Az értekezés tov ábbi részének felépítése

A következ® második fejezetben részletesen leírom a tézisekben megfogalmazott eredmények

alapját képez® matematikai észikai meggondolásokat.El®ször levezetema térfogati anyaghiba és

felületszer¶ repedés szimuláiójához használt integrálegyenleteket. Megmutatom, hogy ezeknek az

integrálegyenletekmegoldásakéntkapottfüggvényeksegítségévelhogyanszámíthatóegyadott

vizs-gálófejáltalmértECTválaszjel.Eztkövet®entárgyalnifogokegyolyanmatematikaileírást,melynek

felhasználásávalalemezalakú,nemmágnesesvezet®munkadarabbankilehetfejezniaztaz

elektro-mágneses teret, amelyet egy adott, beiktatott forrásáram kelt. A bemutatott kifejezés hatékonyan

használható az integrálegyenletek numerikus megoldásához. A fejezetben tárgyalt meggondolások

részbenaz irodalombólismertek,részbenpedigsajátkutatómunkaeredményei. A második

fejezet-ben leírt saját eredmények nem részei a megfogalmazott téziseknek, azokra mint alapismeretekre

vanszükség atovábbiakban tárgyalandó tézisekrészletesleírásához.

A 3., 4. és 5. fejezetekben az egyes tézisek kifejtése, a tézisek eredményein alapuló

számítá-sok értékelése és azok kísérleti eredményekkel való összevetése található. Az értekezés végén, a 6.

fejezetbena tézisekolvashatók.

Az értekezésben felhasznált

összefüggések

Ebben a fejezetben a tézisekben megfogalmazott állítások leírásához és bizonyításához szükséges

témaspeikus ismeretek összefoglalása található. Atárgyalt alapismeretekrészben azirodalomból

ismertek, részben pedig saját kutatómunka eredménye. Annak ellenére, hogy a leírtak között

sa-ját eredmények is találhatók, ezek nem részei a megfogalmazott téziseknek, így ezekre sak, mint

alapismeretekrevan szükséga továbbiakban tárgyalandóeredmények részletesleírásához.

Ebbenafejezetbenel®bbanemmágnesesanyagokban lév® térfogatianyaghibaésafelületszer¶

repedés modellezésére szolgáló integrálegyenletek kerülnek levezetésre. Szó lesz arról is, hogy az

egyenletekmegoldásakéntkapottfüggvényismeretébenmikéntlehet azadottanyaghiba egyismert

ECT vizsgálófej általmért jelétmeghatározni.

Afejezetmásodikfelébenmegadomegylemezbelsejébenel®írtáramdipólus-s¶r¶ség,mintforrás

által keltett elektromágneses tér kifejezésének egy speiális alakját. Ez a kifejezés a bizonyos

típusú gerjesztésáltal keltett elektromágneses tér térbeli Fourier-transzformáltját adja meg zárt

alakban. Az analitikusan megadott Fourier-transzformáltakat numerikusan inverz transzformálva

kapjukakeresettteretleírótérbelifüggvényeket.Abemutatásrakerül®leírásnagyonjólhasználható

a kés®bbiekbenel®forduló integrálegyenletek numerikus megoldásához.

2.1. A térfogati anyaghiba válaszjelének szimuláiója

2.1.1. A térfogati anyaghibát leíró integrálegyenlet

Mivel az anyaghibát leíró integrálegyenlet levezetése hasznos lesz a további mondanivalók

szem-pontjából, ezért ezta [50 ℄irodalom nyomán ebben a pontban vázolom.

Tekintsük a 2.1. ábrán látható elrendezést, ahol egy örvényáramú vizsgálófej található a

V _s

térfogatban elhelyezked® vizsgálandó munkadarab felett. A munkadarab

σ(~r)

vezet®képessége (

~r

helyvektort jelöli) a

V _d

^térfogat kivételével ugyanaz mindenhol és ennek értéke

σ ₀

^(azaz:

σ(~r) =

= σ ₀ , ~r ∈ V _s \ V _d

^).^A^térfogati ^anyaghiba ^azon

V _d

^térrészbenhelyezkedik el,ahol avezet®képesség eltér

σ 0

^-tól.^A^m^unkadarab^és^a^benne^lév®^anyaghiba^anyaga^nem^mágneses,^így^ezekpermeabilitása

µ ₀

A vizsgálófejet id®ben szinuszosan változó,

ω

körfrekveniájú árammal gerjesztjük, feltételez-zük, hogy az elrendezés lineárisnak tekinthet® anyagjellemz®kkel bíró térrészekb®l áll. A komplex

számítási módszer alkalmazásával [148 ℄ a térjellemz®kkomplex súsértékét használjuk. Jelölje pl.

E ~ = E(~r) ~

^az ^elektromos ^{térer®sség} ^komplex ^{súsértékét} ^az

~r

^helyen, ^ennek ismeretében a térjel-lemz® vektorának id®függvényét a

ℜ n

E(~r) exp(jωt) ~ o

kifejezéssel kaphatjuk meg, ahol a

ℜ {·}

komplex kifejezésvalós részétjelöli.

