4. Felületszer¶ anyaghiba modellek 61
4.1.2. A numerikus megvalósítás
x
x y
z
(x c ; y c )
a c
b c
q c
d
h l
r 1 r 2
σ 0 , µ 0
vizsgálófej
repedések
4.2. ábra.ECT vizsgálófejpárhuzamos felületszer¶ repedésektartalmazó lemezfelett
nemsak a vizsgálófejáltalahibamentes munkadarabba indukált tér(
E cn i ),hanem eztmégki kell
egészíteni atöbbi repedés mint másodlagos forrás által keltettelektromos térrel is(4.3) .
4.1.2. A numerikus megvalósítás
A többszörös repedések modellezésére felírt integrálegyenlet megoldására elkészítettem egy
számí-tógépesprogramot, amelylemezalakú,nemmágnesesmunkadarabokbantalálható, alemezsíkjára
mer®legessíkokbanlév®,téglalapalakú,párhuzamosfelületszer¶repedésekválaszjelének
számításá-ra használható. A vizsgált geometria a4.2. ábrán látható. A
c
-edikrepedés(c = 1,2, . . . , C
) annakközéppontjának koordinátáival
(x c ; y c )
, hosszával (b c), mélységével (a c) és fels® szélének a lemez
fels® síkjátólmért távolságával (
q c)jellemezhet® (a jelöléseket lásda4.2. ábrán).
Az elkészített program általgyelembe vett elrendezésnumerikusszempontbóljelent®s
egysze-r¶sítés a4.1. ábránlátható általánoselrendezéshezképest,mivelebbenazesetbensak az
x
-irányúáramdipólus-s¶r¶ség által gerjesztett
x
-irányú elektromos tér meghatározása szükséges (másként megfogalmazva: sak egy skalár függvényre van szükség a Green-diádból). A vizsgált elrendezésgyakorlati jelent®sége viszont számottev®nek mondható, mivel anyagszerkezeti okokra
visszave-zethet®en a repedésekorientáiója általában azonos, így agyakorlatban várható repedések
soka-ságábólkialakulóanyaghiba legtöbbször modellezhet® a4.2. ábrán látható elrendezéssel.
Az integrálegyenlet diszkretizáiója
A 4.2. ábrán látható elrendezésre vonatkozó integrálegyenlet megoldását a momentum módszer
segítségévelkeressük.Közelítsükazegyesrepedéseketleíróáramdipólus-s¶r¶ségfüggvények
x
-irányúrendez®jéta következ® alakban:
p c (x = x c , y, z) =
M c
X
m=1 N c
X
n=1
p c mn f yc m (y − y c )f zc n (z), c = 1,2, . . . , C,
(4.4)ahol az
f yc m (y)
ésf zc n (z)
sorfejt® függvényeknek a (3.9) -(3.13) globális közelít® függvényekc
-edikrepedésre vonatkoztatott (
a = a c,b = b c, q = q c) alakja. Tesztel® függvényekként pedig használjuk
a
q = q c) alakja. Tesztel® függvényekként pedig használjuk a
t kl c (x = x c , y, z) = t k yc (y − y c )t l zc (z), k = 1,2, . . . , K c ;
l = 1,2, . . . , L c ; c = 1,2, . . . , C
(4.5)intervallumonként állandó függvényeket, ahol
t k yc (y)
ést l zc (z)
a (3.15) és (3.16)c
-edik repedésnekmegfelel® kifejezése (
a = a c,b = b c,q = q c).A megvalósításban M c = K c ésN c = L c választásával
kvadratikus együtthatómátrixotkapunk.
q = q c).A megvalósításban M c = K c ésN c = L c választásával
kvadratikus együtthatómátrixotkapunk.
N c = L c választásával kvadratikus együtthatómátrixotkapunk.
A diszkretizáió során kapott lineáris egyenletrendszerben
C
X
c=1
M c · N c számú ismeretlen lesz.
