapíthatjuk, hogy a közelít® függvények megválasztásából adódó kedvez®

tulajdonságoknak köszönhet®en a (3.20) együtthatók kiszámítása gyors ésnumerikusan stabilis(a

közelít® függvények kedvez®térbeli ésspektrális viselkedése és asorfejtés konvergeniájának

gyor-sasága okán), a tér szingularitásából adódó problémák megsz¶nnek (a

z

^és

z ^′

^szerinti ^integrálok

analitikusan történ® kiértékelésével), valamint mód nyílik a számítás hibájának egyszer¶

beslé-sére is (mivel a hibabeslés menete szigorúan véve nem része az értekezés téziseinek, ezért azt az

F.1.függelékbenrészletezem).Afelsorolttulajdonságokalapjánaközöltmegoldásimódszernagyon

el®nyösenalkalmazhatóakereskedelmiforgalombakerül®számításokban.Ezegyrésztamegoldás

fel-sorolt,kedvez®tulajdonságaimiatttehet®meg,másrésztpedigazért,mertahibabeslésrealapozva

egymegfelel® algoritmus alapján mód nyílik azintegrálegyenlet automatikus diszkretizálására.

Adiszkretizált integrálegyenlet (3.5)együtthatómátrixának kiszámításárabemutatott módszer

a közelít® függvények széles osztályára alkalmazható, így elképzelhet®, hogy egy másik

alkalma-san választott sorfejtésen alapuló diszkretizáió esetében is hasonlóan kedvez® tulajdonságokkal

rendelkez® megoldást kapunk.

A közölt megoldás alkalmazhatóságának látszólag jelent®s megkötése az, hogy az sak téglalap

alakú repedések analízisére alkalmas, mivel a (3.9) -(3.13) közelít® függvények sak téglalap alakú

repedések esetében alkalmazhatók. Ez a megkötés a legtöbb esetben, a gyakorlati felhasználásban

nemjelenthátrányt, mivelafelhasználókdönt®enilyenrepedéseketfeltételeznek. Alapvet®en azért

vanezígy,mertakeresettrepedésekméretenagyonkisiésaélerepedésekközelít®kiterjedésének

(felületéneknagyságának)meghatározása.Ezekalapjánagyakorlatbanelegend® azanyaghibajelét

egy meghatározott alakú a valódi alakot aránylag jól közelít® ekvivalens anyaghiba jelével

összevetni.Eélbólatéglalapalakúrepedésalkalmazásakielégít®szintemindengyakorlatiesetben.

Ezt támasztjaaláazatényis,hogyazECTberendezésekkalibrálásárahasználtmintákazesetek

dönt® hányadában téglalap alakú EDM repedésekettartalmaznak.

Abemutatott módszer valószín¶legkiterjeszthet® annakkedvez®tulajdonságainak

megtartá-sa mellett nem téglalap alakú repedésekre is. Megjegyzem, hogy nem téglalap alakú repedések

analízisekülönösebb gondnélkülmegtehet® lokálissorfejtésenalapuló,az irodalombólismert

mód-szerekkel, így megtehet® az általam kifejlesztett [105℄, a 3.1.5. pontban részletesebben is körülírt

módszerrel is. A globális sorfejtésen alapuló módszerek nem téglalap alakú repedések analízisére

történ® kiterjesztésének kétlehetségesútját vázolom. Az egyik az,hogymegpróbálunk olyan

függ-vénysort keresni, amelynek segítségével adott, egyszer¶ geometriájú (pl. félkör vagy fél-ellipszis)

repedésekesetében sorbafejthet® azáramdipólus-s¶r¶ség függvényúgy,hogy aközelít® függvények

egyesével is kielégítik a peremfeltételeket. A másik út az, hogy olyan globális függvényekkel

fejt-jük sorba az áramdipólus-s¶r¶séget, amelyek nem elégítik ki a peremfeltételeket (ez megtehet®,

hiszen az integrálegyenlet megoldása automatikusan kielégíti a peremfeltételeket, tehát ezt külön

nem szükséges el®írni [65 ℄). Ilyen sorfejtést feltételezhet®en bonyolultabb geometriájú

repedések-re is lehet találni. Ennek a megoldásnak a téglalap alakú repedésekre való alkalmazásának az a

hátránya,hogy feltételezhet®en nagyobbszámú közelít®függvényre lenne szükségesaz elfogadható

pontosságúmegoldásmegtalálásához, mint amennyi aperemfeltételeketpontosankielégít® közelít®

függvények választása esetében kellene. A megoldási módszer vázolt kiterjesztési módjaival a fenti

ötletekmegfogalmazásántúlnemfoglalkoztam,mivelerreagyakorlatirányábólazeddigiekbennem

volt igény.