Az eltolásiáramelhanyagolásával, valamint a

J(~r) ~

^elektromos árams¶r¶ségés

E(~r) ~

^elektromos

térer®sség komplex súsértékeiközött kapsolatot teremt®,

J ~ (~r) = σ(~r) E(~r) ~

^, anyagjellemz®re vo-natkozóegyenletgyelembevételével, avizsgálandómunkadarab

V _s

térfogatábanazels®ésmásodik

PSfragreplaements

σ, µ ₀ σ 0 , µ 0

V s

V _d

ECTvizsgálófej

Térfogatianyaghiba

Vizsgáltmunkadarab

2.1. ábra. ECT vizsgálófejegytérfogati anyaghibát tartalmazó munkadarab felett

Maxwell-egyenlet akövetkez®alakban írható:

rot H(~r) = ~ σ(~r) E(~r), ~

^(2.1)

rot E(~r) = ~ − jωµ ₀ H(~r), ~

^(2.2)

ahol

H ~

^a^mágneses ^{térer®sség}^komplex ^{súsértékét}^jelöli. ^(2.1) átrendezésével kapjuka

rot H(~r) = ~ σ ₀ E(~r) + [σ(~r) ~ − σ ₀ ] E(~r) ~

^(2.3)

alakot,ahola jobboldal második tagjátfelfoghatjuk,mintegyküls®forrást, amelya

V _d

^térfogatra

konentrálódik. Ezen forrás fogja az anyaghiba által keltett térperturbáiót létrehozni. Az ECT

mérésekéljatehát ezen, a

V _d

térfogatban nullától eltér®,

P ~ (~r) = [σ(~r) − σ ₀ ] E(~r), ~

^(2.4)

ún.anyaghibátleíróáramdipólus-s¶r¶ség általkeltettelektromágnesestérmeghatározása.(2.2) -(2.4)

egyenletekb®l,

H ~

kiküszöbölésévela következ®egyenletrejutunk:

rot rot E(~r) ~ − k _c ² E(~r) = ~ − jωµ ₀ P ~ (~r),

^(2.5)

ahol,

k ² _c = − jωµ ₀ σ ₀ .

^(2.6)

Bontsukfel azelektromágneses teret kétkomponensre,tehát legyen

E(~r) = ~ E ~ ⁱ (~r) + E ~ ^f (~r), H(~r) = ~ H ~ ⁱ (~r) + H ~ ^f (~r),

^(2.7)

aholaz

i

^fels®^index ^az ^ún.^beiktatott ^teret ^jelöli, ^amely^az ^ECT vizsgálófejanyaghibanélküli mun-kadarabbankeltett elektromágneses terét jelöli. Ez úgykapható meg,hogy tekintjük az anyaghiba

nélkülimunkadarabot (

σ(~r) = σ ₀ , ~r ∈ V _s

⁾ ^és^avizsgálófejáramát,mint ateretgerjeszt® mennyisé-get.Az

f

^fels®^index^pedig^az^ún.^anyaghiba^terét ^jelöli,^amely^az^anyaghiba^jelenlétekövetkeztében létrejöv®perturbálótér.Eztazelektromágnesesteretúgykapjuk,hogytekintjük

P ~ (~r)

áramdipólus-s¶r¶ség, mint gerjesztéshatására létrejött teret az anyaghiba nélküli munkadarab

gyelembevéte-lével. (Az anyaghiba tér meghatározásánál legtöbbször a vizsgálófej jelenlétét®l eltekintünk, ezen

egyszer¶sítéssel általábanigenkishibát követünk el.)

Mivelabeiktatottteretgerjeszt®árama

V _s

^térfogaton^kívülhelyezkedik el,ezért

E ~ ⁱ

^a^következ®

egyenletet elégíti ki

V s

^-ben^:

rot rot E ~ ⁱ (~r) − k ² _c E ~ ⁱ (~r) = 0, ~r ∈ V _s .

^(2.8)

P ~

^anyaghibát ^leíróáramdipólus-s¶r¶ség,mintforrás által keltettanyaghibatér pedigmegoldása a

rot rot E ~ ^f (~r) − k _c ² E ~ ^f (~r) = − jωµ ₀ P(~r), ~ ~r ∈ V _s

^(2.9)

egyenletnek.Látható, hogy (2.8) és(2.9) összegevalóban megadjaa (2.5) egyenletet.

Az ECT fej által az anyaghiba nélküli munkadarabban gerjesztett beiktatott tér (

E ~ ⁱ (~r)

⁾

szá-mítására különböz® módszerek ismertek az irodalomból (lásd: 1.4.1. pont), ennek részleteivel itt

nemfoglalkozunk.Ismert

P ~

^esetében^az^anyaghiba^tereel®állítható diadikusGreen-függvények [52℄

segítségévela következ®módon:

E ~ ^f (~r) = − jωµ ₀ Z Z Z

V d

G ^e (~r | ~r ^′ ) · P ~ (~r ^′ ) d~r ^′

^(2.10)

ahol

G ^e (~r | ~r ^′ )

^az^elektromos^térre^vonatkozóGreen-diád.Ezaz

~r ^′

^helyen^találhatógerjesztést transz-formáljaaz

~r

^pontbeli ^elektromos ^térbe, ^amennyiben

~r, ~r ^′ ∈ V s

AGreen-diád megoldása a következ®diadikus egyenletnek:

rot rot G (~r | ~r ^′ ) − k ² _c G (~r | ~r ^′ ) = δ(~r − ~r ^′ ) I ,

^(2.11)

ahol

δ

^a Dira-függvényt,

I

az egységdiádot jelenti és a diád komponensei kielégítik az adott el-rendezésre vonatkozó megfelel® folytonossági- és peremfeltételeket. Amennyiben a