Az együtthatómátrix elemeit a 3.1.4. pontban bemutatotthoz hasonlóan számíthatjuk ki. A
z
ész ′ változók szerinti integrálok a többszörös repedések esetében is kiértékelhet®k analitikusan, va-lamint az el®forduló szinguláris integrálok hasonló módon kezelhet®k ebben az esetben is mint
ahogyan az a(3.20) egyenletbenlátható. Akapottlineárisegyenlet-rendszer megoldásaként el®álló
p c mn (m = 1,2, . . . , M c,n = 1,2, . . . , N c,c = 1,2, . . . , C
) együtthatók segítségévelfelírható az egyes
repedéseket helyettesít® p c (x = x c , y, z)
(y, z ∈ S c, c = 1,2, . . . , C
) felületi áramdipólus-s¶r¶ség
függvények x
-irányúrendez®inek közelítése(4.4) .
n = 1,2, . . . , N c,c = 1,2, . . . , C
) együtthatók segítségévelfelírható az egyes
repedéseket helyettesít® p c (x = x c , y, z)
(y, z ∈ S c, c = 1,2, . . . , C
) felületi áramdipólus-s¶r¶ség
függvények x
-irányúrendez®inek közelítése(4.4) .
c = 1,2, . . . , C
) felületi áramdipólus-s¶r¶ség függvényekx
-irányúrendez®inek közelítése(4.4) .Az ECT válaszjel kiszámítása
A 2.1.2. és a 2.2.2. pontokban leírtak alapján a többszörös repedések ECT válaszjele egy adó- és
vev® tekersettartalmazóelrendezésben akövetkez®módon számítható:
∆U v = − 1 I v
C
X
c=1
Z Z
S c
E cn vi (~r)p c (~r) d~r,
(4.6)ahol
∆U v avev® tekersbe indukáltazon feszültségváltozás, amelyarepedések jelenlétéb®ladódik.
E cn vi (~r)
a vev® tekers ktívI v árama által a hibamentes munkadarabba indukált elektromos
tér-nek az S c felület normális irányú rendez®je. Abban az esetben, amikor ugyanazon tekers szolgál
az örvényáramú tér keltésére és ennek perturbáiójának a mérésére, a tekers impedaniájának a
repedésekjelenléte miatttörtén® megváltozása(
∆Z
)a következ® képlettel számítható:∆Z = − 1 I 2
C
X
c=1
Z Z
S c
E i cn (~r)p c (~r) d~r,
(4.7)ahol
I
a tekers áramát jelöli.Azegyszeres repedésekesetében leírtakhoz hasonlóan többszörösrepedések esetében is
számít-hatóamágnesestéranyaghibajelenléténekhatására kialakulóperturbáiója(lásd:a2.1.2.és2.2.2.
pontokat).
4.1.3. Numerikus példák és az eredmények értékelése
Azels® ésmásodikmintapéldábanazonosnagyságú, egymássalpárhuzamos,két repedésECTjelét
számítottamki.Akétmintapéldábanakülönbségabbanáll,hogyazegyikesetbenOD,amásikban
ID repedéseketvizsgálunk,továbbá abban,hogykülönböz® agerjeszt®tér frekveniája(
150
kHz és300
kHz).A mintapéldában azt vizsgáljuk, hogy a repedések közötti
∆x
távolság függvényében hogyan változik a válaszjel. Egyszer¶ zikai kép alapján azt várjuk, hogy ha a repedések nagyon közelvannak egymáshoz, akkor úgy viselkednek, mintha egyetlen repedés lenne sak az m
unkadarab-ban. Ha a repedések viszont már eléggé távol vannak egymástól, akkor viszont azt várjuk, hogy
az ECT válaszjel megegyezikazzal a jellel, amelyetúgy kapunk, hogy az egyesegyedülálló
repedé-sek válaszjeleit szuperponáljuk.Másként megfogalmazva,azegymástól távollév®repedésekjelének
számításakor a (4.1) integrálegyenletekben a jobb oldalon amásodik tagokat elhanyagoljuk,így az
integrálegyenletekfüggetlenegyenletekkéesnekszét.Adekomponáltintegrálegyenletekazegyes
kü-lönállórepedésekrevonatkozó(2.29)integrálegyenletek lesznek.Aztazesetet,amikornemvessszük
gyelembeazegyesrepedésekközöttikölsönhatástfüggetlenrepedésekjelénekszuperpozíiójának
nevezzük.