A bemutatott módszer egy továbbfejlesztett változatával olyan repedések is analizálhatók

len-nének, amelyek síkjanem mer®leges a munkadarab felületére. Ilyen esetben sak annyi a változás,

hogy annak érdekében, hogy a repedés peremének a munkadarab felületével érintkez® részén

megváltozott peremfeltételt kielégíthessük olyan közelít® függvényeket kell választani,

amelyek-kel tetsz®leges peremfeltételek kielégíthet®k a repedés peremének e szakaszán. Természetesen az

integrálegyenlet magja is értelemszer¶en változik a repedés felületi normálisának megváltozásával

(vö. (2.29) ). Az ilyen típusú repedések analízisének gyakorlati jelent®sége azért nem nagy, mert

anyagszerkezeti okokra visszavezethet®en a repedések általában a munkadarab felületére

közelí-t®leg mer®leges síkban alakulnak ki, ezek hatását pedig jó közelítéssel vizsgálhatjuk az általunk

analizált elrendezéssel.

Végezetül meg kell említeni azt, hogy a felületszer¶ repedés modellje alkalmazható a nem sík

felület¶ repedések analízisére is, ebben az esetben a (2.29) integrálegyenletben az

S _c

^sík ^felületi

normálisa egy helyt®l függ® vektor lesz. Ezen integrálegyenlet megoldása globális közelít®

függ-vények segítségével viszont nem valószín¶, hogy jelent®sen el®nyösebb lenne a lokális közelítésen

alapuló megoldásokkal szemben, mivel az áramdipólus-s¶r¶ség függvényviselkedése nagyban függ

S _c

^felületgörbültségét®l.Ezekalapjánreménytelennekt¶nik olyan egyszer¶közelít®függvények megtalálása, amelyekmindenféle görbültségesetén kedvez®tulajdonságokkalrendelkeznének.

Meg-jegyzem, hogy er®sen görbült felület¶ repedések esetében már maga a felületszer¶ repedés modell

használataismegkérd®jelezhet®, ígyilyenkor atérfogatimodellalkalmazásátélravezet®bbnek

tar-tom. A felületszer¶ repedés modelljének alkalmazását véleményem szerint sak akkor érdemes

meggondolni, ha a görbült felület jól közelíthet® egy-két egymással érintkez®, síkfelület¶ repedés

összegeként. E feladat megoldása során a 4.1. pontban tárgyalandó párhuzamos repedések

ana-lízisére kidolgozott módszer bemutatásakor leírt bizonyosmeggondolások hasznosak lehetnek.A

görbült felület¶repedésekanalízisének kérdésével azonban eddig mégnemfoglalkoztam.

3.2. Numerikus példák és az eredmények értékelése

3.2.1. A tesztfeladatok bemutatása

SzámosECTfeladat megoldásávalellen®riztemabemutatott számításieljárást.Azellen®rzéssorán

szerzett tapasztalatokat a továbbiakban nyol reprezentatív tesztfeladatmegoldásának

eredményé-veldemonstrálom.A bemutatott példákbanlemezalakú munkadarabbanlév®téglalap alakúEDM

repedés válaszjelének meghatározása a él. A mérésekhez egyszer¶ hengeres alakú tekerset

hasz-náltakvizsgálófejként.Avizsgálttesztfeladatokmindegyikénélmérésieredményisrendelkezésünkre

áll.

A vizsgált elrendezés a 3.1. ábrán látható (38. oldal), az egyes tesztfeladatokhoz tartozó

pa-ramétereket a 3.1. táblázat tartalmazza. A táblázatban található geometriára vonatkozó jelölések

jelentését a3.1. ábramagyarázza,

f

^a ^tekerset ^gerjeszt® ^szinuszos ^áram frekveniáját jelöli. Elhe-lyezkedés szerint a repedéslehet olyan, amely a lemez tekers felöli (ID) vagy tekersel ellentétes

(OD) oldalából indul ki, illetve a repedés áthatolhat a teljes lemezen (100%). Mindegyik

tesztfel-adatnálamért,illetve számítottECTválaszjelatekers impedaniájánakváltozásavolt. Atekers

a 8. tesztfeladat kivételével az

y

^-tengely ^mentén ^mozog ^a ^lemez ^síkja ^felett ^(lásd ^3.1. ^ábra), ^a ^8.

tesztfeladat esetében pedig a repedésre mer®legesen, az

x

^-tengely ^mentén ^mozog ^a vizsgálófej. A válaszjelet,azaza vizsgálófejimpedaniájának arepedésjelenlétéb®ladódómegváltozását (2.33)a

tekersközéppontjának pozíiója függvényében adjukmeg.

