• Nem Talált Eredményt

Mozgás rugóerő hatása alatt

In document A jelfeldolgozás matematikai alapjai (Pldal 38-41)

2. Hullámok a fizikában

2.1.3. Mozgás rugóerő hatása alatt

Egy test gyorsulása egyenesen arányos és azonos irányú a testre ható eredő erővel. Az arányossági tényező a test tömege.

3.

Ha egy A test egy B testre F erővel hat, akkor ezzel egyidejűleg a B test az A testre erővel hat.

4.

Az erőkre érvényes a szuperpozíció elve: a független testektől származó és ugyanazon A testre ható erők mint vektorok összeadhatók.

A mechanikai problémák jellege a következő: le szeretnénk írni a vizsgált test mozgását a térben. Kvantitatívan és kvalitatívan ismerjük, hogy adott körülmények között egy test hogyan hat egy másik testre. A hatások jellegét ún. erőtörvények írják le, amelyekhez mérési úton jutunk. Az erőtörvények felhasználásával számszerűsíteni tudjuk, hogy egy adott elrendezésben milyen erők hatnak a vizsgált testre, s Newton törvényei alapján az eredő erő segítségével meghatározhatjuk, milyen gyorsulást szenved a test. A gyorsulás alapján természetesen következtethetünk arra, hogy hogyan változik meg a sebessége, s végül arra, hogy hogyan változik meg a pozíciója.

2.1.3. Mozgás rugóerő hatása alatt

Jelen szakaszban a rugóerő hatása alatt mozgó test mozgását vizsgáljuk. Képzeljük el, hogy adott egy m tömegű A test és egy elhanyagolható tömegű rugó, melynek egyik vége az A testhez, másik vége pedig egy, az A testtől jóval nagyobb tömegű testhez, például egy falhoz van rögzítve. Feltételezzük, hogy a test olyan sima felületen fekszik, hogy a súrlódás hatása elhanyagolható. Ha a rugót megfeszítjük, majd elengedjük, a rugóhoz rögzített test periodikusnak tűnő mozgást végez: közeledik, majd eltávolodik a faltól, ahogy a rugó összehúzódik és megnyúlik. Ez a mozgás huzamosabb ideig is fennállhat.

Lássuk, hogyan tudjuk ezt a mozgást leírni a klasszikus mechanika eszközeivel! A rugóerő-törvény mérések alapján

alakú, azaz a rugó által a testre kifejtett erő minden időpillanatban egyenesen arányos és ellentétes irányú a test elmozdulásával. A törvényben a k arányossági tényező számértéke mérési úton megállapítható, neve rugóállandó és egy adott rugóra jellemző mennyiség. Ha feltételezzük, hogy a koordinátarendszerünket úgy választottuk meg, hogy a koordináta rendszer x tengelye abba az irányba mutasson, amelybe a testet kitérítettük és a koordinátarendszer origója a test helye amikor a rugó nyugalmi állapotban van, akkor az erőtörvénynek csak az x komponensével kell foglalkoznunk, azaz

ahol az függvény a test kitérését írja le az x irányban, és .

Feltételezve, hogy a testre nem hat más erő, Newton-törvényei alapján megkaphatjuk az A test gyorsulást úgy, hogy a rugóerő törvényét behelyettesítjük Newton második törvényébe:

Tudjuk azonban, hogy a gyorsulás egy adott pillanatban az elmozdulás idő szerinti második deriváltja, azaz

teljesül. Átrendezve a fenti kifejezést, az alábbi összefüggéshez jutunk.

Ez a kifejezés egy homogén, konstans együtthatós másodrendű differenciálegyenlet. Szavakba öntve a fenti differenciálegyenlet azt jelenti, hogy a test mozgását időben egy olyan x(t) függvény írja le, amely második deriváltja az eredeti függvénytől egy negatív konstans szorzóban különbözik. Differenciálegyenletek megoldására általános recept nem létezik. Vannak bizonyos típusú differenciálegyenletek, amelyek megoldása algoritmizálható, más esetekben, ha van valamilyen előzetes elvárásunk/ismeretünk a differenciálegyenletet megoldó függvény alakjára, próbálgatással is sikerrel járhatunk. Abból kiindulva, hogy a második derivált olyan alakú, mint maga a függvény, gondolhatunk például exponenciális függvényre, hiszen annak deriváltjai hasonló alakúak a kiindulási függvényhez. Ha a megoldást például

alakban keressük, ahol a egy konstans, akkor behelyettesítve az egyenletbe

alakra jutunk. A probléma azonban az, hogy mivel a második hatványon szerepel, sohasem lehet negatív, azaz nem tudunk olyan valós a-t választani, hogy adott pozitív m és k esetén teljesüljön.

