Jelen szakaszban áttekintünk néhány nevezetes Fourier-transzformációs függvénypárt, melyek egy részét a következő fejezetben bemutatásra kerülő mintavételezési tétel értelmezésekor, más részét a transzformáció alkalmazásainak leírásánál fogjuk felhasználni.
Első lépésként be kell vezetnünk egy első pillantásra furcsának tűnő matematikai konstrukciót, a Dirac-delta függvényt1. Ez a függvény fog megjelenni akkor, amikor a Fourier-transzformációt nem négyzetesen integrálható függvényre alkalmazzuk.
6.6.1. Definíció. (Dirac-delta) A
függvényt Dirac-delta függvénynek nevezzük.
1A Dirac-delta függvény nevét Paul Dirac (1902 – 1984) britt elméleti fizikusról kapta, akit a kvantummechanika elméletének kidolgozói között tartunk számon.
6.6.1. Megjegyzés.
1.
A Dirac-delta függvény értékeire sohasem hivatkozunk közvetlenül, mindig valamely integráljának az értékét tekintjük.
2.
, azaz a Dirac-delta függvény páros.
3.
A függvény alternatív módon, egy függvénysorozat határfüggvényeként is szokás definiálni. Teküntsük az , függvénysorozatot, melyet az alábbi kifejezéssel definiálunk:
Könnyen látható, hogy a függvénysorozat minden elemének integrálja 1, ugyanakkor n növelésével a függvények egyre kisebb tartományon vesznek fel nullától különböző, azonban egyre nagyobb értéket. Definíció szerint a függvénysorozat határfüggvénye a
Dirac-delta függvény, azaz .
Elsőként vizsgáljuk meg a Dirac-delta függvény Fourier-transzformáltját.
6.6.1. Tétel. (A Dirac-delta Fourier transzformáltja)
Bizonyítás.
Az Dirac-delta függvényt és Fourier-transzformáltját a 6.4. ábrán ábrázoltuk.
6.4. ábra. A Dirac-delta függvény és Fourier-transzformáltja
Az előző tételből már látható, hogy a Dirac-delta Fourier-transzformáltja egy megfelelően skálázott konstans függvény. A dualitás elve alapján azt várhatjuk, hogy a konstans függvény Fourier-transzformáltja a Dirac-delta függvény lesz. Nézzük meg, hogy teljesül-e. Megjegyezzük ugyanakkor, hogy a konstans függvény nyilvánvalóan nem négyzetesen integrálható, így nem eleme -nek, mégis tudjuk értelmezni a Fourier-transzformáltját. Ennek az az oka, hogy a konstans függvény egy olyan általánosított függvény, melyről a Fourier-transzformáció létezését és konvergenciáját jellemző tétel harmadik pontjában beszéltünk.
6.6.2. Tétel. (A konstans függvény Fourier-transzformáltja)
Bizonyítás.
A bizonyítás során felhasználtuk a Dirac-delta függvény Fourier-transzformáltját, és azt, hogy az integrandus kitevőjében szimmetria okok miatt a negatív előjelet elhagyhatjuk. Ennek megfelelően a zárójelben szereplő kifejezés éppen a Dirac-delta előállítása inverz Fourier-transzformációval.
Az konstans függvényt és Fourier-transzformáltját a 6.5. ábrán ábrázoltuk.
6.5. ábra. A konstans és Fourier-transzformáltja
6.6.3. Tétel. (Az eltolt Dirac-delta Fourier-transzformáltja)
Bizonyítás.
Az függvényt és Fourier-transzformáltját a 6.6. ábrán ábrázoltuk. Az ábrán érdekes dolgot vehetünk észre: noha az eltolt Dirac-delta Fourier-transzformáltja egy komplex hullám, mi mégis egy konstans függvényt látunk. Ennek természetesen az az oka, hogy a Fourier-transzformált nagyságát ábrázoltuk, s a komplex hullám nagysága minden pontban . Jól demonstrálja a példa, hogy bár a Fourier-transzformáció egyértelmű, annak normája már közel sem az.
6.6. ábra. Az eltolt Dirac-delta és Fourier-transzformáltja
A komplex hullám függvény szintén nem négyzetesen integrálható, mégis értelmezhetjük Fourier-transzformáltját, s a dualitás értelmében azt várhatjuk, hogy az egy eltolt Dirac-delta függvény lesz.
6.6.4. Tétel. (A komplex hullám függvény Fourier-transzformáltja)
Bizonyítás.
