A térfogati anyaghibát leíró integrálegyenlet

2. Az értekezésben felhasznált összefüggések 19

2.1.1. A térfogati anyaghibát leíró integrálegyenlet

Mivel az anyaghibát leíró integrálegyenlet levezetése hasznos lesz a további mondanivalók

szem-pontjából, ezért ezta [50 ℄irodalom nyomán ebben a pontban vázolom.

Tekintsük a 2.1. ábrán látható elrendezést, ahol egy örvényáramú vizsgálófej található a

V _s

térfogatban elhelyezked® vizsgálandó munkadarab felett. A munkadarab

σ(~r)

vezet®képessége (

~r

helyvektort jelöli) a

V _d

^térfogat kivételével ugyanaz mindenhol és ennek értéke

σ ₀

^(azaz:

σ(~r) =

= σ ₀ , ~r ∈ V _s \ V _d

^).^A^térfogati ^anyaghiba ^azon

V _d

^térrészbenhelyezkedik el,ahol avezet®képesség eltér

σ 0

^-tól.^A^m^unkadarab^és^a^benne^lév®^anyaghiba^anyaga^nem^mágneses,^így^ezekpermeabilitása

µ ₀

A vizsgálófejet id®ben szinuszosan változó,

ω

körfrekveniájú árammal gerjesztjük, feltételez-zük, hogy az elrendezés lineárisnak tekinthet® anyagjellemz®kkel bíró térrészekb®l áll. A komplex

számítási módszer alkalmazásával [148 ℄ a térjellemz®kkomplex súsértékét használjuk. Jelölje pl.

E ~ = E(~r) ~

^az ^elektromos ^{térer®sség} ^komplex ^{súsértékét} ^az

~r

^helyen, ^ennek ismeretében a térjel-lemz® vektorának id®függvényét a

ℜ n

E(~r) exp(jωt) ~ o

kifejezéssel kaphatjuk meg, ahol a

ℜ {·}

komplex kifejezésvalós részétjelöli.

Az eltolásiáramelhanyagolásával, valamint a

J(~r) ~

^elektromos árams¶r¶ségés

E(~r) ~

^elektromos

térer®sség komplex súsértékeiközött kapsolatot teremt®,

J ~ (~r) = σ(~r) E(~r) ~

^, anyagjellemz®re vo-natkozóegyenletgyelembevételével, avizsgálandómunkadarab

V _s

térfogatábanazels®ésmásodik

PSfragreplaements

σ, µ ₀ σ 0 , µ 0

V s

V _d

ECTvizsgálófej

Térfogatianyaghiba

Vizsgáltmunkadarab

2.1. ábra. ECT vizsgálófejegytérfogati anyaghibát tartalmazó munkadarab felett

Maxwell-egyenlet akövetkez®alakban írható:

rot H(~r) = ~ σ(~r) E(~r), ~

^(2.1)

rot E(~r) = ~ − jωµ ₀ H(~r), ~

^(2.2)

ahol

H ~

^a^mágneses ^{térer®sség}^komplex ^{súsértékét}^jelöli. ^(2.1) átrendezésével kapjuka

rot H(~r) = ~ σ ₀ E(~r) + [σ(~r) ~ − σ ₀ ] E(~r) ~

^(2.3)

alakot,ahola jobboldal második tagjátfelfoghatjuk,mintegyküls®forrást, amelya

V _d

^térfogatra

konentrálódik. Ezen forrás fogja az anyaghiba által keltett térperturbáiót létrehozni. Az ECT

mérésekéljatehát ezen, a

V _d

térfogatban nullától eltér®,

P ~ (~r) = [σ(~r) − σ ₀ ] E(~r), ~

^(2.4)

ún.anyaghibátleíróáramdipólus-s¶r¶ség általkeltettelektromágnesestérmeghatározása.(2.2) -(2.4)

egyenletekb®l,

H ~

kiküszöbölésévela következ®egyenletrejutunk:

rot rot E(~r) ~ − k _c ² E(~r) = ~ − jωµ ₀ P ~ (~r),

^(2.5)

ahol,

k ² _c = − jωµ ₀ σ ₀ .