G

diádminden komponense kielégíti az elektromos térre vonatkozó folytonossági- és peremfeltételeket, akkor az

elektromos térre vonatkozó

G ^e

diádot kapjuk. Ha a (2.11) megoldásaként kapott

G

diád minden komponenseamágnesestérre vonatkozófolytonossági-ésperemfeltételeket elégítiki,akkora

mág-neses térre vonatkozó Green-diádotkapjuk, amelyjelölése

G ^m

Megjegyezzük, hogy a Green-diád megadása sak egyszer¶ geometriájú munkadarabok (pl.:

féltér, lemez, rétegezett lemez, henger, s®, többréteg¶ s®, stb. alakú munkadarabok) esetében

tehet® meg viszonylag könnyen. Ezen eseteknek a gyakorlati jelent®sége azonban igen nagy, mivel

az iparban el®forduló ECT problémák jelent®s hányadában közelíthet® a munkadarab egyszer¶

geometriájú elrendezéssel. A közelítés leginkább azért tehet® meg, mert az ECT mér®fej és az

anyaghibaáltalábankisi,ezért azeredményszempontjábólérdekestérrészaz anyaghibaközvetlen

környezetére konentrálódik, így a térrészben kialakuló elektromágneses tér kevéssé különbözik az

egyszer¶sített geometriájú elrendezésben kialakulótért®l.

Azelektromostérrevonatkozó Green-diádmeghatározásántúl,(2.10)kiértékelésénekegymásik

nehézsége,hogya

G ^e (~r | ~r ^′ )

^diádban^lév®^függvényekszingulárisokaz

~r = ~r ^′

^helyen,^így^a^{számítások}

során feltétlenül gyelemmelkell arralenni, hogyaz integrál kiértékelésére megfelel®,numerikusan

stabilis algoritmust használjunk.Egyilyen algoritmus megtalálása ésimplementálása aszámítások

egyik kulskérdése.

(2.10) segítségével felírhatjuka(2.7) teljeselektromos teret a következ®formában:

E(~r) = ~ E ~ ⁱ (~r) − jωµ ₀ Z Z Z

V d

G ^e (~r | ~r ^′ ) · P ~ (~r ^′ ) d~r ^′ .

^(2.12)

Bevezetjüka

v(~r) = σ(~r) − σ 0

σ ₀ ,

^(2.13)

ún.relatív anyaghiba függvényt, amelynekértékenullaaz anyaghibánkívül (

v(~r) = 0, ~r / ∈ V _d

⁾ ^és^a

V _d

térfogatbannemnulla értéketveszfel.Példáulnemvezet® anyaghibák esetében

v(~r) = − 1, ~r ∈

∈ V _d

^adódik. ^A ^(2.12) ^egyenletet ^beszorozva

σ(~r) − σ 0

függvénnyel, valamint felhasználva (2.4) és (2.13) képleteket a térfogati anyaghibát leíró (a

P(~r) ~

áramdipólus-s¶r¶ségre vonatkozó másodfajú Fredholmtípusú)integrálegyenlet szokásosformájához jutunk[50℄:

P ~ (~r) = P ~ ⁱ (~r) + k ² _c v(~r) Z Z Z

V d

G ^e (~r | ~r ^′ ) · P ~ (~r ^′ ) d~r ^′ , ~r ∈ V _d ,

^(2.14)

ahol

P ~ ⁱ

kifejezhet®

E ~ ⁱ

ismeretében:

P ~ ⁱ (~r) = [σ(~r) − σ ₀ ] E ~ ⁱ (~r).

^(2.15)

Látható, hogy (2.14) bal oldala és a jobb oldal mindkét tagja azonosan nulla az anyaghiba

térfogatánkívül,így ezenintegrálegyenletetsak a

V _d

térfogatbankell megoldani.Amegoldás élja a

P ~

^ismeretlen meghatározása, aminek segítségével már számítható az adott ECT vizsgálófej jele (lásd a2.1.2. pontot).

A(2.14)integrálegyenletbenamagszinguláris.EzenszingularitáskezeléseaCauhy-félef®érték

segítségévelmegoldható. Annakellenére,hogya problémaelméletileg jólkörülhatárolt, az

integrál-egyenlet numerikus megoldásakor ezenszingularitás komolyodagyelést igényel, így sak speiális

er®feszítésekáránadható numerikusan isstabilismegoldása a (2.14) egyenletnek.

2.1.2. A térfogati anyaghiba örvényáramú válaszjelének számítása

A (2.14) megoldásaként kapott

P ~

^anyaghibát ^leíró áramdipólus-s¶r¶ség ismeretében meg tudjuk határozni a vizsgálófej jelét. Alapvet®en két jel meghatározása képzelhet® el. Az els® esetben a

munkadarabon kívül elhelyezked®, mágneses teret mér® szenzor jelét, illetve ennek az anyaghiba

hatására létrejöv® megváltozását kell kiszámítani. A másik lehetséges eset az, amikor egy adott

vizsgálótekersbenindukáltfeszültségnekaz anyaghibajelenlétéb®ladódómegváltozását kell

kiszá-mítani.Amásodikesetbenazindukáltfeszültségváltozástateretgerjeszt®áramraszokásnormálni,

így gyakran impedania-változás meghatározásáról beszélünk. A gyakorlatban el®forduló

vizsgáló-fejek (lásd pl. az 1.2.2. pontot) jelének számítása egyszer¶en visszavezethet® ezen két alapesetre.