TöbbszörösrepedésekECTválaszjelétmegadómérésieredményeknemállnakrendelkezésünkre,
ígyabemutatandómintapéldákhelyességétazzaltudomalátámasztani,hogyaszimuláltválaszjelek
megfelelnek a zikai szemlélet alapján elvártaknak. Az ellen®rzésre használt egyszeres repedésre
kapott jelek helyességét pedig mérési eredményekkel a 3.2.2. pontban bemutatottak alapján már
alátámasztottam.
Az els® mintapélda paraméterei megegyeznek a 3. tesztfeladat elrendezésének adataival (45.
oldal,3.1.táblázat)azzalakülönbséggel,hogykétIDrepedéstalálhatóamunkadarabban,amelyek
0 2 4 6 8 10
4.3. ábra.1.mintapélda. Kétegymással párhuzamos azonos nagyságúIDrepedés ECT válaszjele,
amikor avizsgálófej az
y
tengelymentén mozog. Egyszeresrepedés(), két repedés, amelyekközötta rés(
∆x
)mérete:0,005
mm (×
),0,02
mm (-- -),0,05
mm (+
),0,1
mm (· · ·
),0,2
mm (◦
),0,4
mm (),0,8
mm (•
),1
mm(△
) éskétegymástól∆x = 1
mm távolságban lév®függetlenrepedés jelénekszuperpozíiója(
− · −·
)0 2 4 6 8 10
4.4.ábra. 2.mintapélda. Két egymással párhuzamos azonosnagyságúOD repedésECT válaszjele,
amikor avizsgálófej az
y
tengelymentén mozog. Egyszeresrepedés(), két repedés, amelyekközötta rés(
∆x
)mérete:0,005
mm (×
),0,02
mm (-- -),0,05
mm (+
),0,1
mm (· · ·
),0,2
mm (◦
),0,4
mm (),1
mm (•
),1,4
mm (△
) éskétegymástól∆x = 1,4
mmtávolságban lév® függetlenrepedés jelénekszuperpozíiója(
− · −·
)paraméterei:
a 1 = a 2 = 0,5
mm,b 1 = b 2 = 10
mm ,q 1 = q 2 = 0
,x 1 = − ∆x/2
,x 2 = ∆x/2
és
y 1 = y 2 = 0
, ahol∆x
a két repedésx
-irányú távolsága. A számítások eredményeként kapott válaszjelek a 4.3. ábrán láthatók. Itt a∆x = 0,005
;0,02
;0,05
;0,1
;0,2
;0,4
;0,8
mm esetébenszámítottválaszjelekenkívül megtalálhatókazok aválaszjelekis, amelyeketegyetlenrepedés (
a 1 =
= 0,5
mm ,b 1 = 10
mm,q 1 = 0
,x 1 = 0
,y 1 = 0
) analíziseként, illetve két egymástól∆x = 1
mmtávolságban lév® független repedés jelének szuperpozíiójaként kaptam. Látható, hogy a kapott
görbék igazolják azikai szemléletalapján elvárteredményeket.