Az1.tesztfeladatazún.TEAM Benhmark feladatokegyike,amelyhez tartozó mérési

eredmé-nyeketa[79℄irodalomtartalmazza. A2.-7.tesztfeladatokhozkapsolódóméréseketaJapan Soiety

of Applied Eletromagnetis and Mehanis (JSAEM) szervezet koordinálásával aNulear

Engine-eringLtd.(NEL)végezteJapánban.Ezentesztfeladatokleírásáta[80 ℄irodalomközli,ahola3.és7.

tesztfeladatokhoztartozó mérésieredmények ismegtalálhatók.A többiJSAEMtesztfeladatmérési

3.1.táblázat. A tesztfeladatok paraméterei(azelrendezést lásda 3.1. ábrán)

Tesztfeladat

sorszáma 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

elnevezése

TEAM JSAEM CEA

15#1 2-2 2-3 2-5 2-6 2-9 2-10 #1

Gerjesztés

f [

^kHz

] 0,9 150 300 150 150 150 300 500

Tekers

r ₁ [

^mm

] 6,15 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 1,0

r ₂ [

^mm

] 12,4 1,6 1,6 1,6 1,6 1,6 1,6 1,62

l [

^mm

] 6,15 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 2,0

h [

^mm

] 0,88 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,3

menetszám

3790 140 140 140 140 140 140 328

Lemez

d [

^mm

] 12,22 1,25 1,25 1,25 1,25 1,25 1,25 1,55

σ [

^MS/m

] 30,6 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,02

Repedés

b [

^mm

] 12,6 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 4,0

a [

^mm

] 5,0 0,5 0,5 0,75 0,75 1,25 1,25 0,61

vastagság

[

^mm

] 0,28 0,21 0,21 0,21 0,21 0,21 0,21 0,11

elhelyezkedés ID OD ID ID OD 100% 100% ID

eredményeit kérésrea JSAEM bosátja rendelkezésre az érdekl®d®k számára. A 8. tesztfeladathoz

tartozó munkadarablegyártását és az ECT mérést a CEA-ban végezték el, az értekezésben közölt

mérési eredményeket közvetlenüla CEA-tól kaptam.

3.2.2. A tesztfeladatok megoldásának eredményei

Afelületszer¶repedésrevonatkozóintegrálegyenlet(3.1)megoldásakéntkapottáramdipólus-s¶r¶ség

függvényviselkedéséta3.3.és3.4.ábrákonszemléltetem.Ezekena4.és5.tesztfeladatokesetében,a

vizsgálófej

y = 0

^(a^fejközéppontjaarepedésközéppontjafelettvan)és

y = 5

^mm^(a^fejközéppontja a repedés széle fölött van) pozíióiban látható az

E _x ⁱ (y, z)

^beiktatott ^tér ^és ^a

p(y, z)

áramdipólus-s¶r¶ség

x

^-irányú rendez®inek abszolút értéke. A beiktatott teret az általam kidolgozott módszer [153℄ segítségével számítottam ki. Az ábrák alapján megállapítható, hogy a megoldásként kapott

áramdipólus-s¶r¶ségfüggvénymenetehasonlítabeiktatotttérhez,akülönbségokaaz,hogya

p(y, z)

függvénynek ki kell elégíteniea rá vonatkozó (2.26) és(2.27) feltételeketa repedés peremén. Ez az

oka annak is, hogy az ID (4. tesztfeladat) és OD (5. tesztfeladat) repedések esetében lényegileg

különböz® az áramdipólus-s¶r¶ség függvény még akkor is, ha a beiktatott tér mindkét esetben

hasonló jelleg¶.

A 3.5. ábrán a tesztfeladatok megoldásaként kapott impedania-változás látható a vizsgálófej

középpontjának a pásztázás során felvett pozíióinak függvényében. A görbékr®l leolvashatók

a mért,valamint a globálisközelítés segítségévelszámított válaszjelek. Az 1.-3.és8.tesztfeladatok

esetébenaszakaszonkéntlineárisközelítéssegítségévelszámítotteredményislátható.Akét

különbö-z® közelítés felhasználásávalkapott számításieredmények gyakran annyiraközel esnekegymáshoz,

hogy ezekgörbéit nehézmegkülönböztetni az ábrákon.

−0.6 −0.4 −0.2 0

3.3.ábra. Abeiktatotttér ésazáramdipólus-s¶r¶ség abszolútértékea repedésfelületén a 4.

tesztfeladatesetében,amikor a vizsgálófejközepe az

x = 0, y = 0

^,^v^alamint ^az

x = 0, y = 5

^mm

3.4. ábra. Abeiktatotttérésa áramdipólus-s¶r¶ség abszolútértéke arepedés felületéna 5.

tesztfeladatesetében,amikor a vizsgálófejközepe az

x = 0, y = 0

^,^v^alamint ^az

x = 0, y = 5

^mm

pozíiókban vannak

0 5 10 15 20 25

3.5. ábra.A tesztfeladatok eredményei. Globálisközelítés valós ()ésképzetes(- - -)rész,

szakaszonként lineárisközelítés valós (

− · −·

⁾ ^és^képzetes⁽

· · · )