A transzformáció felírását a körfrekvencia eltolására vonatkozó tétel alapján tekinthetjük úgy, mint a konstans függvény Fourier-transzformáltjának a körfrekvenciával történő eltolását, így közvetlenül adódik az eredmény.
Az komplex hullám függvényt és Fourier-transzformáltját a 6.7. ábrán ábrázoltuk. Az ábrán pirossal jelöltük a valós, kékkel a képzetes részt.
6.7. ábra. A komplex hullám és Fourier-transzformáltja
A koszinusz és szinusz függvények Fourier-transzformáltjai komplex hullámokkal történő előállításuk és a Fourier-transzformáció linearitása alapján könnyen értelmezhetők.
6.6.5. Tétel. (A koszinusz függvény Fourier-transzformáltja)
Bizonyítás.
Az függvényt és Fourier-transzformáltját a 6.8. ábrán ábrázoltuk.
6.8. ábra. A koszinusz függvény és Fourier-transzformáltja
6.6.6. Tétel. (A szinusz függvény Fourier-transzformáltja)
Bizonyítás. A koszinusz függvény Fourier-transzformáltjának bizonyításával analóg módon belátható.
Az függvényt és Fourier-transzformáltját a 6.9. ábrán ábrázoltuk.
6.9. ábra. A szinusz függvény és Fourier-transzformáltja
6.6.7. Tétel. (Hatványfüggvény Fourier-transzformáltja)
Bizonyítás. Alkalmazva a körfrekvencia szerinti differenciálásról szóló tétel állítását,
ekkor
választással
ahol a Dirac-delta n. deriváltja.
A Shannon-féle mintavételezési törvény levezetésekor nagy hasznát fogjuk venni az alább definiált négyszög-, illetve sinc-függvényeknek, és Fourier-transzformáltjaiknak.
6.6.2. Definíció. (Négyszög-függvény) A
függvényt négyszög-függvénynek nevezzük.
6.6.3. Definíció. (Sinc-függvény) A
függvényt (normalizálatlan) sinc-függvénynek nevezzük.
6.6.8. Tétel. (A négyszög-függvény Fourier-transzformáltja)
Bizonyítás.
Az függvényt és Fourier-transzformáltját a 6.10. ábrán ábrázoltuk.
6.10. ábra. A négyszög függvény és Fourier-transzformáltja
6.6.9. Tétel. (A Sinc-függvény Fourier-transzformáltja)
Bizonyítás.
A transzformáció alkalmazásával, kihasználva, hogy a függvény páratlan,
Legyen . Ekkor
Az függvényt és Fourier-transzformáltját a 6.11. ábrán ábrázoltuk.
6.11. ábra. A függvény és Fourier-transzformáltja
6.6.4. Definíció. (Háromszög-függvény) A
függvényt háromszög függvénynek nevezzük. Alternatív módon a háromszög függvény
definiálható módon, ahol a operátor a konvolúció
műveletét jelöli.
6.6.10. Tétel. (A háromszög-függvény Fourier-transzformáltja)
Bizonyítás. Felhasználva, hogy a függvény két függvény konvolúciója, a konvolúciós tétel állítása szerint
Az függvényt és Fourier-transzformáltját a 6.12. ábrán ábrázoltuk.
6.12. ábra. A függvény és Fourier-transzformáltja
6.6.11. Tétel. (A -függvény és Fourier-transzformáltja)
Bizonyítás. Az előző tételhez hasonló módon bizonyítható: konvolúciós tétel szerint a -függvény Fourier-transzformáltja a -függvény önmagával vett konvolúciója, ami éppen a háromszög-függvény.
Az függvényt és Fourier-transzformáltját a 6.13. ábrán ábrázoltuk.
6.13. ábra. A függvény és Fourier-transzformáltja
6.6.12. Tétel. (A Gauss-függvény transzformáltja) A Gauss-függvény Fourier-transzformáltja szintén Gauss-függvény, nevezetesen
Bizonyítás. A Fourier-transzformációt kifejtve:
Egészítsük ki az integrandus exponensét
Kiemelve az t-től nem függű konstanst:
Az utolsó lépésben kihasználtuk, hogy az integrandus egy Gauss-függvény, melynek
integrálja .
Az függvényt és Fourier-transzformáltját a 6.14. ábrán ábrázoltuk.
6.14. ábra. A Gauss-függvény és Fourier-transzformáltja