Megjegyezzük, hogy a térmér® szenzor jele azaz a mágneses tér értékének meghatározása egy,

vagy esetleg néhány pontban szintén visszavezethet® egy vizsgálótekersben indukált feszültség

meghatározására, err®l a lehet®ségr®l mégszólesz.

A mágneses tér változásának számítása

Az ECT fejben lév® mágnestér szenzorok az anyaghibakövetkeztében létrejöv® térváltozást mérik.

Ez az a térváltozás, amelyet az anyaghibát leíró

P ~

áramdipólus-s¶r¶ség, mint gerjesztéshoz létre abban a térrészben, ahola szenzor található. Ennekszámítása egyszer¶en megtehet®, amennyiben

ismerjükaztaGreen-diádot,

G ^m _sa

,amelya vizsgáltmunkadarabban találhatógerjesztést transzfor-málja a munkadarabon kívüli (általában a gerjesztéshez közeli) vizsgálati pontban lév® mágneses

térbe [52 ℄. E diád jelölése a szokásoknak megfelel®en úgy történik, hogy a fels® index a számított

elektromágneses térjellemz®revonatkozik (

m

^:^mágneses,^lásd^még ^(2.11) egyenletet), azalsó index bet¶ipedigrendreagerjesztésésavizsgálóponthelyétjelölik(

s

^:munkadarab,

a

^:^amunkadarabon kívülileveg®). Az anyaghiba hatására létrejött

∆ B ~

^mágneses ^tér ^{változását} ⁽

∆ B ~ = B ~ ^f = B ~ − B ~ ⁱ

ahol összhangban (2.7) egyenlettel

B ~

^a ^kialakult ^mágneses ^tér indukióvektorát,

B ~ ⁱ

^pedig ^az

anyaghibagyelembevételenélkülkapottindukiótjelenti)avizsgálttérrészbenakövetkez®alakban

kaphatjukmeg [52℄:

∆ B(~r) = ~ µ ₀ Z Z Z

V d

G ^m

sa (~r | ~r ^′ ) · rot P ~ (~r ^′ ) d~r ^′ , ~r ∈ V _a ,

^(2.16)

ahol

V _a

^azt ^a ^térrészt ^jelöli, ^ahol ^a ^mágneses ^tér ^{változását} ^kívánjuk meghatározni. Mivel

~r

^és

~r ^′

különböz® térrészbenhelyezkednek el,a Green-függvényeknemszingulárisak, így (2.16)numerikus

kiértékelése ismert

P ~

^esetében ^egyszer¶ ^feladatnaktekinthet®.

Az impedania-változás számítása

Tekintsük aztaz esetet, amikor az ECT vizsgálófej egy adó és egy vev® tekersb®láll ésa

vizsgá-lófej egyadott pozíióban található a munkadarab környezetében.Az adó tekers árama legyen

I _a

komplexsúsérték¶szinuszosáram,ésaztkívánjukmérni,hogyavev®tekersbenindukált

feszült-ség mennyiben változik a munkadarab

V _d

tartományában található anyaghiba hatására.

E ~ ⁱ (~r)

^az

adó tekers

I _a

^árama ^által^a ^hibamentes munkadarabba indukált elektromos tér, azaza beiktatott tér (lásd (2.14) egyenletet). Feltételezve, hogy a vev® tekers árama egy

I a

frekveniájávalazonos frekveniájú

I _v

^ktív ^áram, ^hasonló^módon kiszámíthatóa

E ~ ^vi (~r)

^ktív^elektromos ^tér,^ami ^a^vev®

tekers által a hibamentes munkadarabba indukált elektromos teret jelenti. Jelölje továbbá

∆U _v

a vev® tekersbe indukált feszültség megváltozását, amely a

V _d

térfogatban található anyaghiba hatására jön létre (

∆U v = U v − U _v ⁱ

^,^ahol

U v

^a gerjesztetlen vev® tekersben indukált feszültséget,

U _v ⁱ

^pedig ^a gerjesztetlen vev® tekersben, hibamentes munkadarab feltételezése esetében indukált feszültséget jelenti).

Avev® tekersben indukált feszültségmegváltozása

E ~ ⁱ

^és

E ~ ^vi

^,^valamint ^a ^(2.14) integrálegyen-let megoldásaként kapott

P ~

^anyaghibát ^leíró áramdipólus-s¶r¶ség ismeretében a reiproitás[149 ℄ felhasználásával akövetkez® módonadható meg:

∆U v = − 1 I _v

Z Z Z

V d

E ~ ^vi (~r) · P ~ (~r) d~r.

^(2.17)

Gyakranel®fordulazazeset,amikoregyECTfejbenugyanazontekerstöltibeazadóésavev®

szerepét is és az ECT válaszjelnek ezen tekers impedaniájának megváltozása (

∆Z

⁾ tekinthet®.