Második gondolatunk ugyanakkor a trigonometrikus vagy függvény lehet, hiszen tudjuk, hogy

és .

Ahhoz azonban, hogy megfelelő megoldást kapjunk, a függvényt további paraméterekkel kell ellátnunk.

Vizsgáljuk meg, hogy az alakú függvény teljesíti-e a differenciálegyenletet! A függvényt behelyettesítve

adódik, azaz a differenciál egyenlet teljesül, ha választással élünk. Az A test mozgását tehát az

függvény írja le.

Természetesen az, hogy a test a t időpillanatban hol fog tartózkodni, függ attól, hogy a 0 időpillanatban hol tartózkodott és milyen sebességgel rendelkezett. Ezeket az információkat feltételezzük, hogy ismerjük, azaz tudjuk, hogy és . lehet például 2 cm, míg értéke lehet 0. Ezzel azt írtuk elő, hogy a rugón nyugalmi állapotától számítva 2 cm-t nyújtottunk, ekkor 0 sebességgel a testet egy helyben tartottuk, s azt a pillanatot tekintjük időnek, amikor a testet elengedtük. Ezen megszorításokkal az eredményként kapott függvénynek a következőket kell teljesítenie:

Az függvény értéke a pillanatban természetesen 0. Nekünk viszont arra lenne szükségünk, hogy legyen. Ezt csak úgy érhetjük el, hogy további paramétereket vezetünk be. Keressük a megoldást alakban. Ekkor az előzőek alapján az A és a értékeknek a következő feltételeket kell egyidejűleg teljesíteniük. Egyrészt

másrészt kihasználva, hogy ,

Ezen két egyenlet felhasználásával azt kapjuk, hogy

azaz

továbbá

adódik. Adott és esetén tehát az A test mozgását a

függvény írja le, ahol és . Könnyen belátható, hogy függvénnyel mozgások összege, azaz megfelelően paraméterezett szinusz vagy koszinusz függvények összege lesz.

A fenti levezetésnek két tanulsága van: fizikai hullámok tárgyalása során megkülönböztetünk transzverzáslis és longitudinális hullámokat.

Transzverzális hullámok esetén a hullámot szállító közeg elmozdulása merőleges a hullám terjedési irányára, longitudinális esetben párhuzamos azzal. Transzverzásli hullám terjed a kötélen, ha annak egyik végét rögzítjük, a kötelet megfeszítjük, majd a szabad végét fel-le mozgatjuk. Longitudinális hullámban a közeg részeinek mozgása a hullám terjedésével azonos irányú, így részecske sűrűsödések és ritkulások alakulnak ki a közegben.

Longitudinális hullám például a levegőben terjedő hang. Szilárd testekben mind longitudinális, mind transzverzális hullámok előfordulhatnak, folyadékokban és gázokban elsősorban longitudinális hullámokkal találkozhatunk.

Rögzítsük egy kötél egyik végét falhoz, feszítsük meg, s másik végét állandó ritmussal mozgassuk fel-le.

Szemmel láthatóan a kötélen deformáció terjed tova v sebességgel. Tegyük fel, hogy egy fel-le mozdulatot T idő alatt teszünk meg. Ekkor T-t periódusidőnek nevezzük. A kötél általunk mozgatott végén a rezgés frekvenciája , s arra utal, hogy hányszor ismételjük meg a fel-le mozdulatot egy másodperc alatt. A kötélen deformáció terjed, s a terjedés v sebessége mérhető. A deformáció T idő alatt távolságot tesz meg. Ezt a értéket hullámhossznak nevezzük, és úgy értelmezhetjük, hogy jelöli azt a távolság, amelyre a v sebességgel terjedő hullám egy periódusidő alatt eljut. Tegyük fel, hogy a kötél kezdőpontja az függvénnyel leírható mozgást végez, ahol A a rezgés amplitúdója (például a 20cm), a fel-le mozgások gyakoriságával kapcsolatos mennyiség, míg azt jelzi, hogy a kötél milyen állapotából indítottuk a mozgatást, azaz a időpillanatban a kötél szabad vége az pozícióban van. Az függvényt tehát úgy értelmezhetjük, hogy megadja, hogy a megfeszített helyzethez képest milyen magasságban van kezünk, s a benne tartott kötél vége a t időpontban. Feltehetjük a kérdést, hogy a kezdőponttól l távolságra lévő P pont hogyan mozog, azaz milyen magasságban van a t időpillanatban? Ha sikerül választ adni a kérdésre, azzal tulajdonképpen leírtuk a fizikai rendszert, azaz a kötél mozgását.

In document A jelfeldolgozás matematikai alapjai (Pldal 38-41)