Amásodikmintapéldaparamétereimegegyezneka2.tesztfeladatelrendezésénekadataival(lásd
a 3.1. táblázatot) azzal a különbséggel, hogy most két OD repedés található a munkadarabban,
amelyekparaméterei (lásd a4.2. ábrát):
a 1 = a 2 = 0,5
mm,b 1 = b 2 = 10
mm,q 1 = q 2 = 0,75
mm,0 2 4 6 8 10
−0.12
−0.1
−0.08
−0.06
−0.04
−0.02 0
PSfragreplaements
Impedania-változás
[Ω ]
y [
mm]
(a)valósrész
0 2 4 6 8 10
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
PSfragreplaements
Impedania-változás
[Ω ]
y [
mm]
(b)képzetesrész
4.5. ábra. 3.mintapélda. Két egymásalatt lév®repedés ECT válaszjele,amikor a vizsgálófejaz
y
tengelymentén mozog.Egyszeresrepedés(), kétrepedés, amelyekközött arés (
∆z
) mérete:0,001
mm (×
),0,005
mm (◦
),0,01
mm (+
),0,4
mm (△
) éskét egymás alatt∆z = 0,4
mmtávolságban lév® független repedésszuperpozíiója (-- -)
x 1 = − ∆x/2
,x 2 = ∆x/2
ésy 1 = y 2 = 0
.Aszámítások eredményeként kapottválaszjeleka4.4. áb-ránláthatók.Itta∆x = 0,005
;0,02
;0,05
;0,1
;0,2
;0,4
;1
;1,4
mmesetébenszámítottválaszjeleken kívül megtalálhatók azok a válaszjelek is, amelyeket egyetlen repedés (a 1 = 0,5
mm ,b 1 = 10
mm,q 1 = 0,75
mm,x 1 = 0
,y 1 = 0
) analíziseként, illetve kétegymástól∆x = 1,4
mm távolságban lév®független repedésjelénekszuperpozíiójakéntkaptam. Látható, hogya számítottválaszjelek ebben
az esetben is igazolják a zikai szemlélet alapján elvárt viselkedést. A 4.4(a). ábra görbéi közötti
látszólagosanjelent®snekt¶n®eltérésekokaaz,hogyebbenamintapéldábanazimpedania-változás
valós része egy nagyságrenddel kisebb a képzetes résznél. Az egyes vizsgált konguráiók jelei
kö-zötti eltérés, valamint a numerikushiba isa valós ésképzetesrészben közel azonos nagyságrendbe
esik, ezért szórnakjobban a valós részt ábrázoló görbék agrakonon. Amennyiben egykoordináta
rendszerben ábrázolnánk a valós és képzetes részeket, az említett jelenség nem is lenne látható,
mivelavalósrészekgörbéiszorosananullatengelykörésoportosulnának(lásda3.5(b).ábrát, ott
az egyszeresrepedés jeleaz említettmódon vanábrázolva).
Aharmadikmintapéldábana4.tesztfeladat(3.1.táblázat)elrendezéséb®lindultamki.A
különb-ségabbanáll,hogya4.tesztfeladatbanláthatórepedéstkétegymásfelettlév®repedésreosztottam
úgy, hogya kétrepedésközötti
∆z
távolság∆z = 0,001
;0,005
;0,01
;0,4
mm értékeketvegyen fel.A repedésekadataitehát:
a 1 = a 2 = 0,375
mm− ∆z/2
,b 1 = b 2 = 10
mm,q 1 = 0
,q 2 = 0,375
mm+ + ∆z/2
,x 1 = x 2 = 0
,y 1 = y 2 = 0
.A 4.5.ábrán a megadottelrendezésen kívüllátható a megfelel®egyszeres repedés (
a 1 = 0,75
mm,b 1 = 10
mm,q 1 = 0
,x 1 = 0
,y 1 = 0
) válaszjele, továbbá a∆z = 0,4
mm esetében kapottkonguráió független repedések jelénekszuperpozíiójaként kapott eredmény is. Látható, hogy∆z
változásával a zikai képnek megfelel® módon alakul a többszörös repedésekanalízisekor kapott válaszjel.A negyedik mintapéldában is a 4. tesztfeladat (3.1. táblázat) elrendezéséb®l indultam ki. A
különbségabban áll,hogya4.tesztfeladatbanlátható repedéstkét
y
-iránybanegymáskövet®repe-désre osztottam úgy,hogya kétrepedés közötti
∆y