Ilyenkor felhasználva, hogy

I a ∆Z = ∆U a

⁽

∆U a

^az ^adó ^tekersben ^indukált feszültségnek az anyaghibajelenléte következtében létrejöttmegváltozása) (2.17) és

∆U _a = ∆U _v

^alapján,^az^ECT

fej válaszjelea jólismertformában adódik [50 ℄:

∆Z = − 1 I ²

Z Z Z

V d

E ~ ⁱ (~r) · P(~r) ~ d~r,

^(2.18)

ahol

I = I _a = I _v

^a ^tekers^árama.

Adó-ésvev®tekersekb®lálló vizsgálófejekesetébenazanyaghibajeléta következ®impedania

jelleg¶mennyiségként is szokták megadni:

∆Z = ∆U _v

I _a = − 1 I _a I _v

Z Z Z

V d

E ~ ^vi (~r) · P ~ (~r) d~r.

^(2.19)

A(2.17)könnyenáltalánosíthatóazokraazesetekre,amikortöbbadó-és/vagytöbbvev®tekers

található az ECT fejben, illetve egyszer¶en kezelhet® az olyan konguráió is, amelyben bizonyos

vev®tekersekdiereniális módba vannakösszekapsolva.

Az ECT fej vev® tekersébe indukált feszültség megváltozását annak deníiója alapján úgy

számolnánk, hogy a

P ~

^által ^generált ^elektromos térer®sséget integrálnánk a tekers menetei men-tén. Ezen eljárásnál egysokkalegyszer¶bbés numerikusanstabilisabb megoldást kínálnak a(2.17)

és (2.18) képletek, mivel az integrál kiértékeléséhez szükséges adatok gyakorlatilag már a (2.14)

integrálegyenlet megoldásakor rendelkezésre állnak. Ez feltétlenül így van egytekerses ECT fejek

esetében (2.18) , illetve az adóbólésvev®b®l álló ECT fejek esetén sak ugyanazoneljárás ismételt

alkalmazásaszükséges avev®tekersre, amelyetmár az integrálegyenlet megoldása el®tt

alkalmaz-tunk az adóra (azaz ki kell számítani a ktív

I v

^áram ^esetében ^a ^vev® ^tekers ^által ^indukált

E ~ ^vi

beiktatott teret is). Nins szükség viszont új Green-függvények használatára, mint ahogyan az a

deníió alapjántörtén®számításokhozszükségeslettvolna.A(2.17) és(2.18) képletekmégarrais

rámutatnak,hogyannakérdekében,hogyazECTjeletpontosankitudjukszámítani,a

P ~

^függvényt

integrális értelemben kellpontosanmeghatározni.

A mágneses tér értékeinek meghatározása az impedania-változás képletével

Tekintsünk egy kisinyhurkot, amelyközelít®legegy síkbanelhelyezked®,azonos sugarú,

N

^számú

menetb®láll.Helyezzükeleztahurkot úgy,hogyannakközéppontja abbanapontbanlegyen,ahol

a mágneses tér anyaghiba következtében létrejöv® megváltozását kívánjuk mérni, pontosabban a

mágneses tér azon komponensének megváltozását, amely a hurok síkjánaknormálisairányba esik.

A mér®hurok

A

keresztmetszetelegyen annyirakisi,hogyfeltételezhessük, hogyamágneses térjó közelítéssel ugyanaz az

A

^felület ^minden ^pontjában.

AzECTfejbenlév®gerjeszt®tekersetésaleírtmér®hurkottekintsükegyadóbólésvev®b®lálló

ECT fej tekerseinek. Ezek alapján amér®hurokban (vev® tekersben) indukált feszültség

megvál-tozásátszámíthatjuka(2.17)képletalapján.(

I v

^és^a^hurok^síkjának^normálisa^a^jobbsav^ar ^szabály

szerintvannakösszerendelve.)Ugyanezafeszültségváltozásfelírhatóamágnesesindukióhurok

sík-jánaknormálisairányábamutatókomponensének,azanyaghibajelenlétéb®ladódómegváltozásából

(

∆B n

⁾ ^is^az indukiótörvénysegítségével. Ezekalapján írhatjuk, hogy

∆U _v = − jωAN∆B _n ,

^(2.20)

ahol

∆U _v

^a^(2.17) ^alapján ^kapott^eredmény^.^(2.20) egyenletb®lpedigegyszer¶en kifejezhet®a kere-sett mágnesesindukiómegváltozása:

∆B _n = − ∆U _v

jωAN .

^(2.21)

Amágnesesindukiómegváltozásezenképletalapján történ®számításának az el®nye ugyanaz,

mint amit az impedania-változás számításánál az imént leírtunk, tehát az, hogynins szükség új

Green-függvények meghatározására, mint ahogyan arra szükség volt a (2.16) képlet alapján

tör-tén® számítás esetében. A gyakorlatban els®sorban az adott számítási környezet határozza meg,

hogy az impedania-változásbólvalószámítás (ebben az esetben amér®hurok beiktatottterét kell

kiszámítani) vagy a közvetlen mágneses tér számítása (ebben az esetben szükség van a megfelel®

Green-függvényekre) aélravezet®bb.

2.2. A felületszer¶ repedés válaszjelének szimuláiója

2.2.1. A felületszer¶ repedést leíró integrálegyenlet

Atovábbiakban sokatfogunkfoglalkozniafelületszer¶repedéstleíróintegrálegyenlet megoldásával,

ezért ezenintegrálegyenlet levezetését a[46℄ irodalom nyománebben apontban áttekintjük.