^(2.6)

Bontsukfel azelektromágneses teret kétkomponensre,tehát legyen

E(~r) = ~ E ~ ⁱ (~r) + E ~ ^f (~r), H(~r) = ~ H ~ ⁱ (~r) + H ~ ^f (~r),

^(2.7)

aholaz

i

^fels®^index ^az ^ún.^beiktatott ^teret ^jelöli, ^amely^az ^ECT vizsgálófejanyaghibanélküli mun-kadarabbankeltett elektromágneses terét jelöli. Ez úgykapható meg,hogy tekintjük az anyaghiba

nélkülimunkadarabot (

σ(~r) = σ ₀ , ~r ∈ V _s

⁾ ^és^avizsgálófejáramát,mint ateretgerjeszt® mennyisé-get.Az

f

^fels®^index^pedig^az^ún.^anyaghiba^terét ^jelöli,^amely^az^anyaghiba^jelenlétekövetkeztében létrejöv®perturbálótér.Eztazelektromágnesesteretúgykapjuk,hogytekintjük

P ~ (~r)

áramdipólus-s¶r¶ség, mint gerjesztéshatására létrejött teret az anyaghiba nélküli munkadarab

gyelembevéte-lével. (Az anyaghiba tér meghatározásánál legtöbbször a vizsgálófej jelenlétét®l eltekintünk, ezen

egyszer¶sítéssel általábanigenkishibát követünk el.)

Mivelabeiktatottteretgerjeszt®árama

V _s

^térfogaton^kívülhelyezkedik el,ezért

E ~ ⁱ

^a^következ®

egyenletet elégíti ki

V s

^-ben^:

rot rot E ~ ⁱ (~r) − k ² _c E ~ ⁱ (~r) = 0, ~r ∈ V _s .

^(2.8)

P ~

^anyaghibát ^leíróáramdipólus-s¶r¶ség,mintforrás által keltettanyaghibatér pedigmegoldása a

rot rot E ~ ^f (~r) − k _c ² E ~ ^f (~r) = − jωµ ₀ P(~r), ~ ~r ∈ V _s

^(2.9)

egyenletnek.Látható, hogy (2.8) és(2.9) összegevalóban megadjaa (2.5) egyenletet.

Az ECT fej által az anyaghiba nélküli munkadarabban gerjesztett beiktatott tér (

E ~ ⁱ (~r)

⁾

szá-mítására különböz® módszerek ismertek az irodalomból (lásd: 1.4.1. pont), ennek részleteivel itt

nemfoglalkozunk.Ismert

P ~

^esetében^az^anyaghiba^tereel®állítható diadikusGreen-függvények [52℄

segítségévela következ®módon:

E ~ ^f (~r) = − jωµ ₀ Z Z Z

V d

G ^e (~r | ~r ^′ ) · P ~ (~r ^′ ) d~r ^′

^(2.10)

ahol

G ^e (~r | ~r ^′ )

^az^elektromos^térre^vonatkozóGreen-diád.Ezaz

~r ^′

^helyen^találhatógerjesztést transz-formáljaaz

~r

^pontbeli ^elektromos ^térbe, ^amennyiben

~r, ~r ^′ ∈ V s

AGreen-diád megoldása a következ®diadikus egyenletnek:

rot rot G (~r | ~r ^′ ) − k ² _c G (~r | ~r ^′ ) = δ(~r − ~r ^′ ) I ,

^(2.11)

ahol

δ

^a Dira-függvényt,

I

az egységdiádot jelenti és a diád komponensei kielégítik az adott el-rendezésre vonatkozó megfelel® folytonossági- és peremfeltételeket. Amennyiben a

G

diádminden komponense kielégíti az elektromos térre vonatkozó folytonossági- és peremfeltételeket, akkor az

elektromos térre vonatkozó

G ^e

diádot kapjuk. Ha a (2.11) megoldásaként kapott

G

diád minden komponenseamágnesestérre vonatkozófolytonossági-ésperemfeltételeket elégítiki,akkora

mág-neses térre vonatkozó Green-diádotkapjuk, amelyjelölése

G ^m

Megjegyezzük, hogy a Green-diád megadása sak egyszer¶ geometriájú munkadarabok (pl.:

féltér, lemez, rétegezett lemez, henger, s®, többréteg¶ s®, stb. alakú munkadarabok) esetében

tehet® meg viszonylag könnyen. Ezen eseteknek a gyakorlati jelent®sége azonban igen nagy, mivel

az iparban el®forduló ECT problémák jelent®s hányadában közelíthet® a munkadarab egyszer¶

geometriájú elrendezéssel. A közelítés leginkább azért tehet® meg, mert az ECT mér®fej és az

anyaghibaáltalábankisi,ezért azeredményszempontjábólérdekestérrészaz anyaghibaközvetlen

környezetére konentrálódik, így a térrészben kialakuló elektromágneses tér kevéssé különbözik az

egyszer¶sített geometriájú elrendezésben kialakulótért®l.