távolság∆y = 0,001
;0,005
;0,01
;0,4
;0,8
mmértékeket vegyen fel. A repedések adatai tehát:
a 1 = a 2 = 0,75
mm,b 1 = b 2 = 5
mm− ∆y/2
,q 1 = q 2 = 0
,x 1 = x 2 = 0
,y 1 = − 2,5
mm− ∆y/4
,y 1 = 2,5
mm+ ∆y/4
. A 4.6. ábrán a megadottelrendezésenkívülláthatóamegfelel®egyszeresrepedés(
a 1 = 0,75
mm,b 1 = 10
mm,q 1 = 0
,x 1 = 0
,y 1 = 0
) válaszjele, továbbá a∆y = 0,8
mm esetében kapott konguráió független repedésekjelé-nekszuperpozíiójakéntkapotteredményis.Amintapéldaaszámításieljáráshelyességéttámasztja
alá azzal, hogy
∆y
változásával látható módon a zikai képnek megfelel®en alakul a többszörös repedésekválaszjelének szimuláiójaként kapotteredmény.0 2 4 6 8 10
4.6. ábra.4.mintapélda. Kétegymás után lév®repedés ECT válaszjele,amikor a vizsgálófejaz
y
tengelymenténmozog.Egyszeresrepedés(), kétrepedés, amelyekközött a rés(
∆y
)mérete:0,001
mm (×
),0,005
mm (◦
),0,01
mm (+
),0,4
mm (•
),0,8
mm(△
) éskétegymás után0,8
mmtávolságban lév® független repedésszuperpozíiója (-- -)
−10 −5 0 5 10
4.7. ábra. 5.mintapélda. Két egymássalpárhuzamos különböz® méret¶repedésECT válaszjele,
amikor avizsgálófej az
y
tengelymentén mozog. Egyszeresrepedés(), két repedés, amelyekközött arés (
∆x
) mérete:0,005
mm (×
),0,02
mm (◦
),0,04
mm (+
) és0,8
mm (△
)Az ötödik mintapéldában szintén a 4. tesztfeladat (3.1. táblázat) elrendezéséb®l indultam ki.
A különbség abban áll, hogy jelen esetben két különböz® méret¶ és elhelyezkedés¶ repedés jelét
vizsgáltam.Arepedésekközötti
∆x
távolságokat változtatvavizsgáltam azadottelrendezés válasz-jelét. Az els® repedés adatai:a 1 = 0,75
mm,b 1 = 10
mm,q 1 = 0
,x 1 = − ∆x/2
,y 1 = 0
,a másodikrepedés paraméterei pedig:
a 2 = 0,7
mm,b 2 = 4
mm ,q 2 = 0
,x 2 = ∆x/2
,y 2 = 2
mm .A 4.7. ábrána
∆x = 0,005
;0,02
;0,4
;0,8
mm választásakor kapott válaszjeleken kívül látható még a megfelel®egyszeres repedés (
a 1 = 0,75
mm,b 1 = 10
mm ,q 1 = 0
,x 1 = 0
,y 1 = 0
) válaszjele is. A kapotteredmények ebben az esetben is igazolják a zikai kép alapján elvárt viselkedést, hiszen nagyon
kisi
∆x
esetében a többszörös repedés válaszjele megegyezik az egyszeres repedésével. Növekv®∆x
mellet pedig n® a válaszjel nagysága és a jely
szerint aszimmetrikussá válik abból adódóan, hogyazx 2 = 0
,y 2 = 2
mmközéppontúrepedésjelenléteegyre fontosabbaválaszjelkialakításában.(A 4.3.-4.6.ábrákon sak a
o < y < 10
mm intervallumon van ábrázolva a válaszjel,mivel azoknál a mintapéldáknál az elrendezés ésígy a válaszjel is szimmetrikusazy = 0
pontra.)Annakellenére,hogynemállrendelkezésremérésieredmény,abemutatottmintapéldákhihet®vé
teszikakidolgozottszimuláióseljáráshelyességét.Azmintapéldákegyeselrendezéseinek
analízisé-hez szükségesszámítási id®általában
1
és5
perközöttvolt(eztaCPUid®tegyátlagos,1,86
GHzórajel frekveniájú Intel Centrino proesszort tartalmazó, IBM PC kompatibilis hordozható
sze-mélyi számítógép használatakor mértem). A feladat komplexitásához mérten ez a számítási igény
igenkisinekmondható,ígyállítható,hogyegynagyongyorsésalasonyszámításiigény¶módszert
sikerült kidolgozni.