Tekintsük a 2.2. ábrán látható elrendezést, ahol egy örvényáramú vizsgálófej található a

V _s

térfogatbanelhelyezked® vizsgálandómunkadarabfelett.A munkadarab vezet®képessége és

perme-abilitása

σ 0

^és

µ 0

^,^mindenhol^állandó.^Afelületszer¶repedéstúgykellelképzelnünk,hogykiindulunk egy nagyon vékonyleveg®vel kitöltöttanyaghiányból, amelyanyaghiány vastagságát minden

hatá-ron túl sökkentjük addig, amíg a repedés rásímul az

S _c

^felületre. ^A felületszer¶ repedésnél tehát egyvégesvastagságúanyaghiányból indultunkki,amelyéla repedéstérfogatanulla

vezet®képessé-g¶,

µ = µ ₀

permeabilitású anyaggal van kitöltve. A felületszer¶ repedés

S _c

felületének normálisa az

n ˆ

egységvektor,afelületkétoldalánakközvetlen környezetében azelektromágneses térértékeket

+

^és

−

^fels® ^indexek ^jelölik ^(lásd ^a ^2.2. ^ábrát). ^A továbbiakban olyan repedésekkel foglalkozunk, amelyeknél

S _c

^egy^adott ^síkban ^van,^mivel^a gyakorlatban általábanilyen repedéseket vizsgálunk.

Akapotteredményekazonbankönnyenáltalánosíthatóklennénekmegfelel®ensíma,görbültfelületi

repedésekre is.

Az elektromágneses tér viselkedése a repedés környezetében

Figyelembe véve azon térfogati anyaghiba tulajdonságait, amely vastagságának sökkentéseként

megkaptuk a felületszer¶ repedést, az

S _c

^felületre vonatkozóan a következ® határfeltételeket fo-galmazhatjuk meg. Mivel az

S _c

^felületen ^nem ^folyik tangeniális felületi áram, a mágneses tér tangeniális komponensefolytonos lesz:

H ~ _t ⁺ (~r) − H ~ _t ⁻ (~r) = 0, ~r ∈ S _c ,

^(2.22)

ahol a

t

^index ^a tangeniális komponens jele, azaz pl.

H ~ _t ⁺ = ˆ

n × H ~ ⁺

× n ˆ

^. ^F^olytonos ^lesz ^a

mágneses indukió vektornormális komponense is:

B _n ⁺ (~r) − B _n ⁻ (~r) = 0, ~r ∈ S _c ,

^(2.23)

PSfragreplaements

σ ₀ , µ ₀

E ~ ⁺ , ~ H ⁺ E ~ ⁻ , ~ H ⁻

ˆ n

ECT vizsgálófej

S _c

^:^Felületszer¶repedés

V _s

^: ^Vizsgált^munkadarab

2.2. ábra.ECT vizsgálófej egyfelületszer¶repedést tartalmazó munkadarab felett

aholaz

n

^index^a ^vektor^normális ^irányúkomponensét jelöli, azazpl.

B _n ⁺ = B ~ ⁺ · n ˆ

Az árams¶r¶ségvektor ésígy az elektromos térer®sség sem folytonos az

S _c

^felületen. ^Az

elekt-romos tér ugrásáról (2.23) alapján a II. Maxwell-egyenlet (2.2) felhasználásával állítható, hogy az

rotáió-mentes(

rot ( E ~ _t ⁺ − E ~ _t ⁻ ) = 0

^).^Ezek^alapján^atangeniáliselektromos térugrását el®állíthat-jukegy skalárisfüggvény gradienseként, azazírhatjuk, hogy

E ~ _t ⁺ (~r) − E ~ _t ⁻ (~r) = − 1

σ ₀ grad t p(~r), ~r ∈ S c ,

^(2.24)

ahol

p

^az

S _c

^felületenértelmezettskalárfüggvényés

grad _t

^a^felületen^vett^gradiens^operátort^jelenti

(

grad _t = grad − n ˆ _∂n ^∂

). A

p

^skalár függvényben szabadon választható additív konstans értéket úgy választjuk meg, hogy

p

^értéke

0

^legyen ^az

S _c

^felület ^munk^adarab ^belsejében ^lév® ^élének ^egyik

pontjában. Ezenválasztássalésfelhasználvaa repedéskörnyezetében lév®elektromos tér

irodalom-ban részletezett viselkedését [63 ℄ megállapítható, hogy a

p

^értéke ^azonosan ^nulla ^a ^repedésnek ^a

vizsgálandó munkadarabban lév®éleinél [64℄.

A (2.24) egyenletben el®írt ugrást el® lehet állítani egy normális irányú felületi

áramdipólus-s¶r¶séggel

~ p(~r) = p(~r)ˆ n

^, ⁽

~r ∈ S _c

⁾ ^{[150 ,} ^151℄. Megjegyezzük, hogy sokkal természetesebb lenne ezen ugrást el®állítani egy, az

S c

^felület ^síkjában ^folyó ^felületi ^mágneses ^áram ^által gerjesztetten.