^rész,^mérési ^eredmény^valós⁽

◦

⁾ ^és

képzetes(

×

⁾ ^rész

3.2.3. A globális és a szakaszonkénti lineáris közelítéssel kapott eredmények

összevetése

A tesztfeladatok megoldásának eredményeitértékelve akövetkez®ket állapíthatjukmeg. A globális

ésszakaszonkéntlineárisközelítésselszámítotteredményeknumerikusannagyonközelesnek

egymás-hoz,ígya pontosságszempontjábólninsakétmódszerközött számottev®különbség. Lényegesnek

tekinthet®ezzelszembenadiszkretizáióhozhasználtismeretlenekszámábanmutatkozókülönbség.

In document Szi (Pldal 40-0)

F elületi áramdipólus-s¶r¶ség tere

2. Az értekezésben felhasznált összefüggések 19

2.3. Adott áramdipólus-s¶r¶ség elektromágneses tere

2.3.4. F elületi áramdipólus-s¶r¶ség tere

x = 0

x ˆ

P ~ (x, y, z) = p y (y)p z (z)δ(x)ˆ x.

x ˆ

− d < z < 0

E x (α, β, z) = X

x = 0

p y (y)p z (z) 6 = 0

x→±0 lim E x (x, y, z) = lim

x→+0 E x (x, y, z) = lim

x→−0 E x (x, y, z)

x→±0 lim E x (x, y, z) =

E x (x, y, z) + 1

σ p y (y)p z (z)δ(x)

x=0

=

= F xy −1

E x (α, β, z) + 1

2πσ p y (β)p z (z)

x=0

,

E x (α, β, z)

d

µ = µ 0

σ

b

a

x = 0

S c

ω

y, z, y ′ , z ′ ∈ S c

p(y, z)

x

E x i (x, y, z)

x

p(y, z) ≈

f y m (y)

f z n (z)

S c

p mn

M

K · L

M

A p = b,

A

(k−1)L+l,(m−1)N +n =

= Z Z

S c



jωµ 0 lim

x→±0

Z Z

S c

g(x, y, z | x ′ = 0, y ′ , z ′ )f y m (y ′ )f z n (z ′ ) dy ′ dz ′



 t kl (y, z) dydz,

p

(m−1)N+n = p mn ,

(b) (k−1)L+l = Z Z

S c

E x i (x = 0, y, z)t kl (y, z) dydz.

b

x

S c

A

p mn

p(y, z)

N · M = K · L

N · M < K · L

N · M > K · L

x

S c

− b/2 ≤ y ≤ b/2

− q − a ≤ z ≤ − q

q = 0

q = d − a

P ~ (x, y, z) = p ^y (y)p ^z (z)δ(x)ˆ x.

E _x (α, β, z) = X

p ^y (y)p ^z (z) 6 = 0

x→±0 lim E _x (x, y, z) = lim

x→+0 E _x (x, y, z) = lim

x→−0 E _x (x, y, z)

x→±0 lim E _x (x, y, z) =

E _x (x, y, z) + 1

σ p ^y (y)p ^z (z)δ(x)

= F xy ⁻¹

E _x (α, β, z) + 1

2πσ p ^y (β)p ^z (z)

E _x (α, β, z)

S _c

y, z, y ^′ , z ^′ ∈ S _c

E _x ⁱ (x, y, z)

f _y ^m (y)

f _z ⁿ (z)

S _c

p _mn

jωµ ₀ lim

g(x, y, z | x ^′ = 0, y ^′ , z ^′ )f _y ^m (y ^′ )f _z ⁿ (z ^′ ) dy ^′ dz ^′

 t _kl (y, z) dydz,

(b) _(k−1)L+l = Z Z

E _x ⁱ (x = 0, y, z)t _kl (y, z) dydz.

S _c

S _c

f _y ^m (y = − b/2) = f _y ^m (y = b/2) = 0

f _z ⁿ ( − a) = 0

^∂f _∂z ^z ⁿ

f _z ⁿ ( − d + a) = 0

^∂f _∂z ^z ⁿ

f _z ⁿ ( − q) = f _z ⁿ ( − q − a) = 0

^∂f _∂z ^z ⁿ

− ₂ ^b < y < ₂ ^b

S _c

p ^y = f _y ^m

p _z = f _z ⁿ

E _x ^mn (x, y, z)

E _x ^mn (x, y, z) x

f _y ^m (y)

f _z ⁿ

z ^′

z ^′

t _kl (y, z) = 1

z ^′

E _x ^mn (y, z)

E _x ^mn (y, z)

S _c

z ^′

S _c

S _c

r ₁ [

r ₂ [