Azelektromostérrevonatkozó Green-diádmeghatározásántúl,(2.10)kiértékelésénekegymásik

nehézsége,hogya

G ^e (~r | ~r ^′ )

^diádban^lév®^függvényekszingulárisokaz

~r = ~r ^′

^helyen,^így^a^{számítások}

során feltétlenül gyelemmelkell arralenni, hogyaz integrál kiértékelésére megfelel®,numerikusan

stabilis algoritmust használjunk.Egyilyen algoritmus megtalálása ésimplementálása aszámítások

egyik kulskérdése.

(2.10) segítségével felírhatjuka(2.7) teljeselektromos teret a következ®formában:

E(~r) = ~ E ~ ⁱ (~r) − jωµ ₀ Z Z Z

V d

G ^e (~r | ~r ^′ ) · P ~ (~r ^′ ) d~r ^′ .

^(2.12)

Bevezetjüka

v(~r) = σ(~r) − σ 0

σ ₀ ,

^(2.13)

ún.relatív anyaghiba függvényt, amelynekértékenullaaz anyaghibánkívül (

v(~r) = 0, ~r / ∈ V _d

⁾ ^és^a

V _d

térfogatbannemnulla értéketveszfel.Példáulnemvezet® anyaghibák esetében

v(~r) = − 1, ~r ∈

∈ V _d

^adódik. ^A ^(2.12) ^egyenletet ^beszorozva

σ(~r) − σ 0

függvénnyel, valamint felhasználva (2.4) és (2.13) képleteket a térfogati anyaghibát leíró (a

P(~r) ~

áramdipólus-s¶r¶ségre vonatkozó másodfajú Fredholmtípusú)integrálegyenlet szokásosformájához jutunk[50℄:

P ~ (~r) = P ~ ⁱ (~r) + k ² _c v(~r) Z Z Z

V d

G ^e (~r | ~r ^′ ) · P ~ (~r ^′ ) d~r ^′ , ~r ∈ V _d ,

^(2.14)

ahol

P ~ ⁱ

kifejezhet®

E ~ ⁱ

ismeretében:

P ~ ⁱ (~r) = [σ(~r) − σ ₀ ] E ~ ⁱ (~r).

^(2.15)

Látható, hogy (2.14) bal oldala és a jobb oldal mindkét tagja azonosan nulla az anyaghiba

térfogatánkívül,így ezenintegrálegyenletetsak a

V _d

térfogatbankell megoldani.Amegoldás élja a

P ~

^ismeretlen meghatározása, aminek segítségével már számítható az adott ECT vizsgálófej jele (lásd a2.1.2. pontot).

A(2.14)integrálegyenletbenamagszinguláris.EzenszingularitáskezeléseaCauhy-félef®érték

segítségévelmegoldható. Annakellenére,hogya problémaelméletileg jólkörülhatárolt, az

integrál-egyenlet numerikus megoldásakor ezenszingularitás komolyodagyelést igényel, így sak speiális

er®feszítésekáránadható numerikusan isstabilismegoldása a (2.14) egyenletnek.

In document Szi (Pldal 25-28)

A térfogati anyaghibát leíró integrálegyenlet

2. Az értekezésben felhasznált összefüggések 19

2.1.1. A térfogati anyaghibát leíró integrálegyenlet

V s

σ(~r)

~r

V d

σ 0

σ(~r) =

= σ 0 , ~r ∈ V s \ V d

V d

σ 0

µ 0

ω

E ~ = E(~r) ~

~r

ℜ n

E(~r) exp(jωt) ~ o

ℜ {·}

J(~r) ~

E(~r) ~

J ~ (~r) = σ(~r) E(~r) ~

V s

σ, µ 0 σ 0 , µ 0

V s

V d

rot H(~r) = ~ σ(~r) E(~r), ~

rot E(~r) = ~ − jωµ 0 H(~r), ~

H ~

rot H(~r) = ~ σ 0 E(~r) + [σ(~r) ~ − σ 0 ] E(~r) ~

V d

V d

P ~ (~r) = [σ(~r) − σ 0 ] E(~r), ~

H ~

rot rot E(~r) ~ − k c 2 E(~r) = ~ − jωµ 0 P ~ (~r),

k 2 c = − jωµ 0 σ 0 .