Az áramdipólus-s¶r¶ség el®állítás számítástehnikai el®nye a mágneses áramhoz képest az, hogy

~ p

egyetlen skalársegítségévelleírható.

Végezetül felírhatjuka vékonyrepedéseketreprezentáló

S _c

^felület ^két^oldalán ^lév® elektromág-neses térre vonatkozó utolsó feltételt. Ez aztaz egyszer¶ tényt fejeziki, hogya szigetel®

tulajdon-ságokkalbíró repedésen keresztül nem folyhat áram, így az

S _c

^felület ^két ^oldalán ^az árams¶r¶ség normálisirányúkomponensenulla.Ebb®lkövetkezik,hogyazelektromostérer®sségnormálisirányú

komponenseis nulla az

S _c

^felület^mindkét^oldalán,^azaz

E _n ⁺ (~r) = E _n ⁻ (~r) = 0, ~r ∈ S _c .

^(2.25)

A felületi áramdipólus-s¶r¶ségviselkedése a repedés peremén egy speiális elrendezés

esetében

Vizsgáljuk azokat a speiális sík felülettel jellemzett repedéseket, amelyek síkokkal határolt

fém-bentalálhatók(tipikusanlemezvagyféltéralakú munkadarabok)ésarepedéseksíkjaimer®legesek

a munkadarabot határoló azon felület síkjára/síkjaira, amelyekb®l azok kiindulnak. Ha olyan

re-pedésr®l van szó, amely egyik éle sem esik a munkadarab felületébe, akkor a munkadarab alakja

tetsz®legeslehet.Annakgyakorlatijelent®ségemiattösszefoglaljukazilyenrepedéseketleírófelületi

áramdipólus-s¶r¶ség eloszlásokravonatkozó peremfeltételeket.

Legyen(ek) teháta munkadarabot határoló azon sík(ok)amely(ek)b®l arepedés kiindul a

Des-artes-koordinátarendszer

z

^tengelyére ^mer®leges ^sík(ok)ban ^és ^legyen ^az

S c

^repedés ^felülete ^egy

olyan sík amely normálisa mer®leges a

z

^tengely ^irányú

z ˆ

egységvektorra, azaz

n ˆ · z ˆ = 0

^. ^Az

S _c

felületethatároló

l

^görbét^két^szakaszrabonthatjuk.

l _f

^,^legyen^az^a^szakasz,^amely^része^a

munkada-rabot határoló síkfelületekvalamelyikének,

l _m

^pedig^legyen ^a ^határoló ^görbének ^azon ^többi ^része,

amely a munkadarab belsejében halad (

l = l m ∪ l _f

^). ^(Azon repedéseknél, amelyek nem a munka-darabfelületéb®lindulnakki,nins

l _f

^.)^Ezen jelölésekkelfelírhatjuka felületiáramdipólus-s¶r¶ség

~

p(~r) · n ˆ = p(~r)

^normális ^irányúkomponensére vonatkozó peremfeltételeketakövetkez®módon[65 ℄:

p(~r) = 0, ~r ∈ l _m ,

^(2.26)

∂p(~r)

∂z = 0, ~r ∈ l _f .

^(2.27)

A felületi áramdipólus meghatározására szolgáló integrálegyenlet

Tetsz®leges

p

^függvény választásával az (2.22) és (2.23) feltételek teljesülnek, így

p

^értékét ^(2.25)

fogjameghatározni.Írjukfeltehátazelektromos teretamunkadarabbanazECT vizsgálófejárama

által, a repedés nélküli munkadarabban gerjesztett

E ~ ⁱ (~r)

^és ^a ^felületi áramdipólus-s¶r¶ség által generáltelektromos terek összegeként akövetkez®formában:

E(~r) = ~ E ~ ⁱ (~r) − jωµ ₀ Z Z

S c

G ^e (~r | ~r ^′ ) · ~ p(~r ^′ ) d~r ^′ ,

^(2.28)

ahol a jobb oldal második tagja a felületi áramdipólus-s¶r¶ség által létrehozott elektromos tér

ki-fejezése a diadikus Green-függvények segítségével [52℄. Jelölje a továbbiakban

~r _±

^az

S _c

^felület ^egy

pontjára a pozitív és negatív oldalak irányából a normális vektor mentén valóközelítés

In document Szi (Pldal 24-0)

Az értekezés tov ábbi részének felépítése

V s

σ(~r)

~r

V d

σ 0

σ(~r) =

= σ 0 , ~r ∈ V s \ V d

V d

σ 0

µ 0

ω

E ~ = E(~r) ~

~r

ℜ n

E(~r) exp(jωt) ~ o

ℜ {·}

J(~r) ~

E(~r) ~

J ~ (~r) = σ(~r) E(~r) ~

V s

σ, µ 0 σ 0 , µ 0

V s

V d

rot H(~r) = ~ σ(~r) E(~r), ~

rot E(~r) = ~ − jωµ 0 H(~r), ~

H ~

rot H(~r) = ~ σ 0 E(~r) + [σ(~r) ~ − σ 0 ] E(~r) ~

V d

V d

P ~ (~r) = [σ(~r) − σ 0 ] E(~r), ~

H ~

rot rot E(~r) ~ − k c 2 E(~r) = ~ − jωµ 0 P ~ (~r),

k 2 c = − jωµ 0 σ 0 .