Az eredmények alapján azt ismegállapíthatjuk, hogy egymásközelében lév® repedések közötti
interakió a repedések távolságának növekedésével nagyon gyorsan sökken és aránylag kis
távol-ságok esetében is már elhanyagolható. Két repedés esetében az els® és második repedés közötti
kölsönhatás jellemezhet® pl. azzal a viszonyszámmal, amely a vizsgálófej által keltett beiktatott
tér és a másik repedést jellemz® áramdipólus-s¶r¶ség által keltett tér repedésre vett integráljának
hányadosaként kaphatómeg.Pontosabban, az
1
-es repedéshatásáta2
-esrepedésre a(4.1) alapjána következ® viszonyszámmaljellemezhetjük:
λ 12 = Z Z
S 2
− jωµ 0 Z Z
S 1
g 12 (~r | ~r ′ )p 1 (~r ′ ) d~r ′
d~r Z Z
S 2
E 2n i (~r) d~r
.
(4.8)A numerikus példák alapján azt látjuk, hogy egymástól a behatolási mélységnél (a behatolási
mélység az 1., 3., 4. és 5. mintapéldáknál:
1,3
mm, a 2. mintapéldánál:0,92
mm) távolabb lév®repedésekesetében arepedések közöttikölsönhatás elhanyagolható agerjesztéssel (
E 2n i ) való
köl-sönhatáshozképest.Ezabbanmutatkozikmeg,hogyilyentávolságokbanlév®többszörösrepedések
jele márszintetökéletesen el®állítható az egyesrepedések jelénekszuperpozíiójaként.
Megállapít-hatjuktovábbáaztis, hogyafüggetlen repedésekszuperpozíiójaként kapottválaszjelmáregészen
elfogadható közelítését adja az egymástól fél behatolási mélység távolságra lév®, többszörös
repe-désekjelének. Emegállapítások természetesenigen hozzávet®legesek, hiszen aközelítés pontossága
nagybanfügg arepedésekgeometriájától is(valójábana repedésekközöttitávolságdeníiójasem
egyszer¶ az1.és2.mintapéldageometriájánál bonyolultabb esetekben),így amegállapítások sak
arrahasználhatók, hogyérzékelni lehessen arepedésekközötti kölsönhatás nagyságáta repedések
közöttitávolság függvényében.
Azegyesanyaghibákközöttikölsönhatásvizsgálatávalkapsolatoseredményeketa[110℄ikkben
közöltekentúla[135 ℄irodalombanpublikáltam.Ittfeltételeketfogalmaztunkmegarravonatkozóan,
hogy mikor tekinthet® két egymáshoz közelianyaghiba közötti kölsönhatás elhanyagolhatónak.A
bemutatott elmélet alapjánjelent®sentudtuk egyszer¶síteni lineárisdekompozíió felhasználásával
egy egyébként igen összetettinverzprobléma megoldását. A vizsgáltinverz probléma fémlemezbe
lézerrelírtvonalkódörvényáramúmérésalapjántörtén®kiolvasásavolt.A[135℄irodalombanközölt
eredmények közülakit¶zött inverzprobléma megoldásávalkapsolatosmegállapítások és
megvaló-sításoka társszerz®k eredményeinek, az anyaghibák közötti kölsönhatás mér®számának megadása
ésa dekompozíió alkalmazásánakötleteaz én eredményemnektekinthet®.