E(~r) = ~ E ~ i (~r) + E ~ f (~r), H(~r) = ~ H ~ i (~r) + H ~ f (~r),

i

σ(~r) = σ 0 , ~r ∈ V s

f

P ~ (~r)

V s

E ~ i

V s

rot rot E ~ i (~r) − k 2 c E ~ i (~r) = 0, ~r ∈ V s .

P ~

rot rot E ~ f (~r) − k c 2 E ~ f (~r) = − jωµ 0 P(~r), ~ ~r ∈ V s

E ~ i (~r)

P ~

E ~ f (~r) = − jωµ 0 Z Z Z

V d

G e (~r | ~r ′ ) · P ~ (~r ′ ) d~r ′

G e (~r | ~r ′ )

~r ′

~r

~r, ~r ′ ∈ V s

rot rot G (~r | ~r ′ ) − k 2 c G (~r | ~r ′ ) = δ(~r − ~r ′ ) I ,

δ

I

G

G e

G

G m

G e (~r | ~r ′ )

~r = ~r ′

E(~r) = ~ E ~ i (~r) − jωµ 0 Z Z Z

V d

G e (~r | ~r ′ ) · P ~ (~r ′ ) d~r ′ .

v(~r) = σ(~r) − σ 0

σ 0 ,

v(~r) = 0, ~r / ∈ V d

V d

v(~r) = − 1, ~r ∈

∈ V d

σ(~r) − σ 0

P(~r) ~

P ~ (~r) = P ~ i (~r) + k 2 c v(~r) Z Z Z

V d

G e (~r | ~r ′ ) · P ~ (~r ′ ) d~r ′ , ~r ∈ V d ,

P ~ i

V _s

V _d

σ ₀

= σ ₀ , ~r ∈ V _s \ V _d

V _d

µ ₀

V _s

σ, µ ₀ σ 0 , µ 0

V _d

rot E(~r) = ~ − jωµ ₀ H(~r), ~

rot H(~r) = ~ σ ₀ E(~r) + [σ(~r) ~ − σ ₀ ] E(~r) ~

V _d

V _d

P ~ (~r) = [σ(~r) − σ ₀ ] E(~r), ~

rot rot E(~r) ~ − k _c ² E(~r) = ~ − jωµ ₀ P ~ (~r),

k ² _c = − jωµ ₀ σ ₀ .

E(~r) = ~ E ~ ⁱ (~r) + E ~ ^f (~r), H(~r) = ~ H ~ ⁱ (~r) + H ~ ^f (~r),

σ(~r) = σ ₀ , ~r ∈ V _s

V _s

E ~ ⁱ

rot rot E ~ ⁱ (~r) − k ² _c E ~ ⁱ (~r) = 0, ~r ∈ V _s .

rot rot E ~ ^f (~r) − k _c ² E ~ ^f (~r) = − jωµ ₀ P(~r), ~ ~r ∈ V _s

E ~ ⁱ (~r)

E ~ ^f (~r) = − jωµ ₀ Z Z Z

G ^e (~r | ~r ^′ ) · P ~ (~r ^′ ) d~r ^′

G ^e (~r | ~r ^′ )

~r ^′

~r, ~r ^′ ∈ V s

rot rot G (~r | ~r ^′ ) − k ² _c G (~r | ~r ^′ ) = δ(~r − ~r ^′ ) I ,

G ^e

G ^m

G ^e (~r | ~r ^′ )

~r = ~r ^′

E(~r) = ~ E ~ ⁱ (~r) − jωµ ₀ Z Z Z

G ^e (~r | ~r ^′ ) · P ~ (~r ^′ ) d~r ^′ .

σ ₀ ,

v(~r) = 0, ~r / ∈ V _d

V _d

∈ V _d

P ~ (~r) = P ~ ⁱ (~r) + k ² _c v(~r) Z Z Z

G ^e (~r | ~r ^′ ) · P ~ (~r ^′ ) d~r ^′ , ~r ∈ V _d ,

P ~ ⁱ

E ~ ⁱ

P ~ ⁱ (~r) = [σ(~r) − σ ₀ ] E ~ ⁱ (~r).

V _d