E(~r) = ~ E ~ i (~r) + E ~ f (~r), H(~r) = ~ H ~ i (~r) + H ~ f (~r),

i

σ(~r) = σ 0 , ~r ∈ V s

f

P ~ (~r)

V s

E ~ i

V s

rot rot E ~ i (~r) − k 2 c E ~ i (~r) = 0, ~r ∈ V s .

P ~

rot rot E ~ f (~r) − k c 2 E ~ f (~r) = − jωµ 0 P(~r), ~ ~r ∈ V s

E ~ i (~r)

P ~

E ~ f (~r) = − jωµ 0 Z Z Z

V d

G e (~r | ~r ′ ) · P ~ (~r ′ ) d~r ′

G e (~r | ~r ′ )

~r ′

~r

~r, ~r ′ ∈ V s

rot rot G (~r | ~r ′ ) − k 2 c G (~r | ~r ′ ) = δ(~r − ~r ′ ) I ,

δ

I

G

G e

G

G m

G e (~r | ~r ′ )

~r = ~r ′

E(~r) = ~ E ~ i (~r) − jωµ 0 Z Z Z

V d

G e (~r | ~r ′ ) · P ~ (~r ′ ) d~r ′ .

v(~r) = σ(~r) − σ 0

σ 0 ,

v(~r) = 0, ~r / ∈ V d

V d

v(~r) = − 1, ~r ∈

∈ V d

σ(~r) − σ 0

P(~r) ~

P ~ (~r) = P ~ i (~r) + k 2 c v(~r) Z Z Z

V d

G e (~r | ~r ′ ) · P ~ (~r ′ ) d~r ′ , ~r ∈ V d ,

P ~ i

E ~ i

P ~ i (~r) = [σ(~r) − σ 0 ] E ~ i (~r).

V _s

V _d

σ ₀

= σ ₀ , ~r ∈ V _s \ V _d

V _d

µ ₀

V _s

σ, µ ₀ σ 0 , µ 0

V _d

rot E(~r) = ~ − jωµ ₀ H(~r), ~

rot H(~r) = ~ σ ₀ E(~r) + [σ(~r) ~ − σ ₀ ] E(~r) ~

V _d

V _d

P ~ (~r) = [σ(~r) − σ ₀ ] E(~r), ~

rot rot E(~r) ~ − k _c ² E(~r) = ~ − jωµ ₀ P ~ (~r),

k ² _c = − jωµ ₀ σ ₀ .

E(~r) = ~ E ~ ⁱ (~r) + E ~ ^f (~r), H(~r) = ~ H ~ ⁱ (~r) + H ~ ^f (~r),

σ(~r) = σ ₀ , ~r ∈ V _s

V _s

E ~ ⁱ

rot rot E ~ ⁱ (~r) − k ² _c E ~ ⁱ (~r) = 0, ~r ∈ V _s .

rot rot E ~ ^f (~r) − k _c ² E ~ ^f (~r) = − jωµ ₀ P(~r), ~ ~r ∈ V _s

E ~ ⁱ (~r)

E ~ ^f (~r) = − jωµ ₀ Z Z Z

G ^e (~r | ~r ^′ ) · P ~ (~r ^′ ) d~r ^′

G ^e (~r | ~r ^′ )

~r ^′

~r, ~r ^′ ∈ V s

rot rot G (~r | ~r ^′ ) − k ² _c G (~r | ~r ^′ ) = δ(~r − ~r ^′ ) I ,

G ^e

G ^m

G ^e (~r | ~r ^′ )

~r = ~r ^′

E(~r) = ~ E ~ ⁱ (~r) − jωµ ₀ Z Z Z

G ^e (~r | ~r ^′ ) · P ~ (~r ^′ ) d~r ^′ .

σ ₀ ,

v(~r) = 0, ~r / ∈ V _d

V _d

∈ V _d

P ~ (~r) = P ~ ⁱ (~r) + k ² _c v(~r) Z Z Z

G ^e (~r | ~r ^′ ) · P ~ (~r ^′ ) d~r ^′ , ~r ∈ V _d ,

P ~ ⁱ

E ~ ⁱ

P ~ ⁱ (~r) = [σ(~r) − σ ₀ ] E ~ ⁱ (~r).

V _d

G ^m _sa

∆ B ~ = B ~ ^f = B ~ − B ~ ⁱ

B ~ ⁱ

∆ B(~r) = ~ µ ₀ Z Z Z

G ^m

sa (~r | ~r ^′ ) · rot P ~ (~r ^′ ) d~r ^′ , ~r ∈ V _a ,

V _a

~r ^′

I _a

V _d

E ~ ⁱ (~r)

I _a

I _v

E ~ ^vi (~r)

∆U _v

V _d

∆U v = U v − U _v ⁱ

U _v ⁱ

E ~ ⁱ

E ~ ^vi

∆U v = − 1 I _v

E ~ ^vi (~r) · P ~ (~r) d~r.

∆U _a = ∆U _v

∆Z = − 1 I ²

E ~ ⁱ (~r) · P(~r) ~ d~r,

I = I _a = I _v

∆Z = ∆U _v

I _a = − 1 I _a I _v

E ~ ^vi (~r) · P ~ (~r) d~r.

E ~ ^vi

∆U _v = − jωAN∆B _n ,

∆U _v

∆B _n = − ∆U _v

V _